第一章勾股定理 单元测试卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册第1章《勾股定理》单元测试卷（适中卷）（答案详解） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 B 6 A 7 B 8 A 9 A 10 A 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 题号 答案 11 17 12 13 ； 14 180 15 10 16 10 17 18 直角 三、解答题（共 66 分） 19.（6 分） 解：（1）由勾股定理 （3 分） （2）由勾股定理 （3 分） 20.（6 分） （2 分） （2 分） 所以 ，由勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，边长为 25 的边所对的角是直角。（2 分） 21.（7 分） 解：分两种情况讨论。 情况一：当 12 为直角边时，第三边为斜边，（3 分） 情况二：当 12 为斜边时，第三边为直角边，（3 分） 综上，第三边长为 13 或 。（1 分） 22.（7 分） 解：因为 AB=AC=10，AD⊥BC，由等腰三角形三线合一，D 为 BC 中点，BD=。（2 分） 在 Rt△ABD 中，，AD=8。（3 分） 面积 S=。答：AD=8，面积为 48。（2 分） 23.（7 分） 解：（1）设顶端距地面 h m，由勾股定理 ，h=24。（3 分） （2）顶端下降 4 m 后高为 20 m，设此时底端距墙 x m，，x=15，底端滑动 15−7=8（m）。（4 分） 答：（1）顶端距地面 24 m；（2）底端滑动 8 m。 24.（7 分） 解：设水深 x 尺，则芦苇长（x+1）尺。（1 分） 由勾股定理列方程：（2 分） ，解得 x=12。（2 分） 芦苇长 x+1=13（尺）。答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺。（2 分） 25.（8 分） 解：由折叠知 AF=AD=BC=10，DE=EF。在 Rt△ABF 中，BF=，FC=BC−BF=4。（3 分） 设 CE=x，则 EF=DE=8−x。在 Rt△ECF 中列方程：（3 分） ，解得 x=3。答：CE=3。（2 分） 26.（8 分） 解：把长方体侧面展开，有三种拼法，由勾股定理： （1 分） （1 分） （1 分） 比较 ，可知最短路程为 。（2 分） 答：蚂蚁爬行的最短路程为 。（3 分） 27.（10 分） 解：（1）设 BD=x，则 DC=14−x。由勾股定理：（3 分） ，化简得 28x=140，x=5，即 BD=5。（2 分） （2）AD=。（2 分） 面积 S=。（2 分） 答：BD=5，AD=12，面积为 84。（1 分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》单元测试卷（基础卷） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 注意事项：本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，请将解答写在题目相应位置。 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 直角三角形两直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，则下列关系式正确的是（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. a+b=c 2. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为 3 和 4，则斜边长为（　　） A. 6　　B. 5　　C. 7　　D. 　　 3. 直角三角形斜边长为 13，一条直角边长为 5，则另一条直角边长为（　　） A. 8　　B. 11　　C. 12　　D. 14 4. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 2，3，4　　B. 1，2，3　　C. 0.3，0.4，0.5　　D. 6，8，10 5. 若一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最大内角的度数为（　　） A. 60°　　B. 80°　　C. 90°　　D. 120° 6. 直角三角形两直角边长分别为 9 和 12，则斜边长为（　　） A. 13　　B. 15　　C. 17　　D. 　　 7. 等腰三角形的腰长为 10，底边长为 12，则底边上的高为（　　） A. 6　　B. 8　　C. 10　　D. 　　 8. 如图 1，一段楼梯的水平长度为 3 m，竖直高度为 4 m。要在楼梯表面铺满地毯，则地毯的长度至少为（　　） 图 1 A. 5 m　　B. 7 m　　C. 　　　　 m　　D. 12 m 9. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 4，5，6　　B. 7，24，25　　C. 2，3，4　　D. 6，7，8 10. 如图 2，一扇长方形门框宽 1 m、高 2 m。现有一块长 2.2 m 的长方形木板，不考虑木板厚度，要从门框内通过，则（　　） 图 2 A. 能通过　　B. 不能通过　　C. 无法判断　　D. 恰好通过 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11. 直角三角形两直角边长为 5 和 12，则斜边长为　　　　。 12. 直角三角形斜边长为 17，一条直角边长为 8，则另一条直角边长为　　　　。 13. 如图 3，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=9，b=12，则 c=　　　　。 图 3 14. 一组勾股数为 8，15，　　　　。 15. 三角形三边长为 9，12，15，则这个三角形是　　　　三角形（按角分类）。 16. 边长为 6 的等边三角形，其高为　　　　。 17. 长方形长为 8、宽为 6，则其对角线长为　　　　。 18. 如图 4，一架长 10 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端距墙 6 m，则梯子顶端距地面　　　　m。 图 4 三、解答题（共 66 分） 19.（6 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=6，b=8，求斜边 c 的长。 20.（6 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，斜边 c=25，直角边 a=7，求另一条直角边 b 的长。 21.（7 分）判断三边长分别为 8，15，17 的三角形是不是直角三角形，并说明理由。 22.（7 分）如图 5，等腰△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC 于点 D。求 AD 的长及△ABC 的面积。 图 5 23.（7 分）如图 4，一架长 10 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端距墙 6 m。（1）求梯子顶端距地面的高度；（2）若梯子底端沿地面向外滑动 2 m（梯子长度不变），求梯子顶端下降的距离。 图 4 24.（7 分）如图 6，湖面上一株荷花的茎直立水中，露出水面 1 尺；把花茎拉向一边，顶端恰好到达水面，此时花茎顶部与直立根部的水平距离为 2 尺。求湖水的深度。 图 6 25.（8 分）如图 7，学校旗杆顶端系有一条绳子，绳子垂到地面还多出 1 m；把绳子下端拉直并向外移动 5 m 后，绳端恰好接触地面。求旗杆的高度和绳子的长度。 图 7 26.（8 分）已知直角三角形两直角边长分别为 5 和 12。（1）求斜边的长；（2）求斜边上的高。 27.（10 分）如图 8，一只蚂蚁在圆柱形杯子外壁下底面边缘的 A 点，想到正对面上底面边缘的 B 点。已知杯子高 12 cm，底面周长为 10 cm，蚂蚁沿圆柱侧面爬行。（1）将侧面展开，说明展开后 A、B 两点间的水平距离；（2）求蚂蚁爬行的最短路程。 图 8 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》单元测试卷（适中卷） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 注意事项：本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，请将解答写在题目相应位置。 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，则斜边长 c 为（　　） A. 13　　B. 14　　C. 15　　D. 17 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 4，5，6　　B. 1.5，2，2.5　　C. 9，12，15　　D. 2，3，4 3. 已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长为（　　） A. 5　　B. 　　　　C. 5 或 　　　　D. 7 4. 下列三角形中，是直角三角形的是（　　） A. 三边为 5，6，7　　B. 三边为 5，12，13　　C. 三边为 4，5，6　　D. 三边为 2，3，4 5. 直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则斜边上的高为（　　） A. 10　　B. 　　　　C. 5　　D. 　　 6. 长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，则对角线 BD 的长为（　　） A. 5　　B. 7　　C. 　　　　D. 6 7. 棱长为 2 的正方体，其一个面的对角线长为（　　） A. 2　　B. 2　　　　C. 　　　　D. 4 8. 三角形三边长分别为 7，24，25，则它的面积为（　　） A. 84　　B. 168　　C. 70　　D. 60 9. 等腰三角形的腰长为 5，底边长为 6，则它的面积为（　　） A. 12　　B. 24　　C. 15　　D. 30 10. 直角三角形的一条直角边为 11，另外两边长为连续的自然数，则这个三角形的周长为（　　） A. 132　　B. 121　　C. 120　　D. 122 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=8，b=15，则 c=　　　　。 12. 直角三角形的两边长分别为 6 和 8，则第三边长为　　　　。 13. 边长为 4 的等边三角形，其高为　　　　，面积为　　　　。 14. 三角形三边长为 9，40，41，则它的面积为　　　　。 15. 长方形长为 8、宽为 6，则其对角线长为　　　　。 16. 一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，圆柱高 8 cm，底面周长为 12 cm，蚂蚁从下底一点爬到上底正对面的点，最短路程为　　　　cm。 17. 如图 1，每个小正方形的边长均为 1，则线段 AB 的长为　　　　。 图 1 18. 一个三角形的三边长分别为 ，2n，（n>1），则这个三角形是　　　　三角形。 三、解答题（共 66 分） 19.（6 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°。（1）已知 a=7，b=24，求 c；（2）已知 c=17，b=15，求 a。 20.（6 分）判断三边长分别为 15，20，25 的三角形是不是直角三角形；若是，指出哪一条边所对的角是直角。 21.（7 分）已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边的长。（注意分类讨论） 22.（7 分）如图 2，等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC 于点 D。求 AD 的长及△ABC 的面积。 图 2 23.（7 分）如图 3，一架长 25 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端距墙 7 m。（1）求梯子顶端距地面的高度；（2）若梯子顶端下降 4 m（梯子长度不变），求梯子底端滑动的距离。 图 3 24.（7 分）如图 4，池塘中央有一根芦苇，露出水面 1 尺；把芦苇拉到岸边，顶端恰好到达水面，此时芦苇根部到岸边的水平距离为 5 尺。求水深和芦苇的长度。 图 4 25.（8 分）如图 5，长方形 ABCD 中，AB=8，BC=10，沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，求 CE 的长。 图 5 26.（8 分）如图 6，长方体的长、宽、高分别为 6，4，3。一只蚂蚁从顶点 A 沿表面爬到相对的顶点 B，求爬行的最短路程。 图 6 27.（10 分）如图 7，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC 于点 D。（1）求 BD 的长；（2）求 AD 的长及△ABC 的面积。 图 7 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级上册第1章《勾股定理》单元测试卷（基础卷）（答案详解） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 B 7 B 8 B 9 B 10 A 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 题号 答案 11 13 12 15 13 15 14 17 15 直角 16 17 10 18 8 三、解答题（共 66 分） 19.（6 分） 解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由勾股定理得 （2 分） 因为 c>0，所以 c=（2 分） 答：斜边 c 的长为 10。（2 分） 20.（6 分） 解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由勾股定理得 （2 分） （2 分） 因为 b>0，所以 b=。答：另一条直角边长为 24。（2 分） 21.（7 分） 解：最长边为 17。 （2 分） （2 分） 所以 ，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，边长为 17 的边所对的角是直角。（3 分） 22.（7 分） 解：因为 AB=AC=13，AD⊥BC，由等腰三角形三线合一，D 为 BC 的中点，BD=。（2 分） 在 Rt△ABD 中，由勾股定理 ，AD=12。（3 分） △ABC 的面积 S=。答：AD=12，面积为 60。（2 分） 23.（7 分） 解：（1）设梯子顶端距地面 h m，由勾股定理 ，h=8。（3 分） （2）底端外滑 2 m 后距墙 8 m，设此时顶端高度为 h′，，h′=6，顶端下降 8−6=2（m）。（4 分） 答：（1）梯子顶端距地面 8 m；（2）梯子顶端下降 2 m。 24.（7 分） 解：设水深 x 尺，则花茎长（x+1）尺。（1 分） 由勾股定理列方程：（2 分） ，解得 x=1.5。（2 分） 答：湖水深 1.5 尺。（2 分） 25.（8 分） 解：设旗杆高 x m，则绳长（x+1）m。（1 分） 由勾股定理列方程：（2 分） ，2x=24，x=12。（3 分） 绳长 x+1=13（m）。答：旗杆高 12 m，绳子长 13 m。（2 分） 26.（8 分） 解：（1）设斜边为 c，由勾股定理 （3 分） （2）设斜边上的高为 h，由面积相等：（3 分） 。答：斜边长 13，斜边上的高为 。（2 分） 27.（10 分） （1）圆柱侧面展开为长方形，高 12 cm，底面半周长为 10÷2=5 cm，即展开后 A、B 两点间的水平距离为 5 cm。（3 分） （2）由勾股定理，最短路程 （6 分） 答：蚂蚁爬行的最短路程为 13 cm。（1 分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $