第一章勾股定理【高分冲刺卷・单元卷 4】2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理【高分冲刺卷・单元卷 4】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗、1.3 勾股定理的应用。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，以点 O 为起点依次作出线段 OA、AB、BC、CD，使 OA = AB = BC = CD = 1，且 AB ⊥ OA，BC ⊥ OB，CD ⊥ OC，则 OD 的长是（　　） A． B． C． D．2 2．如图，一个圆柱形水杯的底面周长是 6 cm，高是 5 cm．把它的侧面沿一条母线剪开铺平，得到一个长方形．一根细绳从杯底外壁的点 A 处出发沿杯壁绕 2 圈，到达杯口外壁的点 B 处，且点 B 恰好在点 A 的正上方（A、B 在同一条母线上）．则这根细绳的最短长度是（　　） A．10 cm B．12 cm C．13 cm D． cm 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8．点 P 在边 AB 上，且 AP = 2；点 Q 在边 BC 上，且 CQ = 4．则线段 PQ 的长是（　　） A．4 B． C．6 D．8 4．如图，在 4×4 的方格纸中，每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都是格点，则 ∠ABC 的度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．120° 5．如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB = 13，BC = 10，AD = 12，则 AC 的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．将 △ABC 沿直线 AB 翻折，得到 △ABD（点 C 的对应点是点 D），连接 CD，则 CD 的长是（　　） A．4.8 B．9.6 C．10 D． 7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A = 90°，AB = AC = 4，点 D 在斜边 BC 上，且 BD = ，则 AD 的长是（　　） A． B． C． D．4 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作 PD ⊥ AC，垂足为点 D；作 PE ⊥ BC，垂足为点 E，连接 DE．则 DE 的最小值是（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 9．如图，△ABC 是等腰三角形，AB = AC = 13，底边 BC = 10．点 P 是底边 BC 上一点（不与点 B、C 重合），过点 P 作 PE ⊥ AB，垂足为点 E；作 PF ⊥ AC，垂足为点 F．则 PE + PF 的长是（　　） A．10 B． C．12 D． 10．如图，正方形 ABCD 的边长是 6，点 E 是边 BC 的中点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，使点 B 落在正方形内的点 F 处，连接 AF、EF、CF，则 CF 的长是（　　） A．3 B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，小明为了检验新栽的小树 BC 是否与地面 AB 垂直，量得 AB = 3 m，BC = 4 m，AC = 5 m，则小树 BC ______ 地面 AB（填「垂直于」或「不垂直于」）． 12．如图，用 4 个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成了一个大正方形，每个直角三角形的斜边都落在大正方形的边上．若大正方形的面积是 289，中间小正方形的边长是 7，则每个直角三角形的周长是 ______． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点 D、E 都在斜边 AB 上，且 AD = 2，BE = 3，则 △CDE 的面积是 ______． 14．如图，在长方形 ABCD 中，AB = 8，BC = 4，点 P 是边 CD 上一点，连接 AP、BP．若 AP ⊥ BP，则 DP 的长是 ______． 15．如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFG 并排摆放，顶点 B、C、E 在同一条直线上，顶点 D、C、G 也在同一条直线上．若正方形 ABCD 的边长是 6，正方形 CEFG 的边长是 3，则 AF 的长是 ______． 16．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，AB = DC = 5，AD = 4，BC = 10，则这个梯形的高是 ______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7 分）如图，在 △ABC 中，AB = AC = 10，BC = 12，点 D 在边 BC 上，且 BD = 2，连接 AD． (1) 求 BC 边上的高； (2) 求 AD 的长． 18．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点 D 在边 BC 上，连接 AD． (1) 求 AB 的长； (2) 若 △ABD 的周长比 △ACD 的周长大 4，求 CD 的长． 19．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8．以 AB 为斜边向外作等腰直角三角形 ABD，其中 ∠ADB = 90°，DA = DB． (1) 求 AB 的长； (2) 求四边形 ACBD 的面积． 20．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6．点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动．设运动的时间是 秒（）． (1) 求 AB 的长； (2) 当 时，求线段 PQ 的长． 21．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC = 90°，∠ADC = 90°，AB = 7，BC = 24，CD = 20，连接 AC． (1) 求 AC 的长； (2) 求 AD 的长； (3) 求四边形 ABCD 的面积． 22．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．正方形 CDEF 的顶点 C 与 △ABC 的直角顶点重合，点 D 在边 AC 上，点 F 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上．设正方形 CDEF 的边长是 ． (1) 用含 的式子表示 △ABC 的面积； (2) 求正方形 CDEF 的边长． 23．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动的时间是 t 秒． (1) 求 AB 的长； (2) 当 △ABP 是等腰三角形时，求 t 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章勾股定理【高分冲刺卷・单元卷 4】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗、1.3 勾股定理的应用。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，以点 O 为起点依次作出线段 OA、AB、BC、CD，使 OA = AB = BC = CD = 1，且 AB ⊥ OA，BC ⊥ OB，CD ⊥ OC，则 OD 的长是（　　） A． B． C． D．2 【答案】 D 【解析】 因为 AB ⊥ OA，所以 △OAB 是直角三角形，； 因为 BC ⊥ OB，所以 △OBC 是直角三角形，； 因为 CD ⊥ OC，所以 △OCD 是直角三角形，，所以 ． 所以 OD 的长是 2．选 D． 【解题提示】每作一条垂线段就多一次勾股定理，把上一条斜边作为下一条直角边依次算下去，依次得到 、、2，这种图形叫「勾股螺旋」． 2．如图，一个圆柱形水杯的底面周长是 6 cm，高是 5 cm．把它的侧面沿一条母线剪开铺平，得到一个长方形．一根细绳从杯底外壁的点 A 处出发沿杯壁绕 2 圈，到达杯口外壁的点 B 处，且点 B 恰好在点 A 的正上方（A、B 在同一条母线上）．则这根细绳的最短长度是（　　） A．10 cm B．12 cm C．13 cm D． cm 【答案】 C 【解析】 把圆柱的侧面展开成长方形后，绳子从点 A 绕 2 圈回到同一条母线，它在展开图上的水平距离是底面周长的 2 倍，即 （cm）； 竖直方向上升的高度就是杯子的高，为 5 cm． 于是细绳是展开图中两条直角边分别为 12 cm 和 5 cm 的直角三角形的斜边， （cm）．选 C． 【解题提示】绕 n 圈的绳子展开后，水平距离是底面周长的 n 倍，再对「水平距离」和「高」用一次勾股定理；关键是「绕几圈就乘几」。 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8．点 P 在边 AB 上，且 AP = 2；点 Q 在边 BC 上，且 CQ = 4．则线段 PQ 的长是（　　） A．4 B． C．6 D．8 【答案】 B 【解析】 由 、 得 ；由 、 得 ． 因为 ∠B = 90°，所以 △PBQ 是直角三角形，．选 B． 【解题提示】先把两条线段都换算成「以同一个顶点 B 为端点」的直角边，再用勾股定理，可以少绕弯路． 4．如图，在 4×4 的方格纸中，每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都是格点，则 ∠ABC 的度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．120° 【答案】 C 【解析】 在方格纸上，分别以 AB、BC、AC 为斜边作直角三角形，让两条直角边都落在格线上，再数出每条直角边各有几格： AB 的两条直角边分别是 2 格和 1 格，所以 ； BC 的两条直角边分别是 1 格和 2 格，所以 ； AC 的两条直角边分别是 1 格和 3 格，所以 ． 因为 ，由勾股定理的逆定理得 ∠ABC = 90°．选 C． 【解题提示】方格纸中求角度或判断形状，标准做法是「以每条边为斜边数格线，算出各边的平方」，再用逆定理作判断． 5．如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB = 13，BC = 10，AD = 12，则 AC 的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】 C 【解析】 因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 ． 在 △ABD 中，，而 ， 所以 ，由勾股定理的逆定理得 ∠ADB = 90°，即 AD ⊥ BC． 于是 ∠ADC = 90°，在 Rt△ADC 中，．选 C． 【解题提示】题中出现中线时，先把中线与它分出的两条线段放进三角形，用勾股定理的逆定理判断出直角，再求另一条边． 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．将 △ABC 沿直线 AB 翻折，得到 △ABD（点 C 的对应点是点 D），连接 CD，则 CD 的长是（　　） A．4.8 B．9.6 C．10 D． 【答案】 B 【解析】 在 Rt△ABC 中，． 因为翻折，所以点 C 与点 D 关于直线 AB 对称，连线 CD 被 AB 垂直平分． 设 AB 与 CD 交于点 E，则 ． 由面积公式 ， 得 ，所以 ．选 B． 【解题提示】翻折就是轴对称：对应点的连线被对称轴垂直平分，于是 CD 等于点 C 到 AB 的距离的 2 倍，再用面积法求这条距离． 7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A = 90°，AB = AC = 4，点 D 在斜边 BC 上，且 BD = ，则 AD 的长是（　　） A． B． C． D．4 【答案】 A 【解析】 在 Rt△ABC 中，． 过点 A 作 AE ⊥ BC，垂足为点 E．因为 AB = AC，所以 E 是 BC 的中点，． 在 Rt△ABE 中，∠B = 45°，∠AEB = 90°，所以 △ABE 也是等腰直角三角形，． 于是 ． 在 Rt△ADE 中，．选 A． 【解题提示】等腰直角三角形中，斜边上的高同时平分斜边，先把这条高算出来，再把待求线段放进一个新的直角三角形里． 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作 PD ⊥ AC，垂足为点 D；作 PE ⊥ BC，垂足为点 E，连接 DE．则 DE 的最小值是（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】 B 【解析】 因为 PD ⊥ AC，PE ⊥ BC，∠C = 90°，所以四边形 PDCE 的三个角都是直角，它是矩形． 矩形的两条对角线相等，所以 ，求 DE 的最小值就是求 CP 的最小值． 点 P 在直线 AB 上，当 CP ⊥ AB 时 CP 最短（垂线段最短），此时 CP 就是斜边 AB 上的高． 在 Rt△ABC 中，，由面积公式 ， 得 ．选 B． 【解题提示】「向两条直角边分别作垂线」围出的四边形是矩形，它的对角线等于「点到直角顶点」的距离，最值问题就变成了斜边上的高问题． 9．如图，△ABC 是等腰三角形，AB = AC = 13，底边 BC = 10．点 P 是底边 BC 上一点（不与点 B、C 重合），过点 P 作 PE ⊥ AB，垂足为点 E；作 PF ⊥ AC，垂足为点 F．则 PE + PF 的长是（　　） A．10 B． C．12 D． 【答案】 B 【解析】 过点 A 作 AH ⊥ BC，垂足为点 H．因为 AB = AC，所以 H 是 BC 的中点，． 在 Rt△ABH 中，． 所以 ． 连接 AP，把 △ABC 分成 △ABP 与 △ACP 两块，两块面积之和等于 △ABC 的面积：． 而 ，，又 AB = AC = 13， 所以 ，即 ， 解得 ．选 B． 【解题提示】点 P 在底边上移动时 PE 与 PF 各自都在变，但它们的和不变。这类「定值」问题用面积法最好做：把 △ABC 用 AP 切成两块，两块面积之和始终等于总面积，直接得到含 (PE + PF) 的方程． 10．如图，正方形 ABCD 的边长是 6，点 E 是边 BC 的中点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，使点 B 落在正方形内的点 F 处，连接 AF、EF、CF，则 CF 的长是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】 C 【解析】 由折叠可知 △AFE ≌ △ABE，所以 ，，∠AFE = ∠B = 90°． 过点 F 作 FN ⊥ AB，垂足为点 N；作 FM ⊥ BC，垂足为点 M．因为 AB ⊥ BC，所以四边形 BNFM 是矩形，，． 设 ，，则 ，． 在 Rt△AFN 中，；在 Rt△EFM 中，． 两式展开并整理，都得到 的表达式： 与 ， 所以 ，即 ．代入 得 ， 因为 ，所以 ，． 在 Rt△CFM 中，，， 所以 ．选 C． 【解题提示】折叠后 AF、EF 都已知，把点 F 到正方形两条边的距离设成未知数，用两次勾股定理列出方程组，就能确定 F 的位置． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，小明为了检验新栽的小树 BC 是否与地面 AB 垂直，量得 AB = 3 m，BC = 4 m，AC = 5 m，则小树 BC ______ 地面 AB（填「垂直于」或「不垂直于」）． 【答案】 垂直于 【解析】 要检验 BC 是否垂直于 AB，只需看 △ABC 中「较短两边的平方和」是否等于「最长边的平方」． 因为 ，而 ，所以 ． 由勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，且最长的边 AC 所对的角 ∠ABC = 90°，即小树 BC 垂直于地面 AB．填「垂直于」． 【解题提示】判断两条线段是否垂直，把它们放进同一个三角形，用勾股定理的逆定理检验「两短边的平方和是否等于最长边的平方」，不必真的去量角度． 12．如图，用 4 个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成了一个大正方形，每个直角三角形的斜边都落在大正方形的边上．若大正方形的面积是 289，中间小正方形的边长是 7，则每个直角三角形的周长是 ______． 【答案】 40 【解析】 大正方形的边长就是直角三角形的斜边．设斜边长为 ，则 ，所以 ． 设两条直角边长分别为 a、b（a < b），则中间小正方形的边长就是 ，由 得 ． 因为 ，所以 ． 于是 ，所以 ． 每个直角三角形的周长是 ． 【解题提示】当「斜边的平方」与「两直角边之差的平方」都已知时，先用 求出两直角边的积，再把它补进 里，就能得到两直角边之和，周长随之而出． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点 D、E 都在斜边 AB 上，且 AD = 2，BE = 3，则 △CDE 的面积是 ______． 【答案】 12 【解析】 在 Rt△ABC 中，，所以 ． 设斜边 AB 上的高为 ．由面积公式 ，得 ． △CDE 以 DE 为底时，高就是点 C 到直线 AB 的距离 ， 所以 ． 【解题提示】斜边上被截出的线段用「总长减去两段」得到；求这个新三角形的面积时，仍然用点 C 到斜边的距离作高． 14．如图，在长方形 ABCD 中，AB = 8，BC = 4，点 P 是边 CD 上一点，连接 AP、BP．若 AP ⊥ BP，则 DP 的长是 ______． 【答案】 4 【解析】 设 ，则 ． 因为长方形的四个角都是直角，所以 △ADP 与 △BCP 都是直角三角形： ，． 因为 AP ⊥ BP，所以 △ABP 是直角三角形，． 于是 ，即 ， 展开得 ，，，所以 ． 【解题提示】线段 AP 同时属于两个直角三角形，把它分别用勾股定理表示出来，再借助 AP ⊥ BP 提供的第三个直角列方程． 15．如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFG 并排摆放，顶点 B、C、E 在同一条直线上，顶点 D、C、G 也在同一条直线上．若正方形 ABCD 的边长是 6，正方形 CEFG 的边长是 3，则 AF 的长是 ______． 【答案】 【解析】 过点 F 作 FH ⊥ AD 所在直线，垂足为点 H（点 H 落在 AD 的延长线上）． 因为正方形 ABCD 的边长是 6，正方形 CEFG 的边长是 3，所以 ，． 由摆放方式可知 ，． 在 Rt△AFH 中，∠AHF = 90°，． 【解题提示】两个正方形并排时，把待求线段放进一个直角三角形，它的一条直角边由「大正方形边长 + 小正方形边长」拼成． 16．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，AB = DC = 5，AD = 4，BC = 10，则这个梯形的高是 ______． 【答案】 4 【解析】 过点 A 作 AM ⊥ BC，垂足为点 M；过点 D 作 DN ⊥ BC，垂足为点 N，点 M、N 都在边 BC 上． 因为 AD ∥ BC，AM ⊥ BC，DN ⊥ BC，所以四边形 AMND 是矩形，，此外 ． 于是 ． 在 Rt△ABM 和 Rt△DCN 中，，，所以两个直角三角形全等，． 在 Rt△ABM 中，． 【解题提示】等腰梯形求高，先作两条高，把它分成「一个矩形 + 两个全等的直角三角形」，每个直角三角形的直角边就是两底之差的一半． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7 分）如图，在 △ABC 中，AB = AC = 10，BC = 12，点 D 在边 BC 上，且 BD = 2，连接 AD． (1) 求 BC 边上的高； (2) 求 AD 的长． 【答案】 (1) 8；(2) 【解析】 (1) 过点 A 作 AH ⊥ BC，垂足为点 H．因为 AB = AC，所以 H 是 BC 的中点，． 在 Rt△ABH 中，． (2) 因为 ，，所以 ． 在 Rt△ADH 中，． 【解题提示】等腰三角形底边上的高同时平分底边；把求出的高和底边上的另一段放在同一个直角三角形里，就能用勾股定理求出任意一条连线． 18．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点 D 在边 BC 上，连接 AD． (1) 求 AB 的长； (2) 若 △ABD 的周长比 △ACD 的周长大 4，求 CD 的长． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 在 Rt△ABC 中，． (2) 设 ，则 ． △ABD 的周长是 ； △ACD 的周长是 ． 由题意得 ，即 ，解得 ． 所以 CD 的长是 4． 【解题提示】两个三角形都含有同一条线段 AD，列周长之差时它会自动抵消，剩下的就是已知边与未知边之间的关系． 19．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8．以 AB 为斜边向外作等腰直角三角形 ABD，其中 ∠ADB = 90°，DA = DB． (1) 求 AB 的长； (2) 求四边形 ACBD 的面积． 【答案】 (1) ；(2) 四边形 ACBD 的面积是 49 【解析】 (1) 在 Rt△ABC 中，． (2) 在等腰直角三角形 ABD 中，设 ．由勾股定理得 ，所以 ，即 ． ． 又 ． 所以四边形 ACBD 的面积是 ． 【解题提示】等腰直角三角形的斜边已知时，不必先求出直角边，用「两直角边的平方和等于斜边的平方」就能得到两直角边之积，从而算出面积． 20．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6．点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动．设运动的时间是 秒（）． (1) 求 AB 的长； (2) 当 时，求线段 PQ 的长． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 在 Rt△ABC 中，． (2) 当 时，，，所以 ，． 过点 P 作 PH ⊥ BC，垂足为点 H．△PBC 以 BP 为底时，高是点 C 到 AB 的距离，由 得 ，所以 ． △PBC 以 BC 为底时，高是 PH，，所以 ，． 在 Rt△PBH 中，，因为 ，所以 ． 在 Rt△PHQ 中，． 【解题提示】动点题把「时间」翻译成「线段长度」是关键；两条动线段的长度都用同一个 表示后，再用面积法把待求线段放进直角三角形． 21．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC = 90°，∠ADC = 90°，AB = 7，BC = 24，CD = 20，连接 AC． (1) 求 AC 的长； (2) 求 AD 的长； (3) 求四边形 ABCD 的面积． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 四边形 ABCD 的面积是 234 【解析】 (1) 因为 ∠ABC = 90°，所以在 Rt△ABC 中，． (2) 因为 ∠ADC = 90°，所以在 Rt△ADC 中，． (3) ，， 所以四边形 ABCD 的面积是 ． 【解题提示】两个直角三角形共用斜边 AC：先在一个三角形里求出 AC，再把它当作另一个三角形的斜边继续求边，最后分开算两块面积． 22．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．正方形 CDEF 的顶点 C 与 △ABC 的直角顶点重合，点 D 在边 AC 上，点 F 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上．设正方形 CDEF 的边长是 ． (1) 用含 的式子表示 △ABC 的面积； (2) 求正方形 CDEF 的边长． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 由题意 ，所以 ，． (1) 正方形 CDEF 把 △ABC 分成三块：Rt△ADE、正方形 CDEF、Rt△BEF． 因为 DE ⊥ AC，所以 DE 是 △ADE 中 AD 边上的高，；正方形的面积是 ； 因为 EF ⊥ BC，所以 EF 是 △BEF 中 BF 边上的高，． 所以 ． (2) 由题意 ，所以 ，．即正方形 CDEF 的边长是 ． 【解题提示】正方形的一条边落在直角边上、对角顶点落在斜边上时，把正方形外围的三块面积加起来就是三角形面积，于是得到关于边长的方程． 23．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动的时间是 t 秒． (1) 求 AB 的长； (2) 当 △ABP 是等腰三角形时，求 t 的值． 【答案】 (1) ；(2) 或 或 【解析】 (1) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，． (2) 题目只说 △ABP 是等腰三角形，没有指明哪两条边相等，所以要分三种情况讨论．记 ：点 P 在边 BC 上时 ，此时 ；点 P 在 BC 的延长线上时 ，此时 ． ① 当 时，，由 得 ，．若 P 在边 BC 上，则 ，点 P 与点 B 重合，△ABP 不存在，舍去；若 P 在 BC 的延长线上，则 ，得 ． ② 当 时，，即 ，此时点 P 在 BC 的延长线上，符合题意． ③ 当 时，．若 P 在边 BC 上，则 ，由 得 ，，符合 ；若 P 在 BC 的延长线上，则 ，由 同样得 ，与 矛盾，不合题意．所以 ． 综上所述， 或 或 ． 【解题提示】「△ABP 是等腰三角形」没有说明哪两条边相等，必须按边的相等关系分三种情况逐一求解；每求出一个 t 还要检查点 P 是否真的落在射线上，不合题意的解必须舍去． 学科网（北京）股份有限公司 $