第一章《勾股定理》单元测试卷2026-2027学年北师大版数学八年级上学期

八年级上册第一章《勾股定理》单元测试卷2026-2027学年上学期北师大版数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．1.5，2，2.5 2． △ABC的三边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a=3， b=4， c=5 B． C．a=5， b=12， c=15 D．∠A =30°， ∠B = 60° 3． 如图，中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成。则图中三个正方形的面积可能取值为（　　） A．4，5，6 B．5，7，12 C．5，9，16 D．6，12，15 4．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　） A．5 B．10 C． D． 5．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．16m B．18m C．22m D．24m 6．如图，线段AB是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段CD）走向感应门，当离门1.2米时（BC=1.2米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于（　　） A．2米 B．1.5米 C．1.3米 D．1.2米 7．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A． B． C． D． 8． 图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状。它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台。上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为。已知配套吸管的长度为，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（　　） A． B． C． D． 9．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．12 C．6 D．24 10．如图，四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形的面积为121，四边形的面积为49，若用、表示直角三角形的两直角边．下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③ 二、填空题（每题3分，共15分） 11．已知在中，，若，，则的面积是　 　． 12．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为　 　米． 13． 如图， 一个无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm， 8cm， 12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的外表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是　 　cm． 14．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是　 　． 15．如图，圆柱底面圆的周长为8cm，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为　 　cm． 三、解答题（共6题，共55分） 16．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?（选自《九章算术》）题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 17．如图，某“双行道桥洞”的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长是，宽是．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该“双行道桥洞”吗？ 18．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上：梯子底端C离墙20米，如图． （1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升4米（云梯长度不变），那么云梯底都在水平方向应滑动多少米？ 19．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 20．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）着火点C 受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 21．【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】勾股数 【解析】【解答】解：A、，且均为正整数，是勾股数． B、，且均为正整数，是勾股数． C、，且均为正整数，是勾股数． D、，但1.5、2、2.5不全是正整数，因此不是勾股数． 故答案为：D． 【分析】勾股数必须为正整数且满足两边的平方和等于最大边的平方。本题根据勾股数的定义逐项进行计算并分析即可得出答案。 2．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A：32+42=52，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意； B：，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意； C：52+122≠152，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意； D：∠A =30°， ∠B = 60°，则∠C=180°-∠A-∠B=90°，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案. 3．【答案】B 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：设直角三角形的两条直角边为、，斜边为，由勾股定理得。 ∵正方形的面积等于边长的平方， ∴直角三角形三边对应的正方形面积分别为、、，即两个较小正方形的面积和等于最大正方形的面积。 ∵，∴A选项不满足； ∵，∴B选项满足； ∵，∴C选项不满足； ∵，∴D选项不满足。 故答案为：B 【分析】本题考查勾股定理在正方形面积中的应用，解题时先结合勾股定理得到直角三角形三边的平方关系，再将正方形的面积与直角三角形的边长平方对应起来，推导出两个较小正方形的面积和等于最大正方形的面积这一结论，最后将各选项中的三个数值按大小分类后验证和的关系，找出符合结论的选项。 4．【答案】D 【知识点】三角形的面积；勾股定理 【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8， 斜边长为： ＝10， 三角形的面积＝ ×6×8＝24， 设斜边上的高为x，则 x•10＝24， 解得x＝4.8. 故答案为：D. 【分析】根据勾股定理算出斜边的长，进而根据三角形的面积计算方法列出方程，求解即可. 5．【答案】A 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】解：由题意可知，大树折断后，折断处到地面的部分（BC）、地面上树根到树顶端的距离（AC）与折断的树干部分（AB）构成直角三角形，其中，，。 根据勾股定理，即。 代入数值计算：， ∴。 树折断前的高度为折断部分（AB）与未折断部分（BC）的长度和，即。 故答案为：A。 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题需先将实际场景转化为几何图形：大树折断后，未折断的树干垂直于地面，形成直角三角形的一条直角边，树顶端到树根的距离是另一条直角边，折断的树干是斜边。先利用勾股定理求出斜边（折断部分）的长度，再将斜边长度与未折断部分的长度相加，即可得到树折断前的总高度。 6．【答案】C 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E ∴AE=2.1-1.6=0.5米，BC=DE=1.2米 在Rt△ADE中，米 故答案为：C 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据边之间的关系可得AE，BC，再根据勾股定理即可求出答案. 7．【答案】B 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：根据题意可得，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15-12=3cm， 则长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15-13=2cm， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm. 故选：B. 【分析】当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，求出最大值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出长方体的对角线的长度，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，求出最小值，即可得出取值范围. 8．【答案】C 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】解：设上碗口的圆心为，杯底圆心为，吸管接触杯底边缘的点为，连接、，则，为直角三角形。 ∵吸管外露长度最小值为5cm，吸管总长27.6cm，∴此时吸管在杯中的长度cm， 又∵吸管口到杯底的距离cm， 由勾股定理得：cm， ∵为杯子下底面的半径，∴杯子下底面的直径为cm 故答案为：C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题时先根据“吸管外露长度最小则吸管在杯中的长度最大”，结合吸管总长求出吸管在杯中的最大长度，再将该长度、吸管口到杯底的距离转化为直角三角形的斜边和一条直角边，利用勾股定理求出杯子下底面的半径，最后乘以2得到底面直径。 9．【答案】A 【知识点】三角形的面积；勾股定理 【解析】【解答】解：设AB=a、BC=b、AC=c，则S1=a2、S2=b2、S3=c2， 在中，a2+b2=c2， ∴S1+S2=S3， ∵， ∴，解得， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：A． 【分析】本题依据正方形面积和勾股定理，首先得出S1+S2=S3，然后结合条件“ ”推出，最后再结合三角形的面积与正方形的面积列式计算求解即可． 10．【答案】C 【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：根据题意得：四边形，四边形均为正方形， ∵四边形的面积为121，四边形的面积为49， ∴正方形的边长为11，正方形的边长为7， ∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①正确； 由图可知，，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 即，即；故④正确； ∴①， 又∵②， 由得，， 即，故③错误． ∴正确结论有①②④． 故选：C 【分析】根据正方形面积可得正方形的边长为11，正方形的边长为7，根据勾股定理可判断①，根据边之间的关系可判断②；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，建立代数式，化简可判断③，④. 11．【答案】 【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的面积为． 故答案为：． 【分析】先根据勾股定理得到，进而根据完全平方公式得到，即，从而根据三角形的面积即可求解。 12．【答案】2.7 【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题 【解析】【解答】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 【分析】利用勾股定理求出，再结合，，可得，再求出AB的长，最后求出小巷的宽度即可. 13．【答案】20 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：蚂蚁从A点爬到B点的最短路径，需将长方体的侧面展开为平面图形，利用勾股定理计算，分两种展开方式： ①将长方体的前侧面与右侧面展开， 此时形成的直角三角形两直角边分别为：高12cm，底面长与宽的和， 根据勾股定理，路径长； ②将长方体的前侧面与上侧面展开， 此时形成的直角三角形两直角边分别为：宽8cm，长与高的和， 根据勾股定理，路径长， ∵， ∴最短行程为20cm， 故答案为：20 【分析】本题考查立体图形表面最短路径问题，核心是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求解。解题时需考虑蚂蚁爬行的不同路径对应的展开方式，长方体从A到B的最短路径主要有两种展开情况：一是展开前侧与右侧，二是展开前侧与上侧；分别计算两种展开方式下直角三角形的斜边长（即路径长），再比较两个斜边长的大小，较小的即为最短行程。 14．【答案】4 【知识点】勾股定理；勾股数 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【分析】本题考查勾股定理在“勾股树”中的应用，利用勾股定理的面积转化关系求解。根据勾股定理，直角三角形两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，即，，且斜边对应的正方形面积之和又等于正方形A的面积，即，因此。所有正方形的面积和为，将和代入，可得，即，由此求解正方形A的面积。 15．【答案】 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图所示， ∵无弹性的丝带从A至C，绕了圈，圆柱底面圆的周长为， ∴展开后，， 由勾股定理得：； 故答案为：． 【分析】根据题意展开圆柱，进而根据勾股定理即可求解。 16．【答案】解； 设水池的深度为x 尺，由于芦苇高出水面1尺，因此芦苇的长度为 (x + 1 ) 尺。 根据题意，得：（x+1）2-x2=（）2， 解得：x=12 x+1=13 答： 水池的深度为12尺， 这根芦苇的长度 为13尺。 【知识点】勾股定理的应用；“引葭赴岸”模型 【解析】【分析】 首先明确题目中的几何关系：水池水面为边长1丈（即10尺）的正方形，芦苇生于水池中央，高出水面1尺，拉向岸边后顶端与岸齐。需将实际情境转化为直角三角形模型，利用勾股定理建立方程求解水深和葭长。水池中央到岸边的距离为正方形边长的一半，即5尺，水深、该距离与葭长构成直角三角形，其中葭长为斜边 。 17．【答案】解：如图，因为“双行道桥洞”，根据题意构造长方形，令， 长方形的长是， ， 在中，，根据勾股定理得： ， ， ， ， 卡车能通过该桥洞． 【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【分析】 构造长方形，令，在中利用勾股定理求得，再用线段得和差运算求得，作出判断，即可解答． 18．【答案】（1）解：如图， 在中，米，米， ∴米， ∴这个梯子的顶端距地面有15米. （2）解：如图， 根据题意得：米，则米， ∴在中，根据勾股定理得：米 ∵米， ∴米. ∴云梯的底部在水平方向应向左滑（）米． 【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题 【解析】【分析】（1）在中，根据勾股定理可求得的值. （2）在中，根据勾股定理得米，进一步可得CD长． （1）解：由题意得：在Rt△ABC中，米，BC=20米， ∴根据勾股定理得：米， 答：这个梯子的顶端距地面有15米； （2）解：由题意得：EA=4米，则BE=19米， ∴在Rt△EBD中，根据勾股定理得： 米 ∵米， ∴米； 答：云梯的底部在水平方向应向左滑（）米． 19．【答案】（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程. （2）解：，，， ∴ 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理逆定理的实际应用 【解析】【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出答案即可； （2）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可. （1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； （2）解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 20．【答案】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以， ∵， ∴着火点C受洒水影响． （2）解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 则， 在中， ， ∵CE=CF，CD⊥AB， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理逆定理的实际应用 【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为D，先用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而利用等面积法建立方程求得CD长度，将CD的长度与260进行比较即可求得结论； （2）以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E，F， 首先利用勾股定理求得ED=100，再根据等腰三角形的三线合一得出EF=2ED=200，根据路程、速度、时间三者关系求出飞行时间，再与灭火时间比较，即可得出结论. （1）着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以， ∵， ∴着火点C受洒水影响． （2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 21．【答案】（1）； 解：（2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为： 【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明 【解析】【解答】解：（1）， 故答案为：； 【分析】（1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出． 学科网（北京）股份有限公司 $