专题02 期中真题压轴百练通关54题18大压轴题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题01 期中真题压轴百练通关（54题18大压轴题型） 易错·固本强基 题型1 分式的求整性问题 题型2 分式的化简求值压轴 题型3 分式最值 题型4 根据分式方程解的情况求值 题型5 分式方程的实际应用 题型6 分式的新定义问题 题型7 平方根、立方根的规律探究 题型8 无理数整数部分、小数部分的有关计算 题型9 复合二次根式的化简 题型10 分母有理化压轴 题型11 二次根式规律计算 题型12 二次根式的新定义运算 题型13 三角形中线问题压轴 题型14 三角形高线压轴 题型15 三角形内角和问题压轴 题型16 全等三角形的判定与性质压轴 题型17 全等三角形的模型问题 题型18 全等三角形的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 分式的求整性问题（共3小题） 1．（24-25九年级·浙江·期中）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 题型2 分式的化简求值压轴（共3小题） 4．（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先分别化简整式部分和分式部分，先计算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法计算分式部分，合并后得到化简结果，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出的值，代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 6．（25-26八年级下·重庆万州·期末）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】； 【详解】解：原式 ， 不等式组的解集为：， ∵为整数， ，或0， ，， ∴，， ， ∴原式． 题型3 分式最值（共3小题） 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)当时，分式取到最小值，最小值为 【分析】（1）将代入即可； （2），根据是的整数约数进行求值； （3），结合进行求值．注意验证取等． 【详解】（1）解：， ， 当且仅当（即）时取等号， 又，故， 因此，当时，式子取到最小值，最小值为； （2）解：； 若分式的值为整数， 则需为整数，即是的整数约数， 的整数约数有， 因此，，， 共个满足条件的整数； （3）解：， ， ， ， 当且仅当（即）时取等号， 又∵，故，即， 此时分式的最小值为； 因此，当时，分式取到最小值，最小值为． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期中）材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的整数或2或16或 (4) 【分析】（1）根据题意，即可获得答案； （2）由分母，可设，进而可得，求解即可获得答案； （3）对于分式，由分母，可设，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可； （4）对于分式，由分母，可设，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴； （3）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴满足条件的整数或2或16或； （4）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， 当时，， ∴， 当取最小值时，取最大值，则取最小值， 此时取最小值， ∴当时，取最小值，此时， 即分式的最小值为． 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元 (4) 【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果； （2）对分式变形为，仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果； （4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解： ； ∵分式的值为整数，为整数， ∴， ∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，， ∴， ， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4， ∴， ∴． 题型4 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 10．（25-26八年级下·四川·期末）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如：，若整数m满足，且，同时使得关于x的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的m的值分别为____． 【答案】，， 【分析】根据新定义运算，列出不等式组，求出的取值，根据分式方程解的情况求得的值即可． 【详解】解：整数m满足，且， ， 解得：， ，，，，，，，共个值， 分式方程， 整理得：， 当时，， 当时，方程无唯一确定的解，不符合题意，舍去， ∵分式方程的解为非负整数， ∴且， ，，． 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 【答案】，且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到用含的式子表示的，再根据解为正数、分母不为两个条件列不等式求解． 【详解】解： ， 方程的解为正数 ，即， 解得， 分式方程分母不为， ， 即， 解得， 的取值范围是，且． 12．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为___________． 【答案】35 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集得到a的取值范围，再解分式方程，根据解为非负整数且分式有意义，找出所有满足条件的整数a，计算它们的乘积即可． 【详解】解：解不等式， 两边同乘5得：， 移项整理得：， 已知不等式组的解集为， 根据同大取大可得 ， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 解得， ∵分式方程的解为非负整数，且分式有意义， ∴，， 即，， 解得，， 又∵是整数，，且是整数， ∴满足条件的整数为，，， 则所有满足条件的的值之积为． 题型5 分式方程的实际应用（共3小题） 13．（25-26七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑奖方案？ 某文具店销售某种圆规与直尺，如图所示，已知圆规的单价是直尺的倍．    素材 素材 用元购买直尺的数量比用元购买圆规的数量多件． 素材 某学校花费元购买该文具店的圆规和直尺作为奖品颁发给优秀学生，购买圆规的数量是直尺的倍． 素材 某学校花费元后，文具店赠送张（）兑换券（如图）用于商品兑换，兑换后圆规与直尺的数量相同．    问题解决 (1)请运用适当的方法，求出圆规和直尺的单价 (2)求该校花元购买的圆规和直尺数量 (3)运用数学知识，确定兑换方式 【答案】(1)直尺单价为元，则圆规单价为元． (2)购买直尺把，则购买圆规个． (3)用张兑换券兑换圆规，用张兑换券兑换直尺；或用张兑换券兑换圆规，用张兑换券兑换直尺． 【分析】（1）设直尺单价为未知数，圆规单价用含该未知数的代数式表示，结合素材1的数量关系列分式方程，解方程并检验得到两种文具单价． （2）设购买直尺数量为未知数，圆规数量用含该未知数的代数式表示，根据总花费200元列一元一次方程，求解得到两类文具购买数量． （3）设兑换圆规的兑换券张数，剩余券兑换直尺，结合兑换后圆规、直尺总数相等列二元一次不定方程，根据且为整数的条件确定符合题意的兑换方案． 【详解】（1）解：设直尺单价为元，则圆规单价为元． ， 解得， 检验：时，， 故是原分式方程的解． ∴（元）， 答：直尺单价为元，则圆规单价为元． （2）解：设购买直尺把，则购买圆规个． ， 解得， ∴（个）， 答：购买直尺把，则购买圆规个． （3）解：设用张兑换券兑换圆规，则用张兑换券兑换直尺． 原有圆规个，原有直尺把． 兑换规则：1张券换5个圆规或10把直尺． ， 解得， ，均为正整数，， 依次代入整数，，，，，： ，， ，（舍去）， ，（舍去）， ， ，（舍去）， ，（舍去）， 当时，，； 当时，， 答：用张兑换券兑换圆规，用张兑换券兑换直尺；或用张兑换券兑换圆规，用张兑换券兑换直尺． 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 【答案】(1)， (2)“谷时”的电价c为元/度； (3)种 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列出分式方程，据此求解即可； （3）根据题意列出二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴，； （2）解：商场平时每度总费用：， 商场谷时每度总费用：， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“谷时”的电价c为元/度； （3）解：小区平时电费单价元/度，小区平时总支付：， 商场平时电价，服务费， 商场平时每度总费用元/度，商场平时总支付：， 总费用方程：， 整理得， ∵m、n均为正整数，， ∴， ∴，； ，； ，； ，； ∴满足条件的m，n有种情况． 15．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 题型6 分式的新定义问题（共3小题） 16．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 【答案】(1)解：A与B是和定分式，且，理由如下： ∵，， ∴， ∴A与B是和定分式，且； (2) (3)2， 【分析】（1）求出的结果即可得到结论； （2）设（k为常数），则可推出，根据分式D为真分式，得到M的次数小于等于1，据此求出k的值即可得到答案； （3）设（k为常数），则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，且C与D互为“和定分式”， ∴可设（k为常数） ∴， ∴ ∴， ∵分式D为真分式， ∴M的次数小于等于1， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，（a，b为常数），E与F互为“和定分式”， ∴可设（k为常数）， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·浙江·期中）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称和互为“和分式”，例如：，我们称和互为“2和分式” (1)分式和分式互为“ 和分式”． (2)已知分式（A是关于的整式），，且和互为“1和分式”，求整式． (3)已知分式，，其中，，都是整数，且． ①若，和互为“6和分式”，求，的值． ②若和互为“4和分式”，直接写出的所有可能值． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②或或． 【分析】（1）利用同分母分式加法计算出的结果，结合“和分式”的定义即可解答； （2）由题意可得，利用异分母分式加法计算化简即可求解； （3）①由题意可得，且，利用同分母分式加法计算化简，得到，解方程组即可求解；②同理①列式计算化简即可求解． 【详解】（1）解：， 则分式和分式互为“和分式”； （2）解：由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①当时，得， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ②由题意得， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵，，都是整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∵， ∴或或，即的所有可能值为或或． 18．（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 【答案】(1)与互为“和常分式”，“和常值” (2)①；②或 (3) 【分析】（1）计算，观察结果是否为整数即可； （2）①根据，计算出的表达式即可；②对分式D进行化简得，故是的因数，由此得出的可能值； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解： 与互为“和常分式”． ∵，， ∴， “和常值”． （2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”， ∴． 两边同乘，得， ∴ ． ②． ∵分式的值为正整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或． （3）解：∵与互为“和常分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 题型7 平方根、立方根的规律探究（共3小题） 19．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】1014 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． 根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ． 原式． 故答案为：1014． 21．（25-26七年级下·广东江门·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两；；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 题型8 无理数整数部分、小数部分的有关计算（共3小题） 22．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 1 /0.75 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 23．（25-26七年级下·福建福州·期中）【阅读材料】已知完全立方公式：，估算的立方根时，设（为整数部分，为小数部分），因相对较小，忽略、，得近似公式：，即，注意：被开方数越接近某个整数的立方，一次近似就越准确；反之则初始误差较大． 可通过多次使用近似公式进行迭代，得到更精确的结果，示例如下：通过两次使用近似公式，求得的近似值（精确值：） 第1次迭代 ①定整数部分：，，，取； ②算小数部分：（除不尽保留两位小数）； ③得近似值：； 第2次迭代 ①把第1次结果2.42当作新； ②算； ③算（除不尽保留两位小数）； ④得近似值：； 【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题 (1)填空：的整数部分是______； (2)利用上述近似公式求的近似值，要求精确到百分位； (3)已知完全平方公式，类比上述求解立方根近似值的思路，运用化归思想与完全平方公式，求的近似值，要求精确到百分位（没有体现本题思想的不得分）． 【答案】(1)2 (2)的近似值为 (3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的整数部分是2； （2）解：第1次迭代 ①定整数部分：； ②算小数部分：； ③得近似值：； 第2次迭代 ①把第1次结果当作新； ②算； ③算； ④得近似值：； ∴的近似值为，（精确到百分位）； （3）解：类比立方根的近似思路，用完全平方公式， 设（为整数部分，为小数部分），因相对较小，忽略，得近似公式：， 第1次迭代 ①定整数部分：，，，即，取； ②算小数部分：； ③得近似值：； 第2次迭代 ①把第1次结果当作新； ②算； ③算； ④得近似值：； ∴（精确到百分位）． 24．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 题型9 复合二次根式的化简（共3小题） 25．（25-26八年级下·北京·期中）在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将写成的形式，即可得出，的值； （2）将转化为的形式，即可化简； （3）将转化为的形式，转化为，化简，并解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ，． （2）解：． （3）解：， ， ． ∴原方程转化为，解得． 26．（24-25八年级下·全国·期中）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 27．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 题型10 分母有理化压轴（共3小题） 28．（25-26八年级下·全国·期中）阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分； （2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小． 【详解】（1）解：方法一：分母有理化 ． 方法二：平方差变形 ． （2）解：，． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化和实数的大小比较，解题关键是掌握分母有理化的两种常用方法（平方差公式变形、分子分母同乘有理化因式），以及利用倒数法比较两个根式差的大小． 29．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2022 (3)3 【分析】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得. 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【详解】（1）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 题型11 二次根式规律计算（共3小题） 31．（24-25九年级上·福建莆田·期中）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 32．（25-26八年级上·四川达州·期中）已知 其中n为正整数．设，则S2025的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数数字类的规律探索．探索规律，准确计算是解题关键． 根据数字间的规律探索列式计算． 【详解】解：∵， ， ， …， ， ∴ ． ∴当时， ． 故选：A． 33．（25-26八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 题型12 二次根式的新定义运算（共3小题） 34．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 35．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 36．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)6 (2)或或（答案不唯一，符合题意即可） (3) (4)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且x为整数， ∴或或（答案不唯一，符合题意即可）． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （4）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 题型13 三角形中线问题压轴（共3小题） 37．（2022八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 【答案】4，6，8，10 【分析】依据的周长为22，的周长比的周长长2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到的长． 【详解】解：∵M为边的中点， ∴， ∵的周长为22， ∴，即, ∵的周长比的周长长2， ∴，即， ∵， ∴，解得：， 又∵△ABC的三边长均为整数，，即：， ∴边长为偶数， ∴． 38．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，恰当作辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 延长，使得，连接，先证，得到，，进而可得，则，再由即可求解． 【详解】延长，使得，连接， 是的边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 39．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，的周长是20，是中线． (1)如图1，若的周长比的周长大2，求的长； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，若的周长是16，长为偶数，求的周长． 【答案】(1)8 (2) (3)18 【分析】（1）由题意得出，，则可得出答案； （2）证明为等边三角形，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案； （3）设，则，由三角形三边关系求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长比的周长大2， ， ， 的周长是20，， ， ， ． （2）解：，， ， 为等边三角形， ， 是的中线， ， ， 的周长是20， ， ， ； （3）解：设，则， ， 的周长是16， ， ， ， 长为偶数， ， ，， 的周长是20， ， 的周长． 【点睛】此题考查了三角形的中线与周长，三角形三边关系，勾股定理，等边三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 题型14 三角形高线压轴（共3小题） 40．（2022七年级下·安徽合肥·竞赛）如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 【答案】B 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 41．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【分析】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 42．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据的值不确定，即可判断②错误；根据同角的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴，故①正确，符合题意； ∵P为上一动点， ∴的值不确定， ∴不一定与相等，故②错误，不符合题意； 当时，， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由垂线段最短得，当时，的值最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 题型15 三角形内角和问题压轴（共3小题） 43．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【答案】/度 【分析】两直线平行，同位角相等，得出的度数，利用平角得出的度数，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：线段和线段交于点D， ∵ 线段平移后得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得． 44．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知，点为上方一点. (1)如图1所示，为上一动点，交于点，求证：； (2)如图2，的延长线交直线于点，和的平分线相交于点，若，请用含的式子表示并证明你的结论； (3)如图3，平分，若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，直接写出对应的与的数量关系. 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)，证明如下： 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，几何图形即可证明； （2）过点F作，得出，利用平行线的性质确定，，得出，设，推出，即可求解； （3）分两种情况分析：当点H在点D左侧时，当点H在点D右侧时，结合角平分线及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当点H在点D左侧时，如图所示： 设， ∵平分，平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 整理得：； 当点H在点D右侧时，如图所示： 设， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上得：或 45．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、平角与周角的定义、折叠的性质，熟练掌握分类讨论的思想和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．本题需分两种情况讨论求解，当时，利用平行线的性质和折叠的性质，求出的度数．当时，利用平行线的性质、平角的定义及折叠的性质，求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ， 情况1：当时， ， ， 由折叠性质可知，， ， 在中， ， ， 情况2：当时， ， ， ， 由折叠性质可知， ， 故答案为：或． 题型16 全等三角形的判定与性质压轴（共3小题） 46．（26-27八年级上·福建厦门·期中）在中，,，D点为射线上一动点，连接，过点B作且（点E在直线BC下方）． (1)当点D在线段上时，如图1，过E点作交于点G，求证：； (2)如图2，当点D在的延长线上时，连接，与的延长线交于点M，求与的大小关系． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）运用即可证明结论； （2）如图：过E作交延长线于H，再运用证明可得，进而得到，再证明可得，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图：过E作交延长线于H， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的和差、同角的余角相等等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． 47．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点在高上，是外一点，，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 48．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图2所示，过点A作于点G，交的延长线于点H， ∴； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)12 【分析】（1）证明，再证明，即可证明； （2）过点A作于点G，交的延长线于点H，证明，得到；证明，得到；证明，得到，则可证明，进而可证明； （3）延长到点Q，使得，连接，证明，得到，，则；证明，得到，，，可证明；设，则，；根据建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，延长到点Q，使得，连接， ∵点N为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵ ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 题型17 全等三角形的模型问题（共3小题） 49．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则___________；___________ 【答案】 【分析】过点作于点，根据“”说明，，从而，，，再根据三角形的面积公式，计算即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； ， ． 50．（2026八年级上·全国·专题练习）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3)解：结论：． 证明：如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，求出，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）在上截取，使，连接，证明，可得，再证明，然后由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 51．（25-26八年级上·重庆丰都·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． (1)已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； (2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3)证明：如图所示，过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴； ∵在中，是边上的高， ∴，即， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中点． 【分析】（1）由垂线的定义得到，证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （3）过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，同理证明，，推出，再证明，得到，即可证明是的中点． 【详解】（1）解：∵直线，直线，垂足分别为点、， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 题型18 全等三角形的新定义问题（共3小题） 52．（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）略 53．（25-26八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则． 【综合应用】（3）如图3，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）①；②2； （3）是积等三角形， 证明：如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 与为积等三角形． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：2； （2）①解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ②为正整数， ； 故答案为：2； （3） 略 54．（25-26八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个三角形中，有两边分别相等且其中一组等边的对角相等，但不是全等三角形，我们称这两个三角形是“关联三角形”，这组相等角的两条对边称为“关联边”． (1)如图1，在中，，是边上任意一点（非的中点），则与BCD___________“关联三角形”（填“是”或“不是”），若是“关联三角形”，则___________是“关联边”（若不是“关联三角形”，此空无需填写）； (2)如图2，与是“关联三角形”，其中与是“关联边”，．与有怎样的数量关系，证明你的结论； (3)已知是的边或边延长线上一点（不与点、重合），连接，与是“关联三角形”，且与是“关联边”．若，直接写出的范围（不要证明）． 【答案】(1)是， (2) 解：，理由如下： ∵与是“关联三角形”，其中与是“关联边”， ∴，， 如图：在线段上取点，使得，连接 由题意可知，在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (3)且 【分析】（1）充分理解“关联三角形”的定义，结合等边对等角，得，又因为，且结合“关联三角形”的定义，故与是“关联三角形”，即可作答． （2）先由“关联三角形”的定义，得，，再证明，得，，然后根据邻补角互补以及等边对等角，得，即可作答． （3）充分理解“关联三角形”的定义，再分类讨论，且逐个情况作图，运用三角形外角性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴ ∵，且结合“关联三角形”的定义， ∴与是“关联三角形”， ∴在中，的对边是，在中，的对边是， ∵这组相等角的两条对边称为“关联边” ∴则是“关联边”， （2）略 （3）解：依题意， 当是的边上一点（不与点、重合），连接，如图所示： ∵与是“关联三角形”，且与是“关联边”． ∴， ∴， ∵，且）（不与点重合） ∴，， ∵，， ∴， 则 ∵， ∴ ∴， 当是的边延长线上一点（不与点、重合），连接，如图所示： 此时是钝角三角形，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∵与是“关联三角形”，且与是“关联边”． ∴， 此时与重合，与题干相矛盾，故舍去， 综上：且． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和性质，等边对等角，邻补角互补性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． $ 专题01 期中真题压轴百练通关（54题18大压轴题型） 易错·固本强基 题型1 分式的求整性问题 题型2 分式的化简求值压轴 题型3 分式最值 题型4 根据分式方程解的情况求值 题型5 分式方程的实际应用 题型6 分式的新定义问题 题型7 平方根、立方根的规律探究 题型8 无理数整数部分、小数部分的有关计算 题型9 复合二次根式的化简 题型10 分母有理化压轴 题型11 二次根式规律计算 题型12 二次根式的新定义运算 题型13 三角形中线问题压轴 题型14 三角形高线压轴 题型15 三角形内角和问题压轴 题型16 全等三角形的判定与性质压轴 题型17 全等三角形的模型问题 题型18 全等三角形的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 分式的求整性问题（共3小题） 1．（24-25九年级·浙江·期中）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 题型2 分式的化简求值压轴（共3小题） 4．（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（25-26八年级下·重庆万州·期末）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 题型3 分式最值（共3小题） 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 8．（25-26八年级下·广东深圳·期中）材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 题型4 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 10．（25-26八年级下·四川·期末）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如：，若整数m满足，且，同时使得关于x的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的m的值分别为____． 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 12．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为___________． 题型5 分式方程的实际应用（共3小题） 13．（25-26七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑奖方案？ 某文具店销售某种圆规与直尺，如图所示，已知圆规的单价是直尺的倍．    素材 素材 用元购买直尺的数量比用元购买圆规的数量多件． 素材 某学校花费元购买该文具店的圆规和直尺作为奖品颁发给优秀学生，购买圆规的数量是直尺的倍． 素材 某学校花费元后，文具店赠送张（）兑换券（如图）用于商品兑换，兑换后圆规与直尺的数量相同．    问题解决 (1)请运用适当的方法，求出圆规和直尺的单价 (2)求该校花元购买的圆规和直尺数量 (3)运用数学知识，确定兑换方式 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 15．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 题型6 分式的新定义问题（共3小题） 16．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 17．（25-26七年级下·浙江·期中）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称和互为“和分式”，例如：，我们称和互为“2和分式” (1)分式和分式互为“ 和分式”． (2)已知分式（A是关于的整式），，且和互为“1和分式”，求整式． (3)已知分式，，其中，，都是整数，且． ①若，和互为“6和分式”，求，的值． ②若和互为“4和分式”，直接写出的所有可能值． 18．（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 题型7 平方根、立方根的规律探究（共3小题） 19．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 21．（25-26七年级下·广东江门·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 题型8 无理数整数部分、小数部分的有关计算（共3小题） 22．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 23．（25-26七年级下·福建福州·期中）【阅读材料】已知完全立方公式：，估算的立方根时，设（为整数部分，为小数部分），因相对较小，忽略、，得近似公式：，即，注意：被开方数越接近某个整数的立方，一次近似就越准确；反之则初始误差较大． 可通过多次使用近似公式进行迭代，得到更精确的结果，示例如下：通过两次使用近似公式，求得的近似值（精确值：） 第1次迭代 ①定整数部分：，，，取； ②算小数部分：（除不尽保留两位小数）； ③得近似值：； 第2次迭代 ①把第1次结果2.42当作新； ②算； ③算（除不尽保留两位小数）； ④得近似值：； 【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题 (1)填空：的整数部分是______； (2)利用上述近似公式求的近似值，要求精确到百分位； (3)已知完全平方公式，类比上述求解立方根近似值的思路，运用化归思想与完全平方公式，求的近似值，要求精确到百分位（没有体现本题思想的不得分）． 24．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 题型9 复合二次根式的化简（共3小题） 25．（25-26八年级下·北京·期中）在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 26．（24-25八年级下·全国·期中）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 27．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 题型10 分母有理化压轴（共3小题） 28．（25-26八年级下·全国·期中）阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 29．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 30．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 题型11 二次根式规律计算（共3小题） 31．（24-25九年级上·福建莆田·期中）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·四川达州·期中）已知 其中n为正整数．设，则S2025的值是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 题型12 二次根式的新定义运算（共3小题） 34．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 35．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 36．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 题型13 三角形中线问题压轴（共3小题） 37．（2022八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 38．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 39．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，的周长是20，是中线． (1)如图1，若的周长比的周长大2，求的长； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，若的周长是16，长为偶数，求的周长． 题型14 三角形高线压轴（共3小题） 40．（2022七年级下·安徽合肥·竞赛）如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 41．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 42．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 题型15 三角形内角和问题压轴（共3小题） 43．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 44．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知，点为上方一点. (1)如图1所示，为上一动点，交于点，求证：； (2)如图2，的延长线交直线于点，和的平分线相交于点，若，请用含的式子表示并证明你的结论； (3)如图3，平分，若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，直接写出对应的与的数量关系. 45．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 题型16 全等三角形的判定与性质压轴（共3小题） 46．（26-27八年级上·福建厦门·期中）在中，,，D点为射线上一动点，连接，过点B作且（点E在直线BC下方）． (1)当点D在线段上时，如图1，过E点作交于点G，求证：； (2)如图2，当点D在的延长线上时，连接，与的延长线交于点M，求与的大小关系． 47．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点在高上，是外一点，，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 48．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 题型17 全等三角形的模型问题（共3小题） 49．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则___________；___________ 50．（2026八年级上·全国·专题练习）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 51．（25-26八年级上·重庆丰都·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． (1)已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； (2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 题型18 全等三角形的新定义问题（共3小题） 52．（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 53．（25-26八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则． 【综合应用】（3）如图3，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 54．（25-26八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个三角形中，有两边分别相等且其中一组等边的对角相等，但不是全等三角形，我们称这两个三角形是“关联三角形”，这组相等角的两条对边称为“关联边”． (1)如图1，在中，，是边上任意一点（非的中点），则与BCD___________“关联三角形”（填“是”或“不是”），若是“关联三角形”，则___________是“关联边”（若不是“关联三角形”，此空无需填写）； (2)如图2，与是“关联三角形”，其中与是“关联边”，．与有怎样的数量关系，证明你的结论； (3)已知是的边或边延长线上一点（不与点、重合），连接，与是“关联三角形”，且与是“关联边”．若，直接写出的范围（不要证明）． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $