第4讲数列求和基础讲义-2027届高三数学一轮复习

数列求和 裂项相消、分组并项与错位相减 裂项相消 求一个数列的前 项和，最省力的情形是通项能拆成某个式子的相邻两项之差。那样一来，累加时前一项的后半与后一项的前半正好抵消，中间成片消失，只剩头尾两个尾巴。这就是裂项相消。用它的前提是通项本身是个差，所以拿到求和题的第一步永远是看通项长什么形状：是分式、是根式、还是几块拼起来的 —— 形状不同，后面走的路完全不同，先看一眼能省下大量白算。 最常见的形状是分母为相邻两项之积的分式。把 写成 ，分母相差 时把系数补成 。补系数这一步最容易漏：拆开之后要验一眼，把两个分式通分回去，看分子是不是原来的分子。 裂完之后剩下的尾巴要数清。 从 加到 ，中间全消，留下的是第一项的正部和最后一项的负部，共两项；若分母相差 （如 ），相邻两项的下标跳了一格，消不掉的是隔一项的两组，剩下四项。所以拆完之后先别急着算，先把「还剩哪几项」写出来。 很多求和题不会直接把通项递到手上，而是先给一个递推关系或者一个和式，要自己先把通项求出来。这时候顺序不能颠倒：通项没定下来之前，任何求和都是空谈。通项求出来之后，再回头看它是不是分式、能不能裂项。还有一层要提醒自己：求和的结果往往能用一个简洁的式子写出来，算完之后用前面一两项去验一下，对得上再往下走，比事后重新检查整段过程省事得多。 例1（单选·★★★☆☆） 设等差数列的前项和为，若，，则数列的前11项和为（ ） A. B. C. D. 【切入点】要和的通项是 ，分母里是相邻两个前 项和 —— 先把 算出来，再看这个分式能不能拆成两个倒数之差。 【关键】由 、 得公差 ，，所以 。于是 。而 ，正是待求式的 倍，所以 。 【关键】累加得前 项和为 。，，所以原式等于 。故选 D。 【易错】系数 最容易丢。拆完一定要通分验一次：两个倒数相减后的分子是 ，而待求式的分子是 ，恰好是这个的 ，再乘上前面的 才是 。另外末项取 而不是 ，因为第 项的分母里带着 。 【答案】D 变式1-1（填空·★★★☆☆） 数列中，，，记数列的前n项和为，则 = ______． 【切入点】递推式是 ，左右各有一个系数。把它整理成「后一项比前一项等于一个只含 的式子」，就能用累乘求通项。 【关键】由 得 。于是 （ 时该式也等于 ，与 相符）。 【关键】，取 得 。 【易错】累乘时首尾各留两项不被约掉：分子留下 与 …其实分子是 、分母是 ，约掉之后分子还剩 ，分母还剩 。只留一项会得到 ，整体少一半。 【答案】 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知数列满足，，则的前6项和为（ ） A. B. C. D. 【切入点】递推给的是相邻两项的比值，而且比值里同时含 与 。这类递推用累乘最直接 —— 把 的比值乘起来，中间会成片约掉。 【关键】由 得 。于是前 项和为 。故选 C。 【易错】只求前 项和，不必把 的闭式背下来，但通项还是要先求对：把 代回通式验一眼。另外分子分母约分的方向要想清楚 —— 分子是 、分母是 ，不是「分母从 开始」，所以留下的不是 。 【答案】C 例2（多选·★★★☆☆） 设是数列的前n项和，且，，则（ ） A. B. 数列是公差为的等差数列 C. 数列的前5项和最大 D. 【切入点】条件是 ，右端是两个前 项和相乘。把 换成 代进去，两边同时除以 ，就能把乘积拆成两项之差。 【关键】由 得 ，两边同除以 得 ，即 ，所以 是公差为 的等差数列，B 项错误。 【关键】取 ：，代入 得 ，解得 或 ；由 取 ，A 项正确。又 ，所以 。该式在 时为正、 时为负，于是 的前 项和最大，C 项正确。 【关键】由 得 ，所以 （）。把 代进去得 ，与 不符，故该式只对 成立，D 项错误。故选 AC。 【易错】B 项的公差符号最容易反：除以 之后，左边的顺序是 ，移项后 在减号那一侧，公差是负的。D 项一定要回代 检验 —— 由 作差得到的通项天然管不到首项，本题就恰好对不上。 【答案】AC 变式2-1（填空·★★★☆☆） 记表示不超过的最大整数。若正项数列满足，则数列的前101项和为___________． 【切入点】先由方程解出 ，再看 是怎么定义的：它是一个取整值，而括号里是 的累加。先算 ，再把累加估出一个夹逼范围。 【关键】由 解得 （数列各项为正，舍去负根）。于是 。 【关键】对 有不等式 ，即 ，所以 （）；而 时该和为 ，。于是 的前 项和为 。 【易错】夹逼的两端都别丢：只有确定该和落在 之内，取整值才唯一。另外 是例外（该和恰好等于 ，取整后是 而不是 ），必须单独算，直接套 会让总和少 。 【答案】10101 例3（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 【切入点】题干给的是一个和式等于 ，求和号左边每项都带着 这个因子。把 换成 再写一遍，两式相减就能把求和号消掉。 【关键】记 。当 时，，两式相减得 ，所以 。取 得 ，与 一致，A 项正确。B 项： 是公差为 的等差数列，相邻两项之比不是常数，不是等比数列，B 项错误。 【关键】，，。C 项：若三者成等差，应有 ，左端为 、右端为 ，只当 时才相等，与 为正整数矛盾，C 项错误。 【关键】D 项：，所以前 项和为 ，D 项正确。故选 AD。 【易错】相减时左端的系数要看清： 的第 项带着 ， 的最后一项带着 ，直接把两式相减会剩下 而不是 。C 项不要靠「看着像」下结论，把两端的 与 的系数分别写出来一比就清楚了。 【答案】AD 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知各项均为正整数的递增数列，满足，，则 = ________ 【切入点】题干给的是一个关于数列自身的方程 。这类式子不能直接解，先从前几项试出 的形状。 【关键】数列递增、各项为正整数，所以「值等于 的项」的下标是唯一的。取 ：，说明数列里有一项等于 ；若 ，则 ，与 矛盾，所以 。 【关键】从 试起：，于是 ；再由 得 ；由 得 。中间空出的 、 要满足 ，且都是正整数，只能取 、。 【关键】前六项为 ，所以 。（回代检验： 要求 ，而 在 之后递增、由该式定为 ，并不冲突。） 【易错】这类「」的题只能逐项试值，不能假设 是等差或等比。试的时候要两条都用上：既满足整条定义式，又要保持递增；只满足其中一条会试出很多组，而两组条件合起来就唯一了。空出来的下标不要随手填，用「夹在两个已知项之间」把范围卡死。 【答案】35 分组、并项与错位相减 通项能整体裂项的情形并不多，更多的时候要把它拆成几块分别求和。最常见的一刀是「等差加等比」：通项写成两个简单数列之和，就分别用求和公式算完再相加；写成两个简单数列之积，就不能这样拆了。动手之前先看通项是「和」还是「积」，这一步决定了后面走哪条路。还有一个顺序上的习惯值得养成：越是计算量大的办法越往后放，能用简单的分类、配对解决的，就不要上重工具。 第二刀是按奇偶分。通项里含 ，或者题干明说「奇数项」「偶数项」时，就把奇数项、偶数项各写成一个数列，它们往往是等差或者等比。另一个办法是并项：把相邻两项配成一组，组内先合并，再按组求和 —— 当相邻两项的和或差比较整齐时，这一路比按奇偶分更快。 第三刀是按符号分。通项里带绝对值时，要先找出变号的临界位置，把和拆成「前一段取相反数、后一段照算」两截。取整函数 的题同理，先把 的范围夹住，再定它取了哪个整数。 最后是错位相减。通项写成「一个关于 的式子」乘上「某个常数的 次幂」时，把 写一遍、再乘公比写一遍 ，两式相减，中间那一段会变成一个等比数列的和。它的计算量最大，所以要放在最后考虑 —— 前面三条路走得通就没必要用它。选哪一条路不看题目长短，只看通项里出现了什么：出现两个简单数列的和就想分组，出现 就想并项，出现绝对值或取整就想分段，出现「一次式乘 次幂」才轮到错位相减。 例4（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 【切入点】条件是相邻两项之和等于 ，正好是一个关于 的式子。把 换成 再写一遍，两式相减就能把隔项的差算出来；求偶数项和时，把两项配成一组。 【关键】由 与 相减得 ，A 项正确。B 项：由通项 在奇偶两支上各自等差可写成 ，当 时该数列各项全为 ，零数列没有公比可言，不是等比数列，B 项错误。 【关键】C 项：，C 项正确。D 项：由 取 、 得 ，结合 得奇数项 、偶数项 。当 为奇数时 。由 得 ，，即 （ 为奇数），D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项要按「无条件成立」来判： 时该数列每项都是 ，零数列没有意义谈公比，所以这句话不成立。D 项求出 的两支之后别忘了 是奇数，只写 会解出一个偶数上限。 【答案】ACD 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，则 = __________ 【切入点】要求的是一个带绝对值的差的和，每一项都是「相邻两个函数值之差的绝对值」。先把差写成一个只含角度的式子，再看这一串绝对值能不能整体估出来。 【关键】，。用和差化积：。取绝对值后求和：原式 即原式等于 。 【关键】（）恰好取遍 内形如 且 为奇数的 个角。由 的对称性，这 个正弦绝对值之和等于 的两倍，而 。所以原式等于 。 【易错】和差化积时忘了那个负号不影响结果（外面有绝对值），但 这个因子不能丢。数正弦绝对值的个数时要看清是 个奇数倍角，它们正好落在 内、两两关于 对称。 【答案】4 变式4-2（填空·★★★☆☆） 将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 = _____________，的前202项和为_____________． 【切入点】两个等差数列的项合在一起、去掉公共项，剩下的从小到大排成新数列。先把公共项的样子找出来，剩下的项就能分成「夹在两段公共项之间」的几组。 【关键】 的项是 ， 的项是 。公共项满足 ，即 为偶数，所以公共项是 ，形如 。把两列合并排序并去掉公共项，前几项是 ，故 。 【关键】两个公共项之间有 个剩余项。前 项落在 个完整的「区间」里（每个区间 项），这些区间里的项正好是每段公共项之间的那 个数。逐段求和后累加得前 项和为 。 【易错】「去掉公共项」不是把两个数列简单相加，公共项本身也要从合并结果里剔掉。数项数时先确定 项落在第几个区间、区间内是第几项，再分段求和；直接按等差求和会多算公共项。 【答案】①. 14 ②. 49609 例5（单选·★★★☆☆） 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 【切入点】要求的是 的前 项和，比一般求和多了一层绝对值。先把等差数列定下来，看清前六项的符号，再决定要不要翻号。 【关键】设公差为 ，首项为 。 成等比给出 ，展开整理得 ，由 取 ，所以 。 【关键】前六项依次为 ，取绝对值后为 ，它们的和是 。故选 C。 【易错】带绝对值的求和不能先求和再取绝对值，也不能把整个数列当成正项数列。本题首项 是正的，从第二项起才变负，所以 不翻号、 到 全翻号。把首项的符号漏掉会得到 ，正好是干扰项 D。 【答案】C 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【切入点】条件只说「相邻两项的差是 或 」，没有给出具体的数列 —— 要判断的是一个对所有这种数列都成立的不等式。那就去找最不利的那条数列。 【关键】把相邻两项的差依次记作 ，每个取 或 。于是 ，而 里第 个差被加了 次，即 。 移项后就是 。 【关键】要判断它对所有取法都成立，就找最不利的那条数列：把 写成 的组合，系数为正的差取 、系数为负的差取 ，这样左端减右端最大。取 ： 到 的系数依次是 ，最大时取 、其余为 ，得 ，恒成立。 【关键】取 ：系数依次是 ，最大时取 、其余为 ，得 ，说明有不满足的数列。这条数列就是 ，此时 、，。所以 的最大值为 。故选 B。 【易错】别把「 取最大」与「后 项取最小」当成两件可以分别做的事 —— 它们落在同一条数列上，前半段走大步会让后面也变大。正确的做法是像上面那样把差化简成 的组合，看每个 的系数，再一次性取最不利的取值。另外 时系数里有一个 （ 的系数），它取 还是 都不影响结果，别以为漏算了。 【答案】B 例6（单选·★★★☆☆） 若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 65 【切入点】要求的是 前 项和的最小值，其中 是等差、 是等比。只取前 项，不必动用错位相减的通法 —— 把五项写出来，变成一个关于公比的函数再求最小值。 【关键】。设正项等比数列公比为 ，由 得 。于是前 项和为 。 【关键】记右端为 ，取 得 。事实上 ，在 处为 ，且 时导数为负、 时导数为正，所以最小值就是 。故选 A。 【易错】等比数列的下标与指数要对齐： 给出的是 ，写成 会整体差一个 。本题只求前 项，用错位相减反而不划算 —— 五项直接展开求最小值更快，这是「题量小就别套通法」的一个例子。 【答案】A 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，则数列的前100项和为__________ 【切入点】递推式是 ，一次线性型。先构造出一个等比数列求出通项，再把通项拆成「等比部分 + 常数部分」分别求和。 【关键】两边同时加 ：，而 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列，，即 。 【关键】要求的是前 项和，。 【易错】构造等比时两边加的那个数不是随手取的：递推式形如 ，配的常数由 定，凑成 。求和时别把常数项 漏掉， 项的常数部分加起来是 。 【答案】 变式6-2（解答·★★★☆☆） 设公比为q的等比数列的前n项和为，且。（1）求q和;（2）求。 【切入点】条件 把前 项和与下一项连在一起。把 写成 代进去，就得到一个只含 的递推。 【关键】由 代入得 ，即 。取 ：，而 ，所以 ；又取 得 ，即 。两式联立解得 ，。 【关键】。 【易错】 是线性递推，但本题可以用等比数列的求和公式直接算，不必再构造一次。求 与 时至少要代两个 才能定出两个未知量，只代 会得到一个含两个未知量的方程。 【答案】，； 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列求和 裂项相消、分组并项与错位相减 裂项相消 求一个数列的前 项和，最省力的情形是通项能拆成某个式子的相邻两项之差。那样一来，累加时前一项的后半与后一项的前半正好抵消，中间成片消失，只剩头尾两个尾巴。这就是裂项相消。用它的前提是通项本身是个差，所以拿到求和题的第一步永远是看通项长什么形状：是分式、是根式、还是几块拼起来的 —— 形状不同，后面走的路完全不同，先看一眼能省下大量白算。 最常见的形状是分母为相邻两项之积的分式。把 写成 ，分母相差 时把系数补成 。补系数这一步最容易漏：拆开之后要验一眼，把两个分式通分回去，看分子是不是原来的分子。 裂完之后剩下的尾巴要数清。 从 加到 ，中间全消，留下的是第一项的正部和最后一项的负部，共两项；若分母相差 （如 ），相邻两项的下标跳了一格，消不掉的是隔一项的两组，剩下四项。所以拆完之后先别急着算，先把「还剩哪几项」写出来。 很多求和题不会直接把通项递到手上，而是先给一个递推关系或者一个和式，要自己先把通项求出来。这时候顺序不能颠倒：通项没定下来之前，任何求和都是空谈。通项求出来之后，再回头看它是不是分式、能不能裂项。还有一层要提醒自己：求和的结果往往能用一个简洁的式子写出来，算完之后用前面一两项去验一下，对得上再往下走，比事后重新检查整段过程省事得多。 例1（单选·★★★☆☆） 设等差数列的前项和为，若，，则数列的前11项和为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★★☆☆） 数列中，，，记数列的前n项和为，则 = ______． 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知数列满足，，则的前6项和为（ ） A. B. C. D. 例2（多选·★★★☆☆） 设是数列的前n项和，且，，则（ ） A. B. 数列是公差为的等差数列 C. 数列的前5项和最大 D. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 记表示不超过的最大整数。若正项数列满足，则数列的前101项和为___________． 例3（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知各项均为正整数的递增数列，满足，，则 = ________ 分组、并项与错位相减 通项能整体裂项的情形并不多，更多的时候要把它拆成几块分别求和。最常见的一刀是「等差加等比」：通项写成两个简单数列之和，就分别用求和公式算完再相加；写成两个简单数列之积，就不能这样拆了。动手之前先看通项是「和」还是「积」，这一步决定了后面走哪条路。还有一个顺序上的习惯值得养成：越是计算量大的办法越往后放，能用简单的分类、配对解决的，就不要上重工具。 第二刀是按奇偶分。通项里含 ，或者题干明说「奇数项」「偶数项」时，就把奇数项、偶数项各写成一个数列，它们往往是等差或者等比。另一个办法是并项：把相邻两项配成一组，组内先合并，再按组求和 —— 当相邻两项的和或差比较整齐时，这一路比按奇偶分更快。 第三刀是按符号分。通项里带绝对值时，要先找出变号的临界位置，把和拆成「前一段取相反数、后一段照算」两截。取整函数 的题同理，先把 的范围夹住，再定它取了哪个整数。 最后是错位相减。通项写成「一个关于 的式子」乘上「某个常数的 次幂」时，把 写一遍、再乘公比写一遍 ，两式相减，中间那一段会变成一个等比数列的和。它的计算量最大，所以要放在最后考虑 —— 前面三条路走得通就没必要用它。选哪一条路不看题目长短，只看通项里出现了什么：出现两个简单数列的和就想分组，出现 就想并项，出现绝对值或取整就想分段，出现「一次式乘 次幂」才轮到错位相减。 例4（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，则 = __________ 变式4-2（填空·★★★☆☆） 将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 = _____________，的前202项和为_____________． 例5（单选·★★★☆☆） 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 例6（单选·★★★☆☆） 若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 65 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，则数列的前100项和为__________ 变式6-2（解答·★★★☆☆） 设公比为q的等比数列的前n项和为，且。（1）求q和;（2）求。 学科网（北京）股份有限公司 $