第64讲 数列求和进阶与奇偶周期 讲义-2027届高三数学一轮复习

第64讲 数列求和进阶与奇偶周期 分组求和·并项与奇偶讨论·周期数列·结构定位 一、分组求和 1. 适用与拆分. 通项由"等差部件+等比部件"相加减构成（如 、）：分组后各组分别套第59/60讲公式，最后合并.先化简部件（裂项、通项）再分组. 2. 证"小于常数". 分组求和得出精确表达式后，把变化的尾巴（负项、分式）放掉即得不等式——比直接放缩更稳. 【通法】分组=各部件分别套公式再合并. 【通法】证不等式：精确求和后放掉尾巴. 例1（解答·★★★★☆） 设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和． 【切入点】(1) 得 ； 给 ，（ 舍），。 (2) ，分组：等比组 ，等差组 ，合并得 ，验 ： 通过。 【关键】 是"指数位置进等比"： 时即 ；等比组用第60讲公式、等差组用第59讲公式，各算各的再合并. 【答案】（1）；（2） 变式1（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，.（1）若，证明数列为等比数列；（2）若，求使不等式成立的n的最小值. 【切入点】(1) 递推即 ，则 ， 是首项 、公比 的等比数列。 (2) 时首项为 ，，。，且 递增， 的最小值为 。 【关键】构造等比时把 的系数配平（）是成败细节；分组后 递增，代入 夹出分界. 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式2（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前n项和． 【切入点】(1) ，，；： 得 ，相减 ，。 (2) ，裂项组相消、等比组套公式，得 ，验 ： 通过。 【关键】裂项组与等比组同框—— 先化成 再套等比和； 求通项别忘 定首项. 【答案】（1），；（2） 变式3（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和（p为常数），且．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，证明：． 【切入点】(1) ，，（ 验通过）。 (2) ，，分组：。 【关键】先精确求和再放掉负尾巴 ，不等式一气呵成；常数项 正是命题右端的来源. 【答案】（1）；（2）证明见解析 二、并项与奇偶讨论 1. 并项求和. 通项含 或相邻项结构（、）：相邻两项（两项一组）合并成等差/等差化结构再求和.平方差的并项 是常客. 2. 奇偶分治. （或 型）说明奇数项、偶数项各自成新数列——分两支分别写通项；问 配对最干净，问 时多出的首项单独算. 【通法】并项：相邻两项一组，平方差化 4k−1. 【通法】奇偶分治：n 奇 n 偶两支各自成数列. 例2（解答·★★★★☆） 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【切入点】(1) 与 联立：，展开化简得 ，解得 或 ， 或 。 (2) 递增取 ，，，两项一组：，。 【关键】 成等比与 联立有双解（ 常数列别漏）； 求偶数项和用平方差并项化等差，比正负交替硬算快得多. 【答案】（1） 或 ；（2） 变式4（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，证明：． 【切入点】(1) ， 相减因式分解 ，正项裁负支得 。 (2) 裂项 ，两项一组：，相消得 ，由 得 。 【关键】 与裂项尾巴叠加时，相邻两项并组后中段项 恰好一正一负抵消——"裂项+并项"复合消法； 时 给出下界. 【答案】（1）；（2）证明见解析 变式5（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 【切入点】 与 相减得 ，A 对。 可为 ， 不一定是等比数列，B 错。 ，C 对。 时 ：，，， 最大 ，D 对。故选 ACD。 【关键】"相邻两项和为 "——偶项和直接配对、奇项和留首项再配对；D 选项解 用相邻整数乘积夹逼（）. 【答案】ACD 变式6（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，记为的前项积，若，则的最大值为______． 【切入点】 为奇数：，奇数项 倍的 （指数 ）。 为偶数：，即 ，，。 ，， 的最大值为 。 【关键】指数 把递推劈成奇偶两支：奇支隔项比、偶支隔项积；前 项积分组乘，指数和 数形结合别数错. 【答案】 变式7（单选·★★★☆☆） 已知，数列满足：，则为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052 【切入点】（其中 、，两项相消）。倒序相加：， 组每组和 ，，选 B。 【关键】配对的两支：二次因式 配对不变，正负翻转全靠 ——先验配对值为常数，再倒序相加. 【答案】B 三、周期数列与结构定位 1. 周期三步. 验证 （三角降幂、递推取模、 等）→ 算一个整周期的和/积 → 商余定位：，整周期部分乘 ，余 项单独累加. 2. 结构定位. "插入型"新数列：原第 项落在新数列第 位（三角形数），先定位非 项的位置，剩余项全是插入项，分别求和. 【通法】周期：验 T → 算周期和 → 商余定位. 【通法】插入型：第 k 项在新数列第 k(k+1)/2 位. 例3（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 【切入点】(1) 与 相减得 ， 验通过，。 (2) 在 中排第 位，其余项全为 。，故前 项恰含 与 个 ：。 【关键】三角形数定位是"插入型"的钥匙——；先确认 是三角形数再分组求和，插入项个数为 . 【答案】（1）；（2） 例4（解答·★★★★☆） 已知数列，，其前项和为．（1）求；（2）求；（3）若数列的前项和为，且，证明：． 【切入点】降幂 ，周期 ：(1) 。 (2) 三项一组：（等差），。 (3) ，错位相减：。 【关键】周期并项——三项一组后角函数部分取常值 ，组内配平成 等差；第(3)问是第63讲错位相减的直接回用，验 通过. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 变式8（单选·★★☆☆☆） 今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 五 【切入点】，展开后除末项 外都是 的倍数，故 除以 余 。星期四再过 天是星期一，选 A。 【关键】大指数取余的二项式法：凑 后只留末项；星期几=（基准星期+余数）对 取模. 【答案】A 变式9（填空·★★★☆☆） 干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下：天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）． 【切入点】干支配对周期为 。，，故 ；又 ，。故第 年与第 年干支相同，为丙午年。 【关键】配对周期的本质是最小公倍数 ；大指数对 取余走幂次链 ，两步收敛，比直接展开快. 【答案】丙午 变式10（填空·★★★☆☆） 数列的通项公式为，则 = _______. 【切入点】，周期 ；一个整周期的和 。，故 。 【关键】余弦取样数列先验周期再算周期和（本题恰为 ）；商余定位后只补余下的 . 【答案】 变式11（填空·★★★☆☆） 已知函数，，，则 = __________. 【切入点】 把一个完整余弦周期均分采样： 时 递减， 时递增。绝对值按单调段展开，和为 。 【关键】 型：单调段内绝对值可拆（望远镜相消），整段和=两端点差+谷底深度 ；、谷底 . 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 第64讲 数列求和进阶与奇偶周期 分组求和·并项与奇偶讨论·周期数列·结构定位 一、分组求和 1. 适用与拆分. 通项由"等差部件+等比部件"相加减构成（如 、）：分组后各组分别套第59/60讲公式，最后合并.先化简部件（裂项、通项）再分组. 2. 证"小于常数". 分组求和得出精确表达式后，把变化的尾巴（负项、分式）放掉即得不等式——比直接放缩更稳. 例1（解答·★★★★☆） 设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和． 变式1（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，.（1）若，证明数列为等比数列；（2）若，求使不等式成立的n的最小值. 变式2（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前n项和． 变式3（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和（p为常数），且．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，证明：． 二、并项与奇偶讨论 1. 并项求和. 通项含 或相邻项结构（、）：相邻两项（两项一组）合并成等差/等差化结构再求和.平方差的并项 是常客. 2. 奇偶分治. （或 型）说明奇数项、偶数项各自成新数列——分两支分别写通项；问 配对最干净，问 时多出的首项单独算. 例2（解答·★★★★☆） 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 变式4（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，证明：． 变式5（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 变式6（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，记为的前项积，若，则的最大值为______． 变式7（单选·★★★☆☆） 已知，数列满足：，则为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052 三、周期数列与结构定位 1. 周期三步. 验证 （三角降幂、递推取模、 等）→ 算一个整周期的和/积 → 商余定位：，整周期部分乘 ，余 项单独累加. 2. 结构定位. "插入型"新数列：原第 项落在新数列第 位（三角形数），先定位非 项的位置，剩余项全是插入项，分别求和. 例3（解答·★★★★☆） 已知数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 例4（解答·★★★★☆） 已知数列，，其前项和为．（1）求；（2）求；（3）若数列的前项和为，且，证明：． 变式8（单选·★★☆☆☆） 今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 五 变式9（填空·★★★☆☆） 干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下：天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）． 变式10（填空·★★★☆☆） 数列的通项公式为，则 = _______. 变式11（填空·★★★☆☆） 已知函数，，，则 = __________. 学科网（北京）股份有限公司 $