第24讲 数列不等式放缩法讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 数列 第 24 讲 · 只放需要的那一段 01 题眼 本讲只练一个动作 先算目标还差多少，再把放缩只花在卡住的那一段上。 数列不等式的放缩，难的不是“放”，而是“放到哪里为止”。一上来就给每一项套同一个不等式，式子很整齐，却常常在最后一步发现：界比目标松了 ，只能回头重做。 本讲只练一个动作： 先算额度，再选起点 。主例中，前两项原样保留，第三项起才放缩；目标 恰好等于“保留段 加尾段上限 ”。这不是碰巧，是命题人按这个精度写的题。 放缩是花钱。先看预算，再决定哪些项值得花。 02 识别 不是所有数列不等式都值得“部分放缩”。整体放缩能一步到位的题，直接放更快。出现下面三个信号，再停下来算额度。 信号一 · 目标贴着真值。 目标是 、 这类分数，而不是 2、3 这类明显宽松的整数。分数越零碎，越说明命题人算过账，整体放缩很可能差一点。 信号二 · 前几项一放就亏。 对 ，第 2 项从 被放到 ，一次就亏 ；对 ，第 1 项从 1 被放到 2，一次就亏 1。前几项的亏损最大，保留它们最划算。 信号三 · 最自然的裂项只差一点。 用 得到的界与目标只差一个固定的小量（主例差 ）。这时不要换方法，只要把起点往后挪。 图 1: 部分放缩的四个动作 动笔前的 30 秒 第 1 步 算额度：目标减去已经保留的前几项之和。 第 2 步 试裂项：用最自然的不等式，估出尾段的上限。 第 3 步 比差额：上限不超过额度，就停；超了，就再保留一项。 第 4 步 定起点：从“刚好够”的那一项开始放，之后的项才放缩。 第 3 步与第 4 步之间，是把“放缩”变成“记账”的地方：每保留一项，都是用一次精确计算，换回一点额度。 03 双解对照 同一个目标 ，两条路的分岔口不在“会不会裂项”，而在“先裂还是先算账”。 例题 · 贴着真值的上界 证明：对任意正整数 ， 先把题干里的“免费信息”读出来。 前两项的和是 ，目标还差 ；而从第三项起，裂项尾段的总上限恰好是 。 这个数，就是按“留两项”的精度写出来的。 常规解 · 算：整体放缩，失败后改加强归纳 第一步，整体放缩。 对 ， 所以 界是 2，目标是 ，中间差 。整体放缩到这里已经用尽，再放也放不出更紧的界。 第二步，回头加强命题。 猜一个更强的结论：对 ， 时，，起点成立。设 时成立，则 故对 成立； 直接验证：，。 加强式怎么来的？ 因为归纳时新增的项是 ，而余量的衰减 正好盖得住新增项。余量衰减得比新增项快一点，这就是 的来历。 第三步，收尾。 路走通了，但代价是先失败一次、再猜出加强式、再单独验证起点。三步里没有一步是“算”，都是回头找补。 少算解 · 想：只放第三项以后 第一步，算额度。 目标 ，前两项 ，剩余额度 第二步，只放尾段。 对 ，仍然用同一条不等式： 从 加到 ： 第三步，合并。 保留段加上尾段上限： 直接验证：，。 两条路用的是同一条不等式，差别只在起点。常规解从 起就放，把 换成了 ，一次多损失 ，正好是目标与整体界之间的差额，于是只能回头用归纳把损失补回来。少算解让 保持精确，从 起才放，尾段上限正好是 。省掉的具体动作是：整体放缩失败后的返工、加强式的构造、起点 的单独验证。 为什么不是只留一项？因为 ，额度不够。为什么不是留三项？当然可以，界还会更紧一些，但要多算一项，没有必要。留两项，是“刚好够”的位置。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 从 起整体放缩，得界 算额度： 关键难点 界不够后，猜出加强式 确认尾段上限 运算量 步骤数 四步（含一次返工） 三步 主要风险 加强式猜错，归纳起点漏验 起点选早，额度差一点 图 2: 留两项的界刚好落在目标线上 04 迁移 换两个外壳，动作不变：先算额度，再决定从哪一项开始放。 （一）平方型：起点后移一位 迁移一 证明：对 ， 少算解 · 想：保留第二项 目标 。保留 的精确值 ，剩余额度 。从 起裂项： 若从 起就放，得到 ，比目标多损失 ，恰好是必须保住的那一项。 这道题的外壳是“和从第二项开始”，起点跟着后移一位：和的第一项是 ，额度就从 里扣掉 。目标 仍然等于“保留段 加尾段 ”，账又一次对上。 （二）根式型：保留首项 迁移二 证明：对 ， 少算解 · 想：只放第二项以后 对 ， 保留首项 1，从 起放缩： 若从 起就放，只能得到 ，多损失 1，恰好是第一项。目标里的 −1，就是“保留首项”换来的。 这道题的尾段上限不是常数，而是 ；额度也不再是常数，而是 。两者关于 一起增长，仍然能对上。判断的方法没变：先写额度，再看尾段上限。 05 边界 部分放缩能补“差一点”，补不了“目标本身不成立”。主例的 是真命题；本节只把目标改小到 ，命题就假了。 反例 · 目标低于真值 判断命题真假：对任意正整数 ， 机械套用会得到错误答案 有人看到 不大，就继续“多留几项”：留两项，界已经是 ，超过 ；留三项得 ，仍超过；再往后也一样。方向本身就错了。 事实上，，，；而 随 增大， 时只会更大。命题是假的，保留到第几项都证不出来。 正确的读法。 放缩只能把和放大，给出上界；不能把上界压到真值以下。目标 低于部分和能达到的高度（ 则高于它），换起点、换不等式都无效。动笔前先算一两个较大的部分和，确认目标在真值之上。 反过来，目标只要高于真值，方法就能用；目标越紧，保留的项越多。具体练法放在自测 1。 一句话： 额度不够可以挪起点；目标低于真值，挪什么都没用。 06 自测 三题，限时 15 分钟。答案在文末第 08 节，先做完再对。 自测 1 证明：对任意正整数 ， 自测 2 证明：对 ， 自测 3 证明：对任意正整数 ， 07 速查卡 表 2: 只放需要的那一段·速查卡 题面信号 先看什么 接下来做什么 还要补什么 目标是 、 这类贴真值的分数 目标减已留项，算额度 用最自然裂项估尾段 上限 ≤ 额度才停 前几项一放就亏（、） 前几项原样保留 从下一项起裂项 保留项要精算，不顺手放大 整体放缩只差一点点 不换方法，只挪起点 起点后移一位再试 每一步都报一次额度 尾段上限仍超额度 把不等式再收紧一格 如分母减 1 后再裂项 收紧后仍要能求和 目标比真值还小 先算 较大时的部分和 判断命题真假 放缩救不了假命题 本讲结论 放缩之前先算账：保留到“剩余额度刚好盖住尾段上限”的那一项，其余才放。额度不够就挪起点；目标本身不真，换什么都不行。 放缩四问 本讲关键词：额度 · 起点 · 尾段 · 精确项 · 松紧 下一讲 · 把 n 看成 x 数列的单调性不必逐项比较。把通项写成函数 ，用导数看 在 [1,+∞) 上的单调性；再回到整数点，注意“离散”与“连续”的那条边界。 08 参考答案 自测 1　【答案】不等式成立。 【解析】 目标 贴着真值，先算额度。留两项、三项、四项时，额度分别为 、、，尾段上限分别为 、、，差量依次是 、、，都不够。留五项：额度 ，尾段上限 ，终于够了。于是对 ， 时 ，都小于 ，故对任意正整数 成立。 【路径回看】 差量 ，每多留一项约缩到三分之一。 自测 2　【答案】不等式成立。 【解析】 对 ，。保留 的精确值 ，从 起放缩： 最后一步用了 。 时 ，也成立。 【路径回看】 目标常数 2.1 比 2.121 小，留 刚好够；整体放缩只给 ，不够紧。 自测 3　【答案】不等式成立。 【解析】 首项是 1，目标 ，留给尾段的额度只有 。标准裂项 给尾段 ，加首项得 ，太松。额度只要 ，于是把分母只减 1：由 ， 【路径回看】 尾段 ，加首项得 （ 显然）；松紧由额度 决定。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 留到第 5 项 2 留 够 3 分母只减 1 尾段 学科网（北京）股份有限公司 $