第5章 教材拓展5 放缩法证明数列不等式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦高考数列不等式证明核心考点，围绕放缩法两大技法（先求和再放缩、先放缩再求和）构建知识体系，通过考点梳理明确放缩方向与技巧，结合2022新高考Ⅰ卷真题精讲及分层对点练习，形成“技法-真题-应用”的系统复习流程，帮助学生突破思维跨度大、构造性强的难点。 资料以“数学眼光观察通项结构、数学思维剖析放缩规律”为特色，创新采用“先剖析特征再针对性放缩”策略，如在证明和式不等式时，引导学生观察通项是否可裂项，通过真题中“裂项相消求和后放缩”实例，培养逻辑推理与创新意识。设置基础巩固与能力提升分层练习，确保高效突破，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

　放缩法证明数列不等式 　　证明数列型不等式，因其思维跨度大，构造性强，需要有较高放缩技巧且充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 技法一　先求和再放缩(高考超重点) (2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：++…+<2. 解：(1)因为a1=1，所以S1=a1=1，所以=1， 又因为是公差为的等差数列， 所以=1+(n－1)=， 所以Sn=， 所以当n≥2时，Sn－1=， 所以an=Sn－Sn－1=， 整理得，(n－1)an=(n+1)an－1，即=， 所以an=a1×××…×× =1×××…××=， 显然对于n=1也成立， 所以{an}的通项公式为an=. (2)证明：==2， 所以++…+ =2 =2<2. 1.对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式. 2.明确放缩的方向：是放大还是缩小.若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小. 技法二　先放缩再求和 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1－n2－n－，n∈N+. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有++…+<. 解：(1)依题意，2S1=a2－－1－， 又S1=a1=1，所以a2=4. (2)由题意2Sn=nan+1－n3－n2－n， 当n≥2时，2=(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)， 两式相减得2an=nan+1－(n－1)an－(3n2－3n+1)－(2n－1)－， 整理得(n+1)an=nan+1－n(n+1)， 即=1，又=1， 故数列是首项为=1，公差为1的等差数列， 所以=1+(n－1)×1=n，所以an=n2. 故数列{an}的通项公式为an=n2. (3)证明：当n=1时，=1<； 当n=2时，+=1+=<； 当n≥3时，=<=， 此时++…+ =1++++…+ <1++++…+ =1++=<. 综上，对一切正整数n，有++…+<. 学生用书⬇第151页 1.对于“和式”数列不等式，若不能或很难求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列. 2.放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始. 3.常见的放缩技巧有： (1)<=. (2)<<. (3)2()<<2(). (4)<<<≤. 对点练1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S4=24，S10=120. (1)求Sn； (2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则Sn=na1+， 所以由题意，有解得a1=3，d=2. 所以Sn=3n+×2=3n+n2－n=n2+2n. (2)证明：因为==， 所以Tn=+++…+ ==<=，即Tn<. 对点练2.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=nan－3n(n－1)(n∈N+)，且a2=11. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的前n项和Sn； (3)设数列{bn}满足bn=，求证：b1+b2+…+bn<. 解：(1)由S2=a1+a2=2a2－3×2×(2－1)及a2=11，可得a1=5. (2)当n≥2时，由an=Sn－Sn－1， 得an=nan－3n(n－1)－(n－1)an－1+3(n－1)(n－2)⇒(n－1)an－(n－1)an－1=6(n－1)⇒an－an－1=6(n≥2，n∈N+)； 所以数列{an}是首项为a1=5，公差为6的等差数列， 所以an=5+6(n－1)=6n－1， 所以Sn===3n2+2n. (3)证明：因为bn===< = =()， 所以b1+b2+…+bn<[()+()+…+()] =()<，原命题得证. 学生用书⬇第152页 学科网（北京）股份有限公司 $