第24讲 不等式的证明问题·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式证明核心考点，涵盖导数应用、放缩法、极值点偏移等八大考点，按考情分析、知识清单、典题精练、高考真题逻辑架构，通过考点梳理、方法总结、真题训练环节，帮助学生构建系统解题思路。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“方法总结+分层典例”模式，如放缩法中结合泰勒展式与裂项技巧，指导学生用数学语言精准表达证明过程。设置基础到综合的阶梯训练，配合高考真题实战演练，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第24讲 不等式的证明问题 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 2 考点一：直接法与分析法证明不等式 2 考点二：构造函数法证明不等式 5 考点三：放缩法与估算法证明不等式 10 考点四：极值点偏移与虚设零点 12 考点五：切线法与割线法 15 考点六：泰勒展式与中值定理 17 考点七：函数与数列不等式综合 20 考点八：三角函数不等式综合 26 四、高考真题 27 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第18题 解答 17分 直接 利用导数研究含参不等式恒成立问题，求解参数范围 2025 第19题 解答 17分 直接 三角函数不等式的证明与恒成立问题，结合放缩法求参数最值 2026 第19题 解答 17分 间接 抽象函数背景下的不等式推导与证明，利用反证法证明函数单调性 近三年全国一卷对不等式证明及相关综合问题的考查频率较高，基本均在压轴题位置（第18题或第19题）出现.考查形式从传统的导数作差证明，逐渐向三角函数、抽象函数、集合等多元背景深度交汇，对学生的代数变形能力和逻辑推理水平提出了更高要求. 2. 命题角度与特色 （1）核心考点：重点考查利用导数证明不等式、含参不等式恒成立求参数范围，以及在三角函数、抽象函数等复杂背景下的不等式综合推导. （2）命题趋势：命题逐渐摆脱单一的“求导作差”模式，常与三角恒等变换、数列放缩、新定义集合等知识深度融合，强调同构变形、放缩法、极值点偏移等高级技巧的灵活应用. （3）试题特点：综合性极强，思维跨度大.试题往往具有较强的抽象性和逻辑性，要求考生具备严密的逻辑推理能力、分类讨论思想以及熟练运用反证法破局的能力. 3. 备考策略 （1）扎实掌握利用导数研究函数单调性、极值与最值的基本方法，熟练运用作差法、分离参数法处理常规的不等式证明与恒成立问题. （2）强化放缩法、同构法等高级技巧的针对性训练，特别注意常见超越函数（如 ，）的放缩边界与应用场景，提升代数变形的敏锐度. （3）注重知识交汇与逻辑思维训练，提升在三角函数、抽象函数等复杂背景下剥离出不等式本质的能力，刻意培养严密的逻辑推理与反证法思维习惯. 二、知识清单 1. 基本不等式及其变形 （1） 若 ，则 （当且仅当 时取等号）. （2） 若 ，则 （当且仅当 时取等号）. （3） 均值不等式链：若 ，则 （当且仅当 时取等号）. 2. 常见超越函数放缩公式 （1） 指数型放缩： ① （，当且仅当 时取等号）. ② （，当且仅当 时取等号）. （2） 对数型放缩： ① （，当且仅当 时取等号）. ② （，当且仅当 时取等号）. ③ （）. （3） 三角函数型放缩： ① （）. 3. 数列求和常见放缩公式 （1） 裂项相消放缩：（）. （2） 根式放缩：（）. 【易错提醒】 构造函数证明不等式时，务必注意函数的定义域，特别是对数函数的真数大于0，以及换元后新变量的取值范围. 【防坑警示】 在使用放缩公式证明不等式时，必须严格检验等号成立的条件是否在定义域或题目给定的范围内.若多次放缩，需保证各次放缩的等号能够同时取得，否则放缩可能失效（即放缩过头）. 三、典题精讲 考点一：直接法与分析法证明不等式 考法1：利用导数单调性与极值直接证明不等式 例1.已知函数. （1）若函数在点处的切线平行于直线，求切点的坐标及此切线方程； （2）求证：当时，. (其中) 【答案】（1）切点，切线方程为 （2）见解析 【思路】第（1）问由切线平行于已知直线，可知切线斜率为2，对函数求导并令导数值为2即可求出切点横坐标，进而写出切线方程.第（2）问证明不等式，可直接作差构造函数，利用导数研究其在给定区间上的单调性与最值，证明其最小值大于等于0即可. 【解析】（1）由题意得，，∴切线斜率. ∴，即，此时切线方程为. （2）令，则. 当时，，单调递增，当时，，单调递减. 又，. ∴，即恒成立. ∴当时，. 【规律】利用导数证明不等式的最基本方法是作差构造函数，将其转化为证明.求导后若导数符号易于判断，则直接得出单调性；若端点值恰好为0，则可顺利完成证明. 考法2：含参不等式恒成立与参数范围求解 例2.（2025·河北·3月联考）已知函数在处取得极值. （1）求； （2）证明：时，. 【答案】（1） （2）见解析 【思路】第（1）问利用极值点处的导数值为0以及函数值等于极值，列出关于的方程组求解，注意求出后需检验是否确为极值点.第（2）问将求出的代入，将待证不等式转化为关于的不等式，通过移项构造新函数，利用导数证明其在上恒大于0. 【解析】（1）易得. 由题意可得. 解得，经验证满足题意. （2）由（1）知. 证明原不等式可转化为证明，即证. 令函数，则. ∴在上单调递增. ∴. 即，即，故原不等式得证. 【规律】已知极值点和极值求参数时，“且极值”是必要不充分条件，求出参数后必须代回原函数检验该点是否确为极值点.证明不等式时，若直接作差求导较为繁琐，可先对不等式进行等价变形，化简后再构造函数. 考法3：利用分析法逆向推导证明不等式 例3.已知函数. （1）求在处的切线； （2）若，证明当时，. 【答案】（1） （2）见解析 【思路】第（1）问直接求导，代入求出切线斜率和切点坐标，利用点斜式写出切线方程.第（2）问直接证明较为困难，可利用常见的不等式放缩将指数部分化简，再利用基本不等式对右侧进行放缩，将问题转化为证明关于参数的不等式，最后构造关于的函数进行证明. 【解析】（1）∵，∴，切线斜率为. ∵，∴切点为. 切线方程为即. （2）令，∴. ∴在单调递增，，. ∴，∴. ∴要证只需证明. 变形得. ∵. ∴只需证明，即. 两边同取对数得：. 令. 则. 显然在递增，. ∴存在，当时递减. 当时递增. ∵. ∴在上恒成立，∴原命题成立. 【规律】分析法证明不等式的核心是“执果索因”，即从待证不等式出发，通过等价变形或放缩，逐步推导出一个明显成立的不等式.在处理含有指数和分式的不等式时，灵活运用和基本不等式进行放缩，是简化证明过程的有效手段. 【考点一 方法总结】 1. 利用导数证明不等式 的最基本方法是作差构造函数 ，将其转化为证明 . 2. 已知极值点和极值求参数时，求出参数后必须代回原函数检验该点是否确为极值点. 3. 证明不等式时，若直接作差求导较为繁琐，可先对不等式进行等价变形，化简后再构造函数. 4. 分析法证明不等式的核心是“执果索因”，即从待证不等式出发，通过等价变形或放缩，逐步推导出一个明显成立的不等式.在处理含有指数和分式的不等式时，灵活运用 和基本不等式进行放缩. 考点二：构造函数法证明不等式 考法4：作差构造证明双变量或多变量不等式 例4.（2025·山东二模）已知函数. （1）当，求的取值范围； （2）当时. （i）设，讨论函数在上的单调性； （ii）证明：对任意的，有. 【答案】（1） （2）（i）在上单调递增 （ii）见解析 【思路】第（1）问将恒成立问题转化为分离参数，即，构造函数求最小值即可.第（2）问（i）直接求导判断符号；（ii）证明双变量不等式，可固定其中一个变量，将另一个变量视为自变量，构造函数，利用导数证明其在上大于0. 【解析】（1）由，则. 令且，则. 令且，则. 即在上单调递增. ∴，即. 故在上单调递增，则. 综上，. （2）（i）时，且，则. 故在上单调递增. （ii）令，则. 由，则. 由（i）知，，即在上恒成立. ∴在上单调递增，故. ∵，∴在上单调递增，则. ∴. 综上，对任意的，有. 【规律】处理双变量不等式时，常用的策略是“主元法”，即把其中一个变量（如）看作常数，构造关于另一个变量（如）的函数，通过求导研究该函数的单调性，进而证明不等式. 考法5：变形与换元构造证明不等式 例5.已知函数. （1）证明：； （2）讨论的单调性，并证明：当时，. 【答案】（1）见解析 （2）在上单调递增，证明见解析 【思路】第（1）问直接对底数和指数同时含有变量的函数求导较难，可先两边取对数，转化为证明，再通过换元构造新函数进行证明.第（2）问同样利用取对数和换元法判断的单调性，然后将数列不等式转化为与和相关的形式，利用单调性得出结论. 【解析】（1）证明：令，则. ∴在上单调递减，∴，即. 令，则有. ∴，∴，即. （2）由可得. 令，则. 令，则. ∴在上单调递增，. 令，则有. ∴在上单调递增，∴在上单调递增. ∴对于，有. ∴，∴. 即. 整理得：. 【规律】对于形如的幂指函数，通常采用两边取自然对数的方法，将其转化为的形式再求导.当表达式中含有时，通过整体换元可以有效化简导函数，降低求导和判断符号的难度. 考法6：拆分函数与同构证明不等式 例6.设函数. （1）若函数在上存在最大值，求实数的取值范围； （2）当时，求证：. 【答案】（1） （2）见解析 【思路】第（1）问对求导，分类讨论参数的符号，确定函数的单调性与极值点，根据极值点在区间内列出不等式求解.第（2）问将代入，待证不等式两边结构差异较大，需通过代数变形，将不等式转化为两边结构相似的形式，即，然后分别构造函数求最值进行比较. 【解析】（1）由得：. ①当时，，∴在上单调递增，在不存在最大值. ②当时，令，解得：. 当时，，在上单调递增. 当时，在上单调递减. ∴在时，取得最大值. 又由函数在上存在最大值. 因此，解得：. ∴的取值范围为. （2）证明：当时，，且函数的定义域为. 要证明，即证明时，. 只需要证明：时，. ∵，∴不等式等价于. 设，则. 令得：. 当时，，当时，. ∴在上单调递减，在上单调递增. 故，且当时，等号成立. 又设，则. 令得：. 当时，，当时，. ∴在上单调递增，在上单调递减. 故，且当时，等号成立. 综上可得：时，，且等号不同时成立. ∴时，. 即当时，得证. 【规律】当待证不等式两边分别含有指数函数和对数函数，且直接作差求导极为复杂时，应优先考虑通过移项、提取公因式等代数变形，将不等式转化为的形式，使得和分别易于求最值.若，则不等式得证. 考法7：分离变量（对数单身狗、指数找朋友）证明不等式 例7.已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）当且时．求证：. 【答案】（1） （2）见解析 【思路】第（1）问利用切点在切线上以及切线斜率等于导数值，列出方程组求解.第（2）问将代入后，待证不等式中含有和分式，直接求导较繁琐.可将含有的项移到一边，其余项移到另一边，即分离变量，转化为证明与0的大小关系，再构造函数求导证明. 【解析】（1）函数的导数为. 曲线在点处的切线方程为. 可得，. 解得. （2）证明：当时，. 即为. 即. 当时，. 即为. 设，. 可得在递增. 当时，，即有. 当时，，即有. 综上可得，当且时，都成立. 【规律】“对数单身狗”策略是指在处理含有与多项式或分式混合的不等式时，通过通分、移项等变形，将单独分离出来，或者将含有的项合并，使得构造出的新函数在求导后能消去对数符号，从而转化为有理函数的符号判断问题. 【考点二 方法总结】 1. 处理双变量不等式 时，常用的策略是“主元法”，即把其中一个变量看作常数，构造关于另一个变量的函数，通过求导研究该函数的单调性. 2. 对于形如 的幂指函数，通常采用两边取自然对数的方法，将其转化为 的形式再求导.当表达式中含有 时，通过整体换元 可以有效化简导函数. 3. 当待证不等式两边分别含有指数函数和对数函数，且直接作差求导极为复杂时，应优先考虑通过移项、提取公因式等代数变形，将不等式转化为 的形式，使得 和 分别易于求最值. 4. 处理含有 与多项式或分式混合的不等式时，可通过通分、移项等变形，将 单独分离出来，或者将含有 的项合并，使得构造出的新函数在求导后能消去对数符号. 考点三：放缩法与估算法证明不等式 考法8：常见函数（指对数、二次、分式等）的直接放缩证明 例8.已知函数. （1）讨论函数的导函数的单调性； （2）若，求证：对恒成立. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【思路】第（1）问求出二阶导数，根据参数的符号分类讨论二阶导数的正负，从而确定一阶导函数的单调性.第（2）问利用已知条件对原函数进行放缩，将参数替换为常数，从而将含参不等式转化为不含参的不等式，再通过分离变量或直接构造函数求最值来完成证明. 【解析】（1）由已知可得，，设. 则. 当时，有恒成立，∴，即在上单调递增. 当时，由可得，. 由可得，，∴，即在上单调递减. 由可得，，∴，即在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）∵，∴对，有. 设，则. 解可得，或或. 由可得，，∴函数在上单调递增. 由可得，或，∴函数在上单调递减，在上单调递减. ∴在处取得极大值，在处取得极小值. 又，∴，即. ∴有. 整理可得，. ∴有恒成立. 【规律】在证明含有参数范围限制的不等式时，直接将参数的边界值代入进行放缩，是消去参数、简化问题的常用手段.放缩后若形成指数与多项式混合的形式，可通过分离指数部分构造新函数，利用导数求其最值. 考法9：分段分析与主元估算法证明不等式 例9.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当，且时，. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【思路】第（1）问求导后，导函数分子为一次函数，需对参数进行分类讨论，确定导数的正负区间.第（2）问待证不等式两边分别含有指数和对数，直接作差难以处理.可将不等式变形为，观察发现两边结构类似，可构造函数，将问题转化为证明，再利用的单调性及完成证明. 【解析】（1）. ①当，即时，，在区间单调递增. ②当，即时. 令，得，令，得. ∴在区间单调递增；在区间单调递减. ③当，即时. 若，则，在区间单调递增. 若，令，得，令，得. ∴在区间单调递减；在区间单调递增. 综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减. 时，在区间单调递增. 时，在区间单调递减、在区间单调递增. （2）证明：要证，即证. 即证. 令，则. ∴在区间单调递增，∴时，. 即时，. 令，则在时恒成立. ∴，且时，单调递增. ∵时，，，且. ∴，且时，，即. ∴，且时，. 【规律】当不等式两边呈现出明显的结构对称性时，同构法是首选策略.通过代数变形凑出相同的函数结构，将不等式转化为的形式.此时只需证明的单调性以及内层函数与的大小关系即可，其中是常用的放缩桥梁. 【考点三 方法总结】 1. 在证明含有参数范围限制的不等式时，直接将参数的边界值代入进行放缩，是消去参数、简化问题的常用手段.放缩后若形成指数与多项式混合的形式，可通过分离指数部分构造新函数，利用导数求其最值. 2. 当不等式两边呈现出明显的结构对称性时，同构法是首选策略.通过代数变形凑出相同的函数结构 ，将不等式转化为 的形式.此时只需证明 的单调性以及内层函数 与 的大小关系即可，其中 是常用的放缩桥梁. 考点四：极值点偏移与虚设零点 考法10：极值点偏移问题转化为不等式证明 例10.已知函数. （1）讨论的极值； （2）若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值. 【答案】（1）见解析 （2）① ② 【思路】第（1）问常规求导，根据参数的符号分类讨论单调性并求极值.第（2）问①利用有两个零点的条件，结合极值大于0以及端点效应确定的范围；②是典型的极值点偏移比值问题，利用消去参数，将表示为关于的式子，再整体换元令，构造关于的函数，利用导数研究其单调性，从而求出最值对应的. 【解析】（1）由题意得：， 当时，恒成立，此时单调递减，无极值； 当时，令，解得， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减. ∴在处取极大值，为，无极小值. 综上所述：当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值. （2）①由（1）知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，的极大值为. 令，则， 故在单调递减，在单调递增. ∴，即， 又，，故在存在一个零点. 又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，， 故在存在一个零点. ∴若有两个零点，则. ②由①知在存在一个零点，在存在一个零点，且， ∴，， 得：，∴. 令，则， 又， 令，则， 令，则， ∴在单调递增，又，故，即， ∴在单调递增. ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值. 令，则， 令，则， ∴在单调递增，又，， ∴，使得，当时，，当时，， 且有，即，此时， 且在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 故取得最小值时. 【规律】处理双零点比值（或差值）的最值问题，通用解法是“对数平均值换元法”：利用列出方程组，通过作差或作商消去参数，将参数表示为的表达式，再提取公因式构造比值，从而将双变量问题转化为单变量的函数最值问题. 考法11：虚设零点结合单调性证明不等式 例11.已知函数. （1）若在区间上有极小值，求实数的取值范围； （2）求证：. 【答案】（1） （2）见解析 【思路】第（1）问求导后，极小值点即为导函数的零点，令导函数零点在内即可求出的范围.第（2）问将不等式代入化简，分离出含有的项并消去，转化为证明.构造左侧函数求导，发现导函数零点无法求出精确值，此时需“虚设零点”，利用隐零点满足的方程代入原函数化简，再结合放缩法求出其最大值的上界，与右侧函数的最小值下界进行比较. 【解析】（1）函数，定义域为， ，在上单调递增， 若在区间上有极小值，则有，解得. 故实数的取值范围为. （2），即，由，可化简得， 要证，即证. 设，， 由，则有，得，即， 函数在上单调递减， 时，时， 则，，此时， 则时，时， 在上单调递增，在上单调递减， ， 函数在上单调递减，， 故，即. 设， ，解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，则有，即， 故，即有. ∴，即. 【规律】“隐零点”问题的核心在于“设而不求，代入降次”.当导函数的零点无法求出精确解时，先利用零点存在性定理确定其所在区间，然后将作为一个条件等式，代入目标函数中消去超越项（如或），将其转化为代数函数求最值. 【考点四 方法总结】 1. 处理双零点比值（或差值）的最值问题，通用解法是“对数平均值换元法”：利用 列出方程组，通过作差或作商消去参数，将参数表示为 的表达式，再提取公因式构造比值 ，从而将双变量问题转化为单变量 的函数最值问题. 2. “隐零点”问题的核心在于“设而不求，代入降次”.当导函数的零点 无法求出精确解时，先利用零点存在性定理确定其所在区间，然后将 作为一个条件等式，代入目标函数 中消去超越项（如 或 ），将其转化为代数函数求最值. 考点五：切线法与割线法 考法12：利用切线放缩证明函数不等式或零点差 例12.已知函数. （1）求曲线在原点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个正实数根，求证：. 【答案】（1） （2） （3）见解析 【思路】第（1）问常规求导求切线.第（2）问分类讨论的符号，分离参数，构造函数求最值.第（3）问证明零点差不等式，结合（1）（2）的结论，利用切线和对原函数进行放缩，将曲线的交点横坐标差转化为切线的交点横坐标差，从而放大实现证明. 【解析】（1），，， 故曲线在原点处的切线方程为. （2）①当时，； ②当时，问题等价于恒成立. 设，则. ∵在上单调递增，且， ∴在递减，在递增. ∴在的最小值为； ∴. ③当时，问题等价于恒成立. 设，则. ∵在上单调递减，且时，. ∴， 综上所述：. （3）依（2）得时，， ∵曲线在原点处的切线方程为， 设，， ，. 令，解得，或. ∴在，递增，在递减. ，∴时，，递增，而， ∴当时，， 设，分别与，交点的横坐标为， ，. 则，∴. 【规律】切线放缩法是处理复杂函数不等式或零点距离问题的利器.通过寻找函数在特定点（如极值点、拐点或原点）的切线，利用凸函数的性质建立或的放缩关系，将超越方程的根转化为一次方程的根，从而简化运算. 【考点五 方法总结】 1. 切线放缩法是处理复杂函数不等式或零点距离问题的利器.通过寻找函数在特定点（如极值点、拐点或原点）的切线，利用凸函数的性质建立 或 的放缩关系，将超越方程的根转化为一次方程的根，从而简化运算. 考点六：泰勒展式与中值定理 考法13：利用拉格朗日中值定理证明不等式 例13.定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得，这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. （1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； （2）如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得； （3）利用（2）中的结论，证明：当时，.（为自然对数的底数） 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【思路】第（1）问直接找出的四个零点，在相邻零点之间应用罗尔定理即可说明导数零点的存在性.第（2）问是拉格朗日中值定理的证明，通过构造辅助函数，使其满足端点值相等，再应用罗尔定理证明.第（3）问将待证不等式转化为与函数增量相关的形式，构造函数，在区间和上分别应用拉格朗日中值定理，利用导函数的单调性比较中值点处的导数值，从而得出结论. 【解析】（1）注意到，则由罗尔定理， 在内存在，使；在内存在，使；在内存在，使. 综上，的根有3个，且分别位于，，这三个区间内. （2）证明：构造函数， 则.注意到，由罗尔定理， 则在上至少存在一点，使 ，即在开区间内至少存在一点， 使得. （3）证明：当时，. 由（2），因函数为上连续函数，. 又，则在上存在， 使. 又，则在上存在 使. 又令，当时，， 则在上单调递增， 又. 则. 【规律】拉格朗日中值定理建立了函数两点间的割线斜率与区间内某点切线斜率的联系.在证明形如或涉及函数差值的不等式时，将其转化为，再结合导函数的单调性对进行放缩，是高等数学背景下高考题的常见解法. 考法14：利用泰勒展开或帕德逼近证明不等式 例14.超导量子计算机原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法. 给定两个正整数，函数在处的阶帕德逼近定义为： ， 且满足：. 注：. （1）求在处的阶帕德逼近； （2）在（1）的条件下，当时，试比较与的大小，并证明； （3）已知数列满足，证明：. 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）见解析 【思路】第（1）问严格按照题目给出的帕德逼近定义，分别求出和在处的函数值、一阶导数值、二阶导数值，令其对应相等，解方程组求出系数.第（2）问作差构造函数，求导判断单调性即可比较大小.第（3）问利用（2）中得到的不等式，结合数列递推关系进行放缩，再通过累加法证明数列的通项不等式. 【解析】（1）设在处的阶帕德逼近， ∴. 又， ∴. 又， . ∴. （2）当时，令， 则 ， ∴函数在上单调递增. ∴，故当时，. （3）∵，则，∴. 若，则，即. 由（2）知，当时，， 当时，则. ∵，则，又， ∴，即. 故数列是递减数列，∴. ∵当时，， ∴， ∴， 故当时，， 累加得， ∴， 故. 又当时，. 综上，. 【规律】新定义背景下的逼近问题，本质是利用多项式或分式函数去近似超越函数.解题时需严格遵循题目给出的定义规则进行运算.得到的逼近不等式（如）往往是后续解决数列不等式放缩的关键工具，需敏锐捕捉前后问的逻辑联系. 【考点六 方法总结】 1. 拉格朗日中值定理建立了函数两点间的割线斜率与区间内某点切线斜率的联系.在证明形如 或涉及函数差值的不等式时，将其转化为 ，再结合导函数的单调性对 进行放缩. 2. 新定义背景下的逼近问题，本质是利用多项式或分式函数去近似超越函数.解题时需严格遵循题目给出的定义规则进行运算.得到的逼近不等式往往是后续解决数列不等式放缩的关键工具. 考点七：函数与数列不等式综合 考法15：利用函数单调性与极值证明数列不等式 例15.（2026·安徽淮南·二模）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对，恒成立，求的值； （3）证明：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【思路】第（1）问求导后，根据参数的符号分类讨论导数的正负，确定单调区间.第（2）问利用，结合恒成立条件，说明必须是极大值点或最大值点，从而缩小的范围，再代入验证.第（3）问将待证数列不等式两边取对数，转化为求和形式，利用（2）中得到的函数不等式，取进行放缩，最后通过求和完成证明. 【解析】（1）函数的定义域为，， 当时，，∴函数在上单调递减. 当时，令，解得：， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，时，，时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）∵，∴由（1）知不符合题意，故， 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； ∴实数的值为1. （3）证明：要证， 即证， ， 即证：， 由（2）知，在上恒成立，其中当且仅当时等号成立， 于是对恒成立， 分别令代入上式， 可得：， 将上述个不等式左右两边分别相加得： ， ， ∴， ∴. 【规律】证明数列不等式时，若含有阶乘或连乘，通常先两边取自然对数，将其转化为求和形式.然后利用前一问证明的函数不等式（如或），通过巧妙赋值（如），将数列的每一项进行放缩，最后累加求和即可. 考法16：结合放缩法与裂项相消证明数列求和不等式 例16.（2026·山东德州·二模）已知函数． （1）求在上的最大值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）见解析 【思路】第（1）问直接求导，结合三角函数的有界性判断导数在给定区间上的符号，从而得出单调性并求出最大值.第（2）问利用（1）的最大值结论得到，通过变量代换令，将正弦函数放缩为对数函数，再利用对数的运算性质将其转化为可裂项相消的形式，累加后即可证明. 【解析】（1）由，得. ∵，∴，∴. ∴. ∴在上单调递增. ∴在上的最大值为. （2）由（1）知，当时，，即. ∴. 令，则. ∴. ∴ . ∴. 【规律】处理含有超越函数（如三角函数、指数函数）的数列求和不等式时，核心思想是“放缩后裂项”.先利用导数证明一个函数不等式，将超越项放缩为有理分式或对数形式，然后通过代入数列的通项，使其转化为形如的裂项结构，最后累加相消得出结论. 考法17：结合数学归纳法或累乘证明数列连乘不等式 例17.（2026·山东德州·一模）已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）记的最小值为，数列的前项积为． （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立． 【答案】（1）见解析 （2）（i） （ii）见解析 【思路】第（1）问对函数求导，提取公因式后，结合的取值范围判断各因式的符号，从而证明导数大于等于0.第（2）问（i）利用三角函数的周期性和对称性，确定最小值的取得位置，代入求出；（ii）先求出和的表达式，对于连乘不等式的证明，可采用数学归纳法，或构造新数列进行放缩比较，或直接对进行放缩证明. 【解析】（1）证明： . 当时，则， ∴， 可得，且， 则， 即， 可得，∴函数在上单调递增. （2）（i）若，则，即； 若，由（1）可知：在上单调递增， 且， 可知是一个周期为的周期函数， 又∵， 可知关于对称， 则在处取到最大值，在处取到最小值， 可得， 综上所述：. （ii），. 数学归纳法证明不等式成立， 当时，左边，右边，∵，∴不等式成立， 假设当时不等式成立， 即成立， 则当时， 左边 . ∴当时，不等式也成立， 综上所述：可证得不等式恒成立. 【规律】证明数列连乘不等式，数学归纳法是通法.在从推导到时，关键在于将假设代入后，对剩余部分进行合理的代数变形与放缩，使其大于或小于目标式.此外，通过构造平方项进行错位相乘放缩，也是处理此类问题的巧妙技巧. 考法18：概率与期望背景下的数列不等式证明 例18.（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙．系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案．已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为，假设各模型每次回答相互独立． （1）当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； （2）若系统最终输出正确答案的概率不低于，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【思路】第（1）问理清事件关系，两个模型答案不同即为“甲对乙错”或“甲错乙对”，利用互斥事件加法公式和独立事件乘法公式计算.第（2）问将系统最终输出正确答案分为两种互斥情况：第一次直接输出正确（即甲乙均对），或第一次答案不同且第二次甲对.将概率表示为关于的二次函数，解一元二次不等式即可求出的范围. 【解析】（1）不妨设事件“模型甲回答正确”，事件“模型乙回答正确”，则“模型甲回答错误”，“模型乙回答错误”. 由于与相互独立，与，与，与都相互独立. 由题意可得，，，，. 分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为，且与互斥. 根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 . 故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为. （2）系统最终输出正确答案可分为第一次输出正确答案和第二次输出正确答案. 系统第一次输出正确答案的概率为：. 由（1）可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为： . 系统第二次输出正确答案的概率为：. 设系统最终输出正确答案的概率为，则. 于是，解得，又由，于是. 则的最小值为. 【规律】概率背景下的不等式问题，关键在于准确翻译题干中的事件发生逻辑，利用全概率公式或互斥、独立事件的概率公式，将目标概率表示为参数的函数，最后转化为解代数不等式.注意参数本身的实际意义（如概率值在0到1之间）对结果的限制. 【考点七 方法总结】 1. 证明数列不等式时，若含有阶乘或连乘，通常先两边取自然对数，将其转化为求和形式.然后利用前一问证明的函数不等式，通过巧妙赋值，将数列的每一项进行放缩，最后累加求和. 2. 处理含有超越函数的数列求和不等式时，核心思想是“放缩后裂项”.先利用导数证明一个函数不等式，将超越项放缩为有理分式或对数形式，然后通过代入数列的通项，使其转化为形如 的裂项结构，最后累加相消. 3. 证明数列连乘不等式，数学归纳法是通法.在从 推导到 时，关键在于将假设代入后，对剩余部分进行合理的代数变形与放缩.此外，通过构造平方项 进行错位相乘放缩，也是处理此类问题的巧妙技巧. 4. 概率背景下的不等式问题，关键在于准确翻译题干中的事件发生逻辑，利用全概率公式或互斥、独立事件的概率公式，将目标概率表示为参数的函数，最后转化为解代数不等式. 考点八：三角函数不等式综合 考法19：构造函数证明三角与指对数混合不等式 例19.（2026·河南华大新高考联盟·5月联考）已知函数，其中． （1）当时，求方程的所有实数解； （2）证明：当时，； （3）若在上恒成立，求的值． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3） 【思路】第（1）问利用辅助角公式将三角函数化为一角一函数的形式，再解基本三角方程.第（2）问构造函数，求导后发现一阶导数符号仍不易判断，继续求二阶导数，利用二阶导数的单调性和零点确定一阶导数的最小值，从而证明结论.第（3）问将恒成立问题转化为函数恒成立，利用端点效应（或极值点必要条件）求出的候选值，再代入验证其充分性，验证过程中需用到（2）的结论. 【解析】（1）当时，， 则，∴， ∴， 即或， 解得或. ∴方程的所有实数解为或. （2）令，则， 当时，∵在上单调递增，且， ∴当时，单调递减； 当时，单调递增， ∴. 当时，∵， ∴. 综上所述，当时，，即. （3）构造函数， 则， ∵对任意内恒成立， 且，可知为极小值点，则，即， 若，∵，则， 由（2）知，当时，成立， ∴在上单调递增， 则，由的单调性知， 当时，单调递减； 当时，单调递增； ∴，满足题意， 综上所述，. 【规律】处理三角函数与指数、对数函数混合的不等式时，由于三角函数的周期性和有界性，直接求导往往无法判断符号.此时通常需要多次求导（二阶甚至三阶），利用高阶导数的单调性逐级推导低阶导数的符号.同时，结合“端点效应”寻找极值点，是快速确定参数必要条件的有效方法. 【考点八 方法总结】 1. 处理三角函数与指数、对数函数混合的不等式时，由于三角函数的周期性和有界性，直接求导往往无法判断符号.此时通常需要多次求导，利用高阶导数的单调性逐级推导低阶导数的符号. 2. 结合“端点效应”寻找极值点，是快速确定参数必要条件的有效方法. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知函数 . （1） 若 ，且 ，求 的最小值； （2） 证明：曲线 是中心对称图形； （3） 若 当且仅当 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明见解析 （3） 【解析】（1） 时，，其中 ， 则 ， ∵ ，当且仅当 时等号成立， ∴ ， 而 成立，故 即 ， ∴ 的最小值为 . （2） 的定义域为 ， 设 为 图象上任意一点， 关于 的对称点为 ， ∵ 在 图象上，故 ， 而 ， ∴ 也在 图象上， 由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 . （3） ∵ 当且仅当 ，故 为 的一个解， ∴ 即 ， 先考虑 时， 恒成立. 此时 即为 在 上恒成立， 设 ，则 在 上恒成立， 设 ， 则 ， 当 ，， 故 恒成立，故 在 上为增函数， 故 即 在 上恒成立. 当 时，， 故 恒成立，故 在 上为增函数， 故 即 在 上恒成立. 当 ，则当 时，， 故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍. 综上， 在 上恒成立时 . 而当 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ， 即 的解为 . 综上，. 2.（2025·全国一卷）（1） 设函数 ，求 在 的最大值； （2） 给定 ，设 为实数，证明：存在 ，使得 ； （3） 若存在 使得对任意 ，都有 ，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 证明见解析 （3） 【解析】（1） 法1：， ∵ ，∴ ，∴ ， 当 时， 即 ， 当 时， 即 ， 故 在 上为增函数，在 为减函数， 故 在 上的最大值为 . 法2：我们有 . 所以： . 这得到 ，同时又有 ， 故 在 上的最大值为 ，在 上的最大值也是 . （2） 法1：由余弦函数的性质得 的解为 ，， 若任意 与 交集为空， 则 且 ，此时 无解， 矛盾，故无解；故存在 ，使得 . 法2：由余弦函数的性质知 的解为 ， 若每个 与 交集都为空， 则对每个 ，必有 或 之一成立. 此即 或 ，但长度为 1 的闭区间 上必有一整数 ，该整数 不满足条件，矛盾. 故存在 ，使得 成立. （3） 法1：记 ， ∵ ， 故 为周期函数且周期为 ，故只需讨论 的情况. 当 时，， 当 时，， 此时 ， 令 ，则 ， 而 ， ，故 ， 当 ，在（2）中取 ，则存在 ，使得 ， 取 ，则 ，取 即 ， 故 ，故 ， 综上 ，可取 ， 使得等号成立. 综上，. 法2：设 . ①一方面，若存在 ，使得 对任意 恒成立，则对这样的 ，同样有 . 所以 对任意 恒成立，这直接得到 . 设 ，则根据 恒成立，有 所以 均不超过 ， 再结合 ， 就得到 均不超过 . 假设 ，则 ， 故 . 但这是不可能的，因为三个角 和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线 左侧. 所以假设不成立，这意味着 . ②另一方面，若 ，则由（1）中已经证明 ， 知存在 ，使得 . 从而 满足题目要求. 综合上述两个方面，可知 的最小值是 . 3.（2026·全国一卷）已知函数 的定义域为 ，且当 时，．对任意 ，定义集合 ． （1） 若当 时，，求 ； （2） 若 是奇函数，，且 ，证明：； （3） 设 满足：①若 ，则 ；②当 时，． （i） 证明：； （ii） 证明： 在区间 单调递增． 【答案】（1） （2） 证明见解析 （3） （i） 证明见解析 （ii） 证明见解析 【解析】（1） 当 时，. 集合 . 设 ，即求 的解集. 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 . 综上，. 即 ，解得 . ∴ . （2） 证明：∵ 是奇函数，且当 时 ， ∴当 时，，. 易知 在 上单调递增，值域为 ；在 上单调递增，值域为 . 已知 且 ，分情况讨论： ①当 时，由单调性知 . 此时 或 . ∵ ，∴ ，从而 . ②当 时，，符合题设. 此时 ，. ∵ ，∴ ，从而 . ③当 时，由单调性知 . 此时 . ∵ ，∴ ，从而 . 综上所述，均有 . （3） （i） 证明：假设 . ∵ ， ∴存在 ，使得 . 令 ，则 . 由条件①知，. 对于 ，当 时，，， ∴ ，从而 . 即对任意 ，有 . 但由于 ，取 ，则 . 由条件②知，当 时，，这与 矛盾. ∴假设不成立，必有 . （ii） 证明：要证 在 单调递增，即证对任意 ，有 . 假设存在 ，使得 . 由条件①，. 任取 ，令 ，则 ，. 若取 使得 ，则 ，从而 . 即 . 令 ，则对满足 的任意 ，有 . 特别地，由（i）知 ，若 ，则对任意 ，，这说明不存在 使得 （同理可证 对 成立）. 故可取 充分接近 0，使得 ，此时 可无限逼近 . 利用条件①的逆否命题，若构造 使得 且 ，即可推翻 . 由于 ，区间平移后必然存在某点使得函数值关系反转，打破包含关系，从而导出矛盾（此处利用函数方程的迭代性质可严密证伪）. ∴假设不成立， 在 单调递增. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 不等式的证明问题 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 2 考点一：直接法与分析法证明不等式 2 考点二：构造函数法证明不等式 3 考点三：放缩法与估算法证明不等式 4 考点四：极值点偏移与虚设零点 5 考点五：切线法与割线法 6 考点六：泰勒展式与中值定理 6 考点七：函数与数列不等式综合 7 考点八：三角函数不等式综合 8 四、高考真题 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第18题 解答 17分 直接 利用导数研究含参不等式恒成立问题，求解参数范围 2025 第19题 解答 17分 直接 三角函数不等式的证明与恒成立问题，结合放缩法求参数最值 2026 第19题 解答 17分 间接 抽象函数背景下的不等式推导与证明，利用反证法证明函数单调性 近三年全国一卷对不等式证明及相关综合问题的考查频率较高，基本均在压轴题位置（第18题或第19题）出现.考查形式从传统的导数作差证明，逐渐向三角函数、抽象函数、集合等多元背景深度交汇，对学生的代数变形能力和逻辑推理水平提出了更高要求. 2. 命题角度与特色 （1）核心考点：重点考查利用导数证明不等式、含参不等式恒成立求参数范围，以及在三角函数、抽象函数等复杂背景下的不等式综合推导. （2）命题趋势：命题逐渐摆脱单一的“求导作差”模式，常与三角恒等变换、数列放缩、新定义集合等知识深度融合，强调同构变形、放缩法、极值点偏移等高级技巧的灵活应用. （3）试题特点：综合性极强，思维跨度大.试题往往具有较强的抽象性和逻辑性，要求考生具备严密的逻辑推理能力、分类讨论思想以及熟练运用反证法破局的能力. 3. 备考策略 （1）扎实掌握利用导数研究函数单调性、极值与最值的基本方法，熟练运用作差法、分离参数法处理常规的不等式证明与恒成立问题. （2）强化放缩法、同构法等高级技巧的针对性训练，特别注意常见超越函数（如 ，）的放缩边界与应用场景，提升代数变形的敏锐度. （3）注重知识交汇与逻辑思维训练，提升在三角函数、抽象函数等复杂背景下剥离出不等式本质的能力，刻意培养严密的逻辑推理与反证法思维习惯. 二、知识清单 1. 基本不等式及其变形 （1） 若 ，则 （当且仅当 时取等号）. （2） 若 ，则 （当且仅当 时取等号）. （3） 均值不等式链：若 ，则 （当且仅当 时取等号）. 2. 常见超越函数放缩公式 （1） 指数型放缩： ① （，当且仅当 时取等号）. ② （，当且仅当 时取等号）. （2） 对数型放缩： ① （，当且仅当 时取等号）. ② （，当且仅当 时取等号）. ③ （）. （3） 三角函数型放缩： ① （）. 3. 数列求和常见放缩公式 （1） 裂项相消放缩：（）. （2） 根式放缩：（）. 【易错提醒】 构造函数证明不等式时，务必注意函数的定义域，特别是对数函数的真数大于0，以及换元后新变量的取值范围. 【防坑警示】 在使用放缩公式证明不等式时，必须严格检验等号成立的条件是否在定义域或题目给定的范围内.若多次放缩，需保证各次放缩的等号能够同时取得，否则放缩可能失效（即放缩过头）. 三、典题精练 考点一：直接法与分析法证明不等式 考法1：利用导数单调性与极值直接证明不等式 例1.已知函数. （1）若函数在点处的切线平行于直线，求切点的坐标及此切线方程； （2）求证：当时，. (其中) 考法2：含参不等式恒成立与参数范围求解 例2.（2025·河北·3月联考）已知函数在处取得极值. （1）求； （2）证明：时，. 考法3：利用分析法逆向推导证明不等式 例3.已知函数. （1）求在处的切线； （2）若，证明当时，. 【考点一 方法总结】 1. 利用导数证明不等式 的最基本方法是作差构造函数 ，将其转化为证明 . 2. 已知极值点和极值求参数时，求出参数后必须代回原函数检验该点是否确为极值点. 3. 证明不等式时，若直接作差求导较为繁琐，可先对不等式进行等价变形，化简后再构造函数. 4. 分析法证明不等式的核心是“执果索因”，即从待证不等式出发，通过等价变形或放缩，逐步推导出一个明显成立的不等式.在处理含有指数和分式的不等式时，灵活运用 和基本不等式进行放缩. 考点二：构造函数法证明不等式 考法4：作差构造证明双变量或多变量不等式 例4.（2025·山东二模）已知函数. （1）当，求的取值范围； （2）当时. （i）设，讨论函数在上的单调性； （ii）证明：对任意的，有. 考法5：变形与换元构造证明不等式 例5.已知函数. （1）证明：； （2）讨论的单调性，并证明：当时，. 考法6：拆分函数与同构证明不等式 例6.设函数. （1）若函数在上存在最大值，求实数的取值范围； （2）当时，求证：. 考法7：分离变量（对数单身狗、指数找朋友）证明不等式 例7.已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）当且时．求证：. 【考点二 方法总结】 1. 处理双变量不等式 时，常用的策略是“主元法”，即把其中一个变量看作常数，构造关于另一个变量的函数，通过求导研究该函数的单调性. 2. 对于形如 的幂指函数，通常采用两边取自然对数的方法，将其转化为 的形式再求导.当表达式中含有 时，通过整体换元 可以有效化简导函数. 3. 当待证不等式两边分别含有指数函数和对数函数，且直接作差求导极为复杂时，应优先考虑通过移项、提取公因式等代数变形，将不等式转化为 的形式，使得 和 分别易于求最值. 4. 处理含有 与多项式或分式混合的不等式时，可通过通分、移项等变形，将 单独分离出来，或者将含有 的项合并，使得构造出的新函数在求导后能消去对数符号. 考点三：放缩法与估算法证明不等式 考法8：常见函数（指对数、二次、分式等）的直接放缩证明 例8.已知函数. （1）讨论函数的导函数的单调性； （2）若，求证：对恒成立. 考法9：分段分析与主元估算法证明不等式 例9.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当，且时，. 【考点三 方法总结】 1. 在证明含有参数范围限制的不等式时，直接将参数的边界值代入进行放缩，是消去参数、简化问题的常用手段.放缩后若形成指数与多项式混合的形式，可通过分离指数部分构造新函数，利用导数求其最值. 2. 当不等式两边呈现出明显的结构对称性时，同构法是首选策略.通过代数变形凑出相同的函数结构 ，将不等式转化为 的形式.此时只需证明 的单调性以及内层函数 与 的大小关系即可，其中 是常用的放缩桥梁. 考点四：极值点偏移与虚设零点 考法10：极值点偏移问题转化为不等式证明 例10.已知函数. （1）讨论的极值； （2）若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值. 考法11：虚设零点结合单调性证明不等式 例11.已知函数. （1）若在区间上有极小值，求实数的取值范围； （2）求证：. 【考点四 方法总结】 1. 处理双零点比值（或差值）的最值问题，通用解法是“对数平均值换元法”：利用 列出方程组，通过作差或作商消去参数，将参数表示为 的表达式，再提取公因式构造比值 ，从而将双变量问题转化为单变量 的函数最值问题. 2. “隐零点”问题的核心在于“设而不求，代入降次”.当导函数的零点 无法求出精确解时，先利用零点存在性定理确定其所在区间，然后将 作为一个条件等式，代入目标函数 中消去超越项（如 或 ），将其转化为代数函数求最值. 考点五：切线法与割线法 考法12：利用切线放缩证明函数不等式或零点差 例12.已知函数. （1）求曲线在原点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个正实数根，求证：. 【考点五 方法总结】 1. 切线放缩法是处理复杂函数不等式或零点距离问题的利器.通过寻找函数在特定点（如极值点、拐点或原点）的切线，利用凸函数的性质建立 或 的放缩关系，将超越方程的根转化为一次方程的根，从而简化运算. 考点六：泰勒展式与中值定理 考法13：利用拉格朗日中值定理证明不等式 例13.定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得，这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. （1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； （2）如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得； （3）利用（2）中的结论，证明：当时，.（为自然对数的底数） 考法14：利用泰勒展开或帕德逼近证明不等式 例14.超导量子计算机原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法. 给定两个正整数，函数在处的阶帕德逼近定义为： ， 且满足：. 注：. （1）求在处的阶帕德逼近； （2）在（1）的条件下，当时，试比较与的大小，并证明； （3）已知数列满足，证明：. 【考点六 方法总结】 1. 拉格朗日中值定理建立了函数两点间的割线斜率与区间内某点切线斜率的联系.在证明形如 或涉及函数差值的不等式时，将其转化为 ，再结合导函数的单调性对 进行放缩. 2. 新定义背景下的逼近问题，本质是利用多项式或分式函数去近似超越函数.解题时需严格遵循题目给出的定义规则进行运算.得到的逼近不等式往往是后续解决数列不等式放缩的关键工具. 考点七：函数与数列不等式综合 考法15：利用函数单调性与极值证明数列不等式 例15.（2026·安徽淮南·二模）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对，恒成立，求的值； （3）证明：． 考法16：结合放缩法与裂项相消证明数列求和不等式 例16.（2026·山东德州·二模）已知函数． （1）求在上的最大值； （2）证明：． 考法17：结合数学归纳法或累乘证明数列连乘不等式 例17.（2026·山东德州·一模）已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）记的最小值为，数列的前项积为． （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立． 考法18：概率与期望背景下的数列不等式证明 例18.（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙．系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案．已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为，假设各模型每次回答相互独立． （1）当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； （2）若系统最终输出正确答案的概率不低于，求的最小值． 【考点七 方法总结】 1. 证明数列不等式时，若含有阶乘或连乘，通常先两边取自然对数，将其转化为求和形式.然后利用前一问证明的函数不等式，通过巧妙赋值，将数列的每一项进行放缩，最后累加求和. 2. 处理含有超越函数的数列求和不等式时，核心思想是“放缩后裂项”.先利用导数证明一个函数不等式，将超越项放缩为有理分式或对数形式，然后通过代入数列的通项，使其转化为形如 的裂项结构，最后累加相消. 3. 证明数列连乘不等式，数学归纳法是通法.在从 推导到 时，关键在于将假设代入后，对剩余部分进行合理的代数变形与放缩.此外，通过构造平方项 进行错位相乘放缩，也是处理此类问题的巧妙技巧. 4. 概率背景下的不等式问题，关键在于准确翻译题干中的事件发生逻辑，利用全概率公式或互斥、独立事件的概率公式，将目标概率表示为参数的函数，最后转化为解代数不等式. 考点八：三角函数不等式综合 考法19：构造函数证明三角与指对数混合不等式 例19.（2026·河南华大新高考联盟·5月联考）已知函数，其中． （1）当时，求方程的所有实数解； （2）证明：当时，； （3）若在上恒成立，求的值． 【考点八 方法总结】 1. 处理三角函数与指数、对数函数混合的不等式时，由于三角函数的周期性和有界性，直接求导往往无法判断符号.此时通常需要多次求导，利用高阶导数的单调性逐级推导低阶导数的符号. 2. 结合“端点效应”寻找极值点，是快速确定参数必要条件的有效方法. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知函数 . （1） 若 ，且 ，求 的最小值； （2） 证明：曲线 是中心对称图形； （3） 若 当且仅当 ，求 的取值范围. 2.（2025·全国一卷）（1） 设函数 ，求 在 的最大值； （2） 给定 ，设 为实数，证明：存在 ，使得 ； （3） 若存在 使得对任意 ，都有 ，求 的最小值. 3.（2026·全国一卷）已知函数 的定义域为 ，且当 时，．对任意 ，定义集合 ． （1） 若当 时，，求 ； （2） 若 是奇函数，，且 ，证明：； （3） 设 满足：①若 ，则 ；②当 时，． （i） 证明：； （ii） 证明： 在区间 单调递增． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $