第14讲 三角与向量 三角函数最值·辅助角 讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 三角与向量 第 14 讲 · 先合并，再讨论 01 题眼 本讲只练一个动作 先把同频的 、 合成一个正弦型函数，再把 的区间翻译成相位区间， 最后只在一条正弦型曲线上读最值。 三角函数的最值题，难处不在公式，而在“讨论”：函数名不统一要拆，端点要代，驻点要解，候选值还要比较。候选一多，符号就容易错，结构反而被埋掉。 本讲只做一次合并：把 收成 。合并之后，振幅给出高度，相位范围给出“截到哪一段”；最值只剩两个来源：区间里的峰谷，或者端点。 省掉的是：求导找驻点、解三角方程、判断驻点类型、逐个比较候选值。合并只算一次，之后全是读图。 02 识别 辅助角只处理同角、同频、一次的结构；三个信号出现，才值得走这条路。 信号一 · 同频一次式。 题面出现 ，或 与 的线性组合。系数可正可负，只要同频，就一定能提振幅。 信号二 · 平方与乘积。 出现 、、，先用二倍角降幂。这一步是把次数统一；次数不统一，辅助角无从下手。 信号三 · 问最值、值域或参数。 求最大值、最小值、值域，或“最大值为 ，求参数”。合并之后，这些问法都归到同一个动作：看相位区间与波峰波谷的位置关系。 图 1: 把最值题收成四个动作 动笔前的 30 秒 第 1 步 统一：平方项降幂 ，乘积写 。 第 2 步 合并：提 ，写成 ；φ 由 、 同时确定。 第 3 步 翻译：把 整体代入，得相位区间 ； 时先翻成正的。 第 4 步 读图：相位区间含 ，最大值就是 ；含 ，最小值就是 ；都不含，才比较两个端点。 注意：φ 的象限由两个系数共同决定；峰值在不在区间里，必须算过相位区间才算数。 03 双解对照 下面这道题，两条路的分岔口在第一步：一边直接求导，一边先降幂再合并。 例题 · 平方与乘积 已知 ，， 求 的最大值与最小值。 先把题干里的“免费信息”读出来。 端点值先算：，。它们是最值的保底候选；合并之后还要追问一句：区间内部有没有更高的峰、更低的谷？ 顺带算一个 ：。它已经靠近最大值，却仍不是最大值——代几个特殊点，代替不了对整段区间的判断。 常规解 · 算：求导、解方程、比较候选值 直接求导： 令 ，得 。由 ，得 ，即 。 再判断驻点类型。 在相邻零点之间不变号，列表如下： 所以 是极大值点。 最后算三个候选值： 最大值为 3，最小值为 0。 这条路要求两次复合求导、解一个三角方程、判断驻点类型，再比较三个值。每一步都不难，但每一步都可能出错。 两条路的分岔口 常规解问的是“驻点在哪、是峰还是谷”，要解方程；少算解问的是“区间截到曲线的哪一段”，只要读图。前者把区间当成候选值的集合，后者把区间当成一段相位。 更关键的是，常规解把“区间”拆成了三个候选值；少算解把“区间”保留成一段。后者不会漏掉峰值，因为它从来没有把峰值从区间里拿出去。 停一下。下一页，我们不走这条路。 少算解 · 想：合并成一个正弦 第一步，统一次数。 用 与 ，得 第二步，合并。 振幅为 ： 第三步，翻译区间。 由 ，得 第四步，读图。 峰值 落在区间内，最大值为 1+2=3，此时 。最小值只能来自区间两端： 时 ，； 时 ，。所以最小值为 0，此时 。 两条路的分水岭是“先不先合并”。常规解必须先求导、解出驻点、再判断它是极大还是极小；少算解把整条曲线搬进相位区间，峰值在不在区间里，一眼可见。省掉的具体动作是：求导、解 、判断驻点类型、比较三个值——四步都是代算，不含新的判断。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 求导，得 降幂，合成 关键难点 解 ，再判断驻点类型 定 φ，把区间翻成相位区间 运算量 步骤数 五步 四步 主要风险 驻点类型判反，漏比较端点 相位区间端点算错，漏掉内部峰值 图 2: 相位区间内的峰值与两个端点 04 迁移 同一个动作，换两种外壳：一种是先平方、后合并；一种把参数藏进振幅。变的是外壳，不变的是“合并—翻译—读图”。 （一）平方外壳：峰值在身后 迁移一 求 在 上的最大值与最小值。 少算解 · 想：先降幂，用余弦合并 第一步，降幂。 由 与 ， 第二步，翻译区间。 相位 。 第三步，读图。 余弦峰值 0 不在区间内（区间从 起步），所以最大值只能在左端点：。最小值在 处取到：。 这里故意合并成余弦：相位区间从 起步，峰值已经“在身后”，最大值只能回头取端点。合并的目标形式不唯一，哪个形式让区间好读，就用哪个。 追问。 若把 改成 ，相位区间不变；峰值 0 仍不在内，所以最大值 ，最小值 。 （二）参数外壳：振幅里藏着答案 迁移二 已知 （）在 上的最大值为 2，求 。 少算解 · 想：先合并，再确认峰值 合并：，其中 由 得 。相位区间是 ，它一定包含 ，所以峰值可达，最大值就是振幅： 参数题的顺序不能倒：先合并，再确认峰值在区间里，最后才让振幅等于最大值。 的符号决定 φ 的象限，也决定峰值在不在区间里。 05 边界 合并本身很少出错，出错的是合并之后的读法。最常见的失手有两种：只代端点，或者只记振幅。 反例 · 只看端点 求 在 上的最大值。 机械套用会得到错误答案 直接代端点：，，于是最大值为 1。 这是错的。合并得 相位区间是 ，含 ，所以最大值为 ，在 处取到。端点值 1 只是保底候选，不是最大值。 正确的读法。 合并之后先画相位区间，标出 、 是否落在里面。落在里面，最值就是 ；不在里面，才轮到端点。只代端点，等于默认“区间内没有峰谷”——这是一个未经检查的假设。 第二种失灵，只记振幅。 在 上振幅为 2，但相位区间 不含余弦峰值 0，最大值只有 。振幅是整条曲线的最高点，不是这一段区间的最高点。 不同频（如 ）或带绝对值时不能直接合并，要换元、分段或平方；这类情形已收进速查卡，不硬套。 一句话： 合并只把曲线摆正；最值还要看区间截到了哪一段。 06 自测 三题，限时 15 分钟。答案在文末第 08 节，先做完再对。 自测 1 求 在 上的最大值与最小值。 自测 2 已知 （）的最大值为 2，求 。 自测 3 已知 在 上的最大值为 2，求 的最小值。 07 速查卡 表 2: 辅助角求最值·速查卡 题面信号 先看什么 接下来做什么 还要补什么 提振幅 合成 由两系数定 φ 含平方项、乘积项 先降幂、二倍角 化成同频一次式再合并 先统一，再合并 已合并，给定 翻译相位区间 看 在不在内 不在内才代端点 最大值为 ，求参数 先确认峰值可达 可达用振幅，否则代端点 参数符号影响 φ 不同频或带绝对值 不能直接合并 换元、分段或平方 不要硬套辅助角 本讲结论 先合并，再讨论。把 收成一个正弦型函数，把区间翻译成相位区间；峰值落在区间里就取 ，落在外面才比较端点。振幅只管高度，区间才决定最值。 辅助角公式卡 ，其中 ，。若余弦形式更好读，也可写成 ，其中 。 合并四问 读图三步 一 写相位区间：把 的范围整体代入， 先翻正。 二 找峰值：在区间上标出 与 。 三 定最值：峰在内取 ，不在内才比较端点。 本讲关键词：振幅 · 相位区间 · 峰值 · 端点候选 · 降幂 下一讲 · 选对基底，坐标减半 向量题不必一上来就建系。先看题面给了哪两条向量、哪两个长度与夹角，把它们选作基底；同一个点用基底写出来，坐标往往只有一半。 08 参考答案 自测 1　【答案】最大值为 1，最小值为 −2。 【解析】 先降幂并合并： 由 得 。 峰值 在区间内，所以最大值为 2−1=1，此时 。最小值在右端点取到： 时 ，，此时 。 代回三个关键点核对：，，。 【路径回看】 平方项先降幂，把次数统一成一次，再合并；峰值在内取振幅，最小值只能比较端点。 自测 2　【答案】。 【解析】 合并： 取遍实数，相位区间覆盖一个完整周期，峰值必可达，所以最大值就是振幅：，得 。又 ，所以 。 【路径回看】 没有区间限制时，“最大值等于振幅”才成立；这里 ，所以直接用振幅列方程。 自测 3　【答案】。 【解析】 本题函数是 ，相位是 ，不是自测 1 的 。由 得相位区间 。要让最大值为 2，峰值 必须落在区间内，即 ，得 。当 时， 在 上单调递增，最大值为 。所以 的最小值为 。 【路径回看】 求参数范围，本质是问“峰值在不在区间里”；把相位区间的右端点与 对齐，就得到临界值。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 平方项先降幂 峰值 在内 代回 0, 1, −2 2 无区间，峰值必可达 振幅 ，舍去负值 3 峰值必须在区间内 时最大值小于 2 学科网（北京）股份有限公司 $