第13讲 三角与向量 三角函数图象·对称与五点 讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 三角与向量 第 13 讲 · 先找对称轴 01 题眼 本讲只练一个动作 先画骨架，再读系数：轴落在峰谷的竖线上，中心落在零点上。 量一段距离定 ，读一处相位定 φ。 三角函数图象的题，条件几乎都落在“对称”两个字上：关于直线 对称，关于点 对称，或者直接给出最高点、最低点。常规做法是列一组含整数 的式子，再逐个试 、验证范围。运算不难，但每一步都要盯着整数。 本讲只练一个动作： 先找对称轴与中心，把系数从图上量出来 。轴与中心不是两个孤立的条件，它们是同一条正弦骨架上的“峰”与“零点”：相邻的轴与中心相距 ，相邻的两条轴相距 。先量距离定 、定 ，再用轴上的相位定 φ。 “先找对称轴”为什么能少算？距离是几何量，读一次就够；而方程组里的 ，只是周期在整数圈上的重复。重复的部分对定 没有新信息，除非题目给了“相邻”或范围。 02 识别 不是每道图象题都值得先找轴与中心。出现下面三个信号之一，才动手画骨架。 信号一 · 一轴一中心。 条件里同时出现“关于直线 对称”与“关于点 对称”。量它们的横向距离 ；若相邻，，于是 ，一个除法就出来。 信号二 · 两条轴，或两个中心。 同类元素之间的距离是 的整数倍，相邻时正好是 。两条相邻轴之间没有别的轴，两个相邻中心之间没有别的中心——这句话是“相邻”的全部含义。 信号三 · 给的是最值点或零点。 最高点到相邻零点、到相邻最低点，分别隔着 、；纵坐标的绝对值就是 。先用点的位置把 读出来，再回代求 φ。 图 1: 先找对称轴与中心的四个动作 动笔前的 30 秒 第 1 步 标：题目说“直线”，画成竖线；说“点”，画成圆点。先分清谁是轴、谁是中心。 第 2 步 量：量相邻轴与中心（或同类两点）的横向距离 ，别量成斜线距离。 第 3 步 换： 或 ，得 ，再得 。 第 4 步 定：轴处相位写成 ，用 |φ| 的范围挑出唯一的一个；轴是峰还是谷，同一步就能定。 03 双解对照 下面这道题只有一轴一中心：常规解列含 的式子再筛整数，少算解先量 。 例题 · 一轴一中心 已知函数 （，）的图象关于直线 对称，且相邻的一个对称中心为 。求 的解析式，并求它在 上的单调递减区间。 图 2: 轴在峰上，中心在零点上，两处相距 先把题干里的“免费信息”读出来。 振幅是 2；轴在左、中心在右，中间没有别的轴或中心——“相邻”二字把 钉死了； 则负责在最后一步选出唯一的相位。三个条件，正好对应骨架上的三个位置。 常规解 · 算：列相位式、筛整数 设轴处相位为 ，中心处相位为 （），则 两式相减，消去 φ： 由 得 ，所以 。 再用“相邻”筛选：若 ，则 ，，轴与中心相距 ，两者之间还夹着一条对称轴； 更大，夹的轴更多。故只能取 ，即 。 代回第一式：，得 。由 取 ，。所以 最后求单调递减区间：令 ，与 求交，得 。 停一下。下一页，我们只量一段距离。 少算解 · 想：量距离、读相位 第一步，量距离定 。 轴 与相邻中心 的横向距离 所以 ，。全程没有出现整数 。 第二步，看轴是峰还是谷。 时，轴处相位为 由 得 ；这个开区间里唯一的最值相位是 ，所以这条轴是最高点： 于是 。 第三步，用峰谷读单调区间。 图象在 处到最高点，之后一直下降，直到下一个最低点 区间 的右端落在峰与谷之间，所以单调递减区间是 。 两条路的分水岭是“距离还是方程”。常规解把“对称”翻译成两条含 的等式，再由“相邻”筛整数，最后解一次三角不等式；少算解把“对称”翻译成一条骨架：轴在峰上、中心在零点上，两处相距 。省掉的具体动作是：列含 的式子、逐个代入筛 、解三角不等式——三次纯代算，不含新的判断。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 列轴与中心的两条相位式，相减得 量 ，得 关键难点 用“相邻”筛掉 判断轴是峰还是谷 运算量 步骤数 四步 三步 主要风险 漏筛、范围漏用 距离量错、把谷当峰 骨架的五个关键位置是“峰、零、谷、零、峰”，相邻两处都隔 ，量哪一段都一样。 图 3: 五点上每相邻两处，都隔 04 迁移 同一个动作，换两种外壳：一种给两条轴，一种给两个最值点。变的只是“量哪两点”，不变的是“距离换周期、相位定 φ”。 （一）外壳一：两条相邻的对称轴 迁移一 已知 （，）的图象有两条相邻的对称轴 与 ，求 ，并写出其图象在 轴右侧的第一个对称中心。 少算解 · 想：同类点隔半个周期 两条相邻轴的距离是 ：，所以 ，。 轴处相位为 。由 得它落在 ，其中唯一的最值相位是 ，故 验证第二条轴： 处相位 ，确为最低点，两轴相邻。 对称中心满足 ，即 。取 ，得 ，这是 轴右侧的第一个对称中心。 外壳换了：给的不是轴与中心，而是两条轴。路径仍是“同类点隔半个周期”，一步读出 ；φ 仍由范围在峰谷之间二选一。 （二）外壳二：一峰一谷 迁移二 已知 （，，）的图象最高点为 ，相邻最低点为 ，求 。 少算解 · 想：峰到谷是半个周期 峰到相邻谷的横向距离是 ：，所以 ，。纵坐标的绝对值给出 。 最高点在 处，相位为 。由 知它落在 ，唯一的最值相位是 ，故 ： 验证最低点： 处相位 ，函数值 −3，与题意一致。 这一壳把“轴”换成了“最值点”：轴与最值点本是同一条竖线，峰谷只是把纵坐标也写了出来。距离照量，φ 照定。 05 边界 骨架法最容易被当成“距离一量就唯一”。距离只说明两点隔了几个 ，并不说明它们相邻。 反例 · 少了“相邻”二字 已知 （，）的图象关于直线 对称，点 是它的对称中心，求 与 φ。 机械套用会得到错误答案 照搬 ：，得 ，；再代轴处相位 ，得 ，取 φ=0。答案写成 ，φ=0。 这是漏解。 同样满足： 处相位 ，函数值 −1，仍是对称轴； 处相位 ，函数值 0，仍是对称中心。 亦然。正确结论是一族： 正确的读法。 距离法则的一般形式是 （）：只有写明“相邻”，才允许取 ；若题目改给 的范围，范围同样能筛掉 。主例与反例的唯一差别，就是主例多了“相邻”二字。 还有第二种失灵：若函数是 ，对称中心的纵坐标是 ，横坐标仍按相位条件算；把 当成零点代入，会连 φ 一起算错。 一句话： 距离只给“半周期的整数倍”，要唯一，必须补“相邻”或范围。 06 自测 三题，限时 15 分钟，答案在第 08 节。 自测 1 已知 （，）的图象关于直线 对称，且相邻的一个对称中心为 。求 ，并求它在 上的单调递增区间。 自测 2 已知 （，）的图象有两条相邻的对称中心 与 。求 ，并求它在 上的值域。 自测 3 已知 （）的图象向左平移 后关于 轴对称，求 φ 的最小正值。 07 速查卡 表 2: 对称与五点·速查卡 题面信号 先看什么 接下来做什么 还要补什么 一轴一中心，且相邻 量横向距离 ， 轴是峰还是谷，由范围定 两条相邻轴，或两个中心 量同类点的距离 ， 代入一条轴的相位定 φ 最高点与相邻最低点 量距离，再看纵坐标 ， 峰在前、谷在后，相位差 只给轴与中心，没写“相邻” 两点隔几个 用范围或“相邻”定 闭区间上求单调或值域 把相位算成整体 对照正弦曲线读区间 端点落在峰谷之间哪一段 本讲结论 对称轴在峰谷的竖线上，对称中心在零点上；相邻轴与中心隔 ，同类点隔 。先量距离定 ，再读相位定 φ。只给距离、不给“相邻”，答案就是一族。 骨架四问 本讲关键词：对称轴 · 对称中心 · 相位 · 相邻 · 距离换周期 下一讲 · 先合并，再讨论 看到 ，不必讨论 与 怎么搭配。先合并成 ，最值就是 ；区间上的最值，再把相位整体落进一个周期。 08 参考答案 自测 1　【答案】；单调递增区间为 与 。 【解析】 轴 与相邻中心 的距离 ，故 ，。轴处相位 ，由 得它落在 ，最值相位只有 ，故 。 单调递增：令 ，得 ；与 求交，得 与 。 【路径回看】 仍然先量 定 ；轴在中心右侧，相位区间随之改变，峰谷仍由范围判断。求单调区间时把相位整体算成 ，对照正弦曲线直接读两段。 自测 2　【答案】；值域为 。 【解析】 两个相邻中心相距 ：，故 ，。中心 处相位 ，得 ；由 取 ，。 值域： 时，。 在 处取 ，在 （即 ）处取 −1，故值域为 。 【路径回看】 两个中心是同类点，量距离得 ；φ 由 在两支中选一支。值域仍靠整体相位：先把 的范围算清楚，再在正弦曲线上找最低与最高。 自测 3　【答案】。 【解析】 向左平移 后，新函数为 由 关于 轴对称， 处取到最值，故 ，即 。由 得 或 ，最小正值为 。 【路径回看】 “关于 轴对称”就是“ 是对称轴”：把平移后的相位写到 处，令其取最值，再用范围筛 ，不必画图。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 一轴一中心，相邻 ， 相位含两段递增 2 两个相邻中心 ， 谷值 −1 在 3 平移后关于 轴对称 是轴，取最值 另一支为负，舍去 学科网（北京）股份有限公司 $