第20讲 三角函数的图象与性质 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第20讲 三角函数的图象与性质 第20讲 三角函数的图象与性质 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练求出三角函数的周期、奇偶性、单调区间与最值，能写出对称轴与对称中心； 2．掌握整体代入法，把 视为整体解决单调性与值域问题； 3．会用换元法处理"二次型"三角函数的最值，能正确写出新元的取值范围； 4．能由对称性、单调性与最值反求参数，并完成平移、伸缩变换的辨析。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 三角函数的周期与奇偶性 选择题、填空题 第4~6题 中 周期用 ，奇偶性先看定义域是否对称 三角函数的单调区间 选择题、解答题 第6~8题／第15题 中偏难 整体代入基本区间， 时先化正 最值与值域（换元） 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中偏难 换元后写清新元范围，闭区间先算内层整体范围 对称轴与对称中心 选择题、填空题 第5~6题／第13题 中 整体代入 或 ，别忘回解 图象变换与由性质求参数 选择题、填空题 第7~8题／第14题 中偏难 先看 被如何替换；参数按"最值、周期、特殊点"求解 命题规律分析 三角函数的图象与性质是新高考三角板块的主力考点，多落在选择题第5~8题、填空题第13~14题，也常作为解答题第15题的一问。命题热点集中在四处：周期与奇偶性的辨析、整体代入法求单调区间、闭区间上的值域、以及由对称性（直线或点）反求参数。培优层面还要突破两类综合问题：含参 的单调性与值域、三角函数换元后的二次函数最值——它们正是拉开差距的第8题、第14题档。本讲把六个题型串成一条主线：先用整体代入法把 当成一个字母，把复合问题降为对 的讨论，再配合换元与分类讨论解决含参问题。三个高频陷阱：周期公式漏掉分母的 ；换元求最值时丢掉新元的范围；平移变换忘记"除以 "。 考点1 三个基本三角函数的图象与性质 知识点1 三个基本三角函数的性质对照 正弦函数 ：定义域 ，值域 ，最小正周期 ，是奇函数。 余弦函数 ：值域 ，最小正周期 ，是偶函数；正切函数 的最小正周期为 ，值域为 ，是奇函数。 【易错清单】 1．周期是 ，正切型是 ，不要漏掉分母的 ； 2．单调区间一律带 ，且不能把不同周期的区间"接"成一段； 3．正切函数没有对称轴，只有对称中心。 知识点2 对称轴与对称中心 求 的对称轴，令 ；求对称中心，令 。 的对称轴由 确定，对称中心由 确定。 【易错清单】 1．正弦与余弦的对称轴（对称中心）公式正好"互换"，最容易记混； 2．整体代入后必须再解一次关于 的方程，不能把整体直接当成 ； 3．对称轴处取最值、对称中心处函数值为零，可用这两点快速自检。 考点2 图象变换与 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 知识点3 平移与伸缩变换 "左加右减"针对自变量 ：把 换成 即左移 个单位，把 换成 即横坐标变为原来的 。 先伸缩后平移时平移量要除以 ，即由 到 需平移 个单位。 【易错清单】 1．左右平移只看 被"加"还是"减"，与函数值上的常数无关； 2．"横坐标缩短到 "对应把 换成 ，方向不要弄反； 3．先伸缩后平移忘记除以 是本章最高频的失分点。 知识点4 由性质反求参数 求参数三步：由最值定 （），由周期定 （），由特殊点定 。 已知对称轴 时 ；已知单调区间时，整体 必须落在 的相应单调区间内。 【易错清单】 1．由最值定 时忘记除以 ，把 当成最大值； 2．由点求 时忽略 的限制，写出多个解； 3．由单调性求 时，限制的是整体 的端点而不是 的端点。 【题型1 三角函数的周期与奇偶性】 【例1】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】函数 是（　　） A．奇函数　B．偶函数　C．非奇非偶函数　D．既是奇函数又是偶函数 【变式1-3】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 三角函数的单调区间】 【例2】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】若函数 （）在 上单调递增，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 三角函数的最值与值域】 【例3】函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】函数 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 对称轴与对称中心】 【例4】函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】函数 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】若函数 （）的图象关于点 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 图象的平移与伸缩变换】 【例5】把函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】要由 的图象得到 的图象，若采用"先伸缩后平移"，则把横坐标缩短到原来的 后，还应（　　） A．向右平移 个单位长度　B．向右平移 个单位长度　C．向左平移 个单位长度　D．向左平移 个单位长度 【变式5-2】把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 由性质反求参数】 【例6】已知函数 （）的图象关于直线 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】若函数 （）在 上单调递减，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知函数 （）的最小正周期为 ，则 ____________。 【变式6-3】已知函数 （）的图象的一条对称轴为 ，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）函数 是（　　） A．奇函数　B．偶函数　C．非奇非偶函数　D．既是奇函数又是偶函数 5．（★★）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知函数 （）的最小正周期为 ，则 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）把函数 的图象向右平移 个单位长度，则所得图象的对称中心中离原点最近的一个是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知函数 （）的图象关于直线 对称，且在 上单调递增，则 （　　） A．　B．　C．　D． 或 二、多选题 9．（★★）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 　B．最大值为 　C．图象关于点 对称　D．在 上单调递增 10．（★★）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 　B．最大值为 　C．图象关于直线 对称　D．在 上单调递增 11．（★★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 　B． 的图象关于直线 对称　C． 的图象关于点 对称　D． 在 上单调递增 12．（★★★）已知函数 （）在 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 的最大值为 　C．当 时， 在 上单调递增　D．当 时， 在 上单调递增 三、填空题 13．（★★）函数 的最小正周期是 ____________。 14．（★★）函数 的图象的一条对称轴方程是 ____________。 15．（★★★）函数 的值域是____________。 16．（★★★）已知函数 （）的最小正周期为 ，则 在 上的值域是____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 在 上的值域。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 图象的对称轴方程与对称中心； (2) 求 的单调递减区间。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期； (2) 求 的单调递增区间。 20．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与对称中心； (2) 求 在 上的值域。 21．（★★★）已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 的单调递减区间。 22．（★★★）已知函数 （）的图象关于直线 对称。 (1) 求 ； (2) 求 在 上的最小值。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与单调递增区间； (2) 求 图象的对称中心； (3) 若把 的图象向右平移 （）个单位后关于 轴对称，求 。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 的最小正周期为 ，求 及 在 上的值域； (2) 若 在 上单调递增，求 的取值范围； (3) 若 的图象关于点 对称，求 的最小值。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第20讲 三角函数的图象与性质 第20讲 三角函数的图象与性质 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练求出三角函数的周期、奇偶性、单调区间与最值，能写出对称轴与对称中心； 2．掌握整体代入法，把 视为整体解决单调性与值域问题； 3．会用换元法处理"二次型"三角函数的最值，能正确写出新元的取值范围； 4．能由对称性、单调性与最值反求参数，并完成平移、伸缩变换的辨析。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 三角函数的周期与奇偶性 选择题、填空题 第4~6题 中 周期用 ，奇偶性先看定义域是否对称 三角函数的单调区间 选择题、解答题 第6~8题／第15题 中偏难 整体代入基本区间， 时先化正 最值与值域（换元） 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中偏难 换元后写清新元范围，闭区间先算内层整体范围 对称轴与对称中心 选择题、填空题 第5~6题／第13题 中 整体代入 或 ，别忘回解 图象变换与由性质求参数 选择题、填空题 第7~8题／第14题 中偏难 先看 被如何替换；参数按"最值、周期、特殊点"求解 命题规律分析 三角函数的图象与性质是新高考三角板块的主力考点，多落在选择题第5~8题、填空题第13~14题，也常作为解答题第15题的一问。命题热点集中在四处：周期与奇偶性的辨析、整体代入法求单调区间、闭区间上的值域、以及由对称性（直线或点）反求参数。培优层面还要突破两类综合问题：含参 的单调性与值域、三角函数换元后的二次函数最值——它们正是拉开差距的第8题、第14题档。本讲把六个题型串成一条主线：先用整体代入法把 当成一个字母，把复合问题降为对 的讨论，再配合换元与分类讨论解决含参问题。三个高频陷阱：周期公式漏掉分母的 ；换元求最值时丢掉新元的范围；平移变换忘记"除以 "。 考点1 三个基本三角函数的图象与性质 知识点1 三个基本三角函数的性质对照 正弦函数 ：定义域 ，值域 ，最小正周期 ，是奇函数。 余弦函数 ：值域 ，最小正周期 ，是偶函数；正切函数 的最小正周期为 ，值域为 ，是奇函数。 【易错清单】 1．周期是 ，正切型是 ，不要漏掉分母的 ； 2．单调区间一律带 ，且不能把不同周期的区间"接"成一段； 3．正切函数没有对称轴，只有对称中心。 知识点2 对称轴与对称中心 求 的对称轴，令 ；求对称中心，令 。 的对称轴由 确定，对称中心由 确定。 【易错清单】 1．正弦与余弦的对称轴（对称中心）公式正好"互换"，最容易记混； 2．整体代入后必须再解一次关于 的方程，不能把整体直接当成 ； 3．对称轴处取最值、对称中心处函数值为零，可用这两点快速自检。 考点2 图象变换与 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 知识点3 平移与伸缩变换 "左加右减"针对自变量 ：把 换成 即左移 个单位，把 换成 即横坐标变为原来的 。 先伸缩后平移时平移量要除以 ，即由 到 需平移 个单位。 【易错清单】 1．左右平移只看 被"加"还是"减"，与函数值上的常数无关； 2．"横坐标缩短到 "对应把 换成 ，方向不要弄反； 3．先伸缩后平移忘记除以 是本章最高频的失分点。 知识点4 由性质反求参数 求参数三步：由最值定 （），由周期定 （），由特殊点定 。 已知对称轴 时 ；已知单调区间时，整体 必须落在 的相应单调区间内。 【易错清单】 1．由最值定 时忘记除以 ，把 当成最大值； 2．由点求 时忽略 的限制，写出多个解； 3．由单调性求 时，限制的是整体 的端点而不是 的端点。 【题型1 三角函数的周期与奇偶性】 【例1】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】最小正周期只由 的系数决定，代入 。 【解答过程】函数中 ，所以最小正周期 。故选B。 【多解·巧解】初相 只是把图象左右平移，不影响周期——直接"读" 的系数即可。若把函数换成 ，则 ，说明"系数越小周期越大"，可用这一关系快速排除选项。 【易错提醒】把 当作周期、或把初相 也算进周期，都会错。记住：周期只认 的系数。 【变式1-1】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】正切型周期公式为 。 【解答过程】，所以 。故选C。 【变式1-2】函数 是（　　） A．奇函数　B．偶函数　C．非奇非偶函数　D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解题思路】用定义判断：比较 与 、 的关系。 【解答过程】定义域为 ，关于原点对称。因为 ，所以 是奇函数。故选A。 【变式1-3】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先用辅助角公式化为一个三角函数，再读周期。 【解答过程】，其中 ，所以最小正周期 。故选C。 【题型2 三角函数的单调区间】 【例2】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 整体代入正弦函数的递增区间，再解出 。 【解答过程】令 ，各边加 得 ，再同除以 得 。故选A。 【多解·巧解】整体代入法"三步走"：写出 的递增区间、用 替换 、解出 。判断结果对不对，可任取区间内一个值检验： 时 ，落在 内，说明 确实在递增区间中，而选项B、C都不含 。 【易错提醒】最后一步除以 时， 要变成 ，选项D就是忘记除以 的错误结果；另外 使递增区间长度变为原来的一半，别写成长度 的区间。 【变式2-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦在 上递减，把整体代入。 【解答过程】令 ，各边减 得 ，再同除以 得 。故选A。 【变式2-2】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 的系数为负，先用诱导公式化正，再求递增区间。 【解答过程】，它递增当且仅当 递减。 令 ，各边加 得 ，同除以 得 。故选A。 【易错提醒】看到负系数直接套递增区间，会把递增当成递减，得到的恰好是补集的区间。固定动作：先用诱导公式把 的系数化为正，再判断"外层函数"的增减。 【变式2-3】若函数 （）在 上单调递增，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把区间整体代入 的递增区间，两端都要满足。 【解答过程】由题意，当 时 ，须落在 内。 由右端 得 ；由左端 得 。 取交得 ，所以 的最大值为 。故选C。 【题型3 三角函数的最值与值域】 【例3】函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用平方关系统一成只含 的式子，换元 后求二次函数的值域。 【解答过程】。令 ，则 ，。 因为 落在 内，所以最大值为 ；端点处 时 ， 时 ，故最小值为 。 所以值域为 。故选A。 【多解·巧解】先配方再看"顶点是否在区间内"是本类题的通用手法：顶点 在 内，最大值取顶点；最小值只能在端点中比较（比较 与 ，取较小的 ）。若把函数改成 ，顶点 仍在区间内，最小值取顶点 ，计算路径完全相同。 【易错提醒】换元后不写 ，会把二次函数的顶点最值"外推"到全体实数，算出错误答案。另外端点值不能只算一个，本题 两个端点都要比较。 【变式3-1】函数 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】换元 （），配方后判断顶点位置。 【解答过程】令 ，则 ，。因为 ，所以最小值为 。故选A。 【变式3-2】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 降幂，再换元为二次函数。 【解答过程】。令 ，则 ，，其对称轴为 。 二次函数开口向上，最大值在离对称轴较远的端点取得： 时 ， 时 ，所以最大值为 。故选A。 【易错提醒】开口向上的二次函数，最大值一定在端点取到，但"哪个端点大"要实算：本题比较 与 ，不能想当然。 【变式3-3】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先展开，再用辅助角公式合成一个三角函数后读最值。 【解答过程】。 合成得 ，所以最大值为 。故选C。 【题型4 对称轴与对称中心】 【例4】函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】对称轴处函数取最值，令整体等于 再解出 。 【解答过程】令 ，得 ，即 。取 得 。故选A。 【多解·巧解】对称轴对应"最值点"，所以代入 ；对称中心对应"零点"，代入 。本题也可先求对称中心 ，再取两个相邻中心的"中点" ，同样得到对称轴。对称轴恰好位于两条相邻对称中心的正中间，这一几何关系常能秒杀选项。 【易错提醒】把对称轴与对称中心的公式用反，会得到 （这是对称中心）。检验方法：把 代入，整体 ，函数取到最大值 ，确实是"取最值"，故为对称轴。 【变式4-1】函数 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦的对称中心在零点处，令整体等于 。 【解答过程】令 ，得 ，即 。取 得 ，所以一个对称中心为 。故选A。 【变式4-2】若函数 （）的图象关于点 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把对称中心的横坐标代入对称中心方程，解出 后取最小正值。 【解答过程】由对称中心条件，，所以 ，解得 （）。 因为 ，取 得最小值 。故选A。 【易错提醒】取 会得到负值而误判"无解"。正确做法是解出含 的通式后，再按 挑选最小正整数 ，本题 才对。 【变式4-3】函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用辅助角公式合成，再令整体等于 。 【解答过程】。令 ，得 。取 得 。故选A。 【题型5 图象的平移与伸缩变换】 【例5】把函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】左右平移要"整体替换"：把 换成 ，不要漏乘 的系数。 【解答过程】把 换成 ，得 。故选A。 【多解·巧解】平移时把括号内的 "整块"换成 ： 展开后 ，常数与原来的 恰好抵消，得到 。这类"平移后恰好化简"的题很常见，说明平移量与初相是精心配好的。 【易错提醒】把向左平移写成 （只给常数加 ）会得到选项D，这是最典型的错误——平移作用在 上而不是常数上。 【变式5-1】要由 的图象得到 的图象，若采用"先伸缩后平移"，则把横坐标缩短到原来的 后，还应（　　） A．向右平移 个单位长度　B．向右平移 个单位长度　C．向左平移 个单位长度　D．向左平移 个单位长度 【答案】A 【解题思路】"先伸缩后平移"时，平移量要除以 。 【解答过程】先缩横坐标得 ，再需得到 ，即把 换成 ，所以应向右平移 个单位长度。故选A。 【易错提醒】直接答"向右平移 "是忘记除以 的错误。判断依据：平移量 。 【变式5-2】把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】向右平移把 换成 ，注意整体替换。 【解答过程】把 换成 ，得 。故选A。 【变式5-3】把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按"先伸缩短、后平移"的顺序逐步替换 。 【解答过程】第一步横坐标缩短到 ：把 换成 ，得 。第二步向右平移 ：把 换成 ，得 。故选A。 【题型6 由性质反求参数】 【例6】已知函数 （）的图象关于直线 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把对称轴方程代入，解出 的表达式后取最小正值。 【解答过程】由对称轴条件，，所以 ，解得 （）。 因为 ，取 得最小值 。故选A。 【多解·巧解】"关于直线 对称"等价于"对称轴方程在 处成立"，把 代入后解参数 。注意解出的是含 的一族值，最后按 （或题目给定范围）挑最小者。也可用"解得 的通式后逐个代回验证"的方法，例如把 代回，得整体在 处等于 ，取到最大值，验证通过。 【易错提醒】直接把 之外的情况漏掉、或忘记"取最小正值"而选 。另外要注意本题是"关于直线对称"（代入 ），不是"关于点对称"（代入 ）。 【变式6-1】若函数 （）在 上单调递减，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦在 上递减，把区间整体代入后比较端点。 【解答过程】当 时，，须落在递减区间 内，故需 ，得 。所以 的最大值为 。故选A。 【变式6-2】已知函数 （）的最小正周期为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由周期公式 反解 。 【解答过程】由 得 。 【变式6-3】已知函数 （）的图象的一条对称轴为 ，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把对称轴横坐标代入，解出 的通式后取最小正值。 【解答过程】由对称轴条件，，所以 ，解得 （）。取 得最小值 。故选A。 一、单选题 1．（★★）函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入周期公式 。 【解答过程】，所以 。故选B。 2．（★★）函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把整体代入正弦函数的递增区间。 【解答过程】令 ，各边减 得 ，同除以 得 。故选A。 3．（★★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用平方关系统一成 的式子，换元后求二次函数最大值。 【解答过程】。令 ，，。当 （属于 ）时取最大值 。故选A。 4．（★★）函数 是（　　） A．奇函数　B．偶函数　C．非奇非偶函数　D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解题思路】用奇偶性的定义判断。 【解答过程】定义域为 ，关于原点对称。因为 ，所以 是偶函数。故选B。 5．（★★）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】令整体等于 ，解出横坐标。 【解答过程】令 ，得 。取 得 ，所以一个对称中心为 。故选A。 6．（★★★）已知函数 （）的最小正周期为 ，则 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由周期定 ，再令整体等于 求对称中心的横坐标。 【解答过程】由 得 ，故 。 令 （），解得 。取 得 ，即一个对称中心为 。故选A。 7．（★★★）把函数 的图象向右平移 个单位长度，则所得图象的对称中心中离原点最近的一个是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先按"整体替换 "写出平移后的函数，再令整体等于 求对称中心，最后比较与原点的距离。 【解答过程】右移 得 。 令 （），解得 。 取 得 ，取 得 ，其余各点离原点更远。 因为 ，所以离原点最近的对称中心为 。故选A。 8．（★★★）已知函数 （）的图象关于直线 对称，且在 上单调递增，则 （　　） A．　B．　C．　D． 或 【答案】A 【解题思路】先由对称轴条件写出 的通式，再用"区间上单调递增"逐一代入检验筛选。 【解答过程】由对称轴条件，，即 ，解得 （）。 由 得 。 当 时， 对应 ，在正弦递增区间内，符合； 当 时，对应 ，在正弦递减区间内，不符合； 当 时，内层角的变化范围长度 ，不可能保持单调。故 。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 　B．最大值为 　C．图象关于点 对称　D．在 上单调递增 【答案】ABD 【解题思路】逐项用周期公式、最值、对称中心与单调区间判断。 【解答过程】A中 ，正确；B中振幅为 ，最大值为 ，正确； C中对称中心须满足 ，解得 ， 不在其中，错误； D中当 时 ，落在递增区间内，正确。故选ABD。 10．（★★）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 　B．最大值为 　C．图象关于直线 对称　D．在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】逐项判断周期、最值、对称轴与单调性；注意余弦在 上递减。 【解答过程】A中 ，正确；B中最大值为 ，正确； C中对称轴须满足 ，即 ，取 得 ，正确； D中当 时 ，余弦在 上递减，错误。故选ABC。 11．（★★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 　B． 的图象关于直线 对称　C． 的图象关于点 对称　D． 在 上单调递增 【答案】ABD 【解题思路】逐项用周期公式、对称轴与对称中心的相位条件、以及整体代入法判断单调性。 【解答过程】最小正周期 ，A 正确； 对称轴满足 ，取 得 ，B 正确； 若 是对称中心，应满足 ，即 不成立，C 错误； 当 时，，落在正弦递增区间内，D 正确。故选ABD。 12．（★★★）已知函数 （）在 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 的最大值为 　C．当 时， 在 上单调递增　D．当 时， 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】把区间整体代入正弦递增区间，由左端点恒正确定所取的单调段，只比较右端点得到 的范围，再逐项验证。 【解答过程】当 时，，左端点恒为正，整体须落在 这一段内， 只需 ，解得 ，结合 得 ，A、B 正确； 当 时右端点恰为 ，仍满足递增，C 正确； 当 时，右端点 ，内层角跨越最值点，函数不单调，D 错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）函数 的最小正周期是 ____________。 【答案】 【解题思路】正切型周期公式 。 【解答过程】，所以 。 14．（★★）函数 的图象的一条对称轴方程是 ____________。 【答案】（或 ， 中的任一条） 【解题思路】令整体等于 ，解出 后取一条即可。 【解答过程】令 ，得 。取 得 。 15．（★★★）函数 的值域是____________。 【答案】 【解题思路】用平方关系统一成 的式子，换元 （），再求二次函数在闭区间上的值域。 【解答过程】。令 ，则 ， 。 顶点 ，故最大值为 ； 端点处 得 ， 得 ，故最小值为 。所以值域为 。 16．（★★★）已知函数 （）的最小正周期为 ，则 在 上的值域是____________。 【答案】 【解题思路】先由周期求 ，再把区间整体代入求内层角的范围，最后比较最值点与端点得到值域。 【解答过程】由 得 ，故 。 当 时，。 在该区间上 的最大值为 （当 时取到），最小值为 。 所以 ，即值域为 。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 在 上的值域。 【答案】(1) 最小正周期为 ，最大值为 ； (2) 。 【解题思路】(1) 直接读参数；(2) 先算内层整体范围，再映射到正弦函数。 【解答过程】(1) ，所以 ；振幅 ，所以最大值为 。 (2) 当 时，。 在 上递增、在 上递减，所以 的最大值为 ，最小值为 ，故 。 【多解·巧解】(2) 求闭区间值域的关键是"先定内层范围、再定正弦在该范围的取值"。当内层范围横跨 时，最大值取 处的 ，最小值则比较两个端点 与 处的值，本题两者分别给出 与 ，取较小者 。 【易错提醒】直接写值域 是忽略了区间限制；另外比较端点时容易只看左端 、漏看右端 也会出错。闭区间求值域一定要"内层范围 + 端点比较"两步走。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 图象的对称轴方程与对称中心； (2) 求 的单调递减区间。 【答案】(1) 对称轴 ，对称中心 （）； (2) （）。 【解题思路】(1) 对称轴令整体等于 ，对称中心令整体等于 ；(2) 整体代入余弦（此处用正弦）的递减区间。 【解答过程】(1) 对称轴：令 ，解得 ； 对称中心：令 ，解得 ，故对称中心为 。 (2) 令 ，各边减 得 ，同除以 得 。 【多解·巧解】对称轴与对称中心是"一体两面"：对称轴 与对称中心的横坐标 交替出现，相邻两条对称轴之间恰有一个对称中心。用这个规律可以自检：把两组解按从小到大排列，应为"轴、中心、轴、中心…"。 【易错提醒】把对称轴与对称中心的公式互换是本题最大的坑。判断方法：代入某个候选值，若函数取到最值则它是对称轴，若函数值为零则它是对称中心。另外 (2) 中最后的 除以 后要写成 ，不要漏改。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期； (2) 求 的单调递增区间。 【答案】(1) ； (2) （）。 【解题思路】先用诱导公式把 的系数化为正，再整体代入递增区间。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) ，它递增当且仅当 递减。 令 ，各边加 得 ，同除以 得 。 【多解·巧解】负系数是本章最"坑"的地方，固定处理是"先化正再判断"： 的外层有负号，所以"里增外减、里减外增"。也可直接用辅助角把整体化成 ，再代入递增区间，结果一致。 【易错提醒】看到 直接按正弦递增区间代入，会得到递减区间（答案恰好相反）。另外化正时符号容易写错：，两种写法的递增区间必须一致，可用来互检。 20．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与对称中心； (2) 求 在 上的值域。 【答案】(1) 最小正周期为 ，对称中心为 （）； (2) 。 【解题思路】(1) 用周期公式与余弦对称中心的相位条件；(2) 求内层角的范围后，比较余弦的最值点与端点得到值域。 【解答过程】(1) 最小正周期 。令 （），解得 ，故对称中心为 。 (2) 当 时，。 余弦在 上递减、在 上递增，最大值为 ，最小值为 ， 所以 的值域为 。 【多解·巧解】余弦型函数求闭区间值域与正弦型同理：先求内层角的范围，再看最大、最小值点是否落在范围内。本题内层范围是 ，跨过了 （余弦的最小值点），故最小值取 。 【易错提醒】(2) 中最大值不是 ，因为内层角达不到 ，最大只能取端点 处的 ；(1) 中余弦的对称中心应令整体等于 ，与正弦一致，不要错代 。 21．（★★★）已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 的单调递减区间。 【答案】(1) ； (2) （）。 【解题思路】按"最值定 、周期定 、由取最值的点定 "的顺序求解，再整体代入递减区间。 【解答过程】(1) 由最大值 得 ；由 得 。 因为 取到最大值，所以 ，即 。 由 得 ，故 。 (2) 令 ，各边减 得 ， 同除以 得 ，故递减区间为 （）。 【多解·巧解】"在 处取到最大值"是求初相最省力的条件：它等价于整体 。本题由 配合 直接锁定 。 【易错提醒】把"取最大值"的条件写成 （漏掉 中的系数 ）会多出被范围排除的解；(2) 中最后 除以 要写成 ，且必须保留 。 22．（★★★）已知函数 （）的图象关于直线 对称。 (1) 求 ； (2) 求 在 上的最小值。 【答案】(1) ； (2) 最小值为 。 【解题思路】(1) 由对称轴条件列方程解 ；(2) 写出解析式后，求内层角的范围并比较两端点的正弦值得到最小值。 【解答过程】(1) 由对称轴条件，，即 ，得 。 由 得 。 (2) 此时 。当 时，， 其中 在 处取到最小值 （端点 处为 ）， 故 的最小值为 。 【多解·巧解】(2) 中内层范围 跨过了最大值点 ，故最小值只能在端点处取得：比较 与 ，取较小者。 【易错提醒】(1) 中把"关于直线对称"错当成"关于点对称"（代入 ），会得到错误初相；(2) 必须比较两个端点的正弦值，只看左端点会误判最小值。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与单调递增区间； (2) 求 图象的对称中心； (3) 若把 的图象向右平移 （）个单位后关于 轴对称，求 。 【答案】(1) 最小正周期为 ，递增区间 （）； (2) （）； (3) 。 【解题思路】(1) 用周期公式与整体代入求递增区间；(2) 令整体等于 求对称中心；(3) 平移后令函数为偶函数，解出 的通式再按范围取值。 【解答过程】(1) 。令 ，得 ， 即 ，故递增区间为 （）。 (2) 令 ，解得 ，故对称中心为 （）。 (3) 右移 得 。 要使 关于 轴对称（为偶函数），需 ，解得 。 结合 ，只能取 ，得 。 【多解·巧解】第 (3) 问的模型与前面一致： 为偶函数（关于 轴对称）。写平移后的相位时务必用整体替换 ，不要只改尾部常数。 【易错提醒】(1) 中 除以 后要写成 ；(2) 中对称中心令整体等于 、对称轴令整体等于 ，两者别写反；(3) 中由范围筛 时只有 得到正的 ，要写清取舍过程。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 的最小正周期为 ，求 及 在 上的值域； (2) 若 在 上单调递增，求 的取值范围； (3) 若 的图象关于点 对称，求 的最小值。 【答案】(1) ，值域为 ； (2) ； (3) 的最小值为 。 【解题思路】(1) 由周期定 后求闭区间值域；(2) 整体代入递增区间，由左端点恒正锁定所取的单调段并比较右端点；(3) 令整体等于 解出 的通式取最小正值。 【解答过程】(1) 由 得 ，。当 时，， 此时 的最大值为 、最小值为 ，故值域为 。 (2) 当 时，，左端点为 ，整体须落在 内， 只需 ，解得 ，结合 得 。 (3) 由对称中心条件，，即 ，解得 （）。 由 取 ，得最小值 。 【多解·巧解】(2) 的判断要点是"先看整体范围的落点"：左端点恒大于 ，说明整体一定落在 这一段（对应 ），只需比较右端点。(3) 中对称中心应令整体等于 ，与对称轴的 区分开。 【易错提醒】(2) 中若忽略"左端点恒正"而对多个 机械讨论，会得到多余的错误范围；(3) 中 取最小正值时 （不是 ，因为 得 ），容易取错。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $