三角函数 第8讲 三角函数图象的变换与解析式的确定 基础讲义-2027届高三数学一轮复习

三角函数图象的变换与解析式的确定 平移伸缩的次序与由图象定式 图象变换：由原函数求变换后的函数 图象的平移与伸缩，说到底只改一件事：解析式里的自变量。横向的变换全部作用在 上，纵向的变换全部作用在函数值上。把这两个方向分开看，题目就只剩代数运算 —— 左右平移动的是 ，上下平移动的是整个函数值；横坐标的伸缩动的是 的系数，纵坐标的伸缩动的是最前面的振幅。 左右平移最容易写错方向。把 的图象向右平移 个单位，得到的是 ；向左平移 个单位，得到 。记法是左加右减 —— 加号在左。若把 写成 的样子，就该先把 提出来： 就是 ，括号里那个 才是真正的平移量。这一步提公因式是整块内容的题眼，漏掉 就会把平移量算错 倍。 横坐标的伸缩是把 换成 或者 。「横坐标变为原来的 倍」说的是图象被压扁，每个点离 轴更近，所以新解析式里 的系数变成原来的 倍；若说「伸长到原来的 倍」，图象被拉宽， 的系数就变成原来的 倍。纵坐标的伸缩只改最前面的系数，与 无关。这两句合起来记：横向伸缩改 的系数，纵向伸缩改整体系数。 两句口诀管不了「先做哪一步」的问题。先伸缩后平移、与先平移后伸缩，结果一般不同，所以稳妥的办法是每一步都把 单独写出来：平移时在括号里对 加减，伸缩时把 换成 或者 ，一步一步代，不要跳步。遇到「已知变换后的结果，反求原来的函数」时，就按相反次序倒着做：每次替换都反解，平移的方向取反、伸缩的倍数取倒数。 例1（单选·★☆☆☆☆） 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「平移 个周期」是一个长度，先把它翻译成具体的数。 【关键】最小正周期 ，所以 个周期是 个单位。向右平移 ，把 换成 ，得 。因为 ，由 得 。故选 D。 【易错】两个地方。第一，「 个周期」要先算成长度，不能直接拿 去减 。第二，四个选项里没有 这一项，说明题目要的就是诱导变形之后的形式，这一步不是可有可无的化简。 【答案】D 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两边都是 ，说明频率没变，只需比相位。先化同名，再列方程。 【关键】平移后是 ；另一方面 。两式恒等要求 ，即 （）。取 得 ，在四个选项中只有 A。故选 A。 【易错】平移量在括号里是 而不是 —— 因为 前面有系数 。列方程时要用 ，解出后再除以 。另外本题的 有无数个解，选项只是从中挑了一个，所以看到「 可以是」时要想到加 。 【答案】A 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【切入点】解析式已经标准，直接做替换。 【关键】向左平移 个单位，把 换成 ，得 。故选 C。 【易错】相位的增量是 ，因为 前有系数 ；通分时 ，分母是 而不是 。选项 D 的 就是把通分算错的产物。 【答案】C 例2（单选·★★☆☆☆） 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 = （ ） A. B. C. D. 。 【切入点】两步变换：先伸缩、后平移。每一步都只动 ，按顺序代进去就可以。 【关键】横坐标变为原来的 倍，图象被压扁， 换成 ，得 ；再向右平移 个单位，把 换成 ，得 。故选 B。 【易错】两次替换是有先后的，必须把上一步的结果整个当成新的函数再替换。若反过来先平移、再伸缩，得到的是 ，恰好是选项 A —— 这就是给「次序搞反」准备的陷阱。判断的办法：看 前面最后剩下的系数是不是 ，以及括号里的常数是不是等于「系数乘以平移量」。 【答案】B 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【切入点】这是只有一步伸缩的题，改的是 的系数，周期跟着变。 【关键】横坐标伸长到原来的 倍，图象被拉宽，把 换成 ，得 ，最小正周期 。故选 D。 【易错】「伸长 倍」对应 ，不是 。判断方法：伸长之后图象变宽、周期变大，所以新函数的周期应当是原来的 倍，由 变为 。选项 A 的 是把伸缩方向搞反了。 【答案】D 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】正切型与正弦型的横向伸缩规则完全一样，仍然只动 。 【关键】横坐标变为原来的 倍，把 换成 ，得 。故选 A。 【易错】要分清「横坐标变为 倍」与「函数值变为 倍」：前者是 ，后者的系数才会变成 。选项 B 的 就是照后者写的。再一个坑是选项 C、D 里的 —— 把「变为 倍」误当成「乘以 」时会算成 。 【答案】A 例3（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知变换后的结果求原来的函数，倒着做一遍：原来最后一步是向右平移，逆向第一步就是向左平移。 【关键】把 的图象向左平移 个单位，得 ；再把横坐标缩短到原来的 （即把 换成 ），得 。故选 A。 【易错】逆向时两条规则都要反：平移方向取反、伸缩倍数取倒数；顺序也要倒过来。另外要分清「伸长到原来的 3 倍」与「缩短到原来的 」：前者把 换成 ，后者把 换成 ，本例外层说的是伸长，逆向才用缩短。 【答案】A 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】一个 、一个 ，先化成同名函数，才能比较相位。 【关键】把目标函数化成余弦：。再看两者的「零点位置」：原函数是 ，目标是 。两者相差 ，向右平移 即可。故选 B。 【易错】化 为 时先用 ，再借偶函数写成 ，符号弄反就会算成 （不在选项中，但会浪费一轮）。另外 只限制了方向，题目问的是最小值，所以取 的那一个就够。 【答案】B 由图象或条件确定解析式中的参数 这一类题与上一类的区别在入口：题干给出的解析式里， 或 是未知的，条件藏在图象里，或者藏在周期、对称性这些性质里。整题的动作因此变成两步：先把参数求出来，再回答题目真正问的问题。求参数这一步没做完，后面所有的问题都无从谈起。 求 靠的是周期。图上只要能看到两个同类型的点，就能量出一段长度：相邻两个最高点之间是一个周期，相邻的最高点与最低点之间是半个周期，相邻两个零点之间也是半个周期，而最高点到相邻零点是四分之一个周期。量出这段长度再换算成周期，由 解出 。题目不给图时也一样：说「两条相邻对称轴之间的距离为 」，那 就是半个周期。 求 靠的是特殊点。把已知点代进去，得到的是一个关于 的三角方程，解出来一般有一族值，再用 这样的限制筛出唯一的一个。用哪个点代也有讲究：最高点或最低点最好用，因为代入后直接得到 或 ，一步就定死；零点次之，会得到 ，要额外判断图象在该点是上升还是下降；与 轴的交点最方便抄，但往往解出两族值，需要回到图上筛掉一个。 还有一类条件来自变换之后的性质。「平移后关于 轴对称」说的是新函数是偶函数，「平移后关于原点对称」说的是新函数是奇函数，「平移后关于某个点中心对称」说的是那个点的函数值为零。不管是哪一种，都要先把变换后的解析式写出来，再把「奇函数」「偶函数」「对称中心」翻译成对相位的等式，最后统一解出参数。 例4（单选·★★☆☆☆） 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把原函数化成标准形，再平移，最后用「关于原点对称就是奇函数」定 。 【关键】。向右平移 个单位，把 换成 ，得 。它关于原点对称，即为奇函数，所以 （），解得 。取 得最小正值 。故选 A。 【易错】「关于原点对称」就是奇函数，对正弦型函数来说等价于相位是 的整数倍。列式时左端是 ，那个 前面有系数 ，漏掉它会算出 之类的答案。 【答案】A 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同型：平移之后关于原点对称，用奇函数的相位条件定 ，只是方向从向右换成了向左。 【关键】向左平移 ，把 换成 ，得 。所得图象关于原点对称，说明新函数是奇函数，于是相位必须是 的整数倍：（），解得 。由 ，取 得 。故选 A。 【易错】奇函数的条件是相位等于 ，不是 （那是偶函数）。另外要留意平移量与频率的乘积：本题相位增量是 ，漏掉系数就会算出 （选项 C、D）。 【答案】A 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 【切入点】结构与例 1 相同，只是未知量从 换成了 ，解出来的是一族整数、再从选项里挑。 【关键】向左平移 ，把 换成 ，得 。它关于原点对称，即为奇函数，所以 （），两边约去 得 。取 得 ，在四个选项中。故选 B。 【易错】相位增量是 而不是 —— 平移量乘上了未知的频率，这正是本题的考点。解出 之后要逐个对照选项：、、 都不等于 ，只有 符合。 【答案】B 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【切入点】读图定式：先从图上量出一段长度换出周期，再用最高点定相位。 【关键】图上的最高点是 ，最低点的横坐标标为 。最高点与相邻最低点之间是半个周期，所以 ，得 ，。把最高点代入：，得 ，符合 。所以 ，。故选 A。 【易错】量周期时要认清线段两端是哪一类的点。若把 当成零点，那最高点到零点是四分之一周期，会算出 、，再由最高点解出 ，与 矛盾 —— 解出参数后发现与题设的范围冲突，就是「点的类型认错了」的信号，回到图上重新判断。 【答案】A 例5（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象。若的图象关于轴对称，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】平移后关于 轴对称，说明新函数是偶函数，用偶函数的相位条件定 。 【关键】向左平移 ，把 换成 ，得 。它是偶函数，所以 （）。逐个试： 得 ，符合 ； 得 ， 得 ，都超出范围。所以 。故选 B。 【易错】偶函数的条件是相位等于 ，奇函数的条件是相位等于 ，两者差一个 ，混淆之后会算出 一类的答案（对应选项 C）。另外相位增量是 ，不要漏掉系数。 【答案】B 例6（单选·★★☆☆☆） 将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】「关于点 中心对称」对余弦型函数来说，等价于「在该点处函数值为零」。 【关键】向左平移 ，把 换成 ，得 。它关于 中心对称，所以 （），解得 。由 ，取 得 。故选 C。 【易错】余弦的对称中心在函数值为零处，所以相位等于 而不是 。解出 后要用 逐个筛： 得负数（不符）， 得 （符合）， 得 （超出）。 【答案】C 变式6-1（单选·★★★☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【切入点】条件说的是「 的图象」的对称中心，所以必须先把 的解析式写出来，再代入。 【关键】向左平移 ，把 换成 ，得 。由它的一个对称中心为 得 （），即 ，解得 。由 ，取 得 ，这是正数里最小的一个。故选 B。 【易错】两个地方。第一， 是 的自变量，要代到 的解析式里，不能代进 ；换个角度想也可以： 的对称中心对应 的对称中心 ，两条路都对，但别两头混用。第二，题目问的是 的最小值，要在 中取正数里最小的： 得 （不符）， 得 。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数图象的变换与解析式的确定 平移伸缩的次序与由图象定式 图象变换：由原函数求变换后的函数 图象的平移与伸缩，说到底只改一件事：解析式里的自变量。横向的变换全部作用在 上，纵向的变换全部作用在函数值上。把这两个方向分开看，题目就只剩代数运算 —— 左右平移动的是 ，上下平移动的是整个函数值；横坐标的伸缩动的是 的系数，纵坐标的伸缩动的是最前面的振幅。 左右平移最容易写错方向。把 的图象向右平移 个单位，得到的是 ；向左平移 个单位，得到 。记法是左加右减 —— 加号在左。若把 写成 的样子，就该先把 提出来： 就是 ，括号里那个 才是真正的平移量。这一步提公因式是整块内容的题眼，漏掉 就会把平移量算错 倍。 横坐标的伸缩是把 换成 或者 。「横坐标变为原来的 倍」说的是图象被压扁，每个点离 轴更近，所以新解析式里 的系数变成原来的 倍；若说「伸长到原来的 倍」，图象被拉宽， 的系数就变成原来的 倍。纵坐标的伸缩只改最前面的系数，与 无关。这两句合起来记：横向伸缩改 的系数，纵向伸缩改整体系数。 两句口诀管不了「先做哪一步」的问题。先伸缩后平移、与先平移后伸缩，结果一般不同，所以稳妥的办法是每一步都把 单独写出来：平移时在括号里对 加减，伸缩时把 换成 或者 ，一步一步代，不要跳步。遇到「已知变换后的结果，反求原来的函数」时，就按相反次序倒着做：每次替换都反解，平移的方向取反、伸缩的倍数取倒数。 例1（单选·★☆☆☆☆） 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 = （ ） A. B. C. D. 。 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 = （ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 由图象或条件确定解析式中的参数 这一类题与上一类的区别在入口：题干给出的解析式里， 或 是未知的，条件藏在图象里，或者藏在周期、对称性这些性质里。整题的动作因此变成两步：先把参数求出来，再回答题目真正问的问题。求参数这一步没做完，后面所有的问题都无从谈起。 求 靠的是周期。图上只要能看到两个同类型的点，就能量出一段长度：相邻两个最高点之间是一个周期，相邻的最高点与最低点之间是半个周期，相邻两个零点之间也是半个周期，而最高点到相邻零点是四分之一个周期。量出这段长度再换算成周期，由 解出 。题目不给图时也一样：说「两条相邻对称轴之间的距离为 」，那 就是半个周期。 求 靠的是特殊点。把已知点代进去，得到的是一个关于 的三角方程，解出来一般有一族值，再用 这样的限制筛出唯一的一个。用哪个点代也有讲究：最高点或最低点最好用，因为代入后直接得到 或 ，一步就定死；零点次之，会得到 ，要额外判断图象在该点是上升还是下降；与 轴的交点最方便抄，但往往解出两族值，需要回到图上筛掉一个。 还有一类条件来自变换之后的性质。「平移后关于 轴对称」说的是新函数是偶函数，「平移后关于原点对称」说的是新函数是奇函数，「平移后关于某个点中心对称」说的是那个点的函数值为零。不管是哪一种，都要先把变换后的解析式写出来，再把「奇函数」「偶函数」「对称中心」翻译成对相位的等式，最后统一解出参数。 例4（单选·★★☆☆☆） 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 例5（单选·★★☆☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象。若的图象关于轴对称，则 = （ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★☆☆☆） 将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $