第15讲 平面向量基底选择 讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 三角与向量 第 15 讲 · 选对基底 01 题眼 本讲只练一个动作 建系之前，先看图上有没有一对“数得清”的向量：长度知道，夹角也知道。 把它们选作基底，图上的每个点就只剩两个系数。 平面向量题的计算量，多半花在“建系”上：定原点、定 轴，再把每个点写成一对带根号的坐标。可题目常常只给了两条边的长度和夹角——这三个数（、、）本身就是一组基底的全部本钱。 本讲只练一个动作： 选一对 Gram 已知的向量作基底 ，再把题中的每个向量写成 。中点写 ，三等分点写 、；数量积按多项式展开，模长先平方。建系算的是“坐标”，常带根号；基底算的是“系数”，常是分数——这就是“坐标减半”。 不是所有题都要选基底。图上已有直角或坐标时，建系反而更快；这条边界留到第 05 节。 02 识别 出现下面三个信号之一，才值得放下坐标系。 信号一 · 一个顶点发出两条已知边。 三角形给出两边与夹角，平行四边形、菱形给出相邻两边——这就是首选基底，Gram 三个数题目已经给全。 信号二 · 点都由中点、三等分点、比例点或交点生成。 位置关系不需要坐标，只需要系数： 的中点 满足 ；比例点 的两个系数是 与 ，依次配 、。 信号三 · 所求是数量积、模长、夹角、垂直或参数。 这四类量都由 Gram 三个数决定：数量积展开成三项，模长平方后展开，垂直就是数量积为零。题目要的是关系，关系正好是系数。 图 1: 选对基底的四个动作 动笔前的 30 秒 第 1 步 选：先找长度、夹角都已知的一对向量；有垂直或等长更好，Gram 会更稀疏。 第 2 步 拆：把题中每个向量写成 ；中点、比例点直接写分数。 第 3 步 记：列出 、、 三个数。 第 4 步 算：数量积逐项展开；模长先平方；交点是“同一向量的两组系数”，逐项对照。 第 3 步最容易被跳过。三个数少一个，后面的“少算”立刻变成“漏算”。 03 双解对照 这道题的点不少：平行四边形、 上的三等分点、对角线与 的交点。常规解先建系，把交点解出来；少算解不建系，只问交点在这组基底里的系数是多少。 例题 · 交点与数量积 在平行四边形 中，，，。点 在 上，且 ， 与 交于点 。求 。 先把图上的位置读出来。 把 分成 1:2，所以 ； 同时在 与 上，这句话用基底写，就是“同一个 有两组系数”。 常规解 · 算：建系、解交点 以 为原点， 所在直线为 轴建系。由 ，，，得 由 得 。设 比较坐标，由 与 解得 。于是 五个点的坐标、一个二元方程组、一次带根号的数量积。建系并不是错，它把每个点都钉死在坐标系里；代价是根号从 点开始一路跟着，直到最后一步才消掉。若 的位置再偏一点，方程组还会更繁。 停一下。换一条路，我们不解这个交点。 少算解 · 想：基底系数 取 ，。三个数先记下： 在 上且 ，所以 设 。又 在 上，设 。同一个向量，两组系数逐项相等： 解得 。于是 ，而 ，所以 全程没有出现一个坐标，也没有开过一次根号。 两条路的分水岭是“交点怎么来”。常规解把交点当成两条直线的交点，要解方程组；少算解把交点当成同一个向量的两组基底系数，逐项对照就得到 。省掉的具体动作是：五个带根号的坐标、一个二元方程组、一次带根号的数量积——三步都是代算，不含新的判断。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 建系，写出 五个点的坐标 选 ，记三个数 关键难点 解两条直线的交点方程组 同一向量两组系数逐项对照 运算量 步骤数 五步 三步 主要风险 根号运算出错，交点解错 系数对错项，或漏记 系数还顺手给出两个比例：，。交点被“读”出来，而不是“解”出来。 同一个 ，在基底里是 ，在直角坐标里是 。两个分数对两个带根号的数——这就是“坐标减半”的字面意思：系数只带分母 2、3、4，坐标却把根号带进每一步。 图 2: 在基底 里， 的坐标是 04 迁移 同一个动作，换两种外壳。外壳变的是角的度数与所求的量，不变的是“先选基底，再把关系写成系数”。 （一）非特殊角外壳：数量积 迁移一 在 中，，，。 为 的中点， 在 上且 ，求 。 少算解 · 想：基底系数 取 ，，则 是中点， 是 上靠近 的三等分点，所以 ，。于是 ，而 。展开： 若建系，先要求出 ， 的坐标就带 ，中点与 一路带根号；基底法里，题目给的 直接变成 ，根号没有出现。这就是“把根号关进一个数”。 （二）垂直外壳：只设一个比例 迁移二 在 中，，，，点 在 上，且 。求 。 少算解 · 想：基底系数 仍取 ，，三个数是 4、9、3。设 ，，则 ，。由 ，数量积为零： 解得 ，所以 。 常规解要写 的方程、设垂足、用斜率乘积为 −1 求 的横坐标，根号一路跟着；基底法只问 取多少时 ，一个一次方程，比例直接读出来。 05 边界 基底法最常丢的不是系数，而是 这一项。它把基底当成了正交坐标，平方时只加两个平方。 反例 · 基底不是正交坐标 菱形 的边长为 2，，求 。 机械套用会得到错误答案 取 ，，则 。若只记两个长度， 得 。这是把菱形当成了正方形。正确答案要补上中间项： 所以 。漏掉的 4 来自夹角 ；夹角越小，这一项越大，越不能丢。 正确的读法。 基底法的全部本钱是三个数。只有 时，它才退化成勾股定理；其余时候，平方展开必须写全三项，数量积的交叉项也不能合并。 第二种失灵：基底要选“算得动”的一对。已知 ，，， 为 中点，求 。选 ，三个数是 4、9、3，一步得 6；若选 ， 与 都要另求，基底就从“少算”变成“多算”。 选基底，先问三个数齐不齐；平方展开，先问中间项在不在。 06 自测 三题，限时 15 分钟。答案在文末第 08 节，先做完再对。 自测 1 在 中，，，， 为 的中点，求 。 自测 2 在平行四边形 中，，，， 为 的中点， 与 交于点 ，求 。 自测 3 已知 ，， 与 的夹角为 ，求 。 07 速查卡 表 2: 选对基底·速查卡 题面信号 先选哪组基底 接下来做什么 还要补什么 一个顶点发出两条已知边 这两条边 记三个数，拆中点与比例点 时不能当勾股 平行四边形、菱形 相邻两边 对角线写成和、差 交点系数要在同一组基底里对 两条线的交点 含交点的两条线 同一向量写两组系数 基底不共线 求模长、夹角、垂直 Gram 已知的任意一对 模长先平方，垂直令点积为零 开方取正；夹角看范围 图上已有直角或坐标 不必选基底 直接建系更快 基底法不是万能 本讲结论 选一对 Gram 已知的向量，把每个点写成 ；数量积展开成三项，模长先平方，交点比系数。基底不是正交坐标， 一项不能丢。 基底四问 本讲关键词：基底 · Gram 三数 · 系数对照 · 平方展开 · 中间项 下一讲 · 把投影摊开 数量积还有一条不选基底的路：把 看成 在 上的投影乘 ；遇到中点，极化恒等式把点积换成两点间的距离。基底之外，还有一条“几何”的路。 08 参考答案 自测 1　【答案】6。 【解析】 取 ，，则 ，，。 为中点，所以 交叉项在相加时正好抵消，连 都不必代入。 【路径回看】 中点写成 ，与 一加一减，交叉项自动消掉。 自测 2　【答案】2:1。 【解析】 取 ，。 为 的中点，所以 设 ；又 在 上，。逐项对照： 所以 。 【路径回看】 与主例同一个交点模型，只把 换成中点；流程不变，比例从 3:1 变成 2:1。 自测 3　【答案】。 【解析】 由 ，，夹角为 ，得 。于是 所以 。 【路径回看】 模长先平方，三项一项都不能少；漏掉中间项会得到 5，开方成 ——正是第 05 节的错误。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 中点与对角线配对 ， 交叉项抵消，答案与夹角无关 2 交点写两组系数 ， 在 上 ，比例 2:1 3 模长先平方 三项齐全，13 不是 5 学科网（北京）股份有限公司 $