第36讲 平面向量中的范围与最值问题（9题型）讲义-2027届高三数学一轮复习

第36讲 平面向量中的范围与最值问题 目录 Part 1 考点突破 【方法1：范围与最值问题常用方法】 【方法2：极化恒等式】 【方法3：矩形大法】 【方法4：等和线】 【方法5：平行四边形大法】 【方法6：向量对角线定理】 Part2 题型探究 【题型一：利用三角向量不等式】 【题型二：定义法】 【题型三：基底法】 【题型四：几何意义法】 【题型五：坐标法】 【题型六：极化恒等式】 【题型七：矩形大法】 【题型八：等和线、等差线、等商线】 【题型九：平行四边形大法】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【方法1：范围与最值问题常用方法】 技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 （2）坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步：将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【方法2：极化恒等式】 技巧二．极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） 【方法3：矩形大法】 技巧三．矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设，则 【方法4：等和线】 技巧四．等和线 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【方法5：平行四边形大法】 技巧五．平行四边形大法 1、中线长定理 2、为空间中任意一点，由中线长定理得： 两式相减： 【方法6：向量对角线定理】 技巧六．向量对角线定理 Part 2 题型探究 【题型一：利用三角向量不等式】 【例1】已知向量满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ ∴ ∴，即； 当且仅当与方向相同或与至少有一个为零向量时取等号， ，即. 当且仅当与方向相反或与至少有一个为零向量时取等号， ∴的取值范围是 故答案为：. 【变式1】已知向量，满足，，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】由于 ， 故答案为： 【变式2】设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C 【题型二：定义法】 【例2】（夹角的最值（范围））平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由两边平方得，又，则. ，当时取等号.则与夹角的余弦值的最大值.故选：A. 【变式3】（24-25高一下·江西上饶·期中）已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，然后令表示上式，根据题意列出不等式组计算即可. 【详解】由，得，得， 即．令， 则关于的方程在上有解， 得，得．因为，所以． 故选：D. 【变式4】（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方，得到，利用夹角余弦公式和基本不等式得到，从而求出正弦的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 整理得， ， 当且仅当时等号成立，所以. 故的最大值为. 故选：D 【题型三：基底法】 【例3】如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 【变式5】如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】6 【详解】由可得， 由得， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 【变式6】（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 【题型四：几何意义法】 【例4】已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】 如图所示，已知，，则，化简得， 由，所以，当且仅当时等号成立， 由于点是的重心，所以，所以， 因为，即， 因此，所以的最小值是. 【变式7】如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点（含边界），，的最大值为________． 【答案】 【详解】因为不共线，故以为基底向量. 因为是中点，所以，同理得， 因为是中点，所以，所以， ，， 综上， ， ， . 因为线性目标函数在可行域（含边界）上的最大值必在顶点处取得， 当与重合时：，得，； 当与重合时：，得，； 当与重合时：，得，； 显然，因此的最大值为. 【变式8】已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图坐标系. 则，设， 因为，所以得. 所以. . ，所以，所以. 所以. 当时，取得最小值，最小值为. 【题型五：坐标法】 【例5】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有， 设，则， 且， 由， 因，故. 故选：D. 【变式9】（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 【变式10】（23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 【题型六：极化恒等式】 【例6】已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 【变式11】（24-25高一下·河北邢台·期中）在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】结合向量数量积的运算律可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取AB的中点Q，， 因为，所以AB边上的高为，所以，从而． 故选：A 【变式12】如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】【详解】由线段EF的中点为点B，得出. .当点P位于点A或点C时，取最大值8. 当点P位于的中点时，取最小值，即， ∴的取值范围为，∴的取值范围为. 故答案为：. 【题型七：矩形大法】 【例7】已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】【详解】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． 【变式13】在四边形中，，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】【详解】如图所示，构造正方形，边长为， 以为圆心，为半径在正方形内部作作圆， 显然在圆弧上，根据矩形大法可知，， 故当，，三点共线时，取得最小值， 由于，， 故最小值为. 故答案为： 【变式14】已知O为矩形内一点，满足，，，则______． 【答案】 【分析】【详解】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 故答案为：-4. 【题型八：等和线、等差线、等商线】 【例8】在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：. 【变式15】如图，在扇形中，，点在圆弧(包含端点)上运动，若，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据等和线分析特殊位置即可得出的取值范围. 【详解】如图，取的四等分点(靠近点)，作出直线， 则，令. 所以点在与直线平行的直线上，设交直线于，则， 当重合时，取最大值4; 当重合时，取最小值1; 综上可知，. 故答案为： 【变式16】的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由O为的重心，得延长线必过的中点， 则，由，，得，， 即，又E，O，F三点共线，因此， 即，又，则， 即，当且仅当时取等号， 则xy的最小值是. 故选：C 【题型九：平行四边形大法】 【例9】（24-25高一下·广东梅州·月考）在中，是边上的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由向量加法的平行四边形法则得，由向量的数量积运算得，根据即可得到的取值范围. 【详解】因为是边上的中点，所以， 所以， 因为，所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 【变式17】如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 【详解】 ，且. 即 设与的夹角为，则. 因为，所以. 故答案为： 【变式18】如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________． 【答案】　－ 【解析】　∵圆心O是直径AB的中点， ∴＋＝2，∴(＋)·＝2·， ∵||＋||＝3≥2， ∴||·||≤， 即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为－. Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值. 【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为. 故答案为：D． 2．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 3．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆半径为1是直径，所以根据向量加法和减法法则知：；又是直径，所以则 故选 B 4．设均为单位向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量数量积的运算律和模长的计算求解即可. 【详解】，即，则， 所以. 故选：C. 5．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 6．向量的夹角为，，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 又 本题正确选项： 7．已知中，，，是边上一动点，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】 本题正确选项： 8．向量与非零向量的夹角为，则在上的投影数量为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得. 【详解】依题意，在上的投影数量为. 故选：A 【提升通关练】 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）M是的边BC的中点，满足，若动点P在内部，则的最小值为（   ）. A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】设中点为，由，再根据向量的线性运算可解. 【详解】设中点为，     ， 当，即点P在中点时取等号， 故选：A. 10．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由圆的性质得到，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可. 【详解】因为点为的中点，，所以， ， 因为点为线段上的一动点，， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 12．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值. 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 13．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，写出点、、和的坐标，设出点，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值. 【详解】如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，， 设， 则，，， ， 即当时，取得最小值5. 故选：D    14．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为．故选 B 15．若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最大值为. 16．已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】A 【详解】设原点为，令，，则，可得. 根据向量夹角的定义，与的夹角为，即中，即的长度. 对应用正弦定理得，代入，，得， 因为正弦值满足，当时取最大值1，因此的最大值为. 【培优通关练】 17．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点M在△ABC内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系 则 . 设 ， 则 . 因为 ，且 ，所以 )，且 ， 即 可得 因为点 在 内部， 所以 可得 ，所以 . 因为 ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 . 故选：C 　 18．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，然后求出正八边形的内角大小，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由正八边形的对称性可知， ， 易知正八边形的每个内角为， 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值. 如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点， 可知当在线段上时，取得最大值，， 此时. 当在线段上时，取得最小值，此时， 此时， 故的取值范围为. 故选：A.    19．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【详解】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故选：A 20．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【详解】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 21．（24-25高一下·四川雅安·月考）如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值. 【详解】 取中点为，由， 因为，所以， 若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，, 若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界）， 此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立， 因为， 所以， 故的最大值为， 故选：C. 22．（多选）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，由极化恒等式得 ， 所以． 又，所以，由极化恒等式得 ． 故选：AC 23．设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（   ） A．若点O是的重心，则 B．若点O是的垂心，则 C．若，则点O是的外心 D．若O为的外心，H为的垂心，则 【答案】ACD 【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D. 【详解】取中点，如图， 因为点O是的重心，所以，故A正确； 因为点O是的垂心，所以， 故，故B错误； 因为，所以， 同理可得，所以，即为外心，故C正确； 如图， 因为 ， 所以， 两式相减可得， 同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 24．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 则， 由，得， 所以当，即时，取得最小值. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第36讲 平面向量中的范围与最值问题 目录 Part 1 考点突破 【方法1：范围与最值问题常用方法】 【方法2：极化恒等式】 【方法3：矩形大法】 【方法4：等和线】 【方法5：平行四边形大法】 【方法6：向量对角线定理】 Part2 题型探究 【题型一：利用三角向量不等式】 【题型二：定义法】 【题型三：基底法】 【题型四：几何意义法】 【题型五：坐标法】 【题型六：极化恒等式】 【题型七：矩形大法】 【题型八：等和线、等差线、等商线】 【题型九：平行四边形大法】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【方法1：范围与最值问题常用方法】 技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 （2）坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步：将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【方法2：极化恒等式】 技巧二．极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） 【方法3：矩形大法】 技巧三．矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设，则 【方法4：等和线】 技巧四．等和线 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【方法5：平行四边形大法】 技巧五．平行四边形大法 1、中线长定理 2、为空间中任意一点，由中线长定理得： 两式相减： 【方法6：向量对角线定理】 技巧六．向量对角线定理 Part 2 题型探究 【题型一：利用三角向量不等式】 【例1】已知向量满足，则的取值范围是__________． 【变式1】已知向量，满足，，则的取值范围是_________. 【变式2】设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【题型二：定义法】 【例2】（夹角的最值（范围））平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·江西上饶·期中）已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型三：基底法】 【例3】如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5】如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 【变式6】（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【题型四：几何意义法】 【例4】例6．已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 【变式7】如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点（含边界），，的最大值为________． 【变式8】已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 【题型五：坐标法】 【例5】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9】（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【变式10】（23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【题型六：极化恒等式】 【例6】已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式11】（24-25高一下·河北邢台·期中）在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式12】如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________. 【题型七：矩形大法】 【例7】已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13】在四边形中，，，则的最小值为__________. 【变式14】已知O为矩形内一点，满足，，，则______． 【题型八：等和线、等差线、等商线】 【例8】在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式15】如图，在扇形中，，点在圆弧(包含端点)上运动，若，则的取值范围是 【变式16】的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【题型九：平行四边形大法】 【例9】（24-25高一下·广东梅州·月考）在中，是边上的中点，则的取值范围是 ． 【变式17】如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是 . 【变式18】如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________． 【题型十：向量对角线定理】 【例10】（24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 【变式19】在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式20】已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则 A． B． C． D． 4．设均为单位向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 6．向量的夹角为，，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知中，，，是边上一动点，则（　　） A． B． C． D．无法确定 8．向量与非零向量的夹角为，则在上的投影数量为（    ） A． B． C．1 D． 【提升通关练】 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）M是的边BC的中点，满足，若动点P在内部，则的最小值为（   ）. A． B． C．1 D．0 10．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是 . 11．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 12．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 13．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 14．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（     ） A． B． C． D． 16．已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．6 【培优通关练】 17．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·四川雅安·月考）如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 22．（多选）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 23．设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（   ） A．若点O是的重心，则 B．若点O是的垂心，则 C．若，则点O是的外心 D．若O为的外心，H为的垂心，则 24．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $