2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中考试模拟卷

2026-2027学年上学期九年级期中考试模拟卷 数学试卷（北师大新版第一~第五章） 本卷满分120分，考试时间100分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列关于平行四边形的说法中，错误的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四个角都相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．邻边相等的菱形是正方形 4．已知函数图象经过点，，，则有（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．2 6．若一元二次方程有两个不相等的实数根，且m是非正数，则下列对m取值的判断正确的是（     ） A．可能是 B．可能是 C．符合条件的值有个 D．这样的值有无数个 7．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 8．如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 9．相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（     ） A． B． C． D． 10．如图，点O是矩形的对角线的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（     ） A．1 B． C．2 D． 未命名 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 11．一条有最高点的抛物线与轴交于点和点，并且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为，这条抛物线的函数表达式为_______________． 12．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 13．如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为________m． 14．若是方程的一个根，则式子的值为________． 15．在矩形纸片ABCD中，，点P，Q分别是在边AB，CD上，，将和分别沿PG，EQ翻折，点D，B的对应点分别是，，若四边形是有一边平行于AB的菱形且，则AP的长是____________． 三、解答题 16．解下列方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法，结果保留根号）． 17．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 18．如图，菱形的对角线，相交于点O，点F是中点，延长线段至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 19．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 20．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则___________； (2)已知实数m，n满足求的值； (3)若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 21．根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展，某科技公司自主研制出，两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为万元，每台种型号智能机器人制造成本为万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元；售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如图所示． 根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求，两种型号智能机器人每台的销售价格； (2)任务二拟定最优方案：若型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求型机器人的销售单价定为多少时，，两种型号的机器人利润之和最大． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点、． (1)求抛物线的对称轴及点D的坐标； (2)请证明：该抛物线一定经过点； (3)若，将抛物线向右平移m个单位后，使得新抛物线恰好经过点C，求m的值和新抛物线的解析式． 23．探究解题： (1)如图1，E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，交于点G．若，则线段的长为__________； 【类比应用】 (2)如图2，E是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，交于点G．若，，求线段的长． 【拓展探究】 (3)如图3，在矩形中，E为射线上一动点，连接，取的中点M，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，射线交射线于点G．若，，，请直接写出线段的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年上学期九年级期中考试模拟卷》参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C A D D A A C 10．解：由题意可得：点Q的轨迹为一条线段，，， ∴， 又∵°，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得， ∴，， ∴， 当P与A重合时，过点O作交于点F，如图1， ∵，， ∴Q在线段上， ， ∴点Q与点F重合 ，由勾股定理可得：， ， 当P与D重合时，过点O作交于点E，连接，，如图2， 由题意可得：，， ∴为等边三角形，即，， ∵，，， ∴， ∴，此时，点O在射线上， ∴，则点Q与点E重合， ∴点Q的轨迹为线段， 由此可得，当P与D重合时，最大，为的长度， 在中，，， 可得：， ，即最大值为2． 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15．或3 14题详解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 15题详解：①如图甲中，作． ，四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ． ②如图乙中，设交于，交于，则四边形是矩形， 由题意四边形，四边形都是正方形，四边形，四边形都是矩形， 设， ， ， 而， ， 解得， ， 综上所述，或3， （2）解：， ∵， ∴ ， ∴ ，． 16．（1）解：， ， ∴ 或， 解得． 17．解：(1)如图所示，点P的位置即为所求； ． (2)如图所示，即为所求． (3) 18．(1)证明：∵点F是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线，相交于点O， ∴， ∴四边形为矩形； (2)解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得到， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 19．(1)，． (2)①解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴． ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 20．(1)3， （2）解：当时， ∵实数m、n满足， ∴m、n可看作方程的两根， ∴， ∴； 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：∵a，b是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得或， 又 当时，，方程无实根，舍去； 当时，，符合题意， ∴． 21．（1）解：设型号智能机器人每台销售价格为万元，型号智能机器人每台销售价格为万元． 由题意得：，解得． 答：型号智能机器人每台销售价格为万元，型号智能机器人每台销售价格为万元． （2）解：设总销售量与 型销售单价的函数解析式为． 将点、代入解析式，得， 解得． ． 型机器人销售量占总销量的， 型机器人销售量占总销量的． 型机器人销售量：， 型机器人销售量：， 型每台成本 万元，型每台成本万元， 每台 型利润为万元，每台 型利润为万元． 设总利润为万元，由题意得： + ∴当x=时，取得最大值． 答：当型机器人的销售单价定为万元时，，两种型号的机器人利润之和最大． 22．（1）解：的对称轴是直线． ∵当时，， ∴； (2)证明：∵对称轴是直线， ∴关于对称轴对称的点为， ∴该抛物线一定经过点； （3）解：∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 将代入，得 ， ∴， ∴， ∵抛物线向右平移m个单位， ∴平移后的解析式为， ∵新抛物线恰好经过点， ∴， 解得或， 当时，． 当时，． 23．(1) （2）解：延长、交于点H． ∵菱形，， ∴，， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∵，， ∴是等边三角形， 即． ∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况进行讨论： ①如图1，当点E在射线上，且位于点A的上方． ∵矩形， ∴，，， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵矩形，点E在射线上， ∴， ∴， ∴点F在上， ∵射线交射线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：； ②如图2，当点E在线段上，过点E作交于点N． ∵矩形， ∴，，， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 即， ∴B，C，F三点共线． ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 综上所述，的长为或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $