2026-2027学年北师大版九年级上册数学期中考试模拟卷（一）

2026年秋季北师大版九年级上学期数学期中考试模拟卷（一） 范围：第一章-第四章 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（　　      ）        A．三边成比例的两个三角形相似 B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 D．平行线分线段成比例 5．现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6． 如图， 线段AB 两个端点的坐标分别为A(6， 6)， B(8， 2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的 后得到线段CD，则端点 C 的坐标为(　　) A．(4，3) B．(3，3) C．(3， 1) D．(4，1) 7．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=6，AE=8，则CE的长为（　　） A． B．10 C． D． 8．顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （　　） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 9．如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法： ①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根； ②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1； ③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)； 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2、 填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．数，如果数b是a和c的比例中项，那么_____． 12．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 13．如图，正方形中，对角线，相交于点，为边中点，正方形的周长为16，则的长等于___________． 14. 为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________． 15. 如图，在菱形中，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是_____． 3、 解答题:本大题共7小题，共61分 4、 16．（6分） 解方程： (1)； (2) 17．（7分）如图，为原点，，两点的坐标分别为，． （1）以为位似中心，在轴左侧将放大2倍，得到，请画出图形（，两点的对应点分别为，）； （2）分别写出点，的坐标； （3）若的面积为，则的面积为________． 18．（8分）如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 19．（8分）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 20．（10分）关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2. （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足x1＋x2＝－x1x2，求k的值． 21．（10分）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． （1）请问每次降价的百分率为多少？ （2）朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 22．（12分）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 参考答案 一、选择题 1-5 ABACB 6-10 BADBD 二、填空题 11.±6 12.±2√2 13.2 14.10% 15.2−√3 三、解答题 16. 解方程 (1) 5x² + x − 1 = 0 a = 5，b = 1，c = −1 判别式： ∴ x₁ = (−1 + √21)/10，x₂ = (−1 − √21)/10 (2) x(x + 2) − 3x − 6 = 0 因式分解：x(x + 2) − 3(x + 2) = 0 (x + 2)(x − 3) = 0 x + 2 = 0 或 x − 3 = 0 ∴ x₁ = −2，x₂ = 3 17. 位似图形 (1) 画图：以原点 O 为位似中心，在 y 轴左侧将 △ABC 放大为原来的 2 倍，即各点横、纵坐标均乘以 −2。 (2) B(3, −1)，C(2, 1)，放大后： B′(−6, 2)，C′(−4, −2) (3) 位似比为 2，面积比等于位似比的平方：S′ : S = 4 : 1。 ∴ 面积为 4m。 18. 相似三角形 (1) 证明： ∵ DE ∥ BC，∴ ∠EDC = ∠DCB（内错角相等）。 又 ∵ ∠ACD = ∠B，即 ∠DCE = ∠B。 在 △DEC 与 △CDB 中：∠DCE = ∠B，∠EDC = ∠DCB。 ∴ △DEC ∽ △CDB（AA 相似）。 (2) 解： 由 △DEC ∽ △CDB，对应边成比例： ，即 CD² = DE · BC。 代入 DE = 6，BC = 10： CD² = 6 × 10 = 60，CD > 0。 ∴ CD = 2√15。 19. 菱形的判定与面积 (1) 证明： ∵ AE ∥ CD，CE ∥ AD，∴ 四边形 AECD 是平行四边形。 又 ∵ △ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线。 ∴ CD = AD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。 ∴ 平行四边形 AECD 一组邻边相等，故四边形 AECD 是菱形。 (2) 解： ∵ 菱形 AECD，AE = 4，∴ AE = EC = AD = CD = 4，AB = 2AD = 8。 过 C 作 CF ⊥ AE，交 AE 延长线于 F。 在 Rt△ECF 中，∠E = 45°： CF = EC · sin45° = 4 × √2/2 = 2√2。 梯形 ABCE 的面积： ∴ 四边形 ABCE 的面积为 12√2。 20. 一元二次方程根的判别式与韦达定理 (1) 解： 方程 x² − (2k − 1)x + k² + 1 = 0 有两个不相等的实数根，需 Δ > 0。 由 Δ > 0：−4k − 3 > 0，解得 k < −3/4。 (2) 解： 由韦达定理：x₁ + x₂ = 2k − 1，x₁x₂ = k² + 1。 已知 x₁ + x₂ = −x₁x₂，代入得： 2k − 1 = −(k² + 1) 2k − 1 = −k² − 1 k² + 2k = 0，k(k + 2) = 0。 解得 k₁ = 0，k₂ = −2。 结合 (1) 中 k < −3/4，舍去 k = 0。 ∴ k = −2。 21. 一元二次方程的应用（增长率与利润） (1) 解： 设每次降价的百分率为 x。 100(1 − x)² = 36 (1 − x)² = 0.36 1 − x = ±0.6，解得 x₁ = 0.4 = 40%，x₂ = 1.6（不合题意，舍去）。 答：每次降价的百分率为 40%。 (2) 解： 设在促销活动前至少卖出 y 盒，则打折后卖出 (200 − y) 盒。 打折后售价：50 × 0.8 = 40 元/盒，进价 36 元/盒。 总利润：(50 − 36)y + (40 − 36)(200 − y) ≥ 2000 14y + 4(200 − y) ≥ 2000 14y + 800 − 4y ≥ 2000 10y ≥ 1200，y ≥ 120。 答：在促销活动开始前至少要卖出 120 盒。 22. 相似三角形综合（一线三等角模型） (1) 证明： ∵ ∠DPC = ∠A = ∠B = 90°， ∴ ∠ADP + ∠APD = 90°，∠APD + ∠BPC = 90°。 ∴ ∠ADP = ∠BPC。 又 ∠A = ∠B = 90°，∴ △ADP ∽ △BPC。 ，即 AD · BC = AP · BP。 (2) 解：结论仍成立，即 AD · BC = AP · BP。 理由：∵ ∠DPC = ∠A = ∠B， ∠APD + ∠DPC + ∠BPC = 180°，∠APD + ∠A + ∠ADP = 180°。 ∴ ∠ADP = ∠BPC。 又 ∠A = ∠B，∴ △ADP ∽ △BPC。 ，即 AD · BC = AP · BP。 (3) 解： 过 A 作 AH ⊥ BC，垂足为 H。 在 △ABH 中，∠B = 45°，AB = 2√2， ∴ AH = BH = AB · sin45° = 2√2 × √2/2 = 2。 由 (2) 的"一线三等角"模型：∠ADE = ∠B = ∠DFE = 45°， 可得 △ABD ∽ △DCE（∠BAD = ∠CDE，∠B = ∠C = 45°）。 设 CD = x，则 BD = BC − CD = 4 − x。 代入 AB = 2√2，CE = √5： 解得 CD = √10。 ∴ CD 的长为 √10。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $