第二十九章 数学活动（四等分圆、四点共圆）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章 数学活动 四等分圆 · 探究四点共圆的条件 学科：数学（人教版） 年级：九年级 主讲人：____________ 学校：____________ 本章新授全部结束，这节活动课把知识'用起来'：活动一动手设计，活动二动手探究。两个活动都强调完整经历'操作—猜想—验证—交流'。 活动目标 1. 经历“设计—操作—验证—交流”的完整活动过程，用圆的有关性质解决实际问题； 2. 活动一：用多种方法把圆四等分，体会等分圆与垂直、对称的联系； 3. 活动二：通过度量、猜想、说理，探究四点共圆的条件，体会从特殊到一般的研究方法。 活动课的目标落在'经验'上：会设计操作步骤、会验证猜想、会说清楚道理。提前分好四人小组，每组备圆规、直尺、量角器、透明纸。 一 活动1 任务发布：把⊙O四等分 任务：不用量角器，把一个已知圆的圆周四等分，标出四个分点——你能想出几种作法？ 分析：四等分圆周，就是把圆分成四段相等的弧，每段弧所对的圆心角是多少度？（360°÷4 = 90°） 也就是说，只要在圆里构造出两条互相垂直的直径，问题就解决了。 想一想：怎样得到一条直径？怎样再得到与它垂直的另一条？带着问题开始动手。 先让学生独立尝试3分钟，再小组交流。多数学生会先画出一条直径，卡点在'怎样作出垂直'——这正是两个方法的分岔口。 方法一：两条互相垂直的直径 作法：①在⊙O中任作一条直径AB； ②用三角板过圆心O作AB的垂线，交⊙O于C、D。 结论：A、B、C、D四点把⊙O四等分。 理由：AB是直径，把圆分成两个半圆；OC⊥AB，则∠AOC=∠BOC=90°，四段弧所对的圆心角都是90°，所以四段弧相等。 追问：如果三角板也不许用，只用圆规和直尺呢？ 方法一直观，理由用'圆心角相等则弧相等'说清楚。最后的追问把学生推向尺规作图——引出方法二。 方法二：尺规作垂直平分线 作法：①作直径AB； ②分别以A、B为圆心、大于½AB的长为半径作弧，两弧分别交于点E、F； ③作直线EF，交⊙O于C、D。 理由：EF是线段AB的垂直平分线。直径的中垂线必过圆心且垂直于AB，所以CD是另一条直径，且CD⊥AB。 检验：度量弦AC、CB、BD、DA，四条弦相等，说明四段弧相等。 八年级学过的'尺规作垂直平分线'在这里派上用场。检验一步用量程或圆规比较弦长，把'弧相等'转化为可操作的'弦相等'。 等分圆的应用与拓展 应用举例：四叶风车窗、十字花坛、圆桌转盘的定位孔……设计图都要先把圆等分。 拓展1：怎样三等分圆？——作出120°的圆心角。提示：等边三角形的三个外角都是120°，可用圆规构造。 拓展2：六等分圆最简单——以半径为弦长在圆周上连续截取，恰好截六次（每段弧所对的圆心角都是60°）。 交流：等分圆的本质是构造特殊角（90°、60°、120°）的圆心角，基本手段是垂直与全等。 六等分口诀'半径截圆周一圈'让学生当场试：以半径张圆规，从圆上一点起连续截取，正好六步回到起点——这是很惊艳的一个发现。 二 活动2 探究四点共圆的条件 回顾：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 新问题：平面内不在同一条直线上的四个点，什么时候能在同一个圆上？ 探究路径：先观察特殊四边形（矩形、正方形），再看一般四边形，比较它们的共同点与不同点。 工具：圆规、直尺作图；量角器只用来度量验证。 '过三点作圆'是上一章内容，先复习。提示学生把'四点共圆'和'四边形'联系起来——四个点按顺序连起来就是四边形，问题变成研究四边形的什么性质。 探究1：从矩形说起 操作：画矩形ABCD，作两条对角线，交点为O。 发现1：矩形对角线相等且互相平分，所以 OA=OB=OC=OD，四个顶点都在以O为圆心的圆上。 发现2：AC是直径，∴ ∠ABC=90°（直径所对的圆周角是直角）。 度量：∠A+∠C = 90°+90° = 180°，对角互补。 猜想：对角互补的四边形，四个顶点共圆。 矩形的两组对角都是90°+90°，恰好互补——这是最特殊的样本。正方形、等腰梯形可以让学生再自行验证，积累更多正面例子。 探究2：一般的四边形呢？ 操作：任画一个四边形ABCD，度量∠A和∠C。 实测：∠A ≈ 95°，∠C ≈ 98°，∠A+∠C ≈ 193°，不是180°。 验证：过A、B、C三点作圆，点D在圆外——四点不共圆。 再试：换画几个一般四边形，对角和都不是180°。 对比：对角互补的共圆，对角不互补的不共圆——猜想在正反两方面都得到支持。 学生的度量结果各不相同，但结论一致：不等于180°。这里刻意保留误差，说明'度量支持猜想，猜想还要说理'。 探究3：说理——对角互补 ⇔ 四点共圆 正向：四边形ABCD内接于⊙O。∠A与∠C是圆周角，它们所对的弧合起来正好是整圆， ∴ ∠A+∠C = 180°（圆内接四边形对角互补）。 反向：若∠A+∠C=180°，过A、B、C作圆。假设D不在圆上，可推出∠A+∠C≠180°，矛盾——四点共圆。（思路了解） 结论：四边形对角互补 ⇔ 四个顶点共圆。 正向用圆内接四边形性质一句话说完；反向的反证法只讲思路，不展开细节。图上110°+70°=180°，让学生现场加一遍。 三 成果交流 交流与再发现 交流1：等腰梯形对角互补吗？（同一底上两角相等，同旁内角互补 → 对角互补）所以等腰梯形四个顶点共圆。 交流2：正方形是特殊的矩形，四个顶点共圆，圆心是对角线交点。 交流3：找一找生活中的“四点共圆”：矩形门窗的四个角、车轮上对称分布的四颗螺母…… 再发现：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角——用“对角互补+邻补角”两步就能推出来。 每组派代表汇报一个发现。'外角等于内对角'由全班共同推导：∠A+∠C=180°，∠A+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠C。 四 活动总结 两个活动的收获 活动1的收获：等分圆 = 构造特殊角的圆心角；垂直与对称是基本手段，尺规作图是精确保证。 活动2的收获：从特殊（矩形）到一般，走“度量→猜想→验证→说理”的完整路径。 本章主线：圆的定义 → 垂直于弦的直径 → 圆周角 → 点、直线与圆的位置 → 切线 → 弧长与扇形，性质与应用互相支撑。 数学眼光：许多设计问题的背后，都是“角度与弧”的计算。 总结时把本章知识串成一条线，请学生对照目录'过电影'。两个活动的经验（会操作、会验证、会说理）比结论本身更重要。 课后作业 1. 实践：用两种不同方法把家里的圆形盘垫四等分，拍照记录作图痕迹； 2. 作图：以2cm为半径作圆，用尺规把它六等分，并作出内接正六边形； 3. 探究：画一个∠A=70°、∠C=110°的四边形，度量另一组对角，检验四点是否共圆，记录你的结论； 4. 思考：四点共圆的判定和“圆内接四边形对角互补”是一对互逆命题——在考试里它们常怎样搭配出现？举一个例子。 提醒：活动报告要写清作法步骤和验证依据，图与文字对应。 第3题让学生亲历'一对对角互补'的判定使用；第4题为九年级下综合题作铺垫。活动报告下节课课前展示两份。 $