第二十九章 圆 数学活动课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕圆的数学活动展开，系统梳理尺规四、八、十六等分圆周的方法及四点共圆的条件，通过情境导入和问题引导的探究活动，构建圆的性质与作图的知识网络。 其亮点在于结合中国铜镜文化情境培养数学眼光，通过测量猜想、反证法证明四点共圆条件发展推理意识，随堂练习设计基础计算与证明题分层巩固。既帮助学生深化知识理解，也为教师提供针对性复习教学支持。

第二十九章 圆 R·九年级数学上册 数学活动 学习目标 1.掌握用尺规作图法四等分、八等分及十六等分圆周. 2.探究能过四边形的四个顶点作圆的条件. 情境导入 有两千多年历史的中国铜镜以“装饰繁缛、制作精美”著称于世，圆形铜镜是它最重要的一种样式. 东汉连弧纹铜镜 西汉草叶纹铜镜 探索新知 活动1 四等分圆周 问题1：怎样把一个圆进行四等分？ O A B C D ① 任意作⊙O的直径AB； ② 过点O作AB的垂线，与⊙O相交于C，D两点，则点A，B，C，D将⊙O四等分. 问题2：你能说明其中的道理吗？ O A B C D 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 等分弧 等分圆心角 试一试：将一个圆进行八等分. 我们只需要在四等分的基础上，再平分圆心角就可以得到所需的八等分． 随着后续的学习，你将会学到更多利用尺规等分圆周的方法！ 生活中的圆之美 “天圆地方”的哲学观 生活中的圆之美 “团圆”、“和谐”的美好愿望 活动2 探究四点共圆的条件 问题1：经过平面内一点能作几个圆？两个点呢？三个点呢？ 条件 结论 经过一点 无数个圆 圆心分布无限制 A 条件 结论 经过一点 无数个圆 圆心分布无限制 经过两点 无数个圆 圆心在AB的垂直平分线上 A B 条件 结论 经过一点 无数个圆 圆心分布无限制 经过两点 无数个圆 圆心在AB的垂直平分线上 经过三点 l A B C O A B C l1 l2 不共线 共线 只能作1个圆 不能作圆 问题2：过平面内四个点能确定一个圆吗？ 条件 结论 经过四点 四点共线 三点共线 任意三点不共线 不能作圆 构成四边形 试一试：图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！ A D B C A B C D A B C D A B C D 结论：不是所有四边形的四个顶点共圆，只有一部分四边形的四个顶点共圆. 具有什么特点的四边形的四个顶点共圆呢？ A D B C A B C D A B C D 做一做：分别测量下面各四边形的内角，看看有什么共同特征？ ∠A+∠C=180° ∠A+∠C=180° ∠A+∠C=180° 猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆. 猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆. 已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°. 求证：过点A，B，C，D可作一个圆. 分析：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、D三点作圆，则点C要么在圆内，要么在圆外. A B C D O A B C D O A B C D O 已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°. 求证：过点A，B，C，D可作一个圆. 证明：假设过点A, B, C, D四点不能作一个圆. 过A, B, D三点作圆，若点C在圆内. E 延长BC与圆交于点E，连接DE， 则∠A+∠E=180°. ∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=∠E. ∵∠BCD=∠CDE+∠E，这与∠BCD=∠E矛盾，故假设不成立. 因此点C不在过点A, B, D三点的圆内. 已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°. 求证：过点A，B，C，D可作一个圆. 证明：假设过点A, B, C, D四点不能作一个圆. 过A, B, D三点作圆，若点C在圆外. A B C D O 设BC与圆交于点E，连接DE， 则∠A+∠BED=180°. E ∵∠A+∠C=180°，∴∠BED=∠C. ∵∠BED=∠EDC+∠C，这与∠BED=∠C矛盾，故假设不成立. 因此点C不在过点A, B, D三点的圆外. 已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°. 求证：过点A，B，C，D可作一个圆. A B C D O E 综上所述，点C不在过点A, B, D三点的圆外，也不在过点A, B, D三点的圆内. A B C D O E 所以点C在过点A, B, D三点的圆上，即过点A, B, C, D可作一个圆. A B C D O 结论：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆. A C D O B 对角互补的四边形的四个顶点共圆. 随堂练习 1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， ∠CAD=26°， 则∠ABD的度数为______. A B C D 64° 2.如图，在△ABC中， AD⊥BC， DE⊥AB， DF⊥AC. 求证： B、E、F、C四点共圆. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠AED+AFD=180°. ∴A、E、D、F四点共圆.∴∠DEF=∠DAF. 又AD⊥DC，∴∠DAF+∠C=90°. ∴∠DEF+∠C=90°. ∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°. ∴B、E、F、C四点共圆. 课堂小结 通过本节数学活动的研究，你有什么收获？ $