29.3 弧长和扇形面积 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.3 弧长和扇形面积 学科：数学（人教版） 年级：九年级 主讲人：____________ 学校：____________ 开场：前面学过整圆的周长和面积。今天研究'圆的一部分'——一段弧有多长、一个扇形占多大。跑道弯道、钟表指针，都是这两个公式的用武之地。 学习目标 1. 经历弧长、扇形面积公式的推导过程，体会“先求1°的量”的思想； 2. 掌握弧长公式和扇形面积公式（含S = ½lR），并能正确选用； 3. 能解决弯道长度、指针路程、弓形面积等实际问题，掌握“整体减部分”求阴影面积的方法。 重点是两个公式及推导，难点是组合图形阴影面积。推导过程不跳步，让学生自己说出'除以360'。 一 情境引入 弯道有多长？指针走了多远？ 问题1：运动场400米跑道的弯道部分是圆弧，怎样算出它的长度？ 问题2：钟表的分针转一圈，针尖走过的“路程”是什么形状？有多长？ 复习：圆的周长 C = 2πR，圆的面积 S = πR²——它们对应的都是360°。 思考：圆心角变小，它对的弧、围成的扇形也跟着变小。这个“变小”有固定的比例吗？ 两个问题都指向'圆的一部分'。引导学生说出：弧长、扇形面积应该与圆心角的大小成比例，为下面的推导埋下伏笔。 二 探究新知 弧长的推导：从“1°的弧”说起 圆的周长 2πR，均匀分布在 360° 上： 1°的圆心角所对的弧长 = 2πR ÷ 360 = πR/180 n°的圆心角所对的弧长 = n × πR/180 弧长公式：l = nπR/180 检验：n = 360 时，l = 2πR，正好是圆的周长，公式自洽。 推导就三步：周长分给360°，得到1°的弧长，再乘度数。强调n是倍数不是角度符号。检验一步让学生自己算，加深'公式是推出来的'的印象。 弧长公式 l = nπR / 180 其中：n 为圆心角的度数（不带单位），R 为圆的半径。 理解：πR/180 是“1°的弧长”，l 是它的 n 倍——理解了推导，公式不必死记。 比例关系：同一圆中，弧长之比等于圆心角之比，如 60°的弧是 30°的弧的 2 倍。 提醒：n = 360 时 l = 2πR（圆周长），n = 180 时 l = πR（半圆弧），这两个特殊值可以用来检查代入是否出错。 半圆弧 πR 这个特殊值很实用：任何弧长都和它比。比例关系一提，学生记公式就有'结构感'。 扇形面积的推导 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径组成的图形。 圆的面积 πR²，均匀分布在 360° 上： 1°的扇形面积 = πR² ÷ 360 = πR²/360 n°的扇形面积：S = nπR²/360 检验：n = 360 时，S = πR²，正好是圆的面积。 推导思路与弧长完全平行，可以让学生类比着说。两栏对照板书：弧长除的是2πR，面积除的是πR²，分母都是360。 扇形面积公式 S = nπR²/360 = ½lR 推导：½lR = ½ × (nπR/180) × R = nπR²/360，两种写法完全一致。 记忆：把扇形看成“底为弧长 l、高为半径 R”的曲边三角形，面积就是 ½lR。 选用：已知 n 和 R，用 nπR²/360；已知 l 和 R，用 ½lR——哪个条件齐就用哪个。 例：n = 60°时 S = πR²/6，即扇形占整圆的六分之一。 ½lR 是考试高频公式。'曲边三角形'的类比帮助学生理解为什么会出现'一半乘l乘R'。 三 新知应用 例1：求弧长与扇形面积 例：半径为5cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 l，围成的扇形面积为 S。 求 l 和 S（结果保留π）。 解：l = 120π×5/180 = 10π/3 ≈ 10.5(cm) S = 120π×5²/360 = 25π/3 ≈ 26.2(cm²) 另解：S = ½lR = ½ × 10π/3 × 5 = 25π/3，结果一致。 点评：先写公式再代入；结果保留π还是取近似值，按题目要求。 板书示范格式：公式→代入→结果。让学生用两种方法各算一遍面积，体会½lR的便捷。追问：圆心角改为240°呢？（l=20π/3，S=50π/3） 例2：弯管道的展直长度 例：一个弯管道接头的中心线由两段直道和一段圆弧组成，圆弧半径45mm，圆心角100°，两段直道都是70mm。 求中心线的展直长度 L。（π取3.14） 解：弧AB = 100π×45/180 = 25π ≈ 78.5(mm) L = 70 + 78.5 + 70 = 218.5(mm) 方法：先“拆”——直道归直道、弧归弧，分段计算再相加。 这是教材例1的改编。'展直长度'就是下料前的总长，工程背景讲一句即可。强调100°的圆心角对应的弧才是弯的部分。 例3：弓形面积 例：⊙O的半径为6cm，弦AB所对的圆心角为60°，求弦AB与弧AB围成的弓形面积。 解：S扇形 = 60π×6²/360 = 6π(cm²) ∵ OA=OB=6，∠AOB=60°，∴ △OAB是等边三角形。 S△ = (√3/4)×6² = 9√3 ≈ 15.6(cm²) S弓形 = 6π − 9√3 ≈ 3.3(cm²) 方法：弓形 = 扇形 − 三角形，“整体减部分”是求阴影面积的通法。 弓形面积第一次出现，关键在识别'哪块减哪块'。等边三角形的判定要用文字写清楚：半径相等且夹角60°。 四 目标检测 检测：分针针尖走过的路程 如图，分针长10cm，从12点整走到12点20分。 （1）针尖走过的路程是多少厘米？ （2）分针扫过的面积是多少平方厘米？ 解：分针转过 360°×20/60 = 120°。 （1）l = 120π×10/180 = 20π/3 ≈ 20.9(cm) （2）S = 120π×10²/360 = 100π/3 ≈ 104.7(cm²) 针尖走的是弧长，扫过的是扇形面积——两个公式一次检测。先让学生独立完成，再对照订正，重点看'120°'这一步能不能自己求出来。 五 课堂小结 这节课我们学了什么？ 两个公式：l = nπR/180；S = nπR²/360 = ½lR。 一个思想：把圆按360°均分，先求“1°的量”再乘度数——公式是推出来的，不用死记。 一个通法：求阴影面积，整体（圆、扇形）减部分（三角形、弓形），或割补转化。 两个提醒：n 是角度数、不带单位；结果保留π还是取近似值，看题目要求。 请两名学生分别复述弧长公式和扇形面积公式的推导思路，检查'1°的量'这一核心思想是否落实。 课后作业 1. 基础：半径4cm、圆心角150°的弧长和扇形面积（结果保留π）； 2. 应用：跑道弯道的圆心角为120°、半径为32m，求弯道长（π取3.14）； 3. 提升：一个扇形的面积为4π、半径为4，求它的弧长和圆心角（提示：用 S = ½lR）； 4. 思考：圆锥的侧面展开图是一个扇形——底面半径3cm、母线5cm的圆锥，它的侧面积是多少？下节课我们一起揭开谜底。 提醒：写公式时先注明各字母的含义，代入时带单位运算，结果回代检验量级。 第3题反向运用公式训练方程意识；第4题为圆锥侧面积埋伏笔，学有余力的学生可提前用S=πrl验证。 $