第11讲 反比例函数的综合（技法概要+8大题型12种考向+培优小检测）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第11讲 反比例函数的综合 技法概要 一、知识回顾 通用解题步骤： ①　读图定向：看清图象在哪两个象限、交点在哪，先定出 k 的符号。 ②　设点设参：把动点、待求点用参数表示，尽量用一个参数控制图上所有的点。 ③　几何代数化：线段长化坐标差，面积化 |k|、|k| 或坐标差，垂直平行化斜率，角化三角函数或相似。 ④　建方程求解：能直接解的直接解；含参的用判别式、韦达定理讨论。 ⑤　回代检验：代回原题，舍去不合题意的解，检查是否落在指定范围（象限内、线段上、整点）。 二、常考题型 题型精讲 题型1 反比例函数与几何结合进行证明 方法指导： （1）坐标化：把双曲线上的点设为 (a, k/a)，再用矩形（正方形、菱形）的边长、中点关系，把其余顶点的坐标写出来。 （2）算面积：能直接用 |k| 的先用 |k|，不能的用“整体减空白”割补，底和高都用坐标差表示。 （3）证形状：证“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”得平行四边形；矩形再加“对角线相等”或“有一个角是直角”；菱形再加“对角线互相垂直”或“一组邻边相等” （4）搭桥：坐标系里常用“一线三垂直”构造全等：两个直角三角形，斜边相等、一组锐角相等，即全等。 【例1】如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）设点M的坐标为（a，b），根据点M在反比例函数上，求出AB，根据AC⊥x轴，M是AC的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数C2的表达式为，代入点A的坐标即可解答； （2）根据题意证明AC与BD互相垂直平分即可得证． 【变式1】（即墨区期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8．边BC落在x轴上，E是AB的中点，连接DE，反比例函数y的图象经过点E，与CD交于点F． （1）若B（3，0），求F点坐标； （2）若DF＝DE，求反比例函数的解析式． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），点B在反比例函数的图象上，连接AC、OB，过点B作BD∥AC交x轴于点D，延长OA交反比例函数的图象于点P，连接BP． （1）求反比例函数的解析式和点D的坐标； （2）求四边形OPBD的面积． 题型2 存在性问题 方法指导： （1）统一设参：设 OA＝a（或设动点坐标），把图中其余点的坐标全部用 a 表示，这是这类题的通用起手式。 （2）列方程：把“面积相等或成倍数”“线段相等”“垂直”等条件写成含 a 的方程。 （3）分类讨论：以 P、O、A 为顶点的三角形是否存在，按“哪个点作直角顶点”分三种情况分别求；等腰三角形则按哪两条边相等分三种情况。 （4）检验：求出的点要回到题设范围里检查（在指定直线上、在线段上、在某一象限内）。 考向1 面积存在性问题 【例2】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，6）和点B（3n﹣6，2），与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接OA、OB，在直线AC上是否存在点D，使△OCD的面积是△AOB面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出B点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）求出C点坐标，根据A、B、C三点坐标求出△AOB的面积，再得到△OCD的面积，设D（m，﹣2m+8），利用三角形面积求出m的值即可得到答案． 【变式3】（蚌埠一模）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且一次函数与坐标轴分别交于点C，D．若D点的纵坐标为2，A点的横坐标为﹣3． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点E使得S△ABE＝3，若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 考向2 特殊三角形存在性问题 【例3】（莱芜区期末）直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b和解方程得到结论； （2）设C（5﹣m，m），求得xC﹣xD＝10，得到xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m，求得D（﹣5﹣m，m），解方程得到D（6，1）； （3）设C（n，﹣n+5），①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M，得到∠EMN＝∠ONM＝90°，根据全等三角形的性质得到CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5，求得；②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M，根据全等三角形的性质得到EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n，求得E（n﹣5，n），解方程得到E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）． 【变式4】如图，直线y＝2x与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣2），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝3CD． （1）求k的值并求出点B的坐标； （2）点P是y轴上的点，是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考向3 特殊四边形存在性问题 【例4】（张店区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象相交于点A（1，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点C（点C在直线AB的右上方）和点D，使得四边形ACBD为正方形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（1，6）代入反比例函数解方程得到m＝6，求得反比例函数的表达式为（x＞0），将点B（3，n）代入，得到B（3，2），将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b解方程组得到，于是得到一次函数的表达式为y＝﹣2x+8； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC，过C作EF⊥x轴，过A作AE⊥EF于E，过B作BF⊥EF于F，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，CE＝BF，设C（s，t），得到AE＝s﹣1，CE＝6﹣s，CF＝t﹣2，BF＝s﹣3，解方程组即可得到结论． 【变式5】（莱芜区模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，1）和B（﹣1，4）两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）如图，直线OA与反比例函数的图象的另一个交点为点C，点M是第四象限反比例函数图象上的一点，当△ACM的面积为6时，求点M的坐标； （3）在第（2）问的条件下，若点P为x轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考向4 特殊角存在性问题 【例5】（威海期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点E是第四象限反比例函数图象上一点，当△EAC的面积为15时，求点E的坐标； （3）反比例函数的图象上是否存在一点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，进而求出直线AB解析式； （2）利用铅锤法求面积即可，过E作EF∥y轴交直线AB于点F，设E（n，），则F（n，n+3），再根据S△EACEF•（xC﹣xA）＝15，去绝对值求解即可； （3）由45°联想等腰直角三角形，构造等腰直角三角形ATC，进而利用三垂直全等求出点T坐标，再求出直线CT解析式，联立方程组求解即可． 【变式6】（常州模拟）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当∠POA＝∠BAO时，求点P的坐标． 题型3 反比例函数的代数综合 方法指导： （1）联立求交点：y＝k/x 与 y＝ax+b 联立，消元得 ax²+bx-k＝0，解出交点横坐标，再代回求纵坐标；交点的个数由判别式 Δ＝b²+4ak 决定。 （2）平行与垂直：两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积为 -1。与坐标轴平行的直线要单独讨论，不能直接套斜率公式。 （3）图象定范围：把“y₁>y₂”这类条件，用两条图象的交点横坐标作分界，写出对应的 x 的取值范围。 【例6】（夷陵区模拟）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（﹣2，﹣1），C（﹣2，5），反比例函数的图象与AB交于点D（m，4）． （1）线段AC长为　　 ，B点坐标为（　　 ，　　 ）； （2）求m，k的值； （3）若将△ABC沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，当平移后的△ABC与双曲线恰有一个交点时，请直接写出n的值． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解； （2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得m的值，利用待定系数法即可求得k； （3）利用平移的性质得到平移后的点A（﹣2，﹣1﹣n），B（4，5﹣n），分别代入反比例函数的解析式即可求得． 【变式7】（淮南一模）如图，△ABO中，A（0，4），B（﹣3，0），AB绕点B顺时针旋转与BC重合，点C在x轴上，连接AC，若反比例函数与直线AC仅有一个公共点E． （1）求直线AC和反比例函数的解析式； （2）把△ACB沿直线AC翻折到△ACD，AD与反比例函数交于点F，求△FCD的面积． 题型4 新定义综合 【例7】（盐亭县一模）定义：点M（m，n）关于原点的对称点为M′，以MM′为边作等边△MM′N，则称点N为M的“完美三角点”． （1）若M（2，3），求点M的“完美三角点”的坐标． （2）若M点是双曲线上一动点，当点M的“完美三角点”点N在第四象限时， ①如图1，请问点N是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点C是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的纵坐标yn的取值范围． 【分析】（1）M（2，3）则M′（﹣2，﹣3），可求；设N（m，n），有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）①设则，可求；设N（s，t），有，通过解方程可得，，据此求解即可； ②分三种情况：当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，C与B重合时，C与A重合时，求解即可． 【变式8】（章丘区模拟）已知一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3）；与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且满足S△AOB，求点P的坐标； （3）我们将有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”．反比例函数y在第四象限的图象上是否存在点Q，使得△OBQ是不以OB为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设P（0，p），根据S△BCP＝S△BDP+S△CDP2|p+2||p+2||p+2|，结合列出方程进行求解即可； （3）分∠BOQ＝45°和∠OBQ＝45°两种情况，进行讨论求解即可． 题型5 定值问题 方法指导： （1）中点坐标公式：平行四边形对角线互相平分，两条对角线的中点重合。写成“两组对角线的端点横坐标之和相等、纵坐标之和相等”来列方程，不必真的算出中点坐标，这是定值题最常用的入口。 （2）设参传递：把动点坐标用同一个参数表示，代入双曲线解析式后参数被消去，“定值”就是这样来的。 （3）特殊图形：以线段为对角线作正方形，用“一线三垂直”证全等，把线段长转成坐标差，再用中点公式。 【例8】（成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与反比例函数的图象相交于A（1，a），B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D． （1）求线段AB的长； （2）已知P为y轴正半轴上一点，若△ABP为直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，将线段DA，AC组成的折线段“D﹣A﹣C”沿x轴正方向平移得到折线段“D′﹣A′﹣C′”，点D，A，C的对应点分别为D′，A′，C′．A′C′与反比例函数的图象交于点E，直线BD′与反比例函数的图象在第一象限交于点F，OE与C′F交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）将A（1，a）代入反比例函数解析式求出点A坐标，再代入正比例函数解析式求出直线解析式，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出B（﹣1，﹣2），最后根据两点距离公式求解即可； （2）设P（0，p），p＞0，分三种情况讨论直角位置：①∠APB＝90°，②∠PAB＝90°，③∠PBA＝90°，根据勾股定理列方程求解即可； （3）设平移距离为t（t＞0），则D′（t，2），C′（1+t，0），，求出直线BD的解析式，与联立，求出点，求出OE的解析式，直线C′F的解析式，联立后求出交点G的横坐标，过点G，F分别作GH⊥x轴，FK⊥x轴，根据平行线分线段成比例得出，即可解答． 【变式9】（太和县模拟）在矩形AOBC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A点坐标为（0，3），B点坐标为（4，0），F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，作直线EF． （1）若CF＝2，求反比例函数解新式； （2）在（1）的条件下求出△EOF的面积； （3）在点F的运动过程中，试说明是定值． 题型6 取值范围问题 （1）新定义先落地：把定义（如“分界线”）翻译成“一个图形上的点都在直线的同一侧”。 （2）从边界入手：把特殊点（端点、顶点、交点）的坐标代入直线，求出参数的分界值。 （3）临界相切：直线与双曲线（或抛物线）相切时 Δ＝0，用它定出参数的临界值。 （4）定范围：画图，数形结合，分类讨论，把能取和不能取的区间分别写清楚。 【例9】（廊坊期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点A，点D的坐标为． （1）k的值为　　 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位． ①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据点D的坐标为，即可得出DE的长以及DO的长，即可得出A点坐标，进而求出k的值； （2）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（4+m，3），由D′在反比例函数图象上，将点D′代入反比例函数解析式，求出m的值，问题可解； （3）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可． 【变式10】（烟台期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知反比例函数的图象经过点B，且m，n是关于x的方程x2﹣12x+32＝0的两个根（m＜n），点A的坐标为（0，m），点C的坐标为（n，0），D是OC的中点，连接AD． （1）求k的值； （2）若Q为y轴上一点，P为反比例函数图象上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若反比例函数的图象恰好与四边形ABCD的边有两个交点，直接写出k的取值范围． 题型7 最值问题 方法指导： （1）距离型新定义（如折线距离 d(A,B)＝|x₁-x₂|+|y₁-y₂|）：先把点的坐标代入定义，得到含绝对值的方程。 （2）去绝对值：按横、纵坐标与已知坐标的大小关系分类讨论，解出后再按自变量范围取舍。 （3）几何最值：线段和用“将军饮马”，面积用“水平宽×铅垂高”，动点用二次函数求最值。 （4）检验：最值点是否在允许范围内，取不到时要说明理由。 考向1 距离最值 【例10】（罗庄区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于点M（1，4），N（n，1）． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求△OMN的面积； （3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标． 【分析】（1）将点M（1，4）代入反比例函数可得答案；再将点N（n，1）代入反比例函数关系式求出点N（4，1），然后将两个点的坐标代入一次函数表达式为y＝ax+b得出方程组，求出解即可； （2）先求出直线l与坐标轴的交点A（5，0），B（0，5），进而求出OA＝5，OB＝5，再根据得出答案； （3）作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N交y轴于点P，再根据“两点之间线段最短”可得PM+PN＝PM′+PN的最小值等于M′N的长，再求出直线M′N的解析式，然后令x＝0求出，则此题可解． 【变式11】（宽城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）分别求a和b的值； （2）结合图象，直接写出中x的取值范围； （3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值，求点P的坐标． 考向2 面积最值 【例11】（绵阳一模）如图，双曲线与直线AB：y＝x+2的图象交于点A（a，3），点B，直线AB与x轴交于点C，动点P在线段AC上，过点P分别作PN∥x轴，PM∥y轴交双曲线于点N，交x轴于点M，连接MN． （1）求k的值及点B的坐标； （2）求S△PMN的最大值． 【分析】（1）先根据待定系数法求k，继而得到双曲线的表达式，利用图像交点列出分式方程求解即可得点B的坐标； （2）设点P（t，t+2），先求出PM，PN，再用三角形面积公式得到S△PMN的函数，继而计算其最大值． 【变式12】（辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A（m，3）． （1）求m、k的值； （2）点B是直线在第一象限内图象上一点，BC⊥x轴于点C，点P为反比例函数图象上的点，点P到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，求△PBC面积的最大值及P点坐标． 题型8 情景探究题（含以实际生活为背景的题） 【例12】（海港区一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标x（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标y（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知1≤y≤35． （1）根据所给信息，求y与x的函数关系式． （2）原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． （3）受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车x辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出y＝8时x的值，再根据增减性可得答案． 【变式13】（黄浦区期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0），根据函数图象，回答下列问题： （1）写出浸液高度h（cm）关于液体密度ρ（g/cm3）的反比例函数解析式　　 ； （2）当溶液密度ρ＝2g/cm3时，密度计浸在溶液中的高度h为　　 cm； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围． 培优小检测 （满分80分） 1．（10分）（荔湾区校级二模）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边OA落在x轴上，边OC落在y轴上，点C的坐标为（0，4）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点C恰好落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若固定矩形边OA，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形OAB′C′，当∠OAB′＝30°时，边B′C′交反比例函数图象于点D，求D点坐标． 2．（10分）（河东区一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象为G，直线经过点A（2，3），与图象G交于B，C两点． （1）求b的值，并在图中画出直线l； （2）当点B与点A重合时，点P（m，n）在第一象限内且在直线l上，过点P作PQ⊥x轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接OP，若S△OPQ＞3，求m的取值范围． 3．（10分）（名山区模拟）如图1，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y在第一象限交于M（1，4）、N（4，m）两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）若△PMN的面积为9，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，若点E为直线PM上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（10分）（温江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣3与反比例函数的图象交于A、B（m，﹣4）两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P为y轴上一点， ①若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（10分）（万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+7与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第二象限相交于点C（﹣1，m），直线l2：y＝﹣x与反比例函数在第二象限相交于点D． （1）求点D的坐标； （2）如图2，若点P是线段AC上一动点，当△CDP的面积为6时，求点P的坐标； （3）如图3，若点Q是线段AC上一动点，连接DQ，当∠AQD+∠OAB＝135°时，求点Q的坐标． 6．（10分）（兴宁市三模）著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： （1）【结论探究】从“数”的角度证明：a2+b2≥2ab； （2）【结论应用】用尺规作△ABC，使∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2，顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数的图象上，AB经过原点O（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； （3）请利用（1）的结论求出△ABC的周长的最小值及此时点A的坐标． 7．（10分）（肥城市期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100℃时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30℃时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于7：20到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为y℃，水温随时间变化的测量数据如表所示： x（分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … y（℃） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）上午第一节下课时间为8：45，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 8．（10分）（成都模拟）如图1，已知反比例函数与直线交于点A（a，﹣2），B两点（点A在点B的左侧）．点P是双曲线上第一象限内一动点． （1）求反比例函数解析式及点B坐标； （2）当△BOP的面积为8时，求此时P点坐标； （3）如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线AP的垂线，交AP于C，交x轴于点F，PA交y轴于E，连接EF．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 反比例函数的综合 技法概要 一、知识回顾 通用解题步骤： ①　读图定向：看清图象在哪两个象限、交点在哪，先定出 k 的符号。 ②　设点设参：把动点、待求点用参数表示，尽量用一个参数控制图上所有的点。 ③　几何代数化：线段长化坐标差，面积化 |k|、|k| 或坐标差，垂直平行化斜率，角化三角函数或相似。 ④　建方程求解：能直接解的直接解；含参的用判别式、韦达定理讨论。 ⑤　回代检验：代回原题，舍去不合题意的解，检查是否落在指定范围（象限内、线段上、整点）。 二、常考题型 题型精讲 题型1 反比例函数与几何结合进行证明 方法指导： （1）坐标化：把双曲线上的点设为 (a, k/a)，再用矩形（正方形、菱形）的边长、中点关系，把其余顶点的坐标写出来。 （2）算面积：能直接用 |k| 的先用 |k|，不能的用“整体减空白”割补，底和高都用坐标差表示。 （3）证形状：证“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”得平行四边形；矩形再加“对角线相等”或“有一个角是直角”；菱形再加“对角线互相垂直”或“一组邻边相等” （4）搭桥：坐标系里常用“一线三垂直”构造全等：两个直角三角形，斜边相等、一组锐角相等，即全等。 【例1】如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）设点M的坐标为（a，b），根据点M在反比例函数上，求出AB，根据AC⊥x轴，M是AC的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数C2的表达式为，代入点A的坐标即可解答； （2）根据题意证明AC与BD互相垂直平分即可得证． 【解答】（1）解：设点M的坐标为（a，b）， ∵点M在反比例函数上， ∴ab＝2， ∵AC⊥x轴，M是AC的中点， ∴点A的坐标为（a，2b）， 设经过点A的反比例函数C2的表达式为， 把A（a，2b）代入可得， 即k＝2ab， 又∵ab＝2， ∴k＝4， 则反比例函数C2的表达式为； （2）证明：设点M的坐标为（a，b）， ∵BD⊥y轴， ∴点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， ∵点D在图象C2上， ∴xb＝4，即x． ∴点D的坐标为（，b）， 由（1）知A（a，2b），ab＝2，即a， ∴点M的坐标为（，b）， ∴BM＝DM， ∵M是AC的中点， ∴AM＝CM； ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴AC∥y轴，BD∥x轴， 即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【变式1】（即墨区期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8．边BC落在x轴上，E是AB的中点，连接DE，反比例函数y的图象经过点E，与CD交于点F． （1）若B（3，0），求F点坐标； （2）若DF＝DE，求反比例函数的解析式． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点E，E是AB的中点，AB＝8， ∴BE＝4， ∵B（3，0）， ∴E（3，4）， ∵反比例函数y的图象经过点E， ∴m＝3×4＝12， ∴y， ∵BC＝AD＝3， ∴OC＝6， 把x＝6代入y得y＝2， ∴点F的坐标为（6，2）； （2）在Rt△ADE中，AD＝3，AE＝4，∠A＝90°， ∴DE＝5． ∵DF＝DE， ∴DF＝5， ∴CF＝8﹣5＝3， ∴点E的坐标为（3，4）． ∵反比例函数的图象经过点F， ∴4×（3）＝m， 解得：m＝36， ∴反比例函数的表达式为y． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），点B在反比例函数的图象上，连接AC、OB，过点B作BD∥AC交x轴于点D，延长OA交反比例函数的图象于点P，连接BP． （1）求反比例函数的解析式和点D的坐标； （2）求四边形OPBD的面积． 【解答】解：（1）由条件可得：， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB＝OA＝5，AB∥OC， ∴B（8，4）， ∴k＝8×4＝32， ∴， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB＝AO＝OC＝5，AB∥CD， ∵BD∥AC， ∴四边形ACDB是平行四边形， ∴CD＝AB＝5， ∴OD＝OC+CD＝10， ∴D（10，0）； （2）设直线OA的解析式为y＝mx， 则3m＝4， 解得， ∴直线OA解析式为：， 联立方程组得：， 解得：或， ∴， 过点P，B分别作x轴的垂线，垂足为点M，N， ∴S四边形OPBD＝S△OPM+S梯形BNMP+S△BND， ∴． 题型2 存在性问题 方法指导： （1）统一设参：设 OA＝a（或设动点坐标），把图中其余点的坐标全部用 a 表示，这是这类题的通用起手式。 （2）列方程：把“面积相等或成倍数”“线段相等”“垂直”等条件写成含 a 的方程。 （3）分类讨论：以 P、O、A 为顶点的三角形是否存在，按“哪个点作直角顶点”分三种情况分别求；等腰三角形则按哪两条边相等分三种情况。 （4）检验：求出的点要回到题设范围里检查（在指定直线上、在线段上、在某一象限内）。 考向1 面积存在性问题 【例2】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，6）和点B（3n﹣6，2），与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接OA、OB，在直线AC上是否存在点D，使△OCD的面积是△AOB面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出B点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）求出C点坐标，根据A、B、C三点坐标求出△AOB的面积，再得到△OCD的面积，设D（m，﹣2m+8），利用三角形面积求出m的值即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可得，解得m＝6， ∴反比例函数表达式为， 在中，当时， ∴B（3，2）， ∴把A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b，得， ∴， ∴一次函数表达式为y＝﹣2x+8； （2）由函数图象可知，当1＜x＜3时，一次函数的图象在反比例函数图象上方， ∴关于x的不等式的解集为1＜x＜3； （3）在y＝﹣2x+8中，当y＝0时，则﹣2x+8＝0得，x＝4， ∴点C的坐标为（4，0）， ∴， ∴， 设D（m，﹣2m+8），则， ∴|﹣2m+8|＝3， ∴﹣2m+8＝±3， 解得：或， 故或． 【变式3】（蚌埠一模）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且一次函数与坐标轴分别交于点C，D．若D点的纵坐标为2，A点的横坐标为﹣3． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点E使得S△ABE＝3，若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得，点D的坐标为（0，2）， ∴一次函数的表达式为y＝x+2， 将x＝﹣3代入y＝x+2，得y＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣3，﹣1）， 由条件可得： ， 解得k＝3， ∴反比例函数的表达式为； （2）假设存在，如图，设点E的坐标为（t，0）， 联立一次函数与反比例函数得： ， 解得或， ∴点B的坐标为（1，3）， 将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，0）， ∴CE＝|t﹣（﹣2）|＝|t+2|， ∵， ∴， 化简得， ∴， 解得或， ∴假设成立，点E的坐标为或． 考向2 特殊三角形存在性问题 【例3】（莱芜区期末）直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b和解方程得到结论； （2）设C（5﹣m，m），求得xC﹣xD＝10，得到xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m，求得D（﹣5﹣m，m），解方程得到D（6，1）； （3）设C（n，﹣n+5），①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M，得到∠EMN＝∠ONM＝90°，根据全等三角形的性质得到CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5，求得；②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M，根据全等三角形的性质得到EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n，求得E（n﹣5，n），解方程得到E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）． 【解答】解：（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b 得：6＝1+b，b＝5， 将A（﹣1，6）代入得：k＝﹣6； （2）∵y＝﹣x+5， ∴x＝5﹣y， 设C（5﹣m，m）， ∵CD＝10， ∴xC﹣xD＝10， xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m， ∴D（﹣5﹣m，m）， ∵点D在双曲线上， ∴m（﹣m﹣5）＝﹣6， 解得：m1＝1，m2＝﹣6（舍去）， ∴D（﹣6，1）； （3）存在．设C（n，﹣n+5）， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M， 则∠EMN＝∠ONM＝90°， ∵∠ECO＝90°， ∴∠ECM+∠OCN＝90°， ∵∠EMC＝90°， ∴∠MEC+∠ECM＝90°， ∴∠OCN＝∠MEC， 又∵等腰直角三角形ECO中，CE＝CO， ∴△EMC≌△CNO（AAS）， ∴CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5， ∴； ②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M， 同理可得：△EMO≌△ONC， ∴EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n， ∴E（n﹣5，n）， ∴（n﹣5）n＝﹣6， 解得：n1＝2，n2＝3， 此时E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或（﹣3，2）或（﹣2，3）． 【变式4】如图，直线y＝2x与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣2），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝3CD． （1）求k的值并求出点B的坐标； （2）点P是y轴上的点，是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x经过点A（m，﹣2）， ∴﹣2＝2m， 解得：m＝﹣1， ∴A（﹣1，﹣2）， 把点A（﹣1，﹣2）代入y得：k＝2， ∴y， 联立得， 解得：，， ∴B（1，2）； （2）设P（0，t），又A（﹣1，﹣2），B（1，2）， ∴AP2＝（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+5， BP2＝（1﹣0）2+（2﹣t）2＝t2﹣4t+5， AB2＝（﹣1﹣1）2+（﹣2﹣2）2＝20， 当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2， ∴20+t2﹣4t+5＝t2+4t+5， 解得：t， ∴P（0，）； 当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2， ∴20+t2+4t+5＝t2﹣4t+5， 解得：t， ∴P（0，）； 当∠APB＝90°时，AP2+BP2＝AB2， ∴t2+4t+5+t2﹣4t+5＝20， 解得：t＝±， ∴P（0，）或（0，）； 综上所述，y轴上存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形是直角三角形，符合条件的点P的坐标为（0，）或（0，）或（0，）或（0，）． 考向3 特殊四边形存在性问题 【例4】（张店区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象相交于点A（1，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点C（点C在直线AB的右上方）和点D，使得四边形ACBD为正方形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（1，6）代入反比例函数解方程得到m＝6，求得反比例函数的表达式为（x＞0），将点B（3，n）代入，得到B（3，2），将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b解方程组得到，于是得到一次函数的表达式为y＝﹣2x+8； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC，过C作EF⊥x轴，过A作AE⊥EF于E，过B作BF⊥EF于F，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，CE＝BF，设C（s，t），得到AE＝s﹣1，CE＝6﹣s，CF＝t﹣2，BF＝s﹣3，解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）将点A（1，6）代入反比例函数，得： ， 解得m＝6， ∴反比例函数的表达式为（x＞0）， 将点B（3，n）代入，得： ， ∴B（3，2）， 将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8； （2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象相交于点A（1，6），B（3，2）两点， ∴不等式的解集为1＜x＜3； （3）存在，点C的坐标为（4，5）， 理由：在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC， 过C作EF⊥x轴，过A作AE⊥EF于E，过B作BF⊥EF于F， ∴∠AEC＝∠ACB＝∠BFC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， ∵AC＝BC， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， 设C（s，t）， ∵A（1，6），B（3，2）， ∴AE＝s﹣1，CE＝6﹣s，CF＝t﹣2，BF＝s﹣3， ∴， ∴， ∴C（4，5）， ∴四边形ACBD为正方形时，C（4，5）． 【变式5】（莱芜区模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，1）和B（﹣1，4）两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）如图，直线OA与反比例函数的图象的另一个交点为点C，点M是第四象限反比例函数图象上的一点，当△ACM的面积为6时，求点M的坐标； （3）在第（2）问的条件下，若点P为x轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点B（﹣1，4）代入，得， ∴k＝﹣4， ∴y， 将A（a，1）代入，得， ∴a＝﹣4， ∴A（﹣4，1）， 将点A（﹣4，1）、B（﹣1，4）代入 y＝mx+n，得 ∴， 解得， ∴y＝x+5； （2）连接OM，过M作y轴的平行线交直线AC于点D， ∵直线OA与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴C（4，﹣1）， ∴O是AC的中点， ∵△ACM的面积为6， ∴△OCM 的面积为3， ∵C（4，﹣1），A（﹣4，1）， ∴直线AC的表达式为：， 设，则， ∵S△COM＝3， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得t＝8或t＝﹣2（舍去）， ∴， 当时， 解得t＝2或t＝﹣8（舍去）， ∴M（2，﹣2）， 综上所述M点的坐标为（2，﹣2）或； （3）存在点Q，理由如下： 设P（x，0），， 当AP为对角线时，1+0＝﹣1， 解得b＝﹣2， ∴Q（﹣2，2）； 当AQ为对角线时，﹣1+0＝1， 解得b＝2， ∴Q（2，﹣2）， 综上所述：Q点坐标为：（﹣2，2）或（2，﹣2）． 考向4 特殊角存在性问题 【例5】（威海期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点E是第四象限反比例函数图象上一点，当△EAC的面积为15时，求点E的坐标； （3）反比例函数的图象上是否存在一点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，进而求出直线AB解析式； （2）利用铅锤法求面积即可，过E作EF∥y轴交直线AB于点F，设E（n，），则F（n，n+3），再根据S△EACEF•（xC﹣xA）＝15，去绝对值求解即可； （3）由45°联想等腰直角三角形，构造等腰直角三角形ATC，进而利用三垂直全等求出点T坐标，再求出直线CT解析式，联立方程组求解即可． 【解答】解：（1）将A（﹣2，4）代入反比例函数解析式得k＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为y， 当x＝8时，m＝﹣1， ∴C（8，﹣1）， 将A、C坐标代入y＝ax+b得， ， 解得， ∴直线AB的解析式为yx+3； （2）如图，过E作EF∥y轴交直线AB于点F， 设E（n，），则F（n，n+3）， ∴EF＝|n+3|， ∴S△EACEF•（xC﹣xA）＝15， 即|n+3|×10＝15， ①n+33， 解得n＝±4， ∵n＞0， ∴n＝4，即E（4，﹣2）； ②n+33， 解得n＝6， ∵n＞0， ∴n＝6+2，即E（6+2，3）； 综上，点E坐标为（4，﹣2）或（6+2，3）； （3）①当点P在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形ACT，且AT＝AC， 过A作MN∥x轴，再分别过C、T作MN的垂线段，垂足分别为N、M， 则∠M＝∠N＝∠CAT＝90°， ∴∠MAT＝∠ACN＝90°﹣CAN， ∵AT＝AC， ∴△AMT≌△CNA（AAS）， ∴AM＝CN＝5，MT＝AN＝10， ∴T（﹣7，﹣6）， 由点C和点T坐标可得直线CT解析式为yx， 联立， 解得或（与点C重合，舍去）， ∴P（3，）； ②当点P在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形ACQ，且AQ＝AC， 同理可得直线CQ解析式为y＝﹣3x+23， 联立得， 解得或（与点C重合，舍去）， ∴P（，24）； 综上，P（3，）或（，24）． 【变式6】（常州模拟）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当∠POA＝∠BAO时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知B（2，0）， 将点B（2，0）代入一次函数y＝﹣2x+b 得：﹣2×2+b＝0，解得b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4， 由条件可得n＝﹣2×（﹣1）+4＝6， ∴A（﹣1，6）， 将点A（﹣1，6）代入反比例函数， 得：k＝﹣1×6＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为． （2）①如图，当点P在直线OA下方的反比例函数的图象上时， 由条件可知AB∥OP， ∴直线OP的解析式为y＝﹣2x， 联立， 解得或（舍去）， ∴此时点P的坐标为． ②如图，当点P在直线OA上方的反比例函数的图象上时， 设直线AB与y轴交于点C， 对于一次函数y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，即C（0，4），OC＝4， 由（1）已得：A（﹣1，6）， ∴， ∴AC＜OC， ∴在△AOC中，∠AOC＜∠BAO， 又∵∠POA＜∠AOC， ∴∠POA＜∠BAO，即此时∠POA与∠BAO不可能相等； 综上，点P的坐标为． 题型3 反比例函数的代数综合 方法指导： （1）联立求交点：y＝k/x 与 y＝ax+b 联立，消元得 ax²+bx-k＝0，解出交点横坐标，再代回求纵坐标；交点的个数由判别式 Δ＝b²+4ak 决定。 （2）平行与垂直：两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积为 -1。与坐标轴平行的直线要单独讨论，不能直接套斜率公式。 （3）图象定范围：把“y₁>y₂”这类条件，用两条图象的交点横坐标作分界，写出对应的 x 的取值范围。 【例6】（夷陵区模拟）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（﹣2，﹣1），C（﹣2，5），反比例函数的图象与AB交于点D（m，4）． （1）线段AC长为　　 ，B点坐标为（　　 ，　　 ）； （2）求m，k的值； （3）若将△ABC沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，当平移后的△ABC与双曲线恰有一个交点时，请直接写出n的值． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解； （2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得m的值，利用待定系数法即可求得k； （3）利用平移的性质得到平移后的点A（﹣2，﹣1﹣n），B（4，5﹣n），分别代入反比例函数的解析式即可求得． 【解答】解：（1）△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（﹣2，﹣1），C（﹣2，5）， ∴AC＝5﹣（﹣1）＝6， ∴BC＝6， ∴B（4，5）， 故答案为：6，4，5； （2）设直线AB为y＝ax+b， 代入A（﹣2，﹣1），B（4，5）得， 解得， ∴直线AB为y＝x+1， 把D（m，4）代入得，4＝m+1， ∴m＝3， ∴D（3，4）， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴k＝3×4＝12； （3）将△ABC沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，则此时A（﹣2，﹣1﹣n），B（4，5﹣n）， ∵平移后的△ABC与双曲线恰有一个交点， ∴点（﹣2，﹣1﹣n）或（4，5﹣n）在反比例函数的图象上， ∴﹣2×（﹣1﹣n）＝12或4×（5﹣n）＝12， 解得n＝5或n＝2， 故n的值为2或5． 【变式7】（淮南一模）如图，△ABO中，A（0，4），B（﹣3，0），AB绕点B顺时针旋转与BC重合，点C在x轴上，连接AC，若反比例函数与直线AC仅有一个公共点E． （1）求直线AC和反比例函数的解析式； （2）把△ACB沿直线AC翻折到△ACD，AD与反比例函数交于点F，求△FCD的面积． 【解答】解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB5， ∵BC＝AB， ∴OC＝5﹣3＝2， ∴C（2，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+4， 代入C（2，0）得，0＝2k+4， 解得k＝﹣2， ∴直线AC为y＝﹣2x+4， 令﹣2x+4．整理得2x2﹣4x+k＝0， ∵反比例函数与直线AC仅有一个公共点E， ∴Δ＝0，即（﹣4）2﹣4×2×m＝0， 解得m＝2， ∴反比例函数的解析式为y； （2）由题意可知AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴F点的纵坐标为4， 把y＝4代入y得，x， ∴F（）， ∴AF， ∵AD＝AB＝5， ∴， ∴S△ACD＝S△ABC10， ∴△FCD的面积为9． 题型4 新定义综合 【例7】（盐亭县一模）定义：点M（m，n）关于原点的对称点为M′，以MM′为边作等边△MM′N，则称点N为M的“完美三角点”． （1）若M（2，3），求点M的“完美三角点”的坐标． （2）若M点是双曲线上一动点，当点M的“完美三角点”点N在第四象限时， ①如图1，请问点N是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点C是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的纵坐标yn的取值范围． 【分析】（1）M（2，3）则M′（﹣2，﹣3），可求；设N（m，n），有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）①设则，可求；设N（s，t），有，通过解方程可得，，据此求解即可； ②分三种情况：当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，C与B重合时，C与A重合时，求解即可． 【解答】解：（1）∵M（2，3）， 依据“完美三角点”的定义得：点M关于原点的对称点为M′（﹣2，﹣3）， ∴， 由题意得：△MM′N是等边三角形， 设N（m，n），则， ∴， 整理得：， ∴， 整理得：， 解得：， 当时，得：， 当时，得：， ∴点N的坐标是或； （2）①点N在某一函数图象上运动；理由如下， 设，则点M关于原点的对称点为， ∴， 设N（s，t），则， ∴， 整理得：， ∴， ∴t2＝3c2， 解得：， ∴点N在第四象限，t＜0， ∴，， ∴， ∴， ∴此函数的解析式为； ②以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论： 当AC为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵xy＝﹣9， ∴y＝﹣9， ∴这一临界点通过平移可求得N（1，﹣9）， ∴yN≤﹣9； 当AC为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵xy＝﹣9， ∴y＝﹣3， ∴这一临界点通过平移可求得N（3，﹣3）， ∴yN＜﹣3； C与A重合时，同理可得， ∴， 综上所述：yN≤﹣9或． 【变式8】（章丘区模拟）已知一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3）；与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且满足S△AOB，求点P的坐标； （3）我们将有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”．反比例函数y在第四象限的图象上是否存在点Q，使得△OBQ是不以OB为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设P（0，p），根据S△BCP＝S△BDP+S△CDP2|p+2||p+2||p+2|，结合列出方程进行求解即可； （3）分∠BOQ＝45°和∠OBQ＝45°两种情况，进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3）； ∴k2＝1×（﹣3）＝﹣3m， ∴k2＝﹣3，m＝1， ∴，A（﹣3，1）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x﹣2； （2）设直线AB交y轴于点D， ∵y＝﹣x﹣2， ∴当y＝0时，x＝﹣2，x＝0时，y＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，﹣2）， ∴， 设P（0，p）， ∴， ∵， ∴S△AOB＝4， ∴S△BPC|p+2|＝6， ∴|p+2|＝4， ∴p＝2或p＝﹣6， ∴P（0，2）或P（0，﹣6）； （3）存在；①当∠BOQ＝45°时， 将OB绕点O旋转90度得到OB'，连接BB'，交OQ于点E，如图， 则：B′（3，1），∠BOB'＝90°，OB＝OB'， ∵∠BOQ＝45°， ∴∠B'OQ＝45°＝∠BOQ， ∴BE＝EB'， ∴E（2，﹣1）， 设OE的解析式为：y＝mx，则：﹣1＝2m， ∴， ∴， 联立， 解得：或（舍去）； ∴； ②当∠OBQ＝45°时，将OB绕点B旋转90度得到O′B，连接OO'，交BQ于点E， 则O′（4，﹣2），∠OBE＝∠O′BE， ∴OE＝O'E， ∴E（2，﹣1）， 同法可得：BE的解析式为：y＝2x﹣5， 联立， 解得：或， ∴； 综上：或． 题型5 定值问题 方法指导： （1）中点坐标公式：平行四边形对角线互相平分，两条对角线的中点重合。写成“两组对角线的端点横坐标之和相等、纵坐标之和相等”来列方程，不必真的算出中点坐标，这是定值题最常用的入口。 （2）设参传递：把动点坐标用同一个参数表示，代入双曲线解析式后参数被消去，“定值”就是这样来的。 （3）特殊图形：以线段为对角线作正方形，用“一线三垂直”证全等，把线段长转成坐标差，再用中点公式。 【例8】（成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与反比例函数的图象相交于A（1，a），B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D． （1）求线段AB的长； （2）已知P为y轴正半轴上一点，若△ABP为直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，将线段DA，AC组成的折线段“D﹣A﹣C”沿x轴正方向平移得到折线段“D′﹣A′﹣C′”，点D，A，C的对应点分别为D′，A′，C′．A′C′与反比例函数的图象交于点E，直线BD′与反比例函数的图象在第一象限交于点F，OE与C′F交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）将A（1，a）代入反比例函数解析式求出点A坐标，再代入正比例函数解析式求出直线解析式，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出B（﹣1，﹣2），最后根据两点距离公式求解即可； （2）设P（0，p），p＞0，分三种情况讨论直角位置：①∠APB＝90°，②∠PAB＝90°，③∠PBA＝90°，根据勾股定理列方程求解即可； （3）设平移距离为t（t＞0），则D′（t，2），C′（1+t，0），，求出直线BD的解析式，与联立，求出点，求出OE的解析式，直线C′F的解析式，联立后求出交点G的横坐标，过点G，F分别作GH⊥x轴，FK⊥x轴，根据平行线分线段成比例得出，即可解答． 【解答】解：（1）∵A（1，a）在反比例函数上，代入得，即A（1，2）， 将A（1，2）代入y＝kx得k＝2，直线为y＝2x， ∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称， ∴B（﹣1，﹣2），由两点距离公式：； （2）设P（0，p），p＞0， 分三种情况讨论直角位置： ①∠APB＝90°：由勾股定理得AP2+BP2＝AB2， 则[12+（2﹣p）2]+[（﹣1）2+（﹣2﹣p）2]＝20， 化简得p2＝5， 故（负值已舍去）， 即； ②∠PAB＝90°：由勾股定理得PA2+AB2＝PB2， 则[1+（2﹣p）2]+20＝1+（﹣2﹣p）2， 解得， 即； ③∠PBA＝90°：由勾股定理得PB2+AB2＝PA2， 则20+[1+（﹣2﹣p）2]＝1+（2﹣p）2， 解得：，不符合p＞0，舍去； 综上，若△ABP 为直角三角形，则或； （3）根据（1）可知A（1，2）， ∴D（0，2），C（1，0）， 设平移距离为t（t＞0），则平移后各点坐标：D'（t，2），C'（1+t，0），， 设直线BD'的解析式为y＝mx+n， 代入点B（﹣1，﹣2）和点D′（t，2）得， 解得：， ∴直线BD'的解析式为， 直线BD'的解析式与联立得，整理得2x2+（1﹣t）x﹣（t+1）＝0， 解得：x＝﹣1或， ∴点， 设直线OE的解析式为y＝m'x， 则，解得：， ∴直线OE的解析式为：， 设直线C'F的解析式为y＝cx+d， 则， 解得：， ∴直线C′F的解析式为， 联立直线OE的解析式和直线C'F的解析式得， 解得：， 即交点G的横坐标， 过点G，F分别作GH⊥x轴，FK⊥x轴， 则GH∥FK， ∴， ∵，C'H＝xC′﹣xG， ∴． 【变式9】（太和县模拟）在矩形AOBC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A点坐标为（0，3），B点坐标为（4，0），F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，作直线EF． （1）若CF＝2，求反比例函数解新式； （2）在（1）的条件下求出△EOF的面积； （3）在点F的运动过程中，试说明是定值． 【解答】（1）解：∵四边形AOBC是矩形，A点坐标为（0，3），B点坐标为（4，0）， ∴AC＝OB＝4，BC＝OA＝3， ∵CF＝2， ∴F的坐标为（4，1）， 将F的坐标为（4，1）代入y中得1， 解得k＝4， ∴反比例函数解析式为y， （2）解：将y＝3代入y得3， 解得x， ∴点E坐标为（，4）， ∴AE，CE＝AC﹣AE， ∵BF＝1， ∴CF＝2， ∵S△EOF＝S矩形AOBC﹣S△CEF﹣S△AOE﹣S△BOF ＝OA•OBCF•CEOA•AEOB•BF ＝3×4234×1 ， ∴△EOF的面积为cm2； （3）解：设点F坐标为（4，），则点E坐标为（，3）， ∴AE，BF， ∴CE＝AC﹣AE，CF＝BC﹣BF， ∴， ∴是定值． 题型6 取值范围问题 （1）新定义先落地：把定义（如“分界线”）翻译成“一个图形上的点都在直线的同一侧”。 （2）从边界入手：把特殊点（端点、顶点、交点）的坐标代入直线，求出参数的分界值。 （3）临界相切：直线与双曲线（或抛物线）相切时 Δ＝0，用它定出参数的临界值。 （4）定范围：画图，数形结合，分类讨论，把能取和不能取的区间分别写清楚。 【例9】（廊坊期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点A，点D的坐标为． （1）k的值为　8　 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位． ①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据点D的坐标为，即可得出DE的长以及DO的长，即可得出A点坐标，进而求出k的值； （2）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（4+m，3），由D′在反比例函数图象上，将点D′代入反比例函数解析式，求出m的值，问题可解； （3）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可． 【解答】解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为（2，）， ∴FO＝2，DF， ∴DO， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝AD＝DO， ∴A点坐标为（2，4）， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴k＝2×4＝8， 故答案为：8； （2）由（1）知OB， ∴B（0，）， 将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点B′的坐标为（m，）． 代入y，得到， 解得m； （3）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（2+m，）． 代入y，得到， 解得m． ∴0≤m． 【变式10】（烟台期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知反比例函数的图象经过点B，且m，n是关于x的方程x2﹣12x+32＝0的两个根（m＜n），点A的坐标为（0，m），点C的坐标为（n，0），D是OC的中点，连接AD． （1）求k的值； （2）若Q为y轴上一点，P为反比例函数图象上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若反比例函数的图象恰好与四边形ABCD的边有两个交点，直接写出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵m、n是关于x的方程x2﹣12x+32＝0的两个根， ∴m＝4，n＝8， ∴OA＝4，OC＝8， ∵四边形OABC是矩形， ∴B（8，4）， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴k＝8×4＝32； （2）∵点D是OC的中点， ∴D（4，0）， 当AD为边时，若点P在第一象限，如图， 则DP∥y轴， ∴当x＝4时，y＝8， ∴PD＝8， ∴Q（0，12）， 当点P在第三象限时，由四边形ADQP是平行四边形可得，点P的横坐标为﹣2， ∴点P的纵坐标为﹣8， ∴点Q的纵坐标为﹣12， ∴点Q的坐标为（0，﹣12）， 当AD为对角线时，如图，点P（4，8）， ∴AQ＝PD＝8， ∴Q（0，﹣4）， 综上：Q（0，12）或（0，﹣12）或（0，﹣4）； （3）由题意知，直线AD的解析式为y＝﹣x+4， 当y（k≠0）的图象与直线AD恰好有一个交点时，则﹣x+4， ∴x2﹣4x+k＝0， ∴Δ＝16﹣4k＝0， ∴k＝4， ∴反比例函数y（k≠0）的图象恰好与四边形ABCD的边有两个交点时，4＜k＜32， 故k的取值范围为：4＜k＜32． 题型7 最值问题 （1）距离型新定义（如折线距离 d(A,B)＝|x₁-x₂|+|y₁-y₂|）：先把点的坐标代入定义，得到含绝对值的方程。 （2）去绝对值：按横、纵坐标与已知坐标的大小关系分类讨论，解出后再按自变量范围取舍。 （3）几何最值：线段和用“将军饮马”，面积用“水平宽×铅垂高”，动点用二次函数求最值。 （4）检验：最值点是否在允许范围内，取不到时要说明理由。 考向1 距离最值 【例10】（罗庄区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于点M（1，4），N（n，1）． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求△OMN的面积； （3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标． 【分析】（1）将点M（1，4）代入反比例函数可得答案；再将点N（n，1）代入反比例函数关系式求出点N（4，1），然后将两个点的坐标代入一次函数表达式为y＝ax+b得出方程组，求出解即可； （2）先求出直线l与坐标轴的交点A（5，0），B（0，5），进而求出OA＝5，OB＝5，再根据得出答案； （3）作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N交y轴于点P，再根据“两点之间线段最短”可得PM+PN＝PM′+PN的最小值等于M′N的长，再求出直线M′N的解析式，然后令x＝0求出，则此题可解． 【解答】解：（1）由条件可知k＝1×4＝4， ∴反比例函数表达式为． 又∵N（n，1）在反比例函数上， ∴n＝4， ∴N（4，1）， 设一次函数表达式为y＝ax+b， ∴， ∴a＝﹣1，b＝5， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+5； （2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，直线l为y＝﹣x+5， 由条件可知A（5，0），B（0，5）， ∴OA＝5，OB＝5， ∴ ； （3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N交y轴于点P， 根据“两点之间线段最短”可得PM+PN＝PM′+PN的最小值等于M′N的长， ∵M（1，4）与M′关于y轴对称， ∴M′为（﹣1，4）．又N（4，1）， 设M′N的解析式为y＝cx+d， 则， 解得， ∴直线M′N为． 令x＝0，则， ∴． 【变式11】（宽城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）分别求a和b的值； （2）结合图象，直接写出中x的取值范围； （3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值，求点P的坐标． 【解答】解：（1）点A（﹣2，a）在第二象限，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4， ∴OC＝2，AC＝a， ∴S△AOC＝4OC•a2a， ∴a＝4． ∴A（﹣2，4）， ∵点A（﹣2，4）在反比例函数y的图象上， ∴4． ∴k＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为y． ∵点B（b，﹣1）在反比例函数y的图象上， ∴1． ∴b＝8， ∴a＝4，b＝8； （2）由题意，不等式的解集为一次函数y＝mx+n的图象在反比例函数y的图象上方对应的自变量的取值范围， 由（1）知A（﹣2，4），B（8，﹣1）， ∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于第二、四象限内的点A和点B， ∴结合图象可得，不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜8； （3）如图1，B（8，﹣1），作点A（﹣2，4）关于x轴的对称点A′，则A'（﹣2，﹣4）， 设A′B所在直线的解析式为y＝ex+f（e≠0），将点A′，点B的坐标分别代入得： ， ∴． ∴直线A′B的解析式为yx， 当点P，A′，B三点共线时，|PA﹣PB|取得最大值，且点P在x轴上， 当y＝0时，得：0＝ ∴x， ∴点P的坐标为（，0）． 考向2 面积最值 【例11】（绵阳一模）如图，双曲线与直线AB：y＝x+2的图象交于点A（a，3），点B，直线AB与x轴交于点C，动点P在线段AC上，过点P分别作PN∥x轴，PM∥y轴交双曲线于点N，交x轴于点M，连接MN． （1）求k的值及点B的坐标； （2）求S△PMN的最大值． 【分析】（1）先根据待定系数法求k，继而得到双曲线的表达式，利用图像交点列出分式方程求解即可得点B的坐标； （2）设点P（t，t+2），先求出PM，PN，再用三角形面积公式得到S△PMN的函数，继而计算其最大值． 【解答】解：（1）由条件可知a+2＝3， ∴a＝1， ∴A（1，3）， 把A（1，3）代入双曲线，得： k＝1×3＝3， ∴双曲线的表达式：， ∵与y＝x+2的图象交于点A，B， ∴， 解得x1＝1，x2＝﹣3， 经检验，两个根都满足题意， ∵A（1，3）， ∴B的横坐标为﹣3， ∴B的纵坐标为y＝﹣3+2＝﹣1， 即B（﹣3，﹣1）． （2）设点P（t，t+2），则yN＝t+2， ∵N在上， ∴， 即， ∴， PM＝t+2， ， 即， ∵，对称轴x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，S△PMN的最大值是2． 【变式12】（辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A（m，3）． （1）求m、k的值； （2）点B是直线在第一象限内图象上一点，BC⊥x轴于点C，点P为反比例函数图象上的点，点P到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，求△PBC面积的最大值及P点坐标． 【解答】解：（1）∵直线与交于点A（m，3）． ∴3， ∴m＝﹣2， ∴A（﹣2，3）， 把A的坐标代入得，3， 解得k＝﹣6； （2）∵点B是直线在第一象限内图象上一点，BC⊥x轴于点C， ∴设点B（t，），则C（t，0）， ∴0，解得t＜4， ∵点P到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍， ∴点P的横坐标为﹣2t， ∴S△PBC•（）•（t+2t）t2+3t（t﹣2）2+3， ∵t＜4， ∴当t＝2时，S△PBC的值最大，最大值为3， 此时P点的横坐标为﹣4， 把x＝﹣4代入y得，y， ∴P点的坐标为（﹣4，）． 题型8 情景探究题（含以实际生活为背景的题） 【例12】（海港区一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标x（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标y（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知1≤y≤35． （1）根据所给信息，求y与x的函数关系式． （2）原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． （3）受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车x辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出y＝8时x的值，再根据增减性可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当x＝4时，y＝15， ∴， 解得k＝60， ∴， ∵1≤y≤35，即， ∴， ∴（，且x为正整数）； （2）设原计划使用货车x辆， ∴， 解得x＝6， 经检验x＝6是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3）至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当y＝8时，x＝7.5， 当，且x为正整数时，y随x增大而减小， ∴当y≤8时，x≥7.5， ∵x为正整数， ∴至少需要8辆货车． 【变式13】（黄浦区期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0），根据函数图象，回答下列问题： （1）写出浸液高度h（cm）关于液体密度ρ（g/cm3）的反比例函数解析式　　 ； （2）当溶液密度ρ＝2g/cm3时，密度计浸在溶液中的高度h为　10　 cm； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围． 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为，代入图像上点（1，20）得k＝1×20＝20， ∴； 故答案为：； （2）∵，ρ＝2， 得； 故答案为：10； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效）， 由题意可知，h≥5，即，解得ρ≤4， 又ρ＞0， ∴0＜ρ≤4g/cm3， 答：该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围为0＜ρ≤4g/cm3． 培优小检测 （满分80分） 1．（10分）（荔湾区校级二模）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边OA落在x轴上，边OC落在y轴上，点C的坐标为（0，4）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点C恰好落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若固定矩形边OA，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形OAB′C′，当∠OAB′＝30°时，边B′C′交反比例函数图象于点D，求D点坐标． 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（0，4）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点C恰好落在反比例函数的图象上， ∴点C平移后落在反比例函数图象上的坐标为（1，4），代入得： ∴， 解得：k＝4， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图，四边形OABC是矩形，过点B′作B′E⊥OA于点E， ∴AB＝OC＝4． ∴AB′＝AB＝4， 在Rt△AB′E中，∠OAB′＝30°， ∴． ∴yD＝2，代入得：x＝2（经检验，是分式方程的解，且符合题意）． ∴D（2，2）． 2．（10分）（河东区一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象为G，直线经过点A（2，3），与图象G交于B，C两点． （1）求b的值，并在图中画出直线l； （2）当点B与点A重合时，点P（m，n）在第一象限内且在直线l上，过点P作PQ⊥x轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接OP，若S△OPQ＞3，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵直线经过点A（2，3）， ∴3， ∴b＝4， ∴y4， 当x＝0时，y＝4， 过A（2，3）和（0，4）作出直线l：如图1， （2）①∵过点B（2，3）， ∴3， ∴k＝6， ∴y， 由得， ， ∴C（6，1）； ②如图2， 设OP交y与P′，作P′Q′⊥x轴于Q′， 可得S△OP′Q′， ∵S△OPQ＞S△OP′Q′， ∴S△OPQ＞3， ∴2＜m＜6． 3．（10分）（名山区模拟）如图1，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y在第一象限交于M（1，4）、N（4，m）两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）若△PMN的面积为9，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，若点E为直线PM上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过M（1，4）、N（4，m）两点， ∴k2＝1×4＝4m， 解得：k2＝4，m＝1， ∴N（4，1）， ∵直线y＝k1x+b经过M（1，4）、N（4，1）两点， ∴， 解得：， ∴反比例函数表达式为y，一次函数表达式为y＝﹣x+5； （2）如图，设直线MN交x轴于H，过点M作MD⊥x轴于D，过点N作NE⊥x轴于E， 设P（x，0）， ∵M（1，4）、N（4，1）， ∴MD＝4，NE＝1， 在y＝﹣x+5中，令y＝0，得﹣x+5＝0， 解得：x＝5， ∴H（5，0）， ∴PH＝5﹣x， ∴S△PMN＝S△PMH﹣S△PNHPH•MDPH•NEPH（MD﹣NE）（5﹣x）×（4﹣1）（5﹣x）， ∵S△PMN＝9， ∴（5﹣x）＝9， 解得：x＝﹣1， ∴P（﹣1，0）； （3）存在， 设直线PM的解析式为y＝mx+n，把P（﹣1，0），M（1，4）坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线PM的解析式为y＝2x+2， 设E（t，2t+2），F（0，s）， 又M（1，4）、N（4，1）， 当MN、EF为平行四边形对角线时，MN与EF的中点重合， ∴， 解得：， ∴E（5，12），F（0，﹣7）； 当ME、NF为平行四边形对角线时，ME与NF的中点重合， ∴， 解得：， ∴E（3，8），F（0，11）； 当EN、MF为平行四边形对角线时，EN与MF的中点重合， ∴， 解得：， ∴E（﹣3，﹣4），F（0，﹣7）； 综上所述，点E的坐标为（5，12）或（3，8）或（﹣3，﹣4）． 4．（10分）（温江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣3与反比例函数的图象交于A、B（m，﹣4）两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P为y轴上一点， ①若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把B（m，﹣4）代入y＝x﹣3得，﹣4＝m﹣3， ∴m＝﹣1， ∴B（﹣1，﹣4）， 把B（﹣1，﹣4）代中得k＝﹣4×（﹣1）＝4， ∴反比例函数的解析式为y； （2）①解得或， ∴A（4，1）， 在y＝x﹣3中，令y＝0，则x＝3， ∴C（3，0）， ∴OC＝3， 设P（0，a）， ∵S△POC＝2S△AOC， ∴3|a|＝23×1， ∴a＝±2， ∴P（0，2）或（0，﹣2）； ②设E（c，）， ∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），P（0，d），以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴或或， ∴c＝3或c＝5或c＝﹣5， ∴E（3，）或（﹣5，）或（5，）． 5．（10分）（万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+7与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第二象限相交于点C（﹣1，m），直线l2：y＝﹣x与反比例函数在第二象限相交于点D． （1）求点D的坐标； （2）如图2，若点P是线段AC上一动点，当△CDP的面积为6时，求点P的坐标； （3）如图3，若点Q是线段AC上一动点，连接DQ，当∠AQD+∠OAB＝135°时，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+7与反比例函数交于点C（﹣1，m），将点C的坐标代入得： m＝﹣2×（﹣1）+7＝9， ∴点C（﹣1，9）， 又∵反比例函数在第二象限内的图象过点C，将点C的坐标代入得： 9， 解得：k＝﹣9， ∴反比例函数的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∵D在第二象限， ∴D（﹣3，3）； （2）如图2，过点P作PM∥y轴交DC的延长线于点M， 设直线CD的解析式为y＝mx+n（m≠0），把点C、点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线CD的解析式为y＝3x+12， ∴设P（a，﹣2a+7），则M（a，3a+12）， ∴S△CDP＝S△DMP﹣S△CMP ， ∵△CDP的面积为6， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）如图3，设DQ交y轴于M，过D作DH∥y轴交x轴于H，过M作MG⊥DH交HD的延长线于G， ∵MG⊥DH，DH∥y轴， ∴∠DGM＝∠DHO＝90°，GM＝HO， ∵D（﹣3，3）， ∴OH＝DH＝3， ∴△DHO是等腰直角三角形， ∴∠ODH＝∠BOD＝45°， ∵∠AQD+∠OAB＝135°，∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝135°， ∴∠QDO＝360°﹣（∠AQD+∠OAB）﹣∠AOD＝90°． ∵∠BOD＝45°， ∴DM＝OD， 在Rt△MGD和Rt△OHD中， ， ∴Rt△MGD≌Rt△OHD（HL）， ∴GD＝HD＝3， ∴GH＝GD+HD＝6， ∴M（0，6）． 设直线DQ的解析式为y＝hx+t（h≠0），把点D、点M的坐标分别代入，得： ， 解得：， ∴直线DQ的解析式为y＝x+6， 联立得：， 解得：， ∴． 6．（10分）（兴宁市三模）著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： （1）【结论探究】从“数”的角度证明：a2+b2≥2ab； （2）【结论应用】用尺规作△ABC，使∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2，顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数的图象上，AB经过原点O（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； （3）请利用（1）的结论求出△ABC的周长的最小值及此时点A的坐标． 【解答】（1）证明：∵（a﹣b）2≥0， ∴a2﹣2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab． （2）解：如图所示△ABC即为所求． （3）证明：在△ABC，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2， ∴AB＝BC•tan∠ACB＝2BC， ∴， ∴， ∴， ∵A、B都在反比例函数的图象上， ∴设，则， ∴， 当且仅当，即a＝1 时，AB 取得最小值， ∴△ABC 的周长的最小值为：，点A的坐标为（1，1）． 7．（10分）（肥城市期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100℃时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30℃时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于7：20到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为y℃，水温随时间变化的测量数据如表所示： x（分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … y（℃） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）上午第一节下课时间为8：45，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 【解答】解：（1）如图； （2）第一次加热：0≤x≤7，为一次函数，设y＝mx+30（m≠0）， 将点（7，100）代入，可得100＝7m+30， 解得m＝10， ∴第一次加热过程的函数解析式为y＝10x+30（0≤x≤7）； 第一次降温：x＞7，为反比例函数， 设， 将点（7，100）代入，可得， 解得k＝700， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）能，计算过程如下： 由题意得，由7：20到8：45，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当y＝30时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵46.7℃＜50℃， ∴同学们能喝到不超过50℃的水． 8．（10分）（成都模拟）如图1，已知反比例函数与直线交于点A（a，﹣2），B两点（点A在点B的左侧）．点P是双曲线上第一象限内一动点． （1）求反比例函数解析式及点B坐标； （2）当△BOP的面积为8时，求此时P点坐标； （3）如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线AP的垂线，交AP于C，交x轴于点F，PA交y轴于E，连接EF．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）∵反比例函数与直线交于点A（a，﹣2），B两点（点A在点B的左侧），将点A的坐标代入得： ， 解得：a＝﹣3， ∴A（﹣3，﹣2）， 将点A的坐标代入反比例函数得： ﹣2， 解得：k＝6， ∴反比例函数的解析式为． ∵点 A与点B关于原点对称， ∴点B（3，2）； （2）设（m＞0）， 如图1，当点P在直线AB上方时， ∴， 解得：m＝1或﹣9（不合题意，舍去）， ∴P（1，6）； 如图2，当点P在直线AB下方时， ∴， 解得：m＝﹣1（不合题意，舍去）或9， ∴． 综上所述，P 点坐标为（1，6）或； （3）为定值；理由如下： 设（0＜t＜3）， 设直线AP的解析式为y＝px+q（p≠0），将A（﹣3，﹣2），点P的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AP的解析式为， 当x＝0时，得：y， ∴． 设直线l1：y＝k1x与l2：y＝k2x交于原点O（0，0），且l1⊥l2． 在l1上取点A（1，k1），在l2上取点B（1，k2）．如图3， ∵OA⊥OB， ∴△OAB为直角三角形． 由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2． ∵，，， ∴， ∴， ∴2＝﹣2k1k2， ∴k1k2＝﹣1， 根据上述结果可知，AP与BC相互垂直时，kBC•p＝﹣1． ∴， 设直线BC的解析式为yx+n，将点B（3，2）的坐标代入得： 23+n， 解得：n＝2t， ∴直线BC的解析式为yx+2t， 当y＝0时，得：x+2t＝0， 解得：x＝3， ∴． ∴AE29，BF2，EF2， 又∵AE2+BF2＝94EF2， ∴， 故为定值，定值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $