第6讲：二次函数的图象与性质（技法概要+4种题型9种考向精讲+培优小检测）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图象与性质核心知识点，系统梳理a的符号对开口方向、增减性的影响，对称轴与顶点坐标的确定，以及对称性、平移与对称变换、函数图象信息分析等内容，通过知识回顾表格搭建基础，再分题型递进讲解，形成从基础到综合应用的学习支架。 特色在于结构化知识呈现与分层题型设计，知识回顾表格帮助学生抽象二次函数核心要素（数学眼光），例题与变式题结合，通过思路分析培养推理能力（数学思维），函数图象与动点问题提升几何直观和模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后检测助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第6讲 二次函数的图象与性质 技法概要 1、知识回顾 y=ax²+bx+c的图象与性质 符号 a＞0 a＜0 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 (,) 增减性 在对称轴左侧时，y 随 x 的增大 而增大； 在对称轴左侧时，y 随 x 的增大 而减小 在对称轴左侧时，y 随 x 的增大而 增大； 在对称轴右侧时，y 随 x 的增大而 减小 最值 当时，ymin= 当时，ymax= 2.常考题型 题型精讲 题型1 二次函数的对称性 考向1 利用对称性求值 【例1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如表，则当x＝4时，y的值为（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 【思路分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得x＝4时的函数值． 【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（1，1）和（3，1）两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为　直线x＝4　 ． 考向2 利用对称性求参数 【例2】已知二次函数y＝ax2+6ax+b（a、b为常数，a≠0），若其图象上有两点A（m﹣1，n），B（m+1，n），则m的值为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．3 D．﹣3 【思路分析】A、B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【变式2】若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2c）和点（2，2c），则的值为　　 ． 题型2 二次函数的增减性 考向3 运用增减性比较大小 【例3】已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）均在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，下列说法正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【思路分析】通过计算各点的纵坐标值，比较大小即可． 【变式3】已知点A（﹣4，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2+bx+2上，若2＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．2＜y1＜y2 B．y1＜2＜y2 C．2＜y2＜y1 D．y2＜2＜y1 【变式4】已知点A（﹣3，y1），B（﹣m+6，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣mx+4上，若5＜m＜6，则下列判断正确的是（　　） A．y1＜y2＜4 B．y2＜y1＜4 C．y1＜4＜y2 D．y2＜4＜y1 考向4 运用增减性求取值范围 【例4】二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为　 ． 【思路分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【变式5】已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣m（m为常数），当x＜2时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型3 二次函数与图形变换 考向5 平移 【例5】若将抛物线y＝2（x+m）2+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为　　 ． 【思路分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解． 【变式6】若抛物线y＝7x2平移得到y＝7（x+2）2﹣3，则需要（　　） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【变式7】将抛物线y＝x2﹣6x+9平移到抛物线y＝（x﹣6）2+4的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为　　 ． 考向6 对称 【例6】在同一平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2﹣6ax﹣7a与抛物线L′关于直线x＝m对称，L′可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为　　 ． 【思路分析】求得抛物线L的对称轴，进一步求得平移后L′的对称轴，由抛物线L：y＝ax2﹣6ax﹣7a与抛物线L′关于直线x＝m对称可知m是两对称轴的中点，据此即可求解． 【变式8】抛物线C1：和抛物线C2关于x轴对称，则抛物线C2的解析式是　 （填一般式）． 题型4 函数图象信息题 考向7 从函数图象获取信息 【例7】已知二次函数y＝x2+（b﹣1）x+c的图象如图所示，则函数y＝x2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路分析】由已知函数图象可得0＝1+（b﹣1）×（﹣1）+c，c＜0，即得﹣b+c＝﹣2，进而可得二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣1）且与y轴交于负半轴上，据此判断即可求解． 【变式9】一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+b的图象（　　） A．B． C．D． 考向8 图象共存问题 【例8】一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【变式10】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A．B． C．D． 考向9 动点问题函数图象 【例9】如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，点D是边AB上一动点（不与A、B重合），沿着A→B运动，过点D作DE∥BC交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F，设EF2＝y，AD的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A．B． C． D． 【思路分析】连接CD，过点C作CG⊥AB于点G，根据勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设AD＝x，则，0≤x≤5，根据勾股定理得到，证明四边形CEDF是矩形，得到EF＝CD，可知y＝EF2＝CD2． 【变式11】在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为ts．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 　　 ． 培优小检测 （时间：40分钟 满分：80分） ■ 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1．将抛物线y＝2x2的图象经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2﹣4的图象（　　） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 2．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 3．如图是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象，则b，c的值可能为（　　） A．b＝﹣3，c＝4 B．b＝﹣3，c＝﹣4 C．b＝3，c＝﹣4 D．b＝3，c＝4 4．已知二次函数y＝a（x﹣a）2+x﹣a的图象上有三点（a+1，y1），（a+2，y2），（a﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系不可能是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3 5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c能决定抛物线的增减性的是（　　） A．a，b B．a，c C．b，c D．a，b，c 6．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 7．一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△AOB中，AO＝AB＝2，∠A＝90°，斜边OB在x轴上，将直线x＝t从y轴出发向右平移，若△AOB在该直线左侧的阴影部分的面积记为S，则S与t之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． ■ 二．填空题（每小题4分，共24分） 9．抛物线y＝（x+2m）2﹣1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是　 　 ． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是已知数，且a≠0）的x与y的部分对应值如表，则当x＝4时，y＝　 　 ． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 11．将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 　 　 ． 12．如图，y1与y2关于y轴对称，且，一条平行于x轴的直线与y1和y2共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D，当AB＝BC＝CD时，则AD＝　 　 ． 13．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　 　 ． 14．已知二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（﹣1，0），（3，0），（m，﹣2）．若0＜m＜2，则a的取值范围为　 　 ． ■ 三．解答题（共24分） 15．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 16．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M（m，m），N（n，n），且m＜n． （1）若m+n＝0，求b的值； （2）设点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 二次函数的图象与性质 技法概要 1、知识回顾 y=ax²+bx+c的图象与性质 符号 a＞0 a＜0 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 (,) 增减性 在对称轴左侧时，y 随 x 的增大 而增大； 在对称轴左侧时，y 随 x 的增大 而减小 在对称轴左侧时，y 随 x 的增大而 增大； 在对称轴右侧时，y 随 x 的增大而 减小 最值 当时，ymin= 当时，ymax= 2.常考题型 题型精讲 题型1 二次函数的对称性 考向1 利用对称性求值 【例1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如表，则当x＝4时，y的值为（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 【思路分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得x＝4时的函数值． 【详解】解：由表格可知， 二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x2， ∴x＝4和x＝0时对应的函数值相等， ∵x＝0时，y＝10， ∴x＝4时，y＝10， 故选：B． 【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（1，1）和（3，1）两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为　直线x＝4　 ． 【详解】解：由条件可知两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移2个单位时，对称轴同步向右平移2个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 x＝2+2＝4． 故答案为：直线x＝4． 考向2 利用对称性求参数 【例2】已知二次函数y＝ax2+6ax+b（a、b为常数，a≠0），若其图象上有两点A（m﹣1，n），B（m+1，n），则m的值为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．3 D．﹣3 【思路分析】A、B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线 ， 由条件可知点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴m＝﹣3． 故选：D． 【变式2】若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2c）和点（2，2c），则的值为　　 ． 【详解】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线， 即， 解得b＝﹣3a， 将点（1，2c）代入二次函数得a+b+c＝a﹣3a+c＝2c， ∴． 故答案为：． 题型2 二次函数的增减性 考向3 运用增减性比较大小 【例3】已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）均在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，下列说法正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【思路分析】通过计算各点的纵坐标值，比较大小即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵k＜1+k＜16+k， ∴y2＜y1＜y3， 故选：B． 【变式3】已知点A（﹣4，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2+bx+2上，若2＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．2＜y1＜y2 B．y1＜2＜y2 C．2＜y2＜y1 D．y2＜2＜y1 【详解】解：将A（﹣4，y1）代入y＝x2+bx+2，得， 将B（3，y2）代入y＝x2+bx+2，得， ∵2＜b＜4， ∴﹣16＜﹣4b＜﹣8， ∴2＜18﹣4b＜10，即2＜y1＜10， ∵2＜b＜4， ∴6＜3b＜12， ∴17＜11+3b＜23，即17＜y2＜23， ∴若2＜b＜4，则2＜y1＜y2．A符合题意，其他选项不符合题意， 故选：A． 【变式4】已知点A（﹣3，y1），B（﹣m+6，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣mx+4上，若5＜m＜6，则下列判断正确的是（　　） A．y1＜y2＜4 B．y2＜y1＜4 C．y1＜4＜y2 D．y2＜4＜y1 【详解】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣mx+4， 所以抛物线的对称轴为直线x． 因为5＜m＜6， 所以0＜﹣m+6＜1，， 则点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧． 因为，， 则点A离对称轴更近， 又因为抛物线的开口向下， 所以y1＞y2． 当x＝0时，y＝4， 所以点（0，4）在抛物线上． 因为， 所以点（0，4）比点A离抛物线远，比点B离抛物线近， 所以y2＜4＜y1． 故选：D． 考向4 运用增减性求取值范围 【例4】二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为　 ． 【思路分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【变式5】已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣m（m为常数），当x＜2时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：由抛物线解析式a＝1＞0可知抛物线开口向上， 由对称轴公式得抛物线对称轴为， ∵当x＜m时，y随x的增大而减小，又当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴m≥2＞0，即顶点的横坐标为正， ， ∵m≥2， ∴m2+m＞0， ∴，即顶点纵坐标为负， ∴顶点在第四象限． 故选：D． 题型3 二次函数与图形变换 考向5 平移 【例5】若将抛物线y＝2（x+m）2+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为　　 ． 【思路分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解． 【详解】解：原抛物线y＝2（x+m）2+5的顶点坐标为（﹣m，5）． 沿x轴向左平移2个单位后，y＝2（x+m+2）2+5，顶点坐标为 （﹣m﹣2，5）． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标﹣m﹣2＝0， 解得m＝﹣2． 得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式6】若抛物线y＝7x2平移得到y＝7（x+2）2﹣3，则需要（　　） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【详解】解：由题知， 将抛物线y＝7x2先左平移2个单位，再向下平移3个单位，可得抛物线y＝7（x+2）2﹣3． 故选：A． 【变式7】将抛物线y＝x2﹣6x+9平移到抛物线y＝（x﹣6）2+4的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为　　 ． 【详解】解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， ∴抛物线的顶点坐标为（3，0）， ∵平移后抛物线y＝（x﹣6）2+4的顶点坐标为：（6，4）， ∴抛物线顶点平移的最短距离：． 故答案为：5． 考向6 对称 【例6】在同一平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2﹣6ax﹣7a与抛物线L′关于直线x＝m对称，L′可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为　　 ． 【思路分析】求得抛物线L的对称轴，进一步求得平移后L′的对称轴，由抛物线L：y＝ax2﹣6ax﹣7a与抛物线L′关于直线x＝m对称可知m是两对称轴的中点，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线L：y＝ax2﹣6ax﹣7a的对称轴为直线x3， ∵抛物线L′可看作是由抛物线L向右平移4个单位长度所得， ∴抛物线 L′的对称轴是直线x＝7， ∵两个抛物线关于直线x＝m对称， ∴m5． 故答案为：5． 【变式8】抛物线C1：和抛物线C2关于x轴对称，则抛物线C2的解析式是　 （填一般式）． 【详解】解：根据函数的对称性，C2的表达式为：﹣yx2﹣3x+2， 故答案为：yx2+3x﹣2． 题型4 函数图象信息题 考向7 从函数图象获取信息 【例7】已知二次函数y＝x2+（b﹣1）x+c的图象如图所示，则函数y＝x2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路分析】由已知函数图象可得0＝1+（b﹣1）×（﹣1）+c，c＜0，即得﹣b+c＝﹣2，进而可得二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣1）且与y轴交于负半轴上，据此判断即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，﹣b+c＝﹣2， 把x＝﹣1代入y＝x2+bx+c，得y＝1﹣b+c＝1﹣2＝﹣1， ∴二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣1）且与y轴交于负半轴上， ∴符合题意的图象为选项A， 故选：A． 【变式9】一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+b的图象（　　） A．B． C．D． 【详解】∵一次函数y＝ax+b的图象如图所示： ∴直线y＝ax+b过一，三，四象限， ∴a＜0，b＞0， ∵y＝ax2+b， ∴抛物线的开口向下，对称轴为y轴，与y轴交于正半轴， 故符合题意的只有选项C； 故选：C． 考向8 图象共存问题 【例8】一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确； C、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； 故选：B． 【变式10】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【详解】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴为直线x0，故选项错误； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴为直线x0，故选项正确； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 考向9 动点问题函数图象 【例9】如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，点D是边AB上一动点（不与A、B重合），沿着A→B运动，过点D作DE∥BC交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F，设EF2＝y，AD的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A．B． C． D． 【思路分析】连接CD，过点C作CG⊥AB于点G，根据勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设AD＝x，则，0≤x≤5，根据勾股定理得到，证明四边形CEDF是矩形，得到EF＝CD，可知y＝EF2＝CD2． 【详解】解：如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于点G， 在△ABC中，BC＝3，AB＝5，AC＝4， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∵， ∴， ∴， ∵AD＝x， ∴0≤x≤5，， ∴， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD， ∴， ∴能反映y与x之间函数关系的图象是 ． 故选：A． 【变式11】在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为ts．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 　　 ． 【详解】解：在Rt△PCD中，，PC＝t，则， 当S＝6时，6＝t2+2，解得：t＝2（负值已舍去）， ∴BC＝2， ∴抛物线经过点（2，6）， ∵抛物线顶点为：（4，2）， 设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2， 将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2，解得：a＝1， ∴S＝（t﹣4）2+2， 当y＝18时，18＝（t﹣4）2+2，t＝0（舍）或t＝8， ∴AB＝8﹣2＝6， 故答案为：6． 培优小检测 （时间：40分钟 满分：100分） ■ 一．选择题（共8小题） 1．将抛物线y＝2x2的图象经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2﹣4的图象（　　） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 2．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 3．如图是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象，则b，c的值可能为（　　） A．b＝﹣3，c＝4 B．b＝﹣3，c＝﹣4 C．b＝3，c＝﹣4 D．b＝3，c＝4 4．已知二次函数y＝a（x﹣a）2+x﹣a的图象上有三点（a+1，y1），（a+2，y2），（a﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系不可能是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3 5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c能决定抛物线的增减性的是（　　） A．a，b B．a，c C．b，c D．a，b，c 6．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 7．一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△AOB中，AO＝AB＝2，∠A＝90°，斜边OB在x轴上，将直线x＝t从y轴出发向右平移，若△AOB在该直线左侧的阴影部分的面积记为S，则S与t之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． ■ 二．填空题（共6小题） 9．抛物线y＝（x+2m）2﹣1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是　 　 ． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是已知数，且a≠0）的x与y的部分对应值如表，则当x＝4时，y＝　 　 ． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 11．将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 　 　 ． 12．如图，y1与y2关于y轴对称，且，一条平行于x轴的直线与y1和y2共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D，当AB＝BC＝CD时，则AD＝　 　 ． 13．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　 　 ． 14．已知二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（﹣1，0），（3，0），（m，﹣2）．若0＜m＜2，则a的取值范围为　 　 ． ■ 三．解答题（共2小题） 15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 16．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M（m，m），N（n，n），且m＜n． （1）若m+n＝0，求b的值； （2）设点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若，证明：． 答案详解 （时间：40分钟 满分：80分） ■ 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1．将抛物线y＝2x2的图象经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2﹣4的图象（　　） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【详解】解：由题意，∵原抛物线为y＝2x2，平移后的抛物线为y＝2（x+3）2﹣4， ∴根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得，将y＝2x2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到y＝2（x+3）2﹣4， 故选：B． 2．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【详解】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C、顶点坐标为，说法正确，符合题意； D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象，则b，c的值可能为（　　） A．b＝﹣3，c＝4 B．b＝﹣3，c＝﹣4 C．b＝3，c＝﹣4 D．b＝3，c＝4 【详解】解：如图所示： 由图象可知c＞0， 满足条件的是AD； ∵抛物线的对称轴， ∴b＞0， 满足条件的是D； 故选：D． 4．已知二次函数y＝a（x﹣a）2+x﹣a的图象上有三点（a+1，y1），（a+2，y2），（a﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系不可能是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3 【详解】解：∵二次函数y＝a（x﹣a）2+x﹣a的图象上有三点（a+1，y1），（a+2，y2），（a﹣3，y3）， ∴y1＝a（a+1﹣a）2+（a+1）﹣a＝a（1）2+1＝a+1， y2＝a（a+2﹣a）2+（a+2）﹣a＝a（2）2+2＝4a+2， y3＝a（a﹣3﹣a）2+（a﹣3）﹣a＝a（﹣3）2﹣3＝9a﹣3， A、若y3＞y2＞y1，则， 解得a＞1， ∴a＞1时满足y3＞y2＞y1； B、若y3＞y1＞y2，则， 无解， ∴y3＞y1＞y2不可能； C、若y2＞y1＞y3，则， 解得a， ∴当a满足y2＞y1＞y3； D、若y1＞y2＞y3，则， 解得a， ∴a时满足y1＞y2＞y3； 故选：B． 5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c能决定抛物线的增减性的是（　　） A．a，b B．a，c C．b，c D．a，b，c 【详解】解：在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中， 当a＞0时，开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当a＜0时，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c能决定抛物线的增减性的是a，b， 故选：A． 6．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大， 把A（0，1），C（4，1），D（3，2）代入y＝ax2+bx+c得， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为yx2x+1， 当x＝1时，y1＝2， 故a+b+c的最大值等于2， 故选：C． 7．一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：根据一次函数图象与系数的关系，逐项分析二次函数图象与系数关系再判断如下： A：一次函数a＞0，b＞0，二次函数，可得b＜0，不符合题意； B：一次函数a＜0，b＜0；二次函数a＜0，，可得b＜0，符合题意； C：一次函数a＜0，二次函数a＞0，不符合题意； D：一次函数a＜0，二次函数a＞0，不符合题意． 故选：B． 8．如图，在△AOB中，AO＝AB＝2，∠A＝90°，斜边OB在x轴上，将直线x＝t从y轴出发向右平移，若△AOB在该直线左侧的阴影部分的面积记为S，则S与t之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：需分两个阶段分析直线平移过程中阴影面积S与t的函数关系如下： 如图1，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，设直线x＝t交x轴于点E， ∴OE＝t； ∵AO＝AB＝2，∠OAB＝90°， ∴，，∠AOD＝∠ABD＝45°； 当直线x＝t在点A的左侧时，如图1，设直线x＝t交OA于点G， ∴△OEG是等腰直角三角形，此时， ∴EG＝OE＝t， ∴； 当直线x＝t在点A的右侧时，如图2，设直线x＝t交AB于点F， ∴， ∴， ∴． 综上，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线． 故S与t之间的函数关系的图象为B选项． 故选：B． ■ 二．填空题（每小题4分，共24分） 9．抛物线y＝（x+2m）2﹣1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是m≤﹣2　 ． 【详解】解：∵抛物线y＝（x+2m）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝﹣2m，图象开口向上， 故当x＜﹣2m时，y随x增大而减小， 又∵当x＜4时，y随x增大而减小， ∴﹣2m≥4， 解得m≤﹣2， 故答案为：m≤﹣2． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是已知数，且a≠0）的x与y的部分对应值如表，则当x＝4时，y＝　10　 ． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 【详解】解：由表格可知， 二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x2， ∴x＝4和x＝0时对应的函数值相等， ∵x＝0时，y＝10， ∴x＝4时，y＝10． 故答案为：10． 11．将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 y＝﹣2（x+1）2﹣3　 ． 【详解】解：抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），则沿x轴翻折后顶点坐标是（﹣1，﹣3），开口向下， ∴新抛物线解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣3， 故答案是：y＝﹣2（x+1）2﹣3． 12．如图，y1与y2关于y轴对称，且，一条平行于x轴的直线与y1和y2共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D，当AB＝BC＝CD时，则AD＝　3　 ． 【详解】解：设直线AB交第二象限的图象的对称轴于点G，交y轴于点P，交第一象限的图象的对称轴于点H， 设AB＝BC＝CD＝a， ∴AG＝BG＝CH＝DHa， ∴GH＝BG+BC+CH＝2a＝1﹣（﹣1）＝2． ∴a＝1． ∴AD＝AB+BC+CD＝3a＝3． 故答案为：3． 13．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　﹣16或2　 ． 【详解】解：∵二次函数解析式为y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a， ∴该二次函数对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣a）， 当a＜0时，函数在x＝﹣2处有最大值， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴﹣a＝16， ∴a＝﹣16； 当a＞0时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴当x＝1时，y＝16， ∴a+4a+3a＝16， ∴a＝2； 综上所述，a＝﹣16或a＝2． 故答案为：﹣16或2． 14．已知二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（﹣1，0），（3，0），（m，﹣2）．若0＜m＜2，则a的取值范围为　　 ． 【详解】解：设二次函数的交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点（m，﹣2）代入解析式得：a（m+1）（m﹣3）＝﹣2， ∴ ， ∵0＜m＜2， ∴0≤（m﹣1）2＜1， 不等式变形可得：3＜4﹣（m﹣1）2≤4， ∵不等号两边均为正数，取倒数后不等号方向改变， ∴， 不等式两边同乘2得：． 故答案为：． ■ 三．解答题（共24分） 15．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【详解】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ∴顶点坐标为：（1，4） （2）由于抛物线的对称轴为：x＝1， ∴0＜x＜3时， ∴0＜y≤4 （3）设P（x，y） ∴△PAB的高为|y|， ∵A（﹣1，0）、B（3，0） ∴AB＝4 ∵S△PAB＝10， ∴4×|y|＝10 ∴y＝±5， 当y＝5时， ∴5＝﹣x2+2x+3 此时方程无解， 当y＝﹣5时， ∴﹣5＝﹣x2+2x+3， 解得：x＝4或x＝﹣2， ∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5） 16．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M（m，m），N（n，n），且m＜n． （1）若m+n＝0，求b的值； （2）设点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若，证明：． 【详解】（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M（m，m），N（n，n），且m＜n． 抛物线过点M（m，m），N（n，n），且m+n＝0，即n＝﹣m． ∴am2+bm+c＝m，am2﹣bm+c＝﹣m． 两式相减得：2bm＝2m， ∵m＜n且m+n＝0， ∴m≠0， ∴b＝1； （2）证明：∵M（m，m），N（n，n）在抛物线上， ∴am2+bm+c＝m，an2+bn+c＝n． 两式相减得：a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝m﹣n （m﹣n）[a（m+n）+b﹣1]＝0 ∵m＜n， ∴a（m+n）+b﹣1＝0，即b＝1﹣a（m+n）． 顶点横坐标． ∵， ∴．得证． 学科网（北京）股份有限公司 $