第10讲 反比例函数与一次函数、几何综合及实际应用题（核心知识+7易错辨析+5典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版九年级数学上册秋期复习讲义+重难点专题训练

第10讲 反比例函数与一次函数、几何综合及实际应用题 （核心知识+7易错辨析+5典例精讲+课后作业） 【知识点01】反比例函数的图象与性质 图象：反比例函数的图象是双曲线，由两支组成。当 k > 0 时，两支分别位于第一、三象限；当 k < 0 时，两支分别位于第二、四象限。双曲线无限接近坐标轴，但永不相交。 增减性：① 当 k > 0 时，在每一支（每一象限）内，y 随 x 的增大而减小；② 当 k < 0 时，在每一支（每一象限）内，y 随 x 的增大而增大。 强调：增减性只能在“同一支内”比较，不能跨象限比较大小（两支的 y 值符号不同，且中间隔着断点）。 对称性：双曲线既是中心对称图形（关于原点对称），又是轴对称图形（关于直线 y = x 和 y = -x 对称）。 【知识点02】|k| 的几何意义（面积模型） 过双曲线 y =上任意一点 P(x, y) 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足为 A、B，则矩形 OAPB 的面积为 |xy| = |k|。常用结论： ① 矩形面积： ② 直角三角形面积： ③ 由面积反求 k 时，双曲线所在象限决定 k 的正负，一般有两解 k = ±S。 【知识点03】反比例函数与一次函数的综合 交点问题：联立 与 ，消去 y 得 ， 由判别式判断交点个数：Δ > 0 两个交点，Δ = 0 一个交点（相切），Δ < 0 无交点。 不等式解集：利用两图象的上下位置关系。求 或 的解集，先求交点横坐标，再结合两支所在象限与 x ≠ 0 分段讨论。 交点坐标常关于原点对称的情形：当反比例函数与经过原点的正比例函数（b = 0）相交，且两交点分别位于一支（第三、第一象限）时，交点关于原点对称。一般情形需联立求解。 【知识点04】反比例函数的实际应用 建模方法：若两个量 m、n 满足 mn = k（k 为定值），则它们成反比例关系，可设 。 常见模型：行程问题（速度 × 时间 = 路程）、工程问题（工效 × 时间 = 总量）、物理问题（压强 P = 、U = IR 等）、经济问题（单价 × 数量 = 总价）。 易被忽略：实际问题的自变量取值范围受实际意义限制（时间、面积、件数等须为正），确定解析式后还要限定定义域，并据此作出图象。 反比例函数是中考与教材考查的重点，以下易错点常导致失分，请对照辨析： 易错点 错误示例 正确辨析 1. 忽视 k ≠ 0 设 y = 时漏写 k ≠ 0 k = 0 时 y = 0 是常函数（x 轴），不是反比例函数，故 k ≠ 0 是定义的前提。 2. 误判函数类型 把 y = 、y = 误当反比例函数 反比例函数分母只能是 x；y = 不是反比例函数。y = 化简后为 y = k（x ≠ 0），是常函数。 3. 增减性跨象限误用 说“在整个定义域内 y 随 x 增大而减小” 增减性仅在“每一支内”成立。k > 0 时，第一象限与第三象限的点不能直接按增减比较，须先看符号。 4. |k| 面积漏取绝对值 由双曲线求矩形面积直接写成 k 矩形面积 = |k|，必为正；由面积反求 k 时有两解 k = ±S，须结合象限定号。 5. 双曲线与坐标轴相交 画图时双曲线“穿过”x 轴或 y 轴 双曲线两支无限接近坐标轴，但永不相交、不相切（x ≠ 0，y ≠ 0）。 6. 不等式解集漏情形 只按交点一侧判断 > ax+b 须结合两支所在象限，分 x > 0 与 x < 0 讨论，且 x ≠ 0。 7. 忽略自变量取值范围 实际应用列解析式后不限定 x > 0 实际量（时间、件数、面积等）必须为正，定义域缺失会导致图象与答案错误。 【题型一】反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例1】．（26-27九年级上·全国·单元测试）反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】分和时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，符合题意的是选项A； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，选项都不符合题意． 【变式1】．（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】先根据二次函数对称轴公式计算抛物线的对称轴为，确定其在轴左侧，据此排除对称轴位置不符的选项A、D；再分和两种情况讨论：当时，反比例函数图象应在一、三象限，且抛物线开口向上、与轴交于负半轴；当时，反比例函数图象在二、四象限，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，由此确定答案． 【详解】解：对于抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线对称轴一定在轴左侧，故选项A，D错误； 当时，，则双曲线在第一、三象限，抛物线交轴负半轴，故选项B错误； 当时，，则双曲线在第二、四象限，抛物线交轴正半轴，故选项C符合题意． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 【答案】16 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，涉及交点问题，因式分解法解一元二次方程，根的判别式等知识点． 两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据交点个数确定方程有两个不相等的实数根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)，整理得：，即：，一一代入求解即可． 【详解】解：联立，并整理得： ， ， 故其中一个根：， ∴a为正整数，方程有两个不同的实数根， ∴， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)， 即(k为正整数)，整理得：， 即：， 而， 当，时，解得： (舍去)； 当，时，解得：； 当，时， (舍去)； 故； 故答案为：． 【变式3】．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量x的取值范围是__________； (2)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)直接写出方程的根：__________； (4)当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)①；② (3)， (4)或 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象、反比例函数、二次函数图象综合判断、图象法确定一元二次方程的近似根、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）利用图象求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 即自变量x的取值范围是； （2）解：①当时，； ②略 （3）解：如图， 由图可知：方程的根为，； （4）解：当时， 联立方程组， 整理得， ∴， 当时，方程存在正实根，不符合题意； 当时，方程无正实根，符合题意 解得， ∴； 当时，如图， 此时一次函数（）的图象与函数的图象无交点，故符合题意， ∴， 综上，或. 【题型二】反比例函数与几何综合 【典例2】．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 【典例3】．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过点作轴于点，设，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，进而得到，，设，列出表示面积的等式，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 设， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴设， ∵点位于第二象限， ∴，， ∴， 解得：． 【典例4】．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点在反比例函数（）的图象上，轴于点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在这个反比例函数图像上，连接并延长交轴于点，且，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据已知，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，证四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数和一次函数的交点， 联立， 解得：或， ， ， ． 【变式1】．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、求点到坐标轴的距离、比的应用 【详解】解：轴 点和点的纵坐标相同， ，即， ，，， ，， ， ，即， ， ． 【变式2】．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】先根据反比例函数解析式，代入、横坐标写出两点坐标；再利用、坐标求出直线的解析式，算出点的横坐标；最后结合三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：、在反比例函数图象上，横坐标为，横坐标为， ，， 设直线解析式为，则 ， 解得，， 直线：， 令，则， ， ，， ， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限 ， ． 【变式3】．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式； （1）根据正方形求出点的坐标，代入计算即可； （2）根据反比例函数的几何意义求出四边形的面积，再设表示出的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6，轴， ∴，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，，， 把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴四边形的面积为， 设， ∴， ∵的面积等于四边形的面积， ∴， 解得， ∴或． 【题型三】与一次函数的综合（交点、不等式解集） 【典例5】．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，结合图象，关于的不等式的解集为______． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】直接观察图象可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，据此即可解答． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， 关于的不等式的解集为：或． 【典例6】．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知直线与双曲线都经过点，． (1)求m与a的值； (2)求直线的表达式； (3)直接写出不等式的解集为 ． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）先将点代入求出m的值，再把代入反比例函数表达式求解即可； （2）将点，代入，解方程组求出，即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入，则， ∴双曲线表达式为， 将点代入，则； （2）解：由（1）知：， 将，代入，得， 解得， ∴直线表达式为； （3）解：函数图象如下： 当时，或． 【典例7】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点代入求出反比例函数关系式，再将点代入关系式求出该点，然后将两个点的坐标代入一次函数关系式，求出解即可； （2）先确定一次函数和反比例函数的交点坐标，再根据双曲线在直线上方时自变量的取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． ∵反比例函数经过点， ∴，则该点坐标为． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：不等式， ∴． 观察图象，可知当时或时，， 当或时，， 所以不等式的解集是或． 【变式1】．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题 【详解】解：∵直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式的解集是． 【变式2】．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集； 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据点求出反比例函数解析式，进而求出点，再根据两点联立求解一次函数即可． （2）根据函数图象求解不等式即可． 【详解】（1）解：已知反比例函数的图象过点， 将点的坐标代入反比例函数解析式中， 可得：， 解得， 所以反比例函数的解析式为． 因为点在反比例函数的图象上， 将代入中， 可得：， 所以点的坐标为， 已知一次函数的图象过点和， 得到方程组， 解得， 所以一次函数的解析式为． （2）由图象可知，当或时， 一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 所以不等式的解集为或． 【变式3】．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出使成立的的取值范围为__________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)的面积为8 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点和点的坐标，再将点和点的坐标代入，求出和的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与轴相交于点，与轴相交于点，先求出与轴和轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：， ， 把代入得， ， 把，代入中， 得 解得： 一次函数的解析式为； （2）解：，， 由图可知，当或时，， 即使成立的的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：令直线与轴相交于点，与轴相交于点， 把代入得， ，则， 把代入得， 解得：， ，则， ． 【变式4】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； （3）解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 【题型四】一次函数与反比例函数的实际应用 【典例8】．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【答案】(1)线段的解析式为；反比例函数为 (2)18 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【详解】（1）解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． （2）解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． 【典例9】．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 【答案】(1)双曲线的函数表达式为； (2)第二天早上能驾车上班，理由， 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时， 由得双曲线的函数表达式为， 当时，， ∵，即血液中的酒精含量小于国家规定的“酒后驾驶”标准， ∴第二天早上能驾车上班． 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时，当时，，然后比较进行判断即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，由图象可知直线过， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设双曲线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴双曲线的函数表达式为； （2）略． 【变式1】．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 【变式2】．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，且，过点作轴于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标； (2)将沿轴向左平移，对应得，当反比例函数图象经过的中点时；求的面积 (3)在第二象限内点上方的双曲线上求一点，使得． 【答案】(1)，，点 (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数的综合知识． （1）利用待定系数法求解析式，将已知点代入即可； （2）由平移的性质可得的中点的纵坐标，由，可求点坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）由勾股定理可求点E坐标，利用待定系数法可求直线的解析式，联立方程组可求解． 【详解】（1）一次函数与反比例函数的图象相交于 ， ， 一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 由得 ， （2）如图，连接， 轴 的中点坐标为 将沿轴向左平移，对应得 的中点的纵坐标为 平移的长度为 ; （3）如图，过点作轴于，作，交双曲线于点， , , ,即点P为所求 四边形是矩形 , 设直线的解析式为 直线的解析式为 由得 点在第二象限 ． 【变式3】．（24-25九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】(1)2 (2) (3) 解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）略 【题型五】实际应用题（函数模型） 【典例10】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）的关系如图所示． (1)首付款为______________，与的函数关系式为______________； (2)如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ 【答案】(1)元； (2)15个月 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据待定系数法求解反比例函数表达式即可，再由函数图象求解首付款； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）由图象得，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）是反比例关系， 设y与t的函数关系式为， ∵反比例函数图象经过点， 则， 解得， 故y与t的函数关系式是； 当时，则， 故首付为（元）； （2）解：由函数图象可得，随着的增大而减小， 当时，即， ∴， 故最多15个月能将所有的钱全部还清． 【典例11】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【答案】(1)加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 (2)同学们能喝到不高于的温水 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 【典例12】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）综合与实践 【提出问题】密度计中蕴含哪些数学知识？ 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自身的重力，重力不变，浮力就不变． ，，， ， ． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例函数． 【解决问题】 (1)下列说法正确的是___________（填序号） ①增大，增加；②增大，减小； ③密度均匀增加时，深度的变化量相同； ④密度计刻度数值上小下大，刻度间距上疏下密． (2)综合与实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度（假设该密度计上下粗细均匀）．当该密度计竖直漂浮在酒精中时，露出酒精液面高度为；竖直漂浮在水中时，露出水面高度为；竖直漂浮在某盐溶液中时，露出液面的高度为，求①该盐溶液的密度；②该密度计可以测量的液体密度应大于多少？（参考数据：，） 【答案】(1)②④ (2)①该盐溶液的密度为；②该密度计可以测量的液体密度应大于． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据反比例函数的性质，进行判断即可； （2）①设密度计总长度为，根据，以及反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，列出方程求出的值，进而求出反比例函数的解析式，再求出盐溶液的密度即可；②求出密度计完全浸没时，液体的密度即可得出结果. 【详解】（1）解：∵与成反比例函数，且密度计的均为正数，即，， ∴反比例函数的图象在第一象限，随着的增大而减小， ∵反比例函数的图象为曲线， ∴当密度均匀增加时，深度的变化量不相同， ∵越大对应越小， ∴密度计上方刻度数值小，下方刻度数值大； 又∵随的变化越来越慢， ∴相同密度差对应的刻度间距上疏下密； 故正确的是②④； （2）解：①设密度计总长度为， 由题意，得， 解得， ∴， ， ∴当时，； ∴该盐溶液的密度为； ②当密度计整个浸没时，即时，； ∴该密度计可以测量的液体密度应大于． 【变式1】．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】（1）根据时间=路程÷速度计算即可； （2）将x表示为y的函数并代入，求出y的解集，从而得到y的最小值即可 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：∵， ∴， 根据题意，得， 解得，， ∴汽车从A地到B地至少需要． 【变式2】．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式； (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】（1）设与的函数关系式为，根据图2将和代入求出，可知当时的值，结合题干公式即可求出此时总电阻的值； （2）设，由（1）可知，当时，，此时，代入求解即可； （3）求出R关于V的函数解析式，分别将、代入R关于V的函数解析式求出R的值，可知当时，R的取值范围，根据反比例函数的性质得到随的增大而减小，分别将、代入求出I的值，可知电流表显示电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图象经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 【变式3】．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； (2)求药物燃烧时，关于的函数关系式； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） 【答案】(1) (2) (3)解：此次消毒有效，理由如下， 把代入得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去）， 把代入得，， 解得， ∵， ∴此次消毒有效． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）设药物燃烧后，与的解析式为，把代入，可得与的解析式为，根据反比例函数的性质即可得出答案； （2）设药物燃烧时，关于的函数关系式为，把代入，可求出，即可得出二次函数解析式； （3）把分别代入二次函数和反比例函数解析式，分别求出的值，进而求出持续时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵药物燃烧后，与成反比例， ∴设药物燃烧后，与的解析式为， ∵反比例函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧后，与的解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 解得， ∵空气中每立方米的含药量低于毫克， ∴至少需要经过分钟后，学生才能回到教室． （2）解：∵药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克， ∴设药物燃烧时，关于的函数关系式为， ∵二次函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧时，关于的函数关系式为． （3）略 （一）知识框架 反比例函数概念（y = ，k ≠ 0，等价形式 xy = k）→ 图象与性质（双曲线、两支、象限、增减性、对称性）→ |k| 的几何意义（矩形、三角形面积）→ 与一次函数综合（交点、不等式解集）→ 实际应用（建模、定义域）。 （二）思想方法 ① 待定系数法求解析式；② 数形结合（图象位置与不等式、交点互相转化）；③ 分类讨论（k 正负、象限、两支增减）；④ 转化与建模（面积问题转化为 |k|，实际问题转化为函数模型）。 （三）解题通法 ① 求解析式：设 y =，代点得 k = xy；② 面积问题：优先联想 |k|，由面积反求 k 注意 ±；③ 与一次函数综合：联立求交点、分段讨论解不等式；④ 比较大小：先定象限符号，再在同一支内比增减。 （四）易错提醒 ① k ≠ 0 不可忘；② 增减性仅在每一支内成立；③ 矩形面积取 |k|，反求 k 有两解；④ 双曲线与坐标轴永不相交；⑤ 实际应用须限定自变量取值范围。 一、单选题 1．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】A 【分析】假设法和排除法：若，则，根据反比例函数的图象所处的象限、一次函数图象的特征一一加以排除，剩下的一个则是正确的；若还不能一一加以排除，再假设，再逐一排除即可． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，此时一次函数随自变量的增大而减小，且相交于y轴的正半轴上，A符合题意，B不符合题意； 若时，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，此时一次函数随自变量的增大而增大，且相交于y轴的负半轴上，C、D均不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 2．反比例函数的图象上有两点、且，那么与之间的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】∵反比例函数y=中，k=1＞0， ∴此函数的图像在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， 又x1＜x2， ∴y1＞y2， 故选：B. 3．“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，先理解含糖浓度与饮料质量的乘积就是值，再结合的实际意义为甜味剂质量，得出甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的；再观察函数图象，得出，即可作答． 【详解】解：∵含糖浓度（含糖浓度=）与饮料质量之间的关系：甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足， ∴甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的； 由函数图象得出， 即丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多， 故选：D 4．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点，则的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点的坐标，由点为线段的中点可表示出点的坐标，再利用分割图形法求三角形的面积结合三角形的面积公式以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：设点的坐标为，则点的坐标为． ．      故选． 【点睛】题考查了待定系数法求反比例函数、中点坐标公式以及三角形的面积公式以及函数图像上点的坐标特征，体现了数形结合的思想，由S△AOC＝S△OAB－S△OBC是解决本题的关键． 5．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A点的横坐标为1，∠BAD＝45°，反比例函数y的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的面积是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，先根据反比例函数解析式求出A的坐标，设菱形的边长为a，易证∠BAD＝∠ABH＝45°，即AH＝BHa，则点B（1a，2a），再求出AH，最后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：作AH⊥BC交CB的延长线于H， ∵反比例函数y的图像经过A，B两点，A点的横坐标为1， ∴A（1，2）， 设菱形的边长为a， ∵ADBC， ∴∠BAD＝∠ABH＝45°， ∴AH＝BHa， ∴B（1a，2a）， ∴（1a）•（2a）＝2， ∴a1，a2＝0（舍去）， ∴AH1， ∴菱形ABCD的面积＝BC×AH． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数的性质和菱形的性质是解答本题的关键． 6．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【答案】B 【分析】分别求出喷雾阶段函数解析式为，喷雾结束后函数解析式为，再结合反比例函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， 此阶段函数解析式为； A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意； B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意； C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意； D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 7．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，智慧小组设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： 1号 2号 3号 4号 5号 x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一个数据记录错了，请你判断这组数据对应的是（    ） A．2号 B．3号 C．5号 D．4号 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； 先由表格数据求出与的函数关系，再找出其中错误的一组即可． 【详解】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系， ∴设，则， ∴， 当时，， ∴其中有一组数据记录错了的是4号， 故选：D． 8．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，设与y轴交于点F， 设点，则点， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 二、填空题 9．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若点在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把两个点的坐标分别代入解析式计算出、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．已知A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m的值_____． 【答案】2 【详解】试题分析：∵A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点，∴（﹣1）×m=2×（m﹣3），解得m=2．故答案为2． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 11．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某种蓄电池的电压（单位：V）为定值．使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是_____A． 【答案】3 【分析】先设出反比例函数关系式，求出定值电压，再代入的值计算电流即可． 【详解】解：设电流与电阻的反比例函数关系式为， 把，代入得 ， 因此反比例函数解析式为， 当时，． 12．如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点，的直线与曲线l相交于点C、D，则的面积为_______． 【答案】8 【分析】由题意得点，，可知，建立如图新的坐标系（为轴，为轴，利用方程组求出D、C的坐标，根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，建立新的坐标系（为轴，为轴）．   在新的坐标系中，， ∴直线解析式为， 过点B作轴于E， ∴， ∴， ∵将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l， ∴曲线l在中的解析式为， 联立， 解得或， ∴在中， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确建立先的坐标系是解题的关键． 13．如图，直线与双曲线的图象交于A点，点是该双曲线第一象限上的一点，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三线合一定理．将绕原点顺时针旋转到，作轴与，轴于，通过证得，求得B的坐标，，设直线与直线交于T，由三线合一定理可得T为的中点，则，据此求出直线的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解：将绕原点顺时针旋转到，作轴与，轴于， 由旋转的性质可得， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 联立，解得或， 点的坐标为． ，， ， 设直线与直线交于T， ∵， ∴T为的中点， ∴， 设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得或 ∵点在第一象限内， ， 故答案为：． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于点，，点在第一象限，过点作直线，分别交轴、双曲线于点、，且点为的中点，以为底边作等腰，连接，的面积为，则______． 【答案】6 【分析】设点坐标并利用中点公式表示点D，利用点D在双曲线上建立方程，表示出点D坐标，分析得出，运用坐标法表示出的面积，求出的值，进而得到k的值． 【详解】解：设点A的坐标为，因为点A在双曲线上，所以． 因为点A在第一象限，所以，． 点C在x轴上，设点C坐标为， 因为点D是线段的中点，根据中点坐标公式，点D的坐标为． 因为点D也在双曲线上，所以点D的横纵坐标之积等于k，即： ， 整理得：， 将代入上式，得： 解得：， 所以点C的坐标为，点D的坐标为． 由题意知，是以为底边的等腰三角形，所以， 反比例函数图象关于原点中心对称，直线也关于原点对称，所以点A和点B关于原点对称，即原点O是线段的中点，根据线段垂直平分线的性质，点E必在的垂 直平分线上，即直线， 又因为，所以． 因为，且O是的中点，根据平行线分线段成比例定理（或三角形中位线定理的推论），点E到直线的距离等于点O到直线的距离． 设点O到直线的距离为h，则的面积， 同时，的面积 所以，． 点A坐标为，点D坐标为， 利用坐标法计算的面积： 因为，且，所以， 解得， 因为，所以． 三、解答题 15．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点平移后的坐标为，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，顶点与原点重合，点， ∴， ∵点， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当点沿轴正半轴平移个单位长度后，得到的点坐标为， 将代入， 得， 解得． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：； （2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得； ∴反比例函数的解析式为：， 将点分别代入一次函数的解析式， 得， ， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E， 设， 由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：． ， ， 令，， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点C的坐标为或． 17．某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子. (1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、. ①求y关于x的函数表达式； ②当时，求x的取值范围； (2)小凯说篱笆的长可以为9.5m，洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）①，②；（2）小凯的说法错误，洋洋的说法正确． 【分析】(1)①根据矩形的面积公式计算即可，注意自变量的取值范围； ②构建不等式即可解决问题； (2)构建方程求解即可解决问题； 【详解】(1)①由题意xy=12， ②y⩾4时，，解得 所以． (2)当时，整理得：，方程无解． 当时，整理得，符合题意； ∴小凯的说法错误，洋洋的说法正确． 【点睛】本题考查反比例函数的应用.（1）①中需注意，因为墙的宽度为10m，所以y≤10，据此可求得自变量x的取值范围；②中求得x的取值要与①中取公共解集；（2）能根据根的判别式判断一元二次方程解的情况是解决此问的关键. 18．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)过点作轴，垂足为，连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用； （1）把的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把的坐标代入反比例函数的解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出，边上的高是，代入三角形的面积公式即可． 【详解】（1）解：∵点）在的图像上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∴ ∴ ∵点，在的图像上， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为：； （2）以为底，则边上的高为， ∴， 19．随着低空物流的发展，城市配送无人机广泛投入使用．某物流公司购买了一批同一型号的物流无人机，用于开展一项新型配送业务．物流公司收到订单后，用满电电能的无人机从仓库出发运送货物至指定地点，以下为该型号物流无人机的相关资料． 资料1 无人机的相关数据如图所示    资料2 已知在规定载重范围内，忽略空气阻力等干扰因素，无人机匀速飞行的速度（单位：）可以看作其载重（单位：）的一次函数，下表为此无人机载重情况与相应飞行速度的部分数据． 载重（单位：） 0 2 4 6 8 10 飞行速度（单位：） 72 69.84 67.68 65.52 63.36 61.2 资料3 已知无人机飞行时功率恒定，每公里消耗电能（单位：）与其飞行速度（单位：）成反比例，当飞行速度为时，每公里消耗电能为． 根据上述资料，回答下列问题： (1)根据资料3，每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为_______________； (2)根据资料1和2，飞行速度关于其载重的函数表达式为_______________，自变量m的取值范围是_______________； (3)该物流公司收到的一份订单，需要给距离仓库的某地配送重量为的货物，请结合以上资料，判断该无人机能否完成这份订单？（在电能耗尽前能送到指定地点即可完成订单，不考虑其它因素） 【答案】(1) (2)， (3)能完成订单 【分析】（1）设每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为，再结合当飞行速度为时，每公里消耗电能为，计算即可得出结果； （2）设飞行速度关于其载重的函数表达式为，利用待定系数法计算即可得出结果； （3）求出飞行的总耗电量，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：设每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为， ∵当飞行速度为时，每公里消耗电能为， ∴， ∴， ∴每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为； （2）解：设飞行速度关于其载重的函数表达式为， 将和代入函数表达式得， 解得， ∴飞行速度关于其载重的函数表达式为， 由资料1知最大载重为，且载重， ∴自变量m的取值范围是； （3）解：当时，， 将代入得， 飞行的总耗电量：， ∵最大电能为，且， ∴能完成订单． 20．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． (1)求的值； (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①连接，．若，求点的坐标： ②在的延长线上存在一点，使为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)12 (2)①；②或. 【分析】（1）根据题意，易得，进而求出点坐标，待定系数法进行求解即可； （2）①先求出点坐标，进而求出四边形的面积，得到的面积，求出直线的解析式，过点作，交轴于点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据平行面积转化以及三角形的面积公式进行求解即可；②分两种情况，构造一线三垂直全等模型，表示出点或点的坐标，代入解析式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵作轴，垂足为，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴当时，解得， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 设，过点作，交轴于点， 则直线的解析式为，， ∴当时，， ∴， ∴， 解得或（舍去）； ∴； ②当为等腰直角三角形时，分两种情况： 当时，则，过点作轴，作于点，作于点，如图，设， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴； 当时，则，过点作轴，作，作，如图， 同理可得， ∴， 设，则， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴， 综上：或. 21．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)或； (4)或或． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式，然后联立解方程即可； 根据列出方程，然后解方程即可； 根据点，的坐标，然后结合图象即可求解； 分为边及为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为，如图， 令时，， 解得， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的坐标为，， ∴由图象可知，不等式的解集是或； （4）解：设点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 为边，如图， 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 为对角线，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 反比例函数与一次函数、几何综合及实际应用题 （核心知识+7易错辨析+5典例精讲+课后作业） 【知识点01】反比例函数的图象与性质 图象：反比例函数的图象是双曲线，由两支组成。当 k > 0 时，两支分别位于第一、三象限；当 k < 0 时，两支分别位于第二、四象限。双曲线无限接近坐标轴，但永不相交。 增减性：① 当 k > 0 时，在每一支（每一象限）内，y 随 x 的增大而减小；② 当 k < 0 时，在每一支（每一象限）内，y 随 x 的增大而增大。 强调：增减性只能在“同一支内”比较，不能跨象限比较大小（两支的 y 值符号不同，且中间隔着断点）。 对称性：双曲线既是中心对称图形（关于原点对称），又是轴对称图形（关于直线 y = x 和 y = -x 对称）。 【知识点02】|k| 的几何意义（面积模型） 过双曲线 y =上任意一点 P(x, y) 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足为 A、B，则矩形 OAPB 的面积为 |xy| = |k|。常用结论： ① 矩形面积： ② 直角三角形面积： ③ 由面积反求 k 时，双曲线所在象限决定 k 的正负，一般有两解 k = ±S。 【知识点03】反比例函数与一次函数的综合 交点问题：联立 与 ，消去 y 得 ， 由判别式判断交点个数：Δ > 0 两个交点，Δ = 0 一个交点（相切），Δ < 0 无交点。 不等式解集：利用两图象的上下位置关系。求 或 的解集，先求交点横坐标，再结合两支所在象限与 x ≠ 0 分段讨论。 交点坐标常关于原点对称的情形：当反比例函数与经过原点的正比例函数（b = 0）相交，且两交点分别位于一支（第三、第一象限）时，交点关于原点对称。一般情形需联立求解。 【知识点04】反比例函数的实际应用 建模方法：若两个量 m、n 满足 mn = k（k 为定值），则它们成反比例关系，可设 。 常见模型：行程问题（速度 × 时间 = 路程）、工程问题（工效 × 时间 = 总量）、物理问题（压强 P = 、U = IR 等）、经济问题（单价 × 数量 = 总价）。 易被忽略：实际问题的自变量取值范围受实际意义限制（时间、面积、件数等须为正），确定解析式后还要限定定义域，并据此作出图象。 反比例函数是中考与教材考查的重点，以下易错点常导致失分，请对照辨析： 易错点 错误示例 正确辨析 1. 忽视 k ≠ 0 设 y = 时漏写 k ≠ 0 k = 0 时 y = 0 是常函数（x 轴），不是反比例函数，故 k ≠ 0 是定义的前提。 2. 误判函数类型 把 y = 、y = 误当反比例函数 反比例函数分母只能是 x；y = 不是反比例函数。y = 化简后为 y = k（x ≠ 0），是常函数。 3. 增减性跨象限误用 说“在整个定义域内 y 随 x 增大而减小” 增减性仅在“每一支内”成立。k > 0 时，第一象限与第三象限的点不能直接按增减比较，须先看符号。 4. |k| 面积漏取绝对值 由双曲线求矩形面积直接写成 k 矩形面积 = |k|，必为正；由面积反求 k 时有两解 k = ±S，须结合象限定号。 5. 双曲线与坐标轴相交 画图时双曲线“穿过”x 轴或 y 轴 双曲线两支无限接近坐标轴，但永不相交、不相切（x ≠ 0，y ≠ 0）。 6. 不等式解集漏情形 只按交点一侧判断 > ax+b 须结合两支所在象限，分 x > 0 与 x < 0 讨论，且 x ≠ 0。 7. 忽略自变量取值范围 实际应用列解析式后不限定 x > 0 实际量（时间、件数、面积等）必须为正，定义域缺失会导致图象与答案错误。 【题型一】反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例1】．（26-27九年级上·全国·单元测试）反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【变式1】．（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 【变式3】．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量x的取值范围是__________； (2)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)直接写出方程的根：__________； (4)当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 【题型二】反比例函数与几何综合 【典例2】．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【典例3】．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 【典例4】．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点在反比例函数（）的图象上，轴于点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在这个反比例函数图像上，连接并延长交轴于点，且，连接，求的面积． 【变式1】．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式2】．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． 【变式3】．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型三】与一次函数的综合（交点、不等式解集） 【典例5】．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，结合图象，关于的不等式的解集为______． 【典例6】．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知直线与双曲线都经过点，． (1)求m与a的值； (2)求直线的表达式； (3)直接写出不等式的解集为 ． 【典例7】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； 【变式1】．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 【变式2】．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集； 【变式3】．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出使成立的的取值范围为__________； (3)求的面积． 【变式4】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 【题型四】一次函数与反比例函数的实际应用 【典例8】．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【典例9】．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 【变式1】．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【变式2】．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，且，过点作轴于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标； (2)将沿轴向左平移，对应得，当反比例函数图象经过的中点时；求的面积 (3)在第二象限内点上方的双曲线上求一点，使得． 【变式3】．（24-25九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【题型五】实际应用题（函数模型） 【典例10】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）的关系如图所示． (1)首付款为______________，与的函数关系式为______________； (2)如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ 【典例11】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【典例12】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）综合与实践 【提出问题】密度计中蕴含哪些数学知识？ 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自身的重力，重力不变，浮力就不变． ，，， ， ． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例函数． 【解决问题】 (1)下列说法正确的是___________（填序号） ①增大，增加；②增大，减小； ③密度均匀增加时，深度的变化量相同； ④密度计刻度数值上小下大，刻度间距上疏下密． (2)综合与实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度（假设该密度计上下粗细均匀）．当该密度计竖直漂浮在酒精中时，露出酒精液面高度为；竖直漂浮在水中时，露出水面高度为；竖直漂浮在某盐溶液中时，露出液面的高度为，求①该盐溶液的密度；②该密度计可以测量的液体密度应大于多少？（参考数据：，） 【变式1】．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ 【变式2】．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式； (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【变式3】．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； (2)求药物燃烧时，关于的函数关系式； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） （一）知识框架 反比例函数概念（y = ，k ≠ 0，等价形式 xy = k）→ 图象与性质（双曲线、两支、象限、增减性、对称性）→ |k| 的几何意义（矩形、三角形面积）→ 与一次函数综合（交点、不等式解集）→ 实际应用（建模、定义域）。 （二）思想方法 ① 待定系数法求解析式；② 数形结合（图象位置与不等式、交点互相转化）；③ 分类讨论（k 正负、象限、两支增减）；④ 转化与建模（面积问题转化为 |k|，实际问题转化为函数模型）。 （三）解题通法 ① 求解析式：设 y =，代点得 k = xy；② 面积问题：优先联想 |k|，由面积反求 k 注意 ±；③ 与一次函数综合：联立求交点、分段讨论解不等式；④ 比较大小：先定象限符号，再在同一支内比增减。 （四）易错提醒 ① k ≠ 0 不可忘；② 增减性仅在每一支内成立；③ 矩形面积取 |k|，反求 k 有两解；④ 双曲线与坐标轴永不相交；⑤ 实际应用须限定自变量取值范围。 一、单选题 1．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．   C．  D．   2．反比例函数的图象上有两点、且，那么与之间的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 3．“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 4．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点，则的面积为（       ） A． B． C． D． 5．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A点的横坐标为1，∠BAD＝45°，反比例函数y的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的面积是（　　） A． B． C．2 D．4 6．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 7．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，智慧小组设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： 1号 2号 3号 4号 5号 x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一个数据记录错了，请你判断这组数据对应的是（    ） A．2号 B．3号 C．5号 D．4号 8．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若点在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 10．已知A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m的值_____． 11．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某种蓄电池的电压（单位：V）为定值．使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是_____A． 12．如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点，的直线与曲线l相交于点C、D，则的面积为_______． 13．如图，直线与双曲线的图象交于A点，点是该双曲线第一象限上的一点，且，则点的坐标为______． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于点，，点在第一象限，过点作直线，分别交轴、双曲线于点、，且点为的中点，以为底边作等腰，连接，的面积为，则______． 三、解答题 15．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 17．某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子. (1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、. ①求y关于x的函数表达式； ②当时，求x的取值范围； (2)小凯说篱笆的长可以为9.5m，洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？ 18．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)过点作轴，垂足为，连接，求的面积． 19．随着低空物流的发展，城市配送无人机广泛投入使用．某物流公司购买了一批同一型号的物流无人机，用于开展一项新型配送业务．物流公司收到订单后，用满电电能的无人机从仓库出发运送货物至指定地点，以下为该型号物流无人机的相关资料． 资料1 无人机的相关数据如图所示    资料2 已知在规定载重范围内，忽略空气阻力等干扰因素，无人机匀速飞行的速度（单位：）可以看作其载重（单位：）的一次函数，下表为此无人机载重情况与相应飞行速度的部分数据． 载重（单位：） 0 2 4 6 8 10 飞行速度（单位：） 72 69.84 67.68 65.52 63.36 61.2 资料3 已知无人机飞行时功率恒定，每公里消耗电能（单位：）与其飞行速度（单位：）成反比例，当飞行速度为时，每公里消耗电能为． 根据上述资料，回答下列问题： (1)根据资料3，每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为_______________； (2)根据资料1和2，飞行速度关于其载重的函数表达式为_______________，自变量m的取值范围是_______________； (3)该物流公司收到的一份订单，需要给距离仓库的某地配送重量为的货物，请结合以上资料，判断该无人机能否完成这份订单？（在电能耗尽前能送到指定地点即可完成订单，不考虑其它因素） 20．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． (1)求的值； (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①连接，．若，求点的坐标： ②在的延长线上存在一点，使为等腰直角三角形，求点的坐标． 21．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $