2026-2027学年人教版七年级数学上册期中专项训练

2026—2027 学年人教版七年级数学（上）期中专项训练 五大类型 · 22 个考点 · 举一反三（期中复习专用） —— 教　师　版（含答案 · 规范解答 · 规律总结） —— 适用范围：第一章 有理数、第二章 有理数的运算、第三章 代数式、第四章 整式的加减（含数轴动点压轴） 期中五大类型 22 个考点分布总览 题型 考点 考点名称 题型一 选择题 第 1—5 个 1.正数和负数的意义、2.有理数的分类与 0 的特殊性、3.数轴、相反数与绝对值、4.有理数的大小比较、5.科学记数法与近似数 题型二 填空题 第 6—11 个 6.非负数之和为 0、7.相反数、倒数、绝对值的综合求值、8.乘方的意义与符号、9.运算律及其逆用、10.代数式、单项式与多项式的概念、11.同类项与合并同类项 题型三 判断题 第 12—14 个 12.有理数概念辨析、13.运算法则与运算性质判断、14.整式与同类项概念判断 题型四 计算题 第 15—18 个 15.有理数的混合运算、16.简便运算、17.去括号与合并同类项、18.化简求值与整体代入 题型五 解答题 第 19—22 个 19.数轴与有理数的综合（数形结合）、20.有理数运算的实际应用（记录法）、21.探索规律与代数式表示、22.数轴上的动点问题（压轴题） 题型一 选择题 【题型点拨】解题技巧：选择题要"先判断、再排除"，凡遇"一定、任何、都"等绝对化字眼，先找反例。 考点 1　正数和负数的意义 【考点透视】正数和负数表示相反意义的量：先规定正方向（或"上升、收入、超出"为正），则与之相反的量用负数表示。0 既不是正数也不是负数，它是正、负数的分界点。 【典例 例 1】 如果收入 100 元记作 +100 元，那么支出 60 元记作（　） A．+60 元　　B．-60 元 C．+40 元　　D．-40 元 【答案】B 【规范解答】 收入与支出是具有相反意义的量，规定收入为正，则支出为负， 所以支出 60 元记作 -60 元。故选 B。 【举一反三】 变式 1-1　 若水位上升 2 m 记作 +2 m，则 -3 m 表示（　） A．水位下降 3 m　　B．水位上升 3 m C．水位下降 2 m　　D．水位不升不降 【答案】A 【规范解答】 -3 m 中的负号表示与"上升"相反，即下降，绝对值 3 表示 3 m， 所以 -3 m 表示水位下降 3 m。故选 A。 变式 1-2　 下列各数：-(-2)、-|-3|、(-2)²、-2²、0，其中负数的个数是（　） A．1 个　　B．2 个 C．3 个　　D．4 个 【答案】B 【规范解答】 -(-2) = 2，是正数； -|-3| = -3，是负数； (-2)² = 4，是正数； -2² = -4，是负数；0 既不是正数也不是负数。 所以负数有 2 个。故选 B。 【规律总结】判断一个数是不是负数，不能只看有没有"-"号，必须先化简到最简形式再看符号；-a 不一定是负数（a 可正、可负、可为 0）。 考点 2　有理数的分类与 0 的特殊性 【考点透视】整数和分数统称有理数；按正负可分成正有理数、0、负有理数。0 是整数、是偶数、既不是正数也不是负数，它是有理数中唯一的"中性"数，是分类题的高频考点。 【典例 例 2】 下列说法正确的是（　） A．整数和分数统称有理数　　B．正数和负数统称有理数 C．0 是最小的有理数　　D．有理数包括正整数、负整数、正分数、负分数 【答案】A 【规范解答】 A 符合有理数的分类定义，正确； B 漏掉了 0，错误； C 有理数没有最小的数，错误； D 漏掉了 0，错误。故选 A。 【举一反三】 变式 2-1　 在 -3.5、、-2、0、+4.5、-12% 中，属于负分数的是（　） A．-3.5、　　B．-3.5、-12% C．-2、-3.5　　D．0、-12% 【答案】B 【规范解答】 -3.5 与 -12%（即 -0.12）都是负的分数； -2 是负整数，不属于负分数；0 既不是正数也不是负数。故选 B。 变式 2-2　 下列说法：①0 是整数；②0 是偶数；③0 既不是正数也不是负数；④0 是最小的非负数。其中正确的个数是（　） A．1 个　　B．2 个 C．3 个　　D．4 个 【答案】D 【规范解答】 ①0 是整数，正确；②0 能被 2 整除，是偶数，正确； ③0 既不是正数也不是负数，正确；④非负数即正数和 0，0 最小，正确。 四个都正确。故选 D。 【规律总结】与 0 有关的说法要逐条核对：0 是整数、是偶数、是非负数中最小的，但没有倒数，绝对值等于自身，既不是正数也不是负数。 考点 3　数轴、相反数与绝对值 【考点透视】数轴是三要素（原点、正方向、单位长度）齐全的直线；数轴上原点两侧、到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数；一个数到原点的距离就是这个数的绝对值。 【典例 例 3】 -3 的相反数是（　） A．3　　B．-3 C． D．- 【答案】A 【规范解答】 只有符号不同的两个数互为相反数， -3 的相反数是 3。故选 A。 【举一反三】 变式 3-1　 |-5| 的值是（　） A．5　　B．-5 C． 　　D．- 【答案】A 【规范解答】 负数的绝对值是它的相反数， 所以 |-5| = 5。故选 A。 变式 3-2　 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 (a+b)+cd 的值是（　） A．0　　B．1 C．-1　　D．2 【答案】B 【规范解答】 由 a、b 互为相反数，得 a+b = 0； 由 c、d 互为倒数，得 cd = 1； 所以 (a+b)+cd = 0+1 = 1。故选 B。 【规律总结】遇到"互为相反数""互为倒数"要立刻翻译成 a+b = 0、cd = 1，再整体代入求值，这是选择题最快的解法。 考点 4　有理数的大小比较 【考点透视】数轴上右边的数总比左边的大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。比较含绝对值、乘方的数时，必须先去括号、先化简，再比较。 【典例 例 4】 下列大小关系正确的是（　） A．-3 > -2　　B．-|-2| = 2 C．-0.5 < - 　　D．|-4| < 3 【答案】C 【规范解答】 A：|-3| = 3 > |-2| = 2，两个负数绝对值大的反而小，所以 -3 < -2，错误； B：-|-2| = -2，错误； C：|-0.5| = 0.5 > |- | ≈ 0.33，所以 -0.5 < - ，正确； D：|-4| = 4 > 3，错误。故选 C。 【举一反三】 变式 4-1　 在 -2、0、 、- 这四个数中，最小的数是（　） A．-2　　B．0 C． 　　　D．- 【答案】A 【规范解答】 正数大于 0，0 大于负数，所以最小的数在 -2 与 - 中产生； 又 |-2| = 2 > |- | = ，两个负数绝对值大的反而小， 所以 -2 最小。故选 A。 变式 4-2　 若 a < 0，b > 0，且 |a| > |b|，则 a、b、-a、-b 用"<"连接为（　） A．a < -b < b < -a　　B．-b < a < b < -a C．a < b < -b < -a　　D．a < -b < -a < b 【答案】A 【规范解答】 由 a < 0 得 -a > 0，且 |-a| = |a|；由 b > 0 得 -b < 0，且 |-b| = |b|； 两个负数比较：a 与 -b，因为 |a| > |b| = |-b|，所以 a < -b； 两个正数比较：b 与 -a，因为 |b| < |a| = |-a|，所以 b < -a； 综上 a < -b < b < -a。故选 A。 【规律总结】比较含字母的数的大小，先在数轴上把 a、-a、b、-b 的位置标出来（取满足条件的特殊数验证，如 a = -3、b = 1），是又快又准的方法。 考点 5　科学记数法与近似数 【考点透视】科学记数法写成 a×10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是整数；对于大于 10 的数，n 等于原数的整数位数减 1。近似数精确到哪一位，就看四舍五入保留到原数的哪一位。 【典例 例 5】 湛江某水库的库容量约为 1 520 000 000 立方米，用科学记数法表示为（　） A．1.52×10⁹　　B．15.2×10⁸ C．1.52×10⁸　　D．0.152×10¹⁰ 【答案】A 【规范解答】 因为 1 ≤ 1.52 < 10， 且 1 520 000 000 共有 10 位整数，所以 n = 10-1 = 9， 所以 1 520 000 000 = 1.52×10⁹。故选 A。 【举一反三】 变式 5-1　 数据 6 960 000 用科学记数法表示为（　） A．6.96×10⁶　　B．0.696×10⁷ C．69.6×10⁵　　D．6.96×10⁷ 【答案】A 【规范解答】 6 960 000 是 7 位整数，所以 n = 7-1 = 6， 6 960 000 = 6.96×10⁶。故选 A。 变式 5-2　 用四舍五入法把 3.141 59 精确到千分位，所得近似数是（　） A．3.14　　B．3.142 C．3.141　　D．3.141 6 【答案】B 【规范解答】 千分位是小数点后第三位，需要看万分位上的数字 5， 万分位是 5，向前一位进 1，所以 3.141 59 ≈ 3.142。故选 B。 【规律总结】科学记数法两步定值：先定 a（把小数点移到第一个非 0 数字后面），再数小数点移动了几位定 n（左移 n 为正）。 题型二 填空题 【题型点拨】解题技巧：填空题只要结果，但结果必须"化简到底、多解不漏"，尤其含绝对值、字母的题要分类讨论。 考点 6　非负数之和为 0 【考点透视】绝对值、平方（偶次幂）都是非负数。若几个非负数的和为 0，则这几个非负数必须同时为 0，这是求字母取值的核心依据。 【典例 例 6】 若 |a-2|+(b+3)² = 0，则 a+b = ____。 【答案】-1 【规范解答】 因为 |a-2| ≥ 0，(b+3)² ≥ 0，且它们的和为 0， 所以 a-2 = 0 且 b+3 = 0， 解得 a = 2，b = -3， 所以 a+b = 2+(-3) = -1。 【举一反三】 变式 6-1　 若 |x+1|+(y-5)² = 0，则 x+y = ____。 【答案】4 【规范解答】 由非负数之和为 0，得 x+1 = 0 且 y-5 = 0， 解得 x = -1，y = 5， 所以 x+y = -1+5 = 4。 变式 6-2　 已知 (a-3)² 与 |b+1| 互为相反数，则 a+2b = ____。 【答案】1 【规范解答】 互为相反数的两个数和为 0，所以 (a-3)²+|b+1| = 0， 于是 a-3 = 0 且 b+1 = 0，解得 a = 3，b = -1， 所以 a+2b = 3+2×(-1) = 3-2 = 1。 【规律总结】凡是"|…|+(…)² = 0""…与…互为相反数且都非负"这类条件，一律翻译成"每个都等于 0"的方程组。 考点 7　相反数、倒数、绝对值的综合求值 【考点透视】互为相反数 ⇒ a+b = 0；互为倒数 ⇒ ab = cd = 1；|m| = 2 ⇒ m = ±2（两种情况不能漏）。最大负整数是 -1，最小正整数是 1，绝对值最小的数是 0。 【典例 例 7】 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，则 (a+b)÷3+cd-m = ____。 【答案】-1 或 3 【规范解答】 由题意得 a+b = 0，cd = 1，m = ±2。 当 m = 2 时，原式 = 0÷3+1-2 = 1-2 = -1； 当 m = -2 时，原式 = 0÷3+1-(-2) = 1+2 = 3。 所以原式的值为 -1 或 3。 【举一反三】 变式 7-1　 若 a、b 互为倒数，m、n 互为相反数，则 2026(m+n)-3ab = ____。 【答案】-3 【规范解答】 由 m、n 互为相反数，得 m+n = 0；由 a、b 互为倒数，得 ab = 1， 所以原式 = 2026×0-3×1 = 0-3 = -3。 变式 7-2　 已知 a 是绝对值最小的数，b 是最大的负整数，c 与 -2 互为相反数，则 a+b+c = ____。 【答案】1 【规范解答】 绝对值最小的数是 0，所以 a = 0；最大的负整数是 -1，所以 b = -1； -2 的相反数是 2，所以 c = 2， 所以 a+b+c = 0+(-1)+2 = 1。 【规律总结】看到"|m| = 2"必须写出 m = 2 和 m = -2 两种情况分别计算，漏解是本题型最主要的失分原因。 考点 8　乘方的意义与符号 【考点透视】(-a)ⁿ 与 -aⁿ 意义不同：(-3)² 表示 2 个 -3 相乘得 9，而 -3² 表示 3² 的相反数得 -9；底数是负数或分数时必须加括号。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 【典例 例 8】 计算：(-3)² = ____，-3² = ____，(-2)³ = ____。 【答案】9；-9；-8 【规范解答】 (-3)² = (-3)×(-3) = 9； -3² = -(3×3) = -9； (-2)³ = (-2)×(-2)×(-2) = -8。 【举一反三】 变式 8-1　 当 n 为自然数时，(-1)²ⁿ+(-1)²ⁿ⁺¹ = ____。 【答案】0 【规范解答】 2n 是偶数，所以 (-1)²ⁿ = 1； 2n+1 是奇数，所以 (-1)²ⁿ⁺¹ = -1， 所以原式 = 1+(-1) = 0。 变式 8-2　 已知 |a| = 4，b² = 9，且 a+b < 0，则 ab = ____。 【答案】-12 或 12 【规范解答】 由 |a| = 4 得 a = ±4；由 b² = 9 得 b = ±3。 因为 a+b < 0，所以 a = -4，b = 3 或 a = -4，b = -3。 当 a = -4，b = 3 时，ab = -12；当 a = -4，b = -3 时，ab = 12。 所以 ab = -12 或 12。 【规律总结】分类讨论时按"绝对值/平方定大小，条件符号定正负，最后组合"三步走，画一张候选表格就不会漏解。 考点 9　运算律及其逆用 【考点透视】加法交换律、结合律用于把"同号的、能凑整的、分母相同的"先结合；乘法分配律 a(b+c) = ab+ac 及它的逆用 ab+ac = a(b+c) 是有理数计算中最常用的变形。 【典例 例 9】 计算 (- +- )×(-12) 的结果是 ____。 【答案】4 【规范解答】 原式 = (- )×(-12)+()×(-12)-(- )×(-12)　（分配律） = 6+(-4)+2 = 4。 【举一反三】 变式 9-1　 用简便方法计算 0.25×(- )×(-4)×(- )，结果是 ____。 【答案】-1 【规范解答】 原式 = [0.25×(-4)]×[(- )×(- )]　（交换律、结合律） = (-1)×1 = -1。 变式 9-2　 计算 ( - + - )×(-12)，结果是 ____。 【答案】3 【规范解答】 原式 = ()×(-12)+(- )×(-12)+()×(-12)+(-)×(-12) = -6+8+(-9)+10 = 3。 【规律总结】看到括号里是分数、括号外是各分母的公倍数，就想到分配律，可以一次去掉分母，比先通分快得多。 考点 10　代数式、单项式与多项式的概念 【考点透视】单项式的系数包括前面的符号，次数是所有字母指数的和；多项式的每一项都包含它前面的符号，多项式的次数是次数最高的项的次数。单独一个数或一个字母也是单项式。 【典例 例 10】 单项式 -()x²y 的系数是 ____，次数是 ____。 【答案】- ；3 【规范解答】 单项式的系数是数字因数（含符号），所以系数是 -2/3； 所有字母的指数和为 2+1 = 3，所以次数是 3。 【举一反三】 变式 10-1　 多项式 2x³-x²y²-3y+1 是 ____ 次 ____ 项式。 【答案】四；四 【规范解答】 各项的次数分别为：2x³ 是 3 次，-x²y² 是 2+2 = 4 次，-3y 是 1 次，1 是 0 次， 最高次数为 4，共有 4 项， 所以它是四次四项式。 变式 10-2　 一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，把它的十位与个位数字对调后得到的新两位数与原两位数的差是 ____。 【答案】9(b-a) 【规范解答】 原两位数可表示为 10a+b，对调后的新两位数为 10b+a， 新数 - 原数 = (10b+a)-(10a+b) = 10b+a-10a-b = 9b-9a = 9(b-a)。 【规律总结】多位数的表示必须用"数位×数字再相加"，如三位数 = 100c+10b+a，切勿写成 abc 或 cab。 考点 11　同类项与合并同类项 【考点透视】同类项两要素：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同；与系数无关、与字母顺序无关。合并同类项时只把系数相加，字母和字母的指数不变。 【典例 例 11】 若 3x²yᵐ 与 -xⁿy³ 是同类项，则 m+n = ____。 【答案】5 【规范解答】 因为 3x²yᵐ 与 -xⁿy³ 是同类项， 所以 x 的指数相同：n = 2；y 的指数相同：m = 3， 所以 m+n = 3+2 = 5。 【举一反三】 变式 11-1　 化简 3a²b-2ab²-4a²b+ab² 的结果是 ____。 【答案】-a²b-ab² 【规范解答】 原式 = (3a²b-4a²b)+(-2ab²+ab²)　（合并同类项） = (3-4)a²b+(-2+1)ab² = -a²b-ab²。 变式 11-2　 若单项式 -2x²yⁿ 与 3xᵐy⁴ 是同类项，则 mⁿ = ____。 【答案】16 【规范解答】 由同类项定义，相同字母的指数相同： x 的指数：m = 2；y 的指数：n = 4， 所以 mⁿ = 2⁴ = 16。 【规律总结】判断同类项口诀"字母同、指数同，系数顺序都不管"；-yx² 与 x²y 也是同类项。 题型三 判断题（对的打"√"，错的打"×"并改正） 【题型点拨】解题技巧：判断题找反例——只要举出一个反例就能判错；判对后要能说出依据的定义或法则。 考点 12　有理数概念辨析 【考点透视】有理数的分类有两种标准（按定义分、按正负分），两种分法都"不重不漏"。凡带"一定、凡是、都是"的判断，优先考虑 0、负数、分数这些特殊对象。 【典例 例 12】 ①整数和分数统称有理数。。（　　） 　　【答案】√　这是有理数按定义分类的正确表述。 ②一个有理数不是整数就是分数。。（　　） 　　【答案】√　整数和分数统称有理数，所以任何一个有理数必属于二者之一。 ③非负数就是正数。。（　　） 　　【答案】×　改正：非负数包括正数和 0，0 也是非负数。 ④0 是最小的有理数。。（　　） 　　【答案】×　改正：有理数没有最小的数，0 只是最小的非负数（也是最小的自然数）。 【举一反三】 变式 12-1　 ①带负号的数一定是负数。。（　　） 　　【答案】×　改正：如 -(-3) = 3 带负号却是正数，必须化简后再判断符号。 ②正数包括正整数、正分数和 0。。（　　） 　　【答案】×　改正：0 既不是正数也不是负数，正数只包括正整数和正分数。 ③整数不一定是自然数。。（　　） 　　【答案】√　负整数是整数但不是自然数，正确。 ④0 没有倒数。。（　　） 　　【答案】√　因为任何数与 0 相乘都得 0，不可能得 1，所以 0 没有倒数。 变式 12-2　 ①绝对值等于它本身的数只有 0。。（　　） 　　【答案】×　改正：正数和 0 的绝对值都等于它本身，即所有非负数。 ②数轴上原点两侧且到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。。（　　） 　　【答案】√　符合相反数的几何意义，正确。 ③任何有理数都有相反数。。（　　） 　　【答案】√　a 的相反数是 -a，任何有理数都有相反数，0 的相反数是 0。 ④两个数比较大小，绝对值大的那个数就大。。（　　） 　　【答案】×　改正：只有两个正数才是绝对值大的数大；两个负数是绝对值大的反而小。 【规律总结】本题型失分集中在 0 上：0 是整数、是偶数、是非负数、没有倒数、绝对值是自身。把 0 的性质记牢，判断题可以少错一半。 考点 13　运算法则与运算性质判断 【考点透视】有理数运算的判断要紧扣法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数；几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。 【典例 例 13】 ①任何有理数的绝对值都是正数。。（　　） 　　【答案】×　改正：0 的绝对值是 0，任何有理数的绝对值都是非负数。 ②负数的偶次幂是正数。。（　　） 　　【答案】√　负因数有偶数个时积为正，正确。 ③两个有理数相加，和一定大于每一个加数。。（　　） 　　【答案】×　改正：如 (-3)+(-2) = -5，和比每个加数都小；一个数加 0 时和等于原数。 ④减去一个数，等于加上这个数的相反数。。（　　） 　　【答案】√　这是有理数减法法则，正确。 【举一反三】 变式 13-1　 ①两个负数相乘，积一定是正数。。（　　） 　　【答案】√　同号得正，正确。 ②若 ab = 0，则 a、b 都为 0。。（　　） 　　【答案】×　改正：ab = 0 只能推出 a、b 中至少有一个为 0。 ③若 |a| = |b|，则 a = b。。（　　） 　　【答案】×　改正：|a| = |b| 时 a = b 或 a = -b，如 |3| = |-3| 但 3 ≠ -3。 ④任何有理数的平方都是非负数。。（　　） 　　【答案】√　正数、负数的平方为正，0 的平方为 0，正确。 变式 13-2　 ①几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定。。（　　） 　　【答案】√　负因数奇数个积为负，偶数个积为正，正确（因数均不为 0 时）。 ②若 a² = b²，则 a = b。。（　　） 　　【答案】×　改正：a² = b² 时 a = b 或 a = -b。 ③若 a > b，则 |a| > |b|。。（　　） 　　【答案】×　改正：如 a = 1，b = -5 时 1 > -5，但 |1| < |-5|。 ④除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。。（　　） 　　【答案】√　这是有理数除法法则，正确。 【规律总结】a² = b² 得 a = ±b；|a| = |b| 得 a = ±b；这两个"多解结论"在判断和填空中反复出现，必须记成条件反射。 考点 14　整式与同类项概念判断 【考点透视】整式包括单项式和多项式；单项式的系数包含符号，单独一个数（如 5、-2³）也是单项式；同类项与系数、字母排列顺序均无关。 【典例 例 14】 ①单项式 a 的系数是 1，次数是 1。。（　　） 　　【答案】√　a = 1·a，系数与次数都是 1，正确。 ②多项式 x²+2x+1 的项包括 x²、2x、1。。（　　） 　　【答案】√　多项式的每一项都含它前面的符号，此处各项符号均为正，正确。 ③3a 与 3ab 是同类项。。（　　） 　　【答案】×　改正：两者所含字母不同（后者多一个 b），不是同类项。 ④整式包括单项式和多项式。。（　　） 　　【答案】√　这是整式的分类，正确。 【举一反三】 变式 14-1　 ①-2xy² 的次数是 2。。（　　） 　　【答案】×　改正：次数是所有字母指数的和，1+2 = 3，所以次数是 3。 ②5 不是单项式。。（　　） 　　【答案】×　改正：单独一个数或一个字母也是单项式，5 是单项式，次数为 0。 ③x+y 是多项式。。（　　） 　　【答案】√　几个单项式的和叫多项式，x+y 是二项式，正确。 ④-x 的系数是 -1，次数是 1。。（　　） 　　【答案】√　-x = -1·x，系数含符号为 -1，次数为 1，正确。 变式 14-2　 ①2x²y 与 -yx² 是同类项。。（　　） 　　【答案】√　同类项与字母顺序无关，两式字母相同且对应指数相同，正确。 ②3a+2b 可以合并为 5ab。。（　　） 　　【答案】×　改正：3a 与 2b 不是同类项，不能合并；且 3a+2b 也不等于 5ab。 ③单项式的系数可以是分数。。（　　） 　　【答案】√　如 -(2/3)x²y 的系数就是 -2/3，正确。 ④多项式 -x²+2 是二次三项式。。（　　） 　　【答案】×　改正：它只有 -x² 与 2 两项，是二次二项式。 【规律总结】数多项式的项数时要连常数项一起数，注意"没有某项"不等于"有 0 项"；次数只看字母指数之和，与系数无关。 题型四 计算题 【题型点拨】解题技巧：计算题按课本格式书写，"解：原式 = … = …"每步一行、等号对齐；先定符号、再算绝对值，乘方→乘除→加减，有括号先算括号内。 考点 15　有理数的混合运算 【考点透视】运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算小括号、再中括号。化简 -1⁴ 与 (-1)⁴、-2² 与 (-2)² 是混合运算第一步的失分点。 【典例 例 15】 (1) 计算：-2²+5×(-3)-(-4)÷ 【规范解答】 解：原式 = -4+(-15)-(-8) 　　　= -4-15+8 　　　= -11。 (2) 计算：(-36)×(- + ) 【规范解答】 解：原式 = (-36)×+(-36)×(- )+(-36)×　（分配律） 　　　= -18+30+(-21) 　　　= -9。 (3) 计算：-1²-(1-0.5)××[2-(-3)²] 【规范解答】 解：原式 = -1- ××(2-9) 　　　= -1- ×(-7) 　　　= -1+ 　　　= 。 【举一反三】 变式 15-1　 (1) 计算：(-2)³× -|-3|÷3 【规范解答】 解：原式 = -8× -3÷3 　　　= -2-1 　　　= -3。 (2) 计算：( + - )×(-12)+(-2)² 【规范解答】 解：原式 = [×(-12)+×(-12)+(-)×(-12)]+4 　　　= (-6)+(-4)+9+4 　　　= 3。 【易错提醒】提醒：(-2)² = 4 而 -2² = -4，括号决定底数。 变式 15-2　 (1) 计算：-|-2|+(-2)²×3-(-1)²⁰²⁶ 【规范解答】 解：原式 = -2+4×3-1 　　　= -2+12-1 　　　= 9。 (2) 计算：-1⁴×[4-(-3)²]÷(- ) 【规范解答】 解：原式 = -1×(4-9)÷(- ) 　　　= -1×(-5)÷(- ) 　　　= 5×(-2) 　　　= -10。 【易错提醒】提醒：-1⁴ = -1，(-1)²⁰²⁶ = 1（指数为偶数）。 【规律总结】三步检查法：第一步只看符号与乘方，第二步统一把减法变加法、除法变乘法，第三步再用运算律凑整计算。 考点 16　简便运算 【考点透视】简便运算四种常见套路：① 互为相反数先抵消；② 同分母（或能凑整）先结合；③ 括号外是分母公倍数时用分配律；④ 提取相同的因数用分配律的逆用。 【典例 例 16】 (1) 用简便方法计算：(-15.7)+(-5.6)+15.7+(-2.4) 【规范解答】 解：原式 = [(-15.7)+15.7]+[(-5.6)+(-2.4)]　（交换律、结合律） 　　　= 0+(-8) 　　　= -8。 (2) 用简便方法计算：(-99)×5 【规范解答】 解：原式 = ( -100)×5　 　　　= ×5-100×5　（分配律） 　　　= -500 　　　= -499.9。 【举一反三】 变式 16-1　 (1) 用简便方法计算：(-24)×( - +) 【规范解答】 解：原式 = (-24)× +(-24)×(- )+(-24)× 　　　= -14+18+(-20) 　　　= -16。 (2) 用简便方法计算：(-8)×(-1.25)×(-0.125)×5 【规范解答】 解：原式 = [(-8)×(-0.125)]×[(-1.25)×5]　（交换律、结合律） 　　　= 1×(-6.25) 　　　= -6.25。 【易错提醒】提醒：先确定积的符号（负因数 2 个，积为正后还要看剩余），再算绝对值。 变式 16-2　 (1) 用简便方法计算：(-3.14)×16+(-3.14)×(-13)+(-3.14)×(-3) 【规范解答】 解：原式 = (-3.14)×[16+(-13)+(-3)]　（分配律的逆用） 　　　= (-3.14)×0 　　　= 0。 (2) 用简便方法计算：5×(-)+(-5)× -5×(- ) 【规范解答】 解：原式 = 5×(-)+5×(-)+5× 　　　= 5×[(-)+(-)+]　（分配律的逆用） 　　　= 5×(- ) 　　　= - 。 【易错提醒】提醒：逆用分配律前必须先把每一项都统一成"同一个因数×另一个数"的形式。 【规律总结】带分数乘整数时，把带分数拆成"整数部分+分数部分"或"凑整-差"的形式，能避免通分大数计算。 考点 17　去括号与合并同类项 【考点透视】去括号法则：括号前是"+"号，去掉括号后各项都不变号；括号前是"-"号，去掉括号后各项都要变号。去括号后先找同类项，再合并。 【典例 例 17】 (1) 化简：3(2x-y)-2(4x-3y) 【规范解答】 解：原式 = 6x-3y-8x+6y 　　　= (6x-8x)+(-3y+6y) 　　　= -2x+3y。 (2) 化简：2(a²b-ab)-3(a²b-2ab)+a²b 【规范解答】 解：原式 = 2a²b-2ab-3a²b+6ab+a²b 　　　= (2-3+1)a²b+(-2+6)ab 　　　= 4ab。 【举一反三】 变式 17-1　 (1) 化简：5x²-[3x-2(x²-2x)+4] 【规范解答】 解：原式 = 5x²-[3x-2x²+4x+4] 　　　= 5x²-3x+2x²-4x-4 　　　= (5x²+2x²)+(-3x-4x)-4 　　　= 7x²-7x-4。 (2) 化简：-(a²-ab)+2(ab-b²)+2a² 【规范解答】 解：原式 = -a²+ab+2ab-2b²+2a² 　　　= (-1+2)a²+(1+2)ab-2b² 　　　= a²+3ab-2b²。 【易错提醒】提醒：中括号前是"-"号，去掉中括号时括号内每一项都要变号。 变式 17-2　 (1) 化简：3x²-[5x-(2x-3)-2x²] 【规范解答】 解：原式 = 3x²-[5x-2x+3-2x²] 　　　= 3x²-5x+2x-3+2x² 　　　= (3x²+2x²)+(-5x+2x)-3 　　　= 5x²-3x-3。 (2) 化简：2(mn-3m²)-3(2mn+4m²) 【规范解答】 解：原式 = 2mn-6m²-6mn-12m² 　　　= (2-6)mn+(-6-12)m² 　　　= -4mn-18m²。 【易错提醒】提醒：-5x+2x = -3x，系数相加减时符号要一起带上。 【规律总结】去括号顺序"先小括号、再中括号、后大括号"，每去一层就立即合并一层，能有效减少符号错误。 考点 18　化简求值与整体代入 【考点透视】化简求值必须先化简、再代入，直接代入是大忌；当已知条件无法解出字母的值时，要把含字母的式子看成一个整体（如 a²-2a）整体代入。 【典例 例 18】 (1) 先化简，再求值：2(x²-3xy)-3(x²-2xy+y²)，其中 x = -2，y = 1 【规范解答】 解：原式 = 2x²-6xy-3x²+6xy-3y² 　　　= -x²-3y²。 当 x = -2，y = 1 时， 原式 = -(-2)²-3×1² = -4-3 = -7。 (2) 已知 a²-2a = 3，求代数式 3a²-6a+5 的值 【规范解答】 解：因为 3a²-6a+5 = 3(a²-2a)+5， 又 a²-2a = 3， 所以原式 = 3×3+5 = 9+5 = 14。 【举一反三】 变式 18-1　 (1) 先化简，再求值：(5a²b-2ab²)-2(2a²b-ab²)，其中 a = -1，b = 2 【规范解答】 解：原式 = 5a²b-2ab²-4a²b+2ab² 　　　= a²b。 当 a = -1，b = 2 时， 原式 = (-1)²×2 = 1×2 = 2。 (2) 已知 2x-y = 3，求代数式 4x-2y+7 的值 【规范解答】 解：因为 4x-2y+7 = 2(2x-y)+7， 又 2x-y = 3， 所以原式 = 2×3+7 = 6+7 = 13。 【易错提醒】提醒：代入负数时必须加括号再乘方，如 -(-2)² = -4。 变式 18-2　 (1) 先化简，再求值：-3(x-2y)+2(3y-2x)，其中 x = -2，y = 【规范解答】 解：原式 = -3x+6y+6y-4x 　　　= -7x+12y。 当 x = -2，y = 时， 原式 = -7×(-2)+12× = 14+6 = 20。 (2) 若代数式 (mx²+2x-1)-2(x²-nx+3) 的值与 x 的取值无关，求 m、n 的值 【规范解答】 解：原式 = mx²+2x-1-2x²+2nx-6 　　　= (m-2)x²+(2+2n)x-7。 因为代数式的值与 x 的取值无关， 所以二次项与一次项的系数都为 0，即 m-2 = 0 且 2+2n = 0， 解得 m = 2，n = -1。 【易错提醒】提醒："与 x 的取值无关"就是含 x 的项的系数全部为 0，这是化简求值最常见的反向题型。 【规律总结】整体代入的关键是"凑"：把待求式通过提公因数变形，使括号内正好是已知条件，再整体替换。 题型五 解答题（本题型要求在数轴、图形与实际问题中综合运用，须写出完整的推理与作答过程） 【题型点拨】解题技巧：解答题按"解：…答："格式书写，数轴与动点题必须先设字母、再列式，并对方程的解检验取舍。 考点 19　数轴与有理数的综合（数形结合） 【考点透视】数轴上两点间的距离 = 两数之差的绝对值（右边的数减左边的数）；线段 AB 的中点表示的数 = (a+b)/2。点到原点距离相等的问题要分"同侧、异侧"讨论。 【典例】如图，数轴上点 A、B 表示的数分别为 -4 和 2。 (1) 求 A、B 两点间的距离 【规范解答】 解：因为点 A、B 表示的数分别为 -4 和 2， 所以 AB = |2-(-4)| = |2+4| = 6， 即 A、B 两点间的距离为 6。 (2) 求线段 AB 的中点表示的数 【规范解答】 设中点表示的数为 x，则 x = (-4+2)÷2 = -2÷2 = -1， 所以线段 AB 的中点表示的数是 -1。 (3) 若点 P 到 A、B 两点的距离之和为 8，求点 P 表示的数 【规范解答】 设点 P 表示的数为 p，则 PA+PB = |p-(-4)|+|p-2| = |p+4|+|p-2| = 8。 因为 AB = 6 < 8，所以点 P 在 A 的左侧或 B 的右侧。 当点 P 在 A 的左侧（p < -4）时，(-4-p)+(2-p) = 8，即 -2-2p = 8，解得 p = -5； 当点 P 在 B 的右侧（p > 2）时，(p+4)+(p-2) = 8，即 2p+2 = 8，解得 p = 3。 答：点 P 表示的数为 -5 或 3。 【举一反三】 变式 19-1　 (1) 数轴上点 M 表示 -7，点 N 表示 3，求 MN 的长和线段 MN 的中点表示的数 【规范解答】 解：MN = |3-(-7)| = |3+7| = 10； 中点表示的数为 (-7+3)÷2 = -4÷2 = -2。 答：MN 的长为 10，线段 MN 的中点表示的数是 -2。 (2) 数轴上到原点的距离为 3 的点表示的数是多少？到点 -2 的距离为 5 的点呢？ 【规范解答】 到原点的距离为 3 的点有两个，表示的数为 3 和 -3； 到点 -2 的距离为 5 的点也有两个：-2+5 = 3 或 -2-5 = -7， 所以表示的数为 3 或 -7。 【易错提醒】提醒：距离类问题一般都有两个答案，只写一个就丢分。 变式 19-2　 已知数轴上点 A 表示的数比点 B 表示的数小 9，点 B 表示的数是 -3，求点 A 表示的数及 AB 的中点表示的数 【规范解答】 解：点 A 表示的数为 -3-9 = -12； AB 的中点表示的数为 (-12-3)÷2 = -15÷2 = -7.5。 答：点 A 表示的数是 -12，AB 的中点表示的数是 -7.5。 在数轴上，与表示 -1 的点距离等于 4 的点表示的数是多少？ 【规范解答】 设该点表示的数为 x，则 |x-(-1)| = 4，即 |x+1| = 4， 所以 x+1 = 4 或 x+1 = -4， 解得 x = 3 或 x = -5。 【易错提醒】提醒：|x+1| = 4 必须拆成两个方程，这是数轴与绝对值结合的基本功。 【规律总结】数轴题的通法：把"距离"翻译成绝对值、把"中点"翻译成两数平均数，再按点在左、在右分类去绝对值。 考点 20　有理数运算的实际应用（记录法） 【考点透视】用"正、负数记录偏差"处理实际数据：先求各记录值的和，再加上标准量×个数得到总量；"最重与最轻相差多少"直接用最大记录值减最小记录值，不必换算成实际质量。 【典例】商店运来 8 袋大米，以每袋 50 kg 为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：+0.5、-0.3、+0.8、-0.4、+0.2、-0.6、+0.7、-0.1。 (1) 最重的一袋比最轻的一袋重多少千克 【规范解答】 解：记录值中最大的是 +0.8，最小的是 -0.6， 0.8-(-0.6) = 0.8+0.6 = 1.4（kg）。 答：最重的一袋比最轻的一袋重 1.4 kg。 (2) 这 8 袋大米一共重多少千克 【规范解答】 解：(+0.5)+(-0.3)+(+0.8)+(-0.4)+(+0.2)+(-0.6)+(+0.7)+(-0.1) = (0.5+0.8+0.2+0.7)+(-0.3-0.4-0.6-0.1) = 2.2+(-1.4) = 0.8（kg）。 8 袋的总质量为 50×8+0.8 = 400+0.8 = 400.8（kg）。 答：这 8 袋大米一共重 400.8 kg。 (3) 若每千克售价 6.5 元，这 8 袋大米共可卖多少元？ 【规范解答】 解：400.8×6.5 = 2605.2（元）。 答：这 8 袋大米共可卖 2605.2 元。 【举一反三】 变式 20-1　某水库上周日的水位是 32.0 m，本周内每天的水位变化记录如下（上升为正，单位：m）：周一 +0.3，周二 -0.25，周三 +0.15，周四 -0.2，周五 +0.35，周六 -0.1，周日 -0.05。 (1) 本周日与上周日相比，水位变化了多少米 【规范解答】 解：(+0.3)+(-0.25)+(+0.15)+(-0.2)+(+0.35)+(-0.1)+(-0.05) = (0.3+0.15+0.35)+(-0.25-0.2-0.1-0.05) = 0.8+(-0.6) = +0.2（m）。 答：本周日水位比上周日上升了 0.2 m。 (2) 本周哪一天的水位最高？最高水位是多少米？最高与最低相差多少米？ 【规范解答】 每天的实际水位依次为： 周一 32.0+0.3 = 32.30，周二 32.30-0.25 = 32.05，周三 32.05+0.15 = 32.20， 周四 32.20-0.2 = 32.00，周五 32.00+0.35 = 32.35，周六 32.35-0.1 = 32.25，周日 32.25-0.05 = 32.20。 所以周五的水位最高，是 32.35 m；周四的水位最低，是 32.00 m， 最高与最低相差 32.35-32.00 = 0.35（m）。 答：周五水位最高，为 32.35 m；最高与最低相差 0.35 m。 【易错提醒】提醒：水位、气温这类"逐日变化"题，求哪天最高必须逐日累加出实际值，不能只看记录值的大小。 变式 20-2　一位出租车司机某天下午在东西方向的公路上营运，如果规定向东为正，向西为负，行车里程记录如下（单位：km）：+8、-5、+3、-7、+6、-2、+9。 (1) 将最后一名乘客送到目的地时，司机在出发地的哪一边？距出发地多远 【规范解答】 解：(+8)+(-5)+(+3)+(-7)+(+6)+(-2)+(+9) = (8+3+6+9)+(-5-7-2) = 26+(-14) = +12（km）。 答：司机在出发地的东边，距出发地 12 km。 (2) 若该车每千米耗油 0.1 L，这个下午共耗油多少升 【规范解答】 解：行车总路程为 |+8|+|-5|+|+3|+|-7|+|+6|+|-2|+|+9| = 8+5+3+7+6+2+9 = 40（km）， 耗油量为 40×0.1 = 4（L）。 答：这个下午共耗油 4 L。 【易错提醒】提醒：求"位置"用有理数相加，求"路程、耗油"用绝对值相加，两者绝不能混用。 【规律总结】记录法三步：① 记录值求和定"总偏差"；② 总量 = 标准量×个数 + 总偏差；③ 涉及"一共跑多少、耗油多少"一律取绝对值再相加。 考点 21　探索规律与代数式表示 【考点透视】找规律先列出前几项的具体数值，再观察"每次增加多少"：若每次增加 d，则第 n 个式子形如 dn+a；能用"首项+公差×(n-1)"验证。求和规律要会首尾配对。 【典例】用火柴棒搭如图的正方形（每个新正方形与前一个共用一条边）：搭 1 个正方形需 4 根，搭 2 个需 7 根，搭 3 个需 10 根。 (1) 填写下表并写出搭 n 个正方形所需火柴棒的根数 【规范解答】 搭 1 个需 4 根，搭 2 个需 7 根，搭 3 个需 10 根， 每多搭 1 个正方形就多用 3 根火柴棒， 所以搭 n 个正方形需要 4+3(n-1) = (3n+1) 根火柴棒。 (2) 求搭 20 个这样的正方形所需的火柴棒根数 【规范解答】 解：当 n = 20 时，3n+1 = 3×20+1 = 60+1 = 61（根）。 答：搭 20 个这样的正方形需要 61 根火柴棒。 【举一反三】 变式 21-1　一张长方形桌子可坐 6 人（两条长边各坐 2 人，两端各坐 1 人）；按同样的方式把桌子拼成一排，每多拼一张桌子可多坐 4 人。 (1) 写出 n 张桌子拼在一起可坐的人数 【规范解答】 1 张坐 6 人，2 张坐 10 人，3 张坐 14 人， 每多拼 1 张桌子多坐 4 人， 所以 n 张桌子可坐 6+4(n-1) = (4n+2) 人。 (2) 某餐厅需坐 42 人，需要多少张这样的桌子 【规范解答】 解：由题意得 4n+2 = 42， 4n = 40， 解得 n = 10。 答：需要 10 张这样的桌子。 【易错提醒】提醒：验证规律时把 n = 1 代回去，结果应是 6，若不对说明规律式写错。 变式 21-2　从 1 开始的连续奇数相加：1 = 1²，1+3 = 4 = 2²，1+3+5 = 9 = 3²，…… (1) 写出 1+3+5+…+(2n-1) 的结果 【规范解答】 观察：加数的个数是 n 个，和等于 n²， 所以 1+3+5+…+(2n-1) = n²。 (2) 利用上述规律计算 1+3+5+…+99 【规范解答】 解：由 2n-1 = 99，得 n = 50，即共有 50 个连续奇数相加， 所以 1+3+5+…+99 = 50² = 2500。 【易错提醒】提醒：先确定"共有多少项"，再套规律，项数错则全错。 【规律总结】规律题作答时要写出"第 n 个"的代数式并代 n = 1、2、3 验证，这一步在教师版评分中占分。 考点 22　数轴上的动点问题（压轴题） 【考点透视】动点问题三步走：① 用含 t 的式子表示每个动点表示的数（起点+速度×时间，方向决定符号）；② 把题目条件翻译成方程（相遇、追及、距离相等、中点）；③ 检验 t 是否合理（t ≥ 0）。 【典例】如图，数轴上点 A、B 表示的数分别为 -8 和 4。点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向右运动。设运动时间为 t 秒（t > 0）。 (1) 用含 t 的式子分别表示运动开始后点 P、点 Q 表示的数 【规范解答】 解：点 P 从 -8 出发向右运动，速度为每秒 2 个单位长度， 所以点 P 表示的数为 -8+2t； 点 Q 从 4 出发向右运动，速度为每秒 1 个单位长度， 所以点 Q 表示的数为 4+t。 (2) 点 P 何时追上点 Q？此时它们表示的数是多少 【规范解答】 点 P 追上点 Q 时，两点表示的数相同， 所以 -8+2t = 4+t， 移项得 2t-t = 4+8， 解得 t = 12。 此时它们表示的数为 4+12 = 16。 答：运动 12 秒时点 P 追上点 Q，此时两点表示的数都是 16。 (3) 当 t 为何值时，点 P、点 Q 到原点 O 的距离相等 【规范解答】 由题意得 OP = OQ，即 |-8+2t| = |4+t|。 因为 t ≥ 0 时 4+t > 0，分两种情况： ① 当 -8+2t = 4+t 时，解得 t = 12（此时两点重合，到原点距离相等）； ② 当 -8+2t = -(4+t) 时，即 -8+2t = -4-t，3t = 4，解得 t = 4/3。 答：当 t = 12 或 t = 4/3 时，点 P、点 Q 到原点的距离相等。 【举一反三】 变式 22-1　数轴上点 A、B 表示的数分别为 -2 和 8。点 P 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度向右运动，同时点 Q 从点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度向左运动，设运动时间为 t 秒。 (1) 用含 t 的式子表示点 P、点 Q 表示的数 【规范解答】 解：点 P 表示的数为 -2+t，点 Q 表示的数为 8-2t。 (2) 当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离为 5 【规范解答】 PQ = |(8-2t)-(-2+t)| = |10-3t| = 5， ① 当 10-3t = 5 时，3t = 5，解得 t = 5/3； ② 当 10-3t = -5 时，3t = 15，解得 t = 5。 答：当 t = 5/3 秒或 t = 5 秒时，P、Q 两点间的距离为 5。 【易错提醒】提醒：|10-3t| = 5 对应相遇前、相遇后两种情况，两个解都要保留。 变式 22-2　数轴上点 A、B 表示的数分别为 -10 和 5。点 P 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度向右运动，同时点 Q 从点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度向左运动，设运动时间为 t 秒。 (1) 用含 t 的式子表示点 P、点 Q 表示的数 【规范解答】 解：点 P 表示的数为 -10+3t，点 Q 表示的数为 5-2t。 (2) 当 t 为何值时，线段 PQ 的中点恰好是原点 O 【规范解答】 线段 PQ 的中点表示的数为 [(-10+3t)+(5-2t)]/2 = (t-5)/2， 要使中点恰好是原点，须 (t-5)/2 = 0， 解得 t = 5。 （检验：t = 5 时点 P 表示 5，点 Q 表示 -5，两点关于原点对称，正确） 答：当 t = 5 秒时，线段 PQ 的中点恰好是原点 O。 【易错提醒】提醒："中点是原点"等价于两点对应的数互为相反数，即两数之和为 0。 【规律总结】动点题的方程怎么列：① 相遇/追及 ⇒ 两式相等；② 距离为定值 ⇒ 两式之差的绝对值等于定值；③ 到原点距离相等 ⇒ 两式的绝对值相等，去掉绝对值要分"同号、异号"两类；④ 中点为某点 ⇒ 两式之和等于该点表示数的 2 倍。 ———　本卷考点与题目全部按课本定义、法则与书写格式编排，解答步骤均与教材示例一致　——— 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年人教版七年级数学（上）期中专项训练 五大类型 · 22 个考点 · 举一反三（期中复习专用） —— 学　生　版 —— 姓名：____________　　班级：____________　　得分：____________ 适用范围：第一章 有理数 ~ 第四章 整式的加减　建议用时：120 分钟 期中五大类型 22 个考点分布总览 题型 考点 考点名称 题型一 选择题 第 1—5 个 1.正数和负数的意义、2.有理数的分类与 0 的特殊性、3.数轴、相反数与绝对值、4.有理数的大小比较、5.科学记数法与近似数 题型二 填空题 第 6—11 个 6.非负数之和为 0、7.相反数、倒数、绝对值的综合求值、8.乘方的意义与符号、9.运算律及其逆用、10.代数式、单项式与多项式的概念、11.同类项与合并同类项 题型三 判断题 第 12—14 个 12.有理数概念辨析、13.运算法则与运算性质判断、14.整式与同类项概念判断 题型四 计算题 第 15—18 个 15.有理数的混合运算、16.简便运算、17.去括号与合并同类项、18.化简求值与整体代入 题型五 解答题 第 19—22 个 19.数轴与有理数的综合（数形结合）、20.有理数运算的实际应用（记录法）、21.探索规律与代数式表示、22.数轴上的动点问题（压轴题） 题型一 选择题 【题型点拨】解题技巧：选择题要"先判断、再排除"，凡遇"一定、任何、都"等绝对化字眼，先找反例。 考点 1　正数和负数的意义 【考点透视】正数和负数表示相反意义的量：先规定正方向（或"上升、收入、超出"为正），则与之相反的量用负数表示。0 既不是正数也不是负数，它是正、负数的分界点。 【典例 例 1】 如果收入 100 元记作 +100 元，那么支出 60 元记作（　） A．+60 元　　B．-60 元 C．+40 元　　D．-40 元 【举一反三】 变式 1-1　 若水位上升 2 m 记作 +2 m，则 -3 m 表示（　） A．水位下降 3 m　　B．水位上升 3 m C．水位下降 2 m　　D．水位不升不降 变式 1-2　 下列各数：-(-2)、-|-3|、(-2)²、-2²、0，其中负数的个数是（　） A．1 个　　B．2 个 C．3 个　　D．4 个 考点 2　有理数的分类与 0 的特殊性 【考点透视】整数和分数统称有理数；按正负可分成正有理数、0、负有理数。0 是整数、是偶数、既不是正数也不是负数，它是有理数中唯一的"中性"数，是分类题的高频考点。 【典例 例 2】 下列说法正确的是（　） A．整数和分数统称有理数　　B．正数和负数统称有理数 C．0 是最小的有理数　　D．有理数包括正整数、负整数、正分数、负分数 【举一反三】 变式 2-1　 在 -3.5、、-2、0、+4.5、-12% 中，属于负分数的是（　） A．-3.5、　　B．-3.5、-12% C．-2、-3.5　　D．0、-12% 变式 2-2　 下列说法：①0 是整数；②0 是偶数；③0 既不是正数也不是负数；④0 是最小的非负数。其中正确的个数是（　） A．1 个　　B．2 个 C．3 个　　D．4 个 考点 3　数轴、相反数与绝对值 【考点透视】数轴是三要素（原点、正方向、单位长度）齐全的直线；数轴上原点两侧、到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数；一个数到原点的距离就是这个数的绝对值。 【典例 例 3】 -3 的相反数是（　） A．3　　B．-3 C． 　　D．- 【举一反三】 变式 3-1　 |-5| 的值是（　） A．5　　B．-5 C． 　　D．- 变式 3-2　 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 (a+b)+cd 的值是（　） A．0　　B．1 C．-1　　D．2 考点 4　有理数的大小比较 【考点透视】数轴上右边的数总比左边的大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。比较含绝对值、乘方的数时，必须先去括号、先化简，再比较。 【典例 例 4】 下列大小关系正确的是（　） A．-3 > -2　　B．-|-2| = 2 C．-0.5 < - 　　D．|-4| < 3 【举一反三】 变式 4-1　 在 -2、0、 、- 这四个数中，最小的数是（　） A．-2　　B．0 C． 　　D．- 变式 4-2　 若 a < 0，b > 0，且 |a| > |b|，则 a、b、-a、-b 用"<"连接为（　） A．a < -b < b < -a　　B．-b < a < b < -a C．a < b < -b < -a　　D．a < -b < -a < b 考点 5　科学记数法与近似数 【考点透视】科学记数法写成 a×10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是整数；对于大于 10 的数，n 等于原数的整数位数减 1。近似数精确到哪一位，就看四舍五入保留到原数的哪一位。 【典例 例 5】 湛江某水库的库容量约为 1 520 000 000 立方米，用科学记数法表示为（　） A．1.52×10⁹　　B．15.2×10⁸ C．1.52×10⁸　　D．0.152×10¹⁰ 【举一反三】 变式 5-1　 数据 6 960 000 用科学记数法表示为（　） A．6.96×10⁶　　B．0.696×10⁷ C．69.6×10⁵　　D．6.96×10⁷ 变式 5-2　 用四舍五入法把 3.141 59 精确到千分位，所得近似数是（　） A．3.14　　B．3.142 C．3.141　　D．3.141 6 题型二 填空题 【题型点拨】解题技巧：填空题只要结果，但结果必须"化简到底、多解不漏"，尤其含绝对值、字母的题要分类讨论。 考点 6　非负数之和为 0 【考点透视】绝对值、平方（偶次幂）都是非负数。若几个非负数的和为 0，则这几个非负数必须同时为 0，这是求字母取值的核心依据。 【典例 例 6】 若 |a-2|+(b+3)² = 0，则 a+b = ____。 【举一反三】 变式 6-1　 若 |x+1|+(y-5)² = 0，则 x+y = ____。 变式 6-2　 已知 (a-3)² 与 |b+1| 互为相反数，则 a+2b = ____。 考点 7　相反数、倒数、绝对值的综合求值 【考点透视】互为相反数 ⇒ a+b = 0；互为倒数 ⇒ ab = cd = 1；|m| = 2 ⇒ m = ±2（两种情况不能漏）。最大负整数是 -1，最小正整数是 1，绝对值最小的数是 0。 【典例 例 7】 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，则 (a+b)÷3+cd-m = ____。 【举一反三】 变式 7-1　 若 a、b 互为倒数，m、n 互为相反数，则 2026(m+n)-3ab = ____。 变式 7-2　 已知 a 是绝对值最小的数，b 是最大的负整数，c 与 -2 互为相反数，则 a+b+c = ____。 考点 8　乘方的意义与符号 【考点透视】(-a)ⁿ 与 -aⁿ 意义不同：(-3)² 表示 2 个 -3 相乘得 9，而 -3² 表示 3² 的相反数得 -9；底数是负数或分数时必须加括号。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 【典例 例 8】 计算：(-3)² = ____，-3² = ____，(-2)³ = ____。 【举一反三】 变式 8-1　 当 n 为自然数时，(-1)²ⁿ+(-1)²ⁿ⁺¹ = ____。 变式 8-2　 已知 |a| = 4，b² = 9，且 a+b < 0，则 ab = ____。 考点 9　运算律及其逆用 【考点透视】加法交换律、结合律用于把"同号的、能凑整的、分母相同的"先结合；乘法分配律 a(b+c) = ab+ac 及它的逆用 ab+ac = a(b+c) 是有理数计算中最常用的变形。 【典例 例 9】 计算 (- +- )×(-12) 的结果是 ____。 【举一反三】 变式 9-1　 用简便方法计算 0.25×(- )×(-4)×(- )，结果是 ____。 变式 9-2　 计算 ( - + - )×(-12)，结果是 ____。 考点 10　代数式、单项式与多项式的概念 【考点透视】单项式的系数包括前面的符号，次数是所有字母指数的和；多项式的每一项都包含它前面的符号，多项式的次数是次数最高的项的次数。单独一个数或一个字母也是单项式。 【典例 例 10】 单项式 -()x²y 的系数是 ____，次数是 ____。 【举一反三】 变式 10-1　 多项式 2x³-x²y²-3y+1 是 ____ 次 ____ 项式。 变式 10-2　 一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，把它的十位与个位数字对调后得到的新两位数与原两位数的差是 ____。 考点 11　同类项与合并同类项 【考点透视】同类项两要素：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同；与系数无关、与字母顺序无关。合并同类项时只把系数相加，字母和字母的指数不变。 【典例 例 11】 若 3x²yᵐ 与 -xⁿy³ 是同类项，则 m+n = ____。 【举一反三】 变式 11-1　 化简 3a²b-2ab²-4a²b+ab² 的结果是 ____。 变式 11-2　 若单项式 -2x²yⁿ 与 3xᵐy⁴ 是同类项，则 mⁿ = ____。 题型三 判断题（对的打"√"，错的打"×"并改正） 【题型点拨】解题技巧：判断题找反例——只要举出一个反例就能判错；判对后要能说出依据的定义或法则。 考点 12　有理数概念辨析 【考点透视】有理数的分类有两种标准（按定义分、按正负分），两种分法都"不重不漏"。凡带"一定、凡是、都是"的判断，优先考虑 0、负数、分数这些特殊对象。 【典例 例 12】 ①整数和分数统称有理数。。（　　） ②一个有理数不是整数就是分数。。（　　） ③非负数就是正数。。（　　） ④0 是最小的有理数。。（　　） 【举一反三】 变式 12-1　 ①带负号的数一定是负数。。（　　） ②正数包括正整数、正分数和 0。。（　　） ③整数不一定是自然数。。（　　） ④0 没有倒数。。（　　） 变式 12-2　 ①绝对值等于它本身的数只有 0。。（　　） ②数轴上原点两侧且到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。。（　　） ③任何有理数都有相反数。。（　　） ④两个数比较大小，绝对值大的那个数就大。。（　　） 考点 13　运算法则与运算性质判断 【考点透视】有理数运算的判断要紧扣法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数；几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。 【典例 例 13】 ①任何有理数的绝对值都是正数。。（　　） ②负数的偶次幂是正数。。（　　） ③两个有理数相加，和一定大于每一个加数。。（　　） ④减去一个数，等于加上这个数的相反数。。（　　） 【举一反三】 变式 13-1　 ①两个负数相乘，积一定是正数。。（　　） ②若 ab = 0，则 a、b 都为 0。。（　　） ③若 |a| = |b|，则 a = b。。（　　） ④任何有理数的平方都是非负数。。（　　） 变式 13-2　 ①几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定。。（　　） ②若 a² = b²，则 a = b。。（　　） ③若 a > b，则 |a| > |b|。。（　　） ④除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。。（　　） 考点 14　整式与同类项概念判断 【考点透视】整式包括单项式和多项式；单项式的系数包含符号，单独一个数（如 5、-2³）也是单项式；同类项与系数、字母排列顺序均无关。 【典例 例 14】 ①单项式 a 的系数是 1，次数是 1。。（　　） ②多项式 x²+2x+1 的项包括 x²、2x、1。。（　　） ③3a 与 3ab 是同类项。。（　　） ④整式包括单项式和多项式。。（　　） 【举一反三】 变式 14-1　 ①-2xy² 的次数是 2。。（　　） ②5 不是单项式。。（　　） ③x+y 是多项式。。（　　） ④-x 的系数是 -1，次数是 1。。（　　） 变式 14-2　 ①2x²y 与 -yx² 是同类项。。（　　） ②3a+2b 可以合并为 5ab。。（　　） ③单项式的系数可以是分数。。（　　） ④多项式 -x²+2 是二次三项式。。（　　） 题型四 计算题 【题型点拨】解题技巧：计算题按课本格式书写，"解：原式 = … = …"每步一行、等号对齐；先定符号、再算绝对值，乘方→乘除→加减，有括号先算括号内。 考点 15　有理数的混合运算 【考点透视】运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算小括号、再中括号。化简 -1⁴ 与 (-1)⁴、-2² 与 (-2)² 是混合运算第一步的失分点。 【典例 例 15】 (1) 计算：-2²+5×(-3)-(-4)÷ 【解答区】 (2) 计算：(-36)×(- + ) 【解答区】 (3) 计算：-1²-(1-0.5)××[2-(-3)²] 【解答区】 【举一反三】 变式 15-1　 (1) 计算：(-2)³× -|-3|÷3 【解答区】 (2) 计算：( + - )×(-12)+(-2)² 【解答区】 变式 15-2　 (1) 计算：-|-2|+(-2)²×3-(-1)²⁰²⁶ 【解答区】 (2) 计算：-1⁴×[4-(-3)²]÷(- ) 【解答区】 考点 16　简便运算 【考点透视】简便运算四种常见套路：① 互为相反数先抵消；② 同分母（或能凑整）先结合；③ 括号外是分母公倍数时用分配律；④ 提取相同的因数用分配律的逆用。 【典例 例 16】 (1) 用简便方法计算：(-15.7)+(-5.6)+15.7+(-2.4) 【解答区】 (2) 用简便方法计算：(-99)×5 【解答区】 【举一反三】 变式 16-1　 (1) 用简便方法计算：(-24)×( - +) 【解答区】 (2) 用简便方法计算：(-8)×(-1.25)×(-0.125)×5 【解答区】 变式 16-2　 (1) 用简便方法计算：(-3.14)×16+(-3.14)×(-13)+(-3.14)×(-3) 【解答区】 (2) 用简便方法计算：5×(-)+(-5)× -5×(- ) 【解答区】 考点 17　去括号与合并同类项 【考点透视】去括号法则：括号前是"+"号，去掉括号后各项都不变号；括号前是"-"号，去掉括号后各项都要变号。去括号后先找同类项，再合并。 【典例 例 17】 (1) 化简：3(2x-y)-2(4x-3y) 【解答区】 (2) 化简：2(a²b-ab)-3(a²b-2ab)+a²b 【解答区】 【举一反三】 变式 17-1　 (1) 化简：5x²-[3x-2(x²-2x)+4] 【解答区】 (2) 化简：-(a²-ab)+2(ab-b²)+2a² 【解答区】 变式 17-2　 (1) 化简：3x²-[5x-(2x-3)-2x²] 【解答区】 (2) 化简：2(mn-3m²)-3(2mn+4m²) 【解答区】 考点 18　化简求值与整体代入 【考点透视】化简求值必须先化简、再代入，直接代入是大忌；当已知条件无法解出字母的值时，要把含字母的式子看成一个整体（如 a²-2a）整体代入。 【典例 例 18】 (1) 先化简，再求值：2(x²-3xy)-3(x²-2xy+y²)，其中 x = -2，y = 1 【解答区】 (2) 已知 a²-2a = 3，求代数式 3a²-6a+5 的值 【解答区】 【举一反三】 变式 18-1　 (1) 先化简，再求值：(5a²b-2ab²)-2(2a²b-ab²)，其中 a = -1，b = 2 【解答区】 (2) 已知 2x-y = 3，求代数式 4x-2y+7 的值 【解答区】 变式 18-2　 (1) 先化简，再求值：-3(x-2y)+2(3y-2x)，其中 x = -2，y = 【解答区】 (2) 若代数式 (mx²+2x-1)-2(x²-nx+3) 的值与 x 的取值无关，求 m、n 的值 【解答区】 题型五 解答题（本题型要求在数轴、图形与实际问题中综合运用，须写出完整的推理与作答过程） 【题型点拨】解题技巧：解答题按"解：…答："格式书写，数轴与动点题必须先设字母、再列式，并对方程的解检验取舍。 考点 19　数轴与有理数的综合（数形结合） 【考点透视】数轴上两点间的距离 = 两数之差的绝对值（右边的数减左边的数）；线段 AB 的中点表示的数 = (a+b)/2。点到原点距离相等的问题要分"同侧、异侧"讨论。 【典例】如图，数轴上点 A、B 表示的数分别为 -4 和 2。 (1) 求 A、B 两点间的距离 【解答区】 (2) 求线段 AB 的中点表示的数 【解答区】 (3) 若点 P 到 A、B 两点的距离之和为 8，求点 P 表示的数 【解答区】 【举一反三】 变式 19-1　 (1) 数轴上点 M 表示 -7，点 N 表示 3，求 MN 的长和线段 MN 的中点表示的数 【解答区】 (2) 数轴上到原点的距离为 3 的点表示的数是多少？到点 -2 的距离为 5 的点呢？ 【解答区】 变式 19-2　 已知数轴上点 A 表示的数比点 B 表示的数小 9，点 B 表示的数是 -3，求点 A 表示的数及 AB 的中点表示的数 【解答区】 在数轴上，与表示 -1 的点距离等于 4 的点表示的数是多少？ 【解答区】 考点 20　有理数运算的实际应用（记录法） 【考点透视】用"正、负数记录偏差"处理实际数据：先求各记录值的和，再加上标准量×个数得到总量；"最重与最轻相差多少"直接用最大记录值减最小记录值，不必换算成实际质量。 【典例】商店运来 8 袋大米，以每袋 50 kg 为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：+0.5、-0.3、+0.8、-0.4、+0.2、-0.6、+0.7、-0.1。 (1) 最重的一袋比最轻的一袋重多少千克 【解答区】 (2) 这 8 袋大米一共重多少千克 【解答区】 (3) 若每千克售价 6.5 元，这 8 袋大米共可卖多少元？ 【解答区】 【举一反三】 变式 20-1　某水库上周日的水位是 32.0 m，本周内每天的水位变化记录如下（上升为正，单位：m）：周一 +0.3，周二 -0.25，周三 +0.15，周四 -0.2，周五 +0.35，周六 -0.1，周日 -0.05。 (1) 本周日与上周日相比，水位变化了多少米 【解答区】 (2) 本周哪一天的水位最高？最高水位是多少米？最高与最低相差多少米？ 【解答区】 变式 20-2　一位出租车司机某天下午在东西方向的公路上营运，如果规定向东为正，向西为负，行车里程记录如下（单位：km）：+8、-5、+3、-7、+6、-2、+9。 (1) 将最后一名乘客送到目的地时，司机在出发地的哪一边？距出发地多远 【解答区】 (2) 若该车每千米耗油 0.1 L，这个下午共耗油多少升 【解答区】 考点 21　探索规律与代数式表示 【考点透视】找规律先列出前几项的具体数值，再观察"每次增加多少"：若每次增加 d，则第 n 个式子形如 dn+a；能用"首项+公差×(n-1)"验证。求和规律要会首尾配对。 【典例】用火柴棒搭如图的正方形（每个新正方形与前一个共用一条边）：搭 1 个正方形需 4 根，搭 2 个需 7 根，搭 3 个需 10 根。 (1) 填写下表并写出搭 n 个正方形所需火柴棒的根数 【解答区】 (2) 求搭 20 个这样的正方形所需的火柴棒根数 【解答区】 【举一反三】 变式 21-1　一张长方形桌子可坐 6 人（两条长边各坐 2 人，两端各坐 1 人）；按同样的方式把桌子拼成一排，每多拼一张桌子可多坐 4 人。 (1) 写出 n 张桌子拼在一起可坐的人数 【解答区】 (2) 某餐厅需坐 42 人，需要多少张这样的桌子 【解答区】 变式 21-2　从 1 开始的连续奇数相加：1 = 1²，1+3 = 4 = 2²，1+3+5 = 9 = 3²，…… (1) 写出 1+3+5+…+(2n-1) 的结果 【解答区】 (2) 利用上述规律计算 1+3+5+…+99 【解答区】 考点 22　数轴上的动点问题（压轴题） 【考点透视】动点问题三步走：① 用含 t 的式子表示每个动点表示的数（起点+速度×时间，方向决定符号）；② 把题目条件翻译成方程（相遇、追及、距离相等、中点）；③ 检验 t 是否合理（t ≥ 0）。 【典例】如图，数轴上点 A、B 表示的数分别为 -8 和 4。点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向右运动。设运动时间为 t 秒（t > 0）。 (1) 用含 t 的式子分别表示运动开始后点 P、点 Q 表示的数 【解答区】 (2) 点 P 何时追上点 Q？此时它们表示的数是多少 【解答区】 (3) 当 t 为何值时，点 P、点 Q 到原点 O 的距离相等 【解答区】 【举一反三】 变式 22-1　数轴上点 A、B 表示的数分别为 -2 和 8。点 P 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度向右运动，同时点 Q 从点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度向左运动，设运动时间为 t 秒。 (1) 用含 t 的式子表示点 P、点 Q 表示的数 【解答区】 (2) 当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离为 5 【解答区】 变式 22-2　数轴上点 A、B 表示的数分别为 -10 和 5。点 P 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度向右运动，同时点 Q 从点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度向左运动，设运动时间为 t 秒。 (1) 用含 t 的式子表示点 P、点 Q 表示的数 【解答区】 (2) 当 t 为何值时，线段 PQ 的中点恰好是原点 O 【解答区】 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $