圆专项训练（11月月考复习）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆知识点归纳及题型总结 【学习目标】1．熟记圆方程的标准方程、一般方程; 2．掌握与圆有关的最值问题. 【学习重点】圆的方程 【学习难点】与圆有关的最值问题. 必掌握知识点 一 .平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 二 、圆的五种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程： 若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． (5) 阿波罗尼斯圆：在平面内，到两个定点的距离比为常数（不等于1）的点轨迹是圆. 三 、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 四．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2） 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由，消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 五．两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 六 关于圆的切线的几个重要结论： （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 七 、易错点归纳 1. 忽略圆一般方程表示圆的前提 直接使用 ，忘记检验 D²+E²−4F>0，误把不表示圆的方程当作圆来计算圆心与半径。 2. 点与圆位置关系审题疏漏 题目同时限制“方程表示圆”和“点在圆内/外”两个条件，常只判断点代入的不等式，漏掉方程表示圆这一前提。 3. 混淆半圆与整圆 带根号、有定义域限制的方程平方后直接当成完整圆，忽略自变量取值范围，误把半圆算成全圆，造成曲线长度、图形面积计算错误。 4. 圆上点到定点距离最值公式记反 不会以圆心为中间桥梁，直接拿圆上点代入计算；求最小值不会写 ||CQ|−r|，忘记绝对值。 5. 动直线、动圆轨迹漏掉挖去的点 由垂直条件形成圆轨迹时，部分点无法取到，直接写成完整圆，不排除取不到的点。 6. 三角形外接圆不会利用直角三角形结论 直角三角形外接圆直径等于斜边，仍硬算垂直平分线；内心与外心概念混淆。 7. 对称圆只算圆心、忘记半径不变；公共弦不检验相交 对称变换后半径不变；两圆公共弦须先检验直线确实与圆相交。 8. 相关点法坐标变换搞反 把待求点坐标直接代入原圆方程，未做坐标代换，导致轨迹方程算错。 9. 阿波罗尼斯圆比值条件遗漏 误认为比值任意都是圆，忽略比值等于 1 时轨迹是直线而不是圆。 10. 圆恒过定点整理出错 整理含参方程时合并参数出错、方程组列写错误，求错定点坐标。 必考题型全归纳： 题型一 　圆的标准方程 1.圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 2. 已知直径两端点：圆心为两端点的中点，半径为直径长度的一半。 3. 已知圆心和圆上一点：半径等于圆心到该点的距离。 4. 面积最小的圆：过两点的所有圆中，以这两点连线为直径的圆面积最小。 1．若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，圆心为直径端点，的中点， 圆心坐标：， 半径， 圆的标准方程为， 即. 2．已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以无论取多少，当时， 为 所以，以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 3．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 题型二　圆的一般方程 圆的一般方程：， 圆心坐标为，半径 4．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 5．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将方程配方，整理得， 要使方程表示圆需满足，解得，因此实数的取值范围为． 6．若方程表示圆，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原方程配方得：， 即. 因为该方程表示圆，所以，得. 故. 题型三　点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 7．已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 8．已知圆及点，则下列说法错误的是（） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】B 【分析】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；选项，把点坐标代入，求出的值，进而求出直线的钭率；C选项，求出的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；选项，由选项求出点在圆外，是圆上任一点，所以的长度满足，求出的取值范围. 【详解】对于A,将化为, 所以圆心C坐标为，,故A正确； 对于B，因为点在圆上，所以， 所以，即.所以直线的斜为，故B错误， 对于C，因为两点之间的距离为, 所以点在圆外，故C正确； 对于D，因为圆心，半径，所以， 即，故D正确. 故选：B. 9．对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 题型四　直线与圆相关基础（定点、垂直、距离、弦长） 1. 动直线过定点：将含参数的项合并，令参数的系数等于 0，解出定点坐标。 2. 两直线垂直：斜率都存在时 k₁·k₂=−1；一条斜率为 0、另一条斜率不存在，两直线也垂直。 3. 点到直线距离：点 (x₀,y₀) 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)。 4. 弦长计算：弦长 l=2√(r²−d²)，其中 d 为圆心到直线的距离。 10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定两条动直线的定点、，由两直线垂直得点的轨迹是以为直径的圆，将转化为点到定点的距离的平方，结合圆的性质求最小值. 【详解】由动直线过定点，得；由动直线过定点，即，得. 直线和直线， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率为0，则； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，且，则； 点的轨迹为以为直径的圆，即圆心，半径，则点的轨迹方程为. 表示为点到点的距离的平方； ，即点在圆外； 圆上的点到Q点的最小距离； . 11．已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标，再利用点到直线的距离公式写出距离表达式，结合参数的取值范围求最大值. 【详解】对进行配方，得， 因此圆C的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为 ， 由于，故，因此，当且仅当时等号成立， 因此，即圆心到直线l的距离的最大值为. 12．已知直线与直线垂直，且过圆的圆心，则的方程是________． 【答案】 【分析】利用直线与直线垂直求出斜率，由于直线过圆的圆心，利用点斜式求得方程. 【详解】因为直线与直线垂直，且直线的斜率为1， 所以直线的斜率为， 又直线过圆的圆心， 所以直线的方程是，即. 题型五　圆上点到定点距离的最值 1. 设圆心 C、半径 r，定点 Q，P 为圆上动点： 2. 最大距离 |PQ|max=|CQ|+r； 3. 小距离 |PQ|min=||CQ|−r|（最小值须带绝对值）。 4. 常用于求距离、距离平方的取值范围。 13．在平面直角坐标系中，，．设，线段的中点为．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与的夹角，然后确定的中点的轨迹，最后根据圆外一点到圆上点的距离性质即可求解. 【详解】已知，，而，对其模长平方得： ， 代入数值：，解得，即， （也可以根据，证明，） 因为是中点，由直角三角形斜边中线性质，在中，斜边中线， 说明点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆. 已知定点，原点到的距离，根据圆外一点到圆上点的距离性质： 圆上点到定点的最小距离为，最大距离为， 即，因此. 14．已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，则线段的中点的轨迹围成图形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆和圆的方程在平面直角坐标系作出图形，然后由点和点是圆上动点，线段的中点为点，确定点轨迹的几何特征，从而得出轨迹围成的图形，即可求解． 【详解】解法一：如图所示，取的中点，的中点， 则在中，，则点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，则点在以为圆心，1为半径的圆上， 故点的轨迹为圆心在圆上的动圆，因为，所以覆盖的区域为圆环， 如下图： 则其面积为． 解法二：基于解法一，可知，，则， 即，所以点的轨迹为圆环， 则其面积为． 15（多选）．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】将条件化为圆的标准方程，利用坐标范围及特殊点判断分式结论，将平方和转化为距离的平方，并利用不等式及取等条件求的最大值． 【详解】对于A，原方程可化为，表示以为圆心、半径为1的圆， 因此，，分式中的分母为正及为非负． 取，满足原方程，此时，故A错误； 对于B，由及得，当时满足原方程且等号成立， 故其最小值为0，故B正确； 对于C，设圆上动点为，定点为，则， 由，及三角不等式得， 当位于时等号成立，因此的最大值为，故C正确； 对于D，由重要不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立，由得 ， 所以，当时满足原方程且取得等号， 因此的最大值为，故D错误． 题型六　轨迹问题（中点轨迹、阿波罗尼斯圆） 1. 中点相关轨迹（相关点法）：设出动点与已知圆上点的坐标，用中点坐标公式建立两者坐标关系，再把圆上点坐标代入原圆方程，化简得到动点轨迹。 2. 阿波罗尼斯圆：平面内到两定点距离之比为定值（，）的点的轨迹是圆；设坐标后距离平方列式化简，得到圆方程；当λ=1 时轨迹为直线。 16．已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动点， 由动点与两个定点，的距离之比为，即， 所以，即， 整理得，即， 所以动点的轨迹方程为． 17．已知动点与两定点，的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆：、点和点，为圆上的动点，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】先利用阿氏圆转化为，再借助三角形两边之差小于第三边求出最大值即可. 【详解】存在定点，使得对圆上任意点满足， 设，则，两边平方得 ，又，代入化简得 ，即，解得，即定点， ，当在延长线与圆的交点处时， 等号成立，，，.    18．数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，将距离比例转化为动点的轨迹方程，再把三角形面积最大问题转化为圆上点到直线的距离最大问题． 【详解】以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设． 由，两边均非负，平方得，整理得， 故动点的轨迹是以为圆心、为半径的圆． 因为直线为轴，所以在边上的高为，面积为． 由轨迹方程得，从而，当，时取等号， 且这两点均满足原距离条件，因此面积的最大值为． 题型七　曲线方程识别（分段圆、半圆、复合图形） 1. 带绝对值、根式的方程，要按定义域拆分，区分整圆、半圆与多段圆弧。 2. 可分象限去掉绝对值，每一段对应一段圆弧。 3. 弧长公式：l=α·R（α 为弧度制圆心角）。 19．方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原方程变形后分和两种情况转化为圆的方程，分别计算两段符合条件的弧长后求和. 【详解】由题意得，解得，所以， 又，得，所以， 当时，，圆心为，半径为， 当时，，圆心为，半径为， 设曲线交轴于点、，连接交与点，如下图所示： 由题意可得，所以和都是等边三角形， 则，故， 所以的长为，同理可知的长为， 所以方程表示的曲线长度为. 20．已知曲线：，给出下列四个结论： ①曲线有4条对称轴； ②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ④曲线所围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用绝对值的对称性分析曲线的对称轴与象限特征，通过配方转化为圆的方程，结合枚举法、基本不等式、割补法分别验证整点个数、距离最值与图形面积，逐一判断命题正误. 【详解】当，方程为， 即，圆心，半径 ，取第一象限圆弧， 当，方程为，即， 圆心，半径，取第二象限圆弧， 当，方程为，即， 圆心，半径，取第三象限圆弧， 当，方程为，即， 圆心，半径 ，取第四象限圆弧，整体图形由四段圆弧拼接而成，如图所示， ①由图可知，曲线共有 轴、 轴、、 这 4 条对称轴，①正确； ②由图可知，整点为，，，，，，，，，共 9个，②错误； ③当，方程为， 方程化为，对应圆心、半径为 的半圆， 圆心到原点的距离为， 所以在第一象限曲线上的点到原点的最大距离为， 由对称性，曲线上任意一点到原点距离不超过，③正确； ④由对称性，计算的面积再乘以 4， 此时方程化为 ，对应圆心、半径为 的半圆， 第一象限区域面积=半圆面积+直角三角形面积， 圆 在第一象限的部分，半圆面积为， 直角三角形面积为，所以第一象限总面积为， 总面积，并非 ，④错误. 21．方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【分析】本题考查曲线方程的化简与识别.先由右边根式的非负性确定左边的取值范围，再两边平方转化为圆的标准方程，最后根据 y 的取值范围判断是整圆还是半圆. 【详解】因为右边，所以左边，即. 两边平方得，整理为. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误. 当 时，方程化为，且，这是以 为圆心、1 为半径的上半圆. 当 时，方程化为，且，这是以为圆心、1 为半径的下半圆. 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受 限制）. 题型八　三角形的外接圆、内切圆、九点圆 1. 外接圆（外心）：三边垂直平分线的交点；直角三角形外接圆的直径就是斜边。 2. 内切圆（内心）：三个内角角平分线的交点；内心到三边的距离等于内切圆半径；面积 S=(a+b+c)·r。 3. 九点圆：三角形三边中点、三条高的垂足、垂心到各顶点连线的中点，九点共圆；可代入多个点用待定系数法求圆方程。 22（多选）．在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断. 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为， 故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 23．已知点，，，则外接圆的方程是________． 【答案】 【分析】根据题意，求得为直角三角形，得到为外接圆的直径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由点，，，可得轴，且轴， 所以，即为直角三角形，所以为外接圆的直径， 设外接圆的方程为， 则，所以圆心， 又由，可得圆的半径为， 所以外接圆的方程为. 24．的三个顶点分别是，，． (1)求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程； (2)判断圆是否为的外接圆． 【答案】(1) (2)的外接圆就是圆． 【分析】（1）先求得的垂直平分线，与直线联立求得圆心，进而得出半径即可求解； （2）判断出点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】（1）的中点为，的斜率为， 故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立解得． 半径， 所以圆的标准方程为． （2）因为， 所以，，三点均在圆上，所以的外接圆就是圆． 题型九　圆的对称、两圆位置关系 1. 圆关于直线对称：半径保持不变；求出原圆心关于已知直线的对称点，作为对称后圆的圆心。 2. 两圆位置关系（圆心距 d，半径 r₁、r₂）：外切 d=r₁+r₂；相交 |r₁−r₂|<d<r₁+r₂；内切 d=|r₁−r₂|；外离 d>r₁+r₂；内含 d<|r₁−r₂|。 3. 将两圆方程相减，即得公共弦所在直线方程（须先检验直线与圆相交）。 25．两圆：和：的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】：，即， 圆的圆心坐标为，半径为1， ：，即， 圆的圆心坐标为，半径为3， ， 所以两圆和的位置关系是外切. 26．设圆：与圆：交于，两点，则（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由圆：，圆：，即， 将两圆方程相减，整理得直线的方程：， 而圆：的圆心为，半径为， 显然直线经过圆的圆心，则. 27．与圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【详解】圆关于直线对称后半径不变，仅需求出原圆圆心关于对称轴的对称点作为新圆心，即可写出对称圆的方程. 【点睛】由原圆方程，可得其圆心为，半径, 设圆心关于直线的对称点为，根据轴对称性质列方程： 直线与对称轴垂直，对称轴斜率为，故，整理得 ①； 线段的中点在对称轴上，代入直线方程得， 整理得 ②； 将①代入②解得，，即对称圆的圆心为，半径与原圆相等为. 故所求对称圆的方程为. 题型十　圆恒过定点问题 1. 圆方程含有参数时，整理成“参数·式子 + 不含参数的式子 = 0”的形式。 2. 令参数的系数部分和不含参数部分分别等于 0，解方程组即得定点坐标；无论参数取何值，该定点恒满足方程。 28．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 29．在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 30．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 巩固提升： 1．已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意建立直角坐标系，设外接圆的半径，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得点坐标，代入外接圆的方程得到，由此利用基本不等式即可得解. 【详解】以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图，    （为边的中点），由外接圆的性质得， 因为为锐角且，所以， 设外接圆的半径，则， 因为，所以，， 所以，，，设， 则外接圆的方程为：， 因为， 所以. 则，解得， 则， 代入外接圆方程得： ，整理得：， 由基本不等式得：，当且仅当取等号. 化简得：，解得或， 由图知：，所以，故的最大值为. 2．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得，设，建立平面坐标系，由得四点共圆，进而得圆心的坐标，即得圆的方程，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 3．若圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据圆的标准方程定义，圆心坐标为（2，1）．故选C． 4．若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列出不等式，求出的范围，逐一判断即可. 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 5．曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质以及弧长公式即可结合对称性求解. 【详解】当时，曲线为，即， 表示圆心为半径，位于第一和第四象限内以及轴上的圆弧， 由于圆心为半径，所以圆与轴的交点为， 所以圆与轴相交的弦所对的圆心角为， 故圆弧所对的圆心角为，故弧长为， 由于曲线关于轴对称，因此所得曲线的长度也是， 因此曲线的长度为. 6．已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，不妨设，，可知，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，，， 因为，即， 可得，即， 又因为，，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆.    又因为，且，不妨设， 则， 设，则，，可得， 可得，即， 所以的取值范围为. 7．已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当的面积最大时，，在中，，求出，再利用二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】圆化为， 则圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆上，则， 当的面积最大时，， 在中，，则， 所以， 所以. 故选：A. 8．若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在圆的内部，得，即，解得， 所以实数的取值范围为． 9．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 10．在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 11（多选）．已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，则 【答案】ABD 【分析】                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          选项A，图象关于直线对称，即对图象上任意一点，满足也在图象上；选项B，根据图象对称性，可画出图象，进而求面积；选项C，求出曲线上离圆心最远的距离，就是能覆盖曲线的圆的半径的最小值；选项D，可对曲线方程化简求得的取值范围. 【详解】对于选项A，曲线上任意一点满足， 该点关于直线的对称点有，满足曲线方程， 即曲线上任意一点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确； 对于选项B，因为点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于轴，轴对称， 当时，曲线的方程可变形为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 根据曲线的对称性，可画出如下图象, 所以曲线围成的图形面积是，B正确； 对于选项C，曲线上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线，则，C错误； 对于选项D，点在曲线上，则，变形得 则有，即，解得，而，D正确. 12（多选）．已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（     ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】先根据动直线求定点，再利用垂直关系确定点的轨迹方程，注意空心点，然后求解即可. 【详解】直线：化简得， 令得即直线过定点， 直线：化简得， 令得即直线过定点， 因为时，，，所以，即直线与直线垂直， 时，，不存在，即直线与直线垂直，所以交点在以为直径的圆上， 又因为直线无法表示直线，直线无法表示直线，所以点坐标不可能是， 故的轨迹方程为  ，圆心， 半径，所以直线方程为：且， 为圆上点，所以的最值一定在直线与圆的交点处取得， 联立直线直线与圆方程解得或即点坐标为时取最小值， 又因为坐标不可能是，所以无最小值，点坐标为时取最大值，最大值为. 13（多选）．已知圆的方程为，点，，则（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．点在圆的内部 D．点在圆的外部 【答案】ACD 【详解】将圆的方程化为标准方程， 对于A，圆心的坐标为，故A正确； 对于B，圆的半径为，故B错误； 对于C，将点代入圆的方程得，所以点在圆的内部，故C正确； 对于D，将点代入圆的方程得，所以点在圆的外部，故D正确． 14（多选）．已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．过点且与直线平行的直线方程是 B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．的取值范围为 D．当时，圆面积为 【答案】AC 【分析】由平行设出直线方程，利用待定系数法求解判断A；求出横纵截距判断B；利用二次方程表示圆的条件列式判断C；求出圆的半径判断D. 【详解】对于A，设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 因此过点且与直线平行的直线方程是，A正确； 对于B，直线在轴上的截距分别为，它们不相等，B错误； 对于C，由圆：，即， 则，即，C正确； 对于D，当时，圆的半径，则圆的面积为，D错误. 15（多选）．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 16（多选）．已知直线过定点则下列结论正确的是（    ） A．P的坐标为 B．当时，l在y轴上的截距为 C．若l与直线垂直，则 D．点P在圆的外部 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点问题判断A，根据截距的定义判断B，根据直线垂直公式列方程求解判断C，根据点与圆的位置关系判断D． 【详解】对于A，由题意得直线，即， 由，解得，故A正确； 对于B，当时，直线l为，令，， 所以在y轴上的截距为，故B正确； 对于C，由，解得，故C错误； 对于D，因为，所以点P在圆的外部，故D正确. 故选：ABD 17（多选）．下列说法中，正确的有（    ） A．直线在y轴上的截距是1 B．当m变化时，圆恒过定点有且只有一个 C．过，两点（，）的所有直线的方程为 D．直线关于点对称的直线方程是 【答案】CD 【分析】根据直线截距的概念判断A的真假；求出圆经过的顶点，判断B的真假；根据直线两点式方程的意义判断C的真假；根据两直线的位置关系判断D的真假. 【详解】对A：直线中，令得，所以直线在轴上的截距为，故A错误； 对B：令得：或，所以当变化时，圆恒过定点和，故B错误； 对C：根据直线两点式方程的概念知，C正确； 对D：设点关于点的对称点为，则， 由点在直线上，得，故D正确. 故选：CD 18（多选）．已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 19（多选）．已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 20（多选）．已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BD 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断. 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 21（多选）．设，直线：，圆：，则（     ） A．与圆相切 B．经过定点 C．存在唯一的使与相切 D．存在无穷多个使与相交 【答案】AC 【分析】对于A选项，找出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离，即可判断是否相切；对于B选项，分别选取，，时的三条直线，由三条直线的交点判断直线是否过定点；对于C选项，找出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，根据相切列出关于的方程，求解即可；对于D选项，根据相交列出关于的不等式，计算即可. 【详解】对于A选项，圆，圆心，半径， 圆心到直线：的距离为， 所以与圆相切，故A正确； 对于B选项，当时，直线为； 当时，直线为， 与的交点为， 当时，直线为， 与的交点为， 所以不会经过定点，故B错误； 对于C选项，圆，圆心，半径， 圆心到直线：的距离为， 若与相切，则，即， 又因为，解得， 则存在唯一的使与相切，故C正确； 对于D选项，若与相交，则，即，则， 又因为，则，所以无解， 即不存在使与相交，故D错误. 22．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】联立直线方程，得，则交点， 交点在圆的内部，则，即， 展开整理得，解得， 故实数的取值范围为． 23．已知圆C经过原点，且其圆心在直线上，则半径最小值的圆C的标准方程为______． 【答案】 【详解】设圆心为，半径为， ，， ， 当时，， 所以圆的标准方程为. 24．定义：已知，，若，则称，两点具有性质．已知点在以原点为圆心，为半径的圆上，点，若，两点具有性质，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用圆的参数方程设出动点坐标，代入题干定义的性质建立参数的表达式，借助三角辅助角公式求出的取值范围，再结合两点间距离公式得到的取值范围． 【详解】因为点在以原点为圆心，为半径的圆上，所以点满足方程， 设点，根据圆的参数方程可知，， 又点，若，两点具有性质， 所以，则， 因为，所以，则， 所以． 25．已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 【答案】 【详解】由得，圆心，半径.如图， 因为，所以圆心到直线即的距离为. 所以，所以. 26．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时点到直线的距离即为等腰斜边上的高. 27．已知圆为圆上相异两点，且，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】根据，得到A，B的关系，进而得到的关系，代入目标式以后，利用三角换元求最值. 【详解】因为，则， 又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称， 所以，，所以， 由圆得半径，圆心为， 设，所以， 当时，取最大值为， 即的最大值为. 28．在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为的圆完全落在区域内，则的最大值为________. 【答案】 【分析】设圆的方程，由题意建立不等式后换元，利用基本不等式求出最值即可得解. 【详解】设圆的方程为. 由题意，对任意均有. 令，只需对进行讨论， 此时， . 注意到，， 其等号在时取到. 于是，. 反过来，当时，圆完全落在内. 综上，所求的最大值为. 29．当方程所表示的圆的面积取最大值时，直线的倾斜角___________． 【答案】 【详解】将圆的一般方程化为标准形式 ， ​ 圆的半径满足， 当也就是时，取得最大值1，此时圆的面积最大， 把代入直线方程，得： ， 则，结合倾斜角 ， 可得. 30．求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 【答案】 【详解】化简可知，即圆心为. 因为等同于，斜率为，可知新直线斜率为， 由斜率和圆心可知该直线为，即. 31．已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 【答案】 【分析】由阿波罗尼斯圆的性质，转化，利用三角形两边之和大于第三边的思想求折线最小值. 【详解】由分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点， 可得：点的轨迹为圆， 设存在点对于圆上任意一点都满足，， 则点到点的距离为点到点的距离的两倍， 点到点的距离为点到点的距离的两倍，， 对圆上的点任意一点， 都有相似三角形关系（两边成比例，共角）， 因此 则圆上的点满足: ， 所以， 因为， 所以. 32．已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 【答案】 【分析】求出定点、坐标后，结合与的位置关系可得点轨迹，即可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】对，当时，，故， 对，当时，，故， 由，故， 故点在以为直径的圆上（不包括，两点）， 则，故, 则， 即，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 33．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 【答案】8 【分析】将条件转化为单位圆上互相垂直的两点，通过三角换元设点坐标，去掉绝对值后把目标式化简为正弦型函数，进而求出最大值． 【详解】已知，，则是单位圆上两点， ，则， 设点，则， ， ， 令， 则 ， ，故， 故的最大值为8． 34．设直线的方程为，直线的方程为： (1)若时，求两直线，的距离： (2)若直线在轴上的截距为，求的值： (3)若圆经过点，，且圆心在直线上，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入化简方程，将两平行直线化为同次项系数一致的一般式后用平行线距离公式计算； （2）将代入方程求解，验证项系数不为0后得结果； （3）求线段的中垂线方程，与联立得圆心，计算半径后写出圆的标准方程. 【详解】（1）解：当时，代入的方程得：，化简为， 将化为一般式，所以， 所以， 由平行线间距离公式，得. （2） 解：由在轴上的截距为，即时，代入方程得： ， 整理得，解得或， 当时，方程为，不符合截距为的要求，故舍去； 当时，方程为，符合直线在轴上的截距为， 所以，. （3）解：由题知， 的中点坐标为， ， 所以，线段的中垂线斜率为，方程为，即， 联立，解得，即圆心， 半径， 故圆的标准方程为. 35．已知在平面直角坐标系中，点，，满足的动点的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点、、，当在曲线上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接设，再根据条件列方程并化简可得； （2）设，根据两点距离公式表示，再结合在曲线上，从而可得最大值及最小值. 【详解】（1）设点，由，且点，， 得， 两边平方得，， 整理得，所以曲线的方程为． （2）由题意，设点， 则，，， 所以 ， 又因为在曲线上，所以， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，， 因此． 36．已知顶点、、. (1)求的外接圆的方程； (2)若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用直角三角形斜边中点求外接圆圆心和半径；（2）按直线是否经过原点分类求解． 【详解】（1）由、、，得，即． 因此为外接圆的直径，其圆心是的中点，如图所示． 故，圆的半径， 所以外接圆的方程为． （2）当直线经过原点时，横、纵截距均为，满足题意． 又经过，所以的方程为，即． 当直线不经过原点时，设纵截距为，横截距为（），可设直线方程为． 将代入，得，解得，所以的方程为． 37．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为 ，边上的高所在直线的方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)内切圆的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，可得直线的斜率，进而可得直线的方程，与中线的方程联立求解即可. （2）先求出顶点的坐标，再求出三角形三边所在的直线方程，求出内心的坐标、内切圆的半径即可得答案. 【详解】（1）因为是边上的高，， 所以的斜率为． 又过点， 所以其方程为，即， 又是与中线的交点． 由中线方程得， 代入方程： 解得，所以， 所以; （2）点 在高: 上， 设， 则①， 又为中点， 则， 代入中线方程， 得， 则有②， 由①②解得， 即， 三角形三边所在直线方程为：，， 设内心为， 由内心到三边距离相等得： 由后两式相等得：， 从而得或， 由于直线与只相交于点，故． 代入，解得， 所以， 所以内心，内切圆半径 故内切圆的方程为：. 38．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． (1)求圆的方程 (2)若，求点的轨迹的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)运用直接法，根据题设距离比值条件，先利用两点间距离公式列式，再化简配方求得阿氏圆方程即可；(2)运用相关点代入法，先由向量相等得到中点关系，建立主动点P与从动点Q的坐标关系式，再将P点坐标用Q点坐标表示后代入已知曲线方程，最后求出Q点的轨迹方程即可. 【详解】（1）设 ， ∵，∴，∴， 化简得：，即： 圆的方程是：. （2）设 ，为中点 ∴ ，即：， 在圆上，代入 ， ， 即：， 点的轨迹的方程为：. 39．已知在中，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求所在的直线方程； (2)求外接圆方程； (3)若点，四个点，，，在直线：的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)点到直线：的距离为，因为四个点，，，在直线：的两侧，设一侧的点满足，则另一侧的点满足，又因为直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等， 所以，化简得即，代入化简得，所以直线过定点 【分析】（1）设点，则边上的中线过点，边上的高所在的直线方程与直线垂直，从而求出点坐标；设点，则边上的中线过的中点，边上的高过点，从而求出点的坐标，即可求解； （2）设外接圆方程为，待定系数法求解； （3）因为四个点，，，在直线：的两侧，设一侧的点满足，则另一侧的点满足，又因为直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，所以四个点坐标代入相加等于零. 【详解】（1）设点，因为边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为， 所以，解得，所以. 设点，则的中点坐标为，因为边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，所以，解得，所以. 所以所在的直线方程为，即. （2）的坐标为，，，设外接圆方程为，则，解得， 所以外接圆方程为. （3）略. 40．已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 【答案】(1)； (2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【详解】（1）    因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； （2）因为，， . 所以的周长为， 的面积为； （3）    设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为.    设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 41．如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可； （2）利用正方形的性质得出其外接圆半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知到的距离为； （2）由上可知该正方形的边长为，所以, 由正方形的性质可知其外接圆圆心为其中心G，半径为， 所以其外接圆标准方程为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆知识点归纳及题型总结 【学习目标】1．熟记圆方程的标准方程、一般方程; 2．掌握与圆有关的最值问题. 【学习重点】圆的方程 【学习难点】与圆有关的最值问题. 必掌握知识点 一 .平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 二 、圆的五种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程： 若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． (5) 阿波罗尼斯圆：在平面内，到两个定点的距离比为常数（不等于1）的点轨迹是圆. 三 、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 四．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2） 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由，消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 五．两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 六 关于圆的切线的几个重要结论： （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 七 、易错点归纳 1. 忽略圆一般方程表示圆的前提 直接使用 ，忘记检验 D²+E²−4F>0，误把不表示圆的方程当作圆来计算圆心与半径。 2. 点与圆位置关系审题疏漏 题目同时限制“方程表示圆”和“点在圆内/外”两个条件，常只判断点代入的不等式，漏掉方程表示圆这一前提。 3. 混淆半圆与整圆 带根号、有定义域限制的方程平方后直接当成完整圆，忽略自变量取值范围，误把半圆算成全圆，造成曲线长度、图形面积计算错误。 4. 圆上点到定点距离最值公式记反 不会以圆心为中间桥梁，直接拿圆上点代入计算；求最小值不会写 ||CQ|−r|，忘记绝对值。 5. 动直线、动圆轨迹漏掉挖去的点 由垂直条件形成圆轨迹时，部分点无法取到，直接写成完整圆，不排除取不到的点。 6. 三角形外接圆不会利用直角三角形结论 直角三角形外接圆直径等于斜边，仍硬算垂直平分线；内心与外心概念混淆。 7. 对称圆只算圆心、忘记半径不变；公共弦不检验相交 对称变换后半径不变；两圆公共弦须先检验直线确实与圆相交。 8. 相关点法坐标变换搞反 把待求点坐标直接代入原圆方程，未做坐标代换，导致轨迹方程算错。 9. 阿波罗尼斯圆比值条件遗漏 误认为比值任意都是圆，忽略比值等于 1 时轨迹是直线而不是圆。 10. 圆恒过定点整理出错 整理含参方程时合并参数出错、方程组列写错误，求错定点坐标。 必考题型全归纳： 题型一 　圆的标准方程 1．若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 3．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二　圆的一般方程 4．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若方程表示圆，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型三　点与圆的位置关系 7．已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆及点，则下列说法错误的是（） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 9．对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 题型四　直线与圆相关基础（定点、垂直、距离、弦长） 1. 动直线过定点：将含参数的项合并，令参数的系数等于 0，解出定点坐标。 2. 两直线垂直：斜率都存在时 k₁·k₂=−1；一条斜率为 0、另一条斜率不存在，两直线也垂直。 3. 点到直线距离：点 (x₀,y₀) 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)。 4. 弦长计算：弦长 l=2√(r²−d²)，其中 d 为圆心到直线的距离。 10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，的最小值为（     ） A． B． C． D． 11．已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．已知直线与直线垂直，且过圆的圆心，则的方程是________． 题型五　圆上点到定点距离的最值 13．在平面直角坐标系中，，．设，线段的中点为．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，则线段的中点的轨迹围成图形的面积为（     ） A． B． C． D． 15（多选）．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 题型六　轨迹问题（中点轨迹、阿波罗尼斯圆） 16．已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 17．已知动点与两定点，的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆：、点和点，为圆上的动点，则的最大值为__________． 18．数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为________． 题型七　曲线方程识别（分段圆、半圆、复合图形） 19．方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 20．已知曲线：，给出下列四个结论： ①曲线有4条对称轴； ②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ④曲线所围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 题型八　三角形的外接圆、内切圆、九点圆 22（多选）．在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 23．已知点，，，则外接圆的方程是________． 24．的三个顶点分别是，，． (1)求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程； (2)判断圆是否为的外接圆． 题型九　圆的对称、两圆位置关系 25．两圆：和：的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 26．设圆：与圆：交于，两点，则（     ） A．1 B．2 C． D． 27．与圆关于直线对称的圆的方程为______． 题型十　圆恒过定点问题 28．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 29．在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 30．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 巩固提升： 1．已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 6．已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 8．若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11（多选）．已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，则 12（多选）．已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（     ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 13（多选）．已知圆的方程为，点，，则（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．点在圆的内部 D．点在圆的外部 14（多选）．已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．过点且与直线平行的直线方程是 B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．的取值范围为 D．当时，圆面积为 15（多选）．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 16（多选）．已知直线过定点则下列结论正确的是（    ） A．P的坐标为 B．当时，l在y轴上的截距为 C．若l与直线垂直，则 D．点P在圆的外部 17（多选）．下列说法中，正确的有（    ） A．直线在y轴上的截距是1 B．当m变化时，圆恒过定点有且只有一个 C．过，两点（，）的所有直线的方程为 D．直线关于点对称的直线方程是 18（多选）．已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 19（多选）．已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 20（多选）．已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 21（多选）．设，直线：，圆：，则（     ） A．与圆相切 B．经过定点 C．存在唯一的使与相切 D．存在无穷多个使与相交 22．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 23．已知圆C经过原点，且其圆心在直线上，则半径最小值的圆C的标准方程为______． 24．定义：已知，，若，则称，两点具有性质．已知点在以原点为圆心，为半径的圆上，点，若，两点具有性质，则的取值范围为________． 25．已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 26．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 27．已知圆为圆上相异两点，且，则的最大值为_________. 28．在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为的圆完全落在区域内，则的最大值为________. 29．当方程所表示的圆的面积取最大值时，直线的倾斜角___________． 30．求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 31．已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 32．已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 33．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 34．设直线的方程为，直线的方程为： (1)若时，求两直线，的距离： (2)若直线在轴上的截距为，求的值： (3)若圆经过点，，且圆心在直线上，求圆的标准方程． 35．已知在平面直角坐标系中，点，，满足的动点的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点、、，当在曲线上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值； 36．已知顶点、、. (1)求的外接圆的方程； (2)若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 37．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为 ，边上的高所在直线的方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)内切圆的方程． 38．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． (1)求圆的方程 (2)若，求点的轨迹的方程． 39．已知在中，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求所在的直线方程； (2)求外接圆方程； (3)若点，四个点，，，在直线：的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点． 40．已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 41．如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 学科网（北京）股份有限公司 $