阶段综合测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二数学选择性必修一阶段综合测试卷 考查范围：第一章 空间向量与立体几何＋第二章 直线和圆的方程 姓名： 班级： 得分： 【注意事项】 ①.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 ②.作答前，请将姓名、班级填写在试卷指定位置。 ③.所有答案请书写规范，解答题需写出必要解题步骤。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知向量，，则的最大值为（ ） A.2 B.4 　 C.8 D.16 2.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线的距离相等，则m的值为（ ） A.1或2 B. C. D. 3.向量，，若实数和向量满足，则向量可能是（ ） A.　 B. 　 C. D. 4.已知正方体棱长为2，则异面直线AC与所成角的余弦值为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 5.已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） A.　 B. 　 C. 　 D. 6.已知直角坐标系内的两向量，使得平面内的任意一个向量都可以唯一地表示成，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.设为单位向量，且若向量满足，则的最大值为（ ） A.1 B. C.2 D. 8.已知向量，，直线过点且与向量垂直，在直线上找一动点P向圆作切线，则切线长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、多项选择题；（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。） 9.关于空间向量，下列说法正确的有（ ） A.若，则 B. 零向量与任意空间向量平行且垂直 C. D.空间任意三个向量均可作为空间一组基底 10.对于平面和共面直线，下列命题是假命题的是（ ） A. 若直线与平面所成的角相等，则 B. 若，，则 C.若，，则 D.若，，则 11.在长方体中，正确的是（ ） A. 直线AB与平面平行 B. C. 向量AB与夹角为异面直线夹角 D. 直线与平面ABCD所成角的正弦值为定值 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量满足，，且，那么实数的值为 。 13.在棱长为2的正四面体中，侧面与底面所成二面角的余弦值为________。 14.若是△ABC三个内角的对边，且，则圆O：被直线所截得的弦长为 。 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知点，点，圆 （1）求过点P的圆C的切线方程； （2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长。 16.（14分）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， （1）求之间的关系； （2）求的值。 17.（15分）在直三棱柱中，， (1) 求的值； (2) 求直线与平面所成角的正弦值。 18.（17分）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点。 （1）求的长； （2）求证：； （3）求与所成角的余弦值。 19.（18分）已知在平面上有定点，动点满足（其中实数） （1）求动点M的轨迹方程； （2）当时，记（1）中动点M的轨迹方程为曲线C，设过原点O的直线方程与曲线C相交于E、F两点，且 ①.若时，求△NEF的面积； ②.求的取值范围。 参考答案与详细解析 1.已知向量，，则的最大值为（ ） A.2 B.4 　 C.8 D.16 【解析】已知向量， 则 故 又 的最大值为1，所以的最大值为4 答案：B 2.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线的距离相等，则m的值为（ ） A.1或2 B. C. D. 【解析】两点A(3,2)和B(-1,4)到直线的距离相等 则 所以m的值为 答案：C 3.已知向量，，若实数和向量满足，则向量可能是（ ） A.　 B. 　 C. D. 【解析】向量向量，，所以 向量满足，说明向量与共线。 ，向量与它共线。 答案：A 4.已知正方体棱长为2，则异面直线AC与所成角的余弦值为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【解析】正方体棱长为2。连接、，因为，所以 就是异面直线AC与所成角（或补角）。 ， 向量法：， 所以 答案：D 5.已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） A.　 B. 　 C. 　 D. 【解析】圆的圆心(1,1)，半径r=2。 直线方程 圆心到直线距离： 直线与圆相离,即，故 两边平方： 答案：B 6.已知直角坐标系内的两向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一地表示成，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】两向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一地表示成，则向量与不共线 故 即的取值范围是 答案：C 7.设为单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ） A.1 B. C.2 D. 【解析】已知是单位向量，且，设坐标：，设。 计算，，所以 条件： 向量的终点轨迹为圆心M(1,1)，半径的圆。 是原点(0,0)到圆上点的距离。 原点到圆心M(1,1)距离： 圆上一点到原点的最大距离＝原点到圆心距离＋半径 则 答案：D 8.已知向量，，直线过点且与向量垂直，在直线上找一动点P向圆作切线，则切线长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【解析】已知向量，，则 向量(1,1)是直线方向向量，直线和它垂直，所以直线的斜率。 过A(-3,1)的直线方程： 圆的方程：，圆心C(3,1)，半径r=1。 切线长公式： ，又是圆心C到直线的距离。 圆心C到直线的距离： 最小切线长＝ 答案：B 9.关于空间向量，下列说法正确的有（ ） A.若，则 B. 零向量与任意空间向量平行且垂直 C. D.空间任意三个向量均可作为空间一组基底 【解析】A选项：若或是零向量时,也成立，故不一定是。错误 B选项：零向量与任意空间向量平行且垂直。✅正确 C选项：向量数量积不等式。 正确 D选项：空间任意三个向量均可作为空间一组基底，前提条件是基底要求这三个向量不共面。错误 答案：BC 10.对于平面和共面直线，下列命题是假命题的是（ ） A.若直线与平面所成的角相等，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 【解析】A选项：若直线与平面所成的角相等，则，假命题 反例：两条共面直线可以相交，它们和平面的夹角也可以相等。 B选项：若，，则，假命题 反例：共面的两条相交直线，可以同时都平行于平面。 C选项：若，，则 ，假命题 反例：有可能在平面内，不一定平行平面。 D选项：若，，则真命题（因为题目限定m,n共面） m,n共面，一条在平面内，另一条平行于平面，所以无交点，只能平行。真命题 答案：ABC 11.在长方体中，正确的是（ ） A. 直线AB与平面平行 B. C. 向量AB与夹角为异面直线夹角 D. 直线与平面ABCD所成角的正弦值为定值 【解析】A选项：直线AB与平面平行。所以，在平面内，线面平行。 正确 B选项：因为, 。 正确 C选项：异面直线夹角范围，向量夹角可以是钝角。所以向量AB与夹角为异面直线夹角是错误的。 D选项：因为长方体的长宽高都不确定，线面角会变化，所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为定值是错误的。 答案：AB 12.已知向量满足，，且，那么实数的值为 。 【解析】已知向量，，且，两向量垂直，则它们的数量积等于0： 展开： 代入模长： 答案： 13.在棱长为2的正四面体中，侧面与底面所成二面角的余弦值为________。 【解析】棱长为2的正四面体。取底面正三角形一边中点，分别连接底面顶点和侧面顶点，得到二面角的平面角为 底面正三角形高：，侧面正三角形高： 底面中心把底面高分成2:1，邻边长度＝。 所以 答案： 14.若是△ABC三个内角的对边，且，则圆O：被直线所截得的弦长为 。 【解析】已知，由正弦定理：， 代入：，两边同乘2R，得到： 圆O的方程：，圆心O(0,0)，半径。 圆心到直线的距离： 又，则 弦长 答案：6 15.（13分）已知点，点，圆C： （1）求过点P的圆C的切线方程； （2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长。 【解析】圆C方程：，则圆心C(-1,2)，半径r=2 （1）先判断P是否在圆上： 所以点P在圆C上，P是切点。 求PC斜率： ，所以切线方程的斜率。 点斜式写切线方程： 整理得： (2) 判断M位置； 所以M点在圆外。 ① 斜率不存在：直线方程为 圆心C(-1,2)到直线距离：，不是切线 ② 斜率存在，设切线方程为，即 圆心到切线距离等于半径： 即两边平方： 解方程得： 两条切线方程分别为：， 则切线长： 16.（14分）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， （1）求之间的关系； （2）求的值。 【解析】已知向量，都是单位向量 则， 又，所以 又向量，与夹角都为 由向量夹角公式得： ① 是单位向量： 又 则 ② 是单位向量： 又 则 综上所述：。 之间的关系： （2） 把代入： 展开： 两边都是乘以4： 解一元二次方程得 则 所以 17.（14分）在直三棱柱中，， (1) 求的值； (2) 求直线与平面所成角的正弦值。 【解析】（1）以A为原点，分别以AB、AC、的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系。已知则各点坐标： ,, ,, 向量：， 所以 （2）平面就是平面，它的一个法向量。 设直线与平面所成角为，线面角公式： 又 所以 故 直线与平面所成角的正弦值为 18.（17分）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点。 （1）求的长； （2）求证：； （3）求与所成角的余弦值。 【解析】（1）建立空间直角坐标系：以A为原点，AB为轴，AD为y轴，为z轴。正方体棱长为2。则各点坐标： A(0,0,0), B(2,0,0),D(0,2,0),,(2,0,2) E是的中点，则E(0,0,1)，F是BD的中点：则F(1,1,0)，G是的中点：则G(1,0,2) 向量，则 所以 （2）， 点积： 则 即。 （3）， 计算点积： , 异面直线夹角公式：，则 所以与所成角的余弦值为 19.（18分）已知在平面上有定点，动点满足（其中实数） （1）求动点M的轨迹方程； （2）当时，记（1）中动点M的轨迹方程为曲线C，设过原点O的直线方程与曲线C相交于E、F两点，且 ①.若时，求△NEF的面积； ②.求的取值范围。 【解析】【解析】 （1）设 , ， 所以 由条件得 两边平方： 展开整理： 当时：是一条垂直于轴的直线； 当时： 配方得 动点M的轨迹方程表示圆，圆心，半径 （2）①当代入得 配方得： 曲线C的方程： 若若时，则，即O是线段EF中点，，EF是过原点的圆的弦，原点O是EF的中点。 设,，E在圆上： 又，O是EF的中点。 圆心C(1,0)，原点O到圆心C的距离。 由垂径定理： O是EF的中点，，C(1,0)，O(0,0)，OC在轴，所以EF垂直轴，即直线EF的方程为（y轴）。 故 所以N点到直线EF的距离。 则 ②设直线EF的方程为，联立圆C的方程： 即 化简得： 设,，由韦达定理得， 又N(-3,0)，故, 代入韦达： 讨论：当时， 则 当直线斜率不存在（k不存在，直线，也就是①的情况）： 即 ，此时。 所以： 即 故的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $