第4章相似三角形单元质量检测同步训练卷提高卷 2026—2027学年浙教版九年级数学上册

第4章相似三角形单元质量检测同步训练卷提高卷浙教版2026—2027学年九年级数学上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 考卷信息: 本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．下列各组线段中，是成比例线段的是（　　） A．2，3，4，5 B．2，3，4，6 C．1，2，3，4 D．1，4，9，16 2．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ） A．AB∥CD B． C． D． 3．如果，那么下列各式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 4．两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边上的高之比是（　　） A． B． C． D． 5．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 6．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（　　）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 7．下列命题中，正确的是（　　） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 8．如图，直线，若，则线段的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，边长为4的正方形中，对角线，交于点，在上，连接，作交于点，连接交于点，则的值是（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 10．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．如图，在△ABC中，点D在AB边上．若BC=3，BD=2，且∠BCD=∠A，则线段AD的长为　 　 12．如图，DE∥BC，且，求△ADE与△ABC的周长比为　 　 13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，且AE⊥EF．若AB=2，AD=4，BE=1，则CF的长为　 　． 14．如图，在△ABC中，BC=12，高AD=6，正方形EFGH的边HG在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为　 　． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．如图，中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点，且． （1）求的长； （2）证明： 16．如图，在矩形中，已知．在边上取点，连结．过点作，与边的延长线交于点． （1）证明：． （2）若，求线段的长． 17．如图，在与中，，点D在边上且， （1）求证：； （2）当F是中点时，求的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，画三角形，使它与位似，且相似比为； （2）内部一点M的坐标为，写出点M在（1）中的位似图形中对应点的坐标． 19．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 20．【问题背景】 （1）如图1，已知，，若D是的中点，求证：． 【问题拓展】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作，交于点F，交于点G，求证：． 【拓展探究】 （3）如图3，在（2）的问题中，若D是上的任意一点，其他条件不变，求证：． 参考答案 1．【答案】B 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，∴A不符合题意． B、∵∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，∴B不符合题意． C、∵、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，∴C不符合题意． D、∵已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，∴D符合题意． 故答案为：D. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：A．由，得，那么A正确，不符合题意． B．由，得，那么B不正确，符合题意． C．由，得，那么C正确，不符合题意． D．由，得，那么D正确，不符合题意． 故答案为：B 4．【答案】D 【解析】【解答】解：∵两相似三角形的周长之比为， ∴两相似三角形的相似比为， ∴它们的对应边上的高的比为． 故选：D． 5．【答案】D 【解析】【解答】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴B、C、E、F四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：C. 10．【答案】C 【解析】【解答】对各结论进行逐一分析： 结论①：∵PE⊥BC，PF⊥DC，且正方形ABCD中∠C=90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴PB=CF，PF=CE。 又∴BD是正方形对角线，∠PBE=45°， ∴△PBE是等腰直角三角形，PE=BE， ∴BE=CF。 在△ABE和△ECF中： AB=BC，BD=CF，∠ABE=∠ECF=90°， ∴△ABE≌△ECF(SAS). ∴∠BAE=∠CEF。 ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠AEG=90°，即AH⊥EF，故结论①正确； 结论②：点P在BD上运动时，F的位置随P变化，PF的长度也变化，F不一定是MC的中点。 例如当P接近B时，F接近C，此时MF≠MC，故结论②错误； 结论③：由①知AH⊥EF，且四边形PPCF是矩形， ∴EF=PC。 ∵点A与点C关于BD对称， ∴AP=PC， ∴EF=AP。 ∴AD‖BH， ∴∠DAP=∠H， ∴∠APD=∠HPA， ∴△APD∽△HPA， ∴AP2=PM×PH。 ∵EF=AP， ∴EF2=PM×PH。故结论③正确； 结论④：∴四边形PECF是矩形， ∴EF=PC。 当PC⊥BD时，PC取得最小值，此时P为BD中点。 ∴正方形边长为2，对角线BD=， ∵中点到C的距离为BD=， ∴EF的最小值为。故结论④正确。 故答案为：C 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B， ∴△BDC∽△BCA. ，即 故答案为：. 12．【答案】2：3 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的周长比为．【分析】由，推导出，由平行线得到，则即可求得与的周长比等于相似比解答即可． 13．【答案】1.5 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴∠B=∠C=90°，BC=AD=4， ∴EC=BC-BE=4-1=3， ∵∠B=∠C=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴， ∴，即， 解得CF=1.5， 故答案为：1.5. 14．【答案】2 【解析】【解答】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF=∠EHG=90°， EF∥BC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN=90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN=EH=x， ∠ANE=∠END=90°， ∵BC=12， AD=6， ∴AN=AD-DN=6-x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ， ， 解得：x=4， ∴AN=6-x=6-4=2， ∴AN的长为2. 故答案为：2. 15．【答案】（1）解：∵， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴； ​​​​ （2）解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 由(1)知， ∴ ∴ ∴． 16．【答案】（1）证明：四边形是矩形 ， 。 ， ， （2）解：四边形是矩形 由（1）知： 即： 17．【答案】（1）解：∵，∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，∴， ∵F是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．【答案】解：（1）以原点O为位似中心，使它与位似，且相似比为，把这个三角形扩大为原来的2倍 ∵的顶点坐标分别为， ∴位似图形中点A'坐标为（2×2，1×2）即（4，2）或A″（-2×2，-1×2）即（-4，-2）， 位似图形中点B'坐标为（1×2，-2×2）即（2，-4）或B″（-1×2，2×2）即（-2，4）， 在平面直角坐标系中描出点A'（4，2），A″（-4，-2），B'（2，-4），B″（-2，4）， 顺次连结，得；顺次连结，得； ∴与为的位似图形； （2）点M的坐标为，且相似比为； ∴点M'即或M″即． 19．【答案】解：（1）∵四边形EGHF为矩形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设正方形零件的边长为x， 在正方形EFHG中，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴即， 解得：x=48， 即：正方形零件的边长为48； （3）设长方形的长为x，宽为y， 当长方形的长在BC时，， ， ， 当x=60时， 长方形的面积最大为2400． 20．【答案】证明：（1）∵D是的中点，∴， ∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴分别为的中点， 又∵D是的中点， ∴，， ∴； （3）如图，延长至，使， ∵，， ∴， ∴，， 在上取点，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 当在线段上，如图， 同理可得： 学科网（北京）股份有限公司 $