第4章 相似三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第4章三角形单元提升卷，通过基础题与综合探究题结合，考查相似、位似、比例线段等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|位似面积比（第3题）、平行线分线段成比例（第5题）|基础概念与图形直观结合| |填空题|6/18|黄金分割应用（第13题）、格点位似中心（第15题）|联系文化与坐标几何| |解答题|8/72|光学实验跨学科应用（第21题）、几何多问探究（第24题）|推理能力与模型意识并重|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章三角形（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.已知线段a,b,c,d为成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,则d是() A.Icm B.5cm C.9cm D.12cm 2.如图，△ABCn△DEF,且∠A=83°，则LD的度数是() A.37° B.83° C.120° D.60 OA1 3.如图，△ABC和ADEF是以点O为位似中心的位似图形.若AD2,则AABC与ADEF的面积比是 A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 4.如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=8,分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交 于点D、E(点D在AB下方)，连接DE交AB于点F,则EF的长为() A.5+4V5 B.9 C.73 D.&V3 5.如图，直线1∥山，直线4C分别交、、于点4，B,C,过点8的直线DB分别交，于点 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D,E.若AB=2,BC=4,DE=9,则线段DB的长为() A E A.3 B.4 c.5 D.6 6.如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定△ABCn△ACD的是() D B A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB AC AB C.AC2=AD.AB D.CDBC 7.如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O,∠BDC的平分线分别交BC、AC于M、N两点. 如果BM= ON 2,那么线段的长为() D M A 2 B.2 C.3 D.1 8.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,使点C的对应点E落 在边AB上，点B的对应点为D,连接CE并延长，与BD相交于点F,若BF=3,则△ABF的面积为 () 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.255 B.4V0 C.8&V2 D.7V2 9.如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=4,D是边BC上一动点（不与B,C重合），连接AD,分别 4B 过点D,C作AD,AC的垂线交于点B,连接4E·设BD的长度是，BD的值是y,y与x的关系图象如图 2.当点D运动到BC中点时，CE的长度是() 图1 图2 10 A.3 B.3 C.4 D.3 l0.如图，E是正方形ABCD边AB上的一点，AB=3BE,点H在边AD上，AH=BE,连接 1CCE,CH,BH.H交4C于点G,交CS于点卫下列结论：OCB1BH,②44G=5 B:⑧F是 GB 的中点：④ g=Sc.其中正确结论的序号是(） D E A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m 1.由5m=9n,可得比例式： AD AE 12.如图，己知点D、E在△4BC的边AB和AC上，DBEC,AD=10'BD=5:AE=6:则AC= D E 13.地球表面的纬度范围是0~90°，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带， 世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是： °（黄金比为0.618） 金字信巴比伦王国 三星谁 玛雅文化 1●● 14.如图所示，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD:AB=AE:AC=1:2,BC=5cm,则 DE= cm D 15.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 与△AB'C成位似关系，则位似中心的坐标为 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 7 6 B 5 4 3 B A o12345678910x 16.如图，点F在平行四边形ABCD的边AD上，延长BF交CD的延长线于点E,交AC于点O,若 S40B=1 AF Scos9,则DF E 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解决下列问题： a-2 .a+2b (四)已知方3，求a的值； ,a+4_b+3_c+8 (②)己知a,b,c是a4BC的三边，且满足3=2=4，a+b+c=12,请你探索。ABC的形状. 18.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边CD,AD上的点，AE=BF,AE,BF交于点H. H (I)求证：AE⊥BF; 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=4,CE=1,直接写出FH的长. 19.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC上的点，ED的延长线与CB的延 长线交于点F,且∠I=∠A. D B ()求证：FD2=FB.FC: (2)若FB=4,BC=5,求FD的长. 20.如图，在△ABC中，D为AB边一点，E为AC边中点，过C作CF∥AB交DE的延长线于点F,延长 CB与ED延长线交于点G. G B (I)求证：△ADE≌△CFE」 (②)若GD=4,DE=8,BD=2,求AD的长. 21.如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的 灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处. 点E到地面的高度ED=4m,点F到地面的高度FC=1.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木 板的水平距离为CD=5m,已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A,B,C,D在同一水平面 上. 、F G 墙 木板、B, 地面D C平面镜A (1)求BC的长： (2)求灯泡到地面的高度AG, 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.如图，在菱形ABCD中，连接对角线AC、BD,过点A作AE⊥BC于点E,点F在边CD上，且 ∠EAF=∠ABC 4 D (1)求证：AE=AF； (2)连接EF，请你判断EF与BD的位置关系，并说明理由； (3)若EF:BD=2:5，,求△AEF与△BAC的面积之比. 23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是△ABC所在平面内一点，连接BD. D A 图1 图2 图3 ()如图1，若点D在AC边上，且∠ABD=15°，AD=2,求BD的长： (2)如图2，若点D在AC边上，BD平分∠CBA,过点C作CE⊥BD于点K交AB于点E,点F是AC边上 一点，AF=CD,连接EF,延长BE至点G,使得EG=BE,连接DG,探索线段DG,CE,EF之间的 数量关系，并证明你的结论： (③)如图3，点D在△ABC的内部，连接AD,CD,延长BD交AC于点E,∠AED-∠ACD=45°，点F是 AB的中点，连接DF,延长DF至点G,使得FG=DF,以DG为斜边在DG的右侧作等腰直角△DGH, 连接CH,BC=2√2，当CH取最小值时，请直接写出△ADG的面积. 24.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°，点D是线段BC上一点，以AD为腰在AD上方作等腰 三角形ADE. (1)如图1，若点D是BC的中点，∠ADE=90°，BC=2,求AE的长： 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E C D 图1 (②)如图2，连接EB,当∠DEB+∠DBE+∠DAB=30°，在线段EB上取点F,连接CF,使得 ∠FCB+2∠FBC=120°，求证：CD=2CF: D B 图2 3)如图3，若∠ADE=90°，M为线段AB上一点，连接DM,CM,N为线段CM上一点， ∠BDM=∠ACM,BN平分∠DNM,在射线CM上取一点H,使得BN=CH,K为AC上一点， 2AK=CK=2,连接AH、HK,当HK取得最大值时，求BN的长. E M 图3 818学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章三角形（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.已知线段a,b,c,d为成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,则d是() A.Icm B.5cm C.9cm D.12cm 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可. 【详解】解：a,b,c,d是成比例线段， a c .a=2cm,b=3cm,c=6cm, .dbex69om a 2 2.如图，△ABCn△DEF,且∠A=83°，则∠D的度数是() B A.37° B.83 C.120° D.60 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可： 【详解】解：△ABC∽△DEF 、∠D=∠A=83° OA 1 3.如图，△4BC和ADEF是以点O为位似中心的位似图形.若AD-2,则A4BC与ADEF的面积比是 1/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1:2 B.1:3 c.1:4 D.1:9 【答案】D 【分析】根据位似图形得到△ABC∽△DEF,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可. OA 1 【详解】解：：4D2: 设OA=x,则AD=2x, ∴.0D=3x, OA 1 .0D3, ,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF, AC AB 1 DF-DE3' 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， 六△ABC与ADEF的面积比是g 4.如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=8,分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交 于点D、E(点D在AB下方)，连接DE交AB于点F,则EF的长为() E A.5+4V5 B.9 c.75 D.&3 【答案】A 【分析】连接BE,设EF与BC的交点为H,由作图可知：EF⊥BC, BH-CH-BC-4 2/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=BC=8,然后可得△FBHI∽aABC,进而问题可求解。 【详解】解：连接BE,设EF与BC的交点为H,如图所示： 由作图可知：BF1BC,BM=CI-0c=4,BE=BC=8, :EH=BE2-BH=43 .:∠FHB=∠C=90°，∠FBH=∠ABC, ∴.△FBHP△ABC FH BH 1 AC-BC2 :FH=24C=5, EF=FH+EH=5+43 5.如图，直线八，直线4C分别胶、、6于点4，日，C,这点9的直线DE分别交，于点 D,E,若AB=2，,BC=4,DE=9,则线段DB的长为() D A B A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】A AB BD 【分析】设BD=x,根据平行线分线段成比例定理得出BC=BE,解分式方程求出x的值即可得出答案. 【详解】解：设BD=x, ,DE=9 ..BE=DE-BD=9-x, 3/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h4B=2 BC=4 AB BD 2 x 六BC=BE,即49-x, 解得：x=3, 经检验：x=3是分式方程的解， ∴线段DB的长为3 6.如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定△ABCn△ACD的是(). D B A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB AC AB C.AC2=AD·AB D.CDBC 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可 【详解】解：根据题意可知∠BAC=∠CAD, 选项A,∠B=∠ACD,有两个角相等的三角形相似，故不符合题意. 选项B,∠ADC=∠ACB,有两个角相等的三角形相似，故不符合题意. AB AC 选项CC,AC2=AD·AB可转化成AC=AD,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C不符 合题意 选项D,两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意. 7.如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O,∠BDC的平分线分别交BC、AC于M、N两点. 如果BM- 2,那么线段0W的长为() 4/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 A.2 B.2 C.3 D.1 【答案】B 【分析】过点M作MH⊥BD于点H,根据正方形性质和等腰直角三角形判定求出MH、BH的长，利用 角平分线性质求出MC的长，进而得到正方形边长和对角线长，最后利用相似三角形性质求出ON的长. 【详解】解：过点M作MH⊥BD于点H, B M :四边形ABCD是正方形， ·.∠DBC=∠BCA=45°，AC⊥BD,BC=CD, :.△BHM是等腰直角三角形， BH MH,BH2+MH2 BM2 .'BH MH=1, :DM平分∠BDC,MH⊥BD,MC⊥CD, ∴.MC=MH=1, CD=BC=BM+MC=2+1 BD=BC2+CD=2+ 5/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0D=)BD=1+2 ,HD=BD-BH=1+2, :AC⊥BD,MH⊥BD, ..ONIMH, .△ODNAHDM, 即OW 1* MH HD 11+2 Ow 解得 2. 8.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,使点C的对应点E落 在边AB上，点B的对应点为D,连接CE并延长，与BD相交于点F，若BF=3,则△ABF的面积为 () 4 E A.2V55 B.410 C.&V2 D.7V2 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知：AC=AE=6,AB=AD=8,∠CAE=∠BAD,则有△ACE△ABD,然后可得 △BEF∽aBDA,则有BF=EF=3,过点F作FH⊥AB,进而根据勾股定理及等腰三角形的性质进行求解 即可 【详解】解：由旋转的性质可知：AC=AE=6,AB=AD=8,∠CAE=∠BAD, AE AC 3 ·ADAB4,BE=AB-AE=2' ∴.△ACE△ABD, .∠AEC=∠ADB 6/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AEC=∠BEF, ∴.∠BEF=∠BDA, ∠FBE=∠ABD, ∴.△BEF△BDA, BF EF BA DA' .BF=EF =3, 过点F作FH⊥AB,如图所示： B :BH-EH-1BE-1 FH=VBF2-BH-22 .S.ABF =AB.FH=812 9.如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=4,D是边BC上一动点（不与B,C重合），连接AD,分别 AB 过点D,C作AD,AC的垂线交于点B,连接AE·设BD的长度是x,BD的值是y,y与x的关系图象如图 2.当点D运动到BC中点时，CE的长度是() 图1 图2 10 A.3 B.3 C.4 D.3 【答案】A 【分析】根据图2可求得AB=3:过E作EH⊥BC于H,则可证明△ABD∽aDHE,同理，可证明 7/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB 3 △ABC∽aCHE,得BC=4·设CH=3x,HE=4x,由AABD∽ADHB可求得X的值，再由勾股定理即可求 得CE的长度， 【详解】解：由腿意，根据图2可得，当：=3时，即D=3时，少=奶- .'.AB=3 又.BC=4, ∴当点D运动到BC中点时，则BD=CD=2 如图，过E作EH⊥BC于H, E B H ,∠ADB+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， ∴.∠ADB=∠DEH. 又，∠ABD=∠DHE, ∴.△ABDADHE 同理，△ABC∽ACHE AB CH 3 六BC=HE=4: 设CH=3x,HE=4x .DH=DC+CH=2+3x. ,△ABD△DHE, AB BD .DH HE 3=2 2+3x4x 2 3 2 =了，经检验，x=有是方程2+3x4的根. :CH=2,EH=8 8 3, 8/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·CE=VCH2+EH_10 10.如图，E是正方形ABCD边AB上的一点，AB=3BE,点H在边AD上，AH=BE,连接 HC,C5,C1,m.BM交4C于点G,空CE于点R下列结论：@CE1B册：②4G=5 CE B:③r是 GB 的中点；④ a4c=Sc.其中正确结论的序号是（） D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【分析】由正方形的性质可得AB=BC,∠BAD=∠ABC=90°，ADBC,证明△BAH≌△CBE,得到 ∠BCE=∠ABH,则可推出∠BFE=90°，据此可判断①：设AB=BC=3a,则BE=AH=a,由勾股定理 AG AH 1 ,4G=32 得AC=3W2a,证明△AHG∽△CBG,得到CGBC3,则可得到 04acG=92 4，据此可 判断②；当点F是BG的中点时，可证明CF垂直平分BG,则CG=BC,这与CG≠BC矛盾，据此可判断 ③：根据平行线的性质得到 auc=Sam,则SaMc-Saum=Sam一Sau,即Sa=Sac,据此可判 ,则 断④. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠BAD=∠ABC=90°，ADII BC 又AH=BE, △BAH≌△CBE(SAS) ∴.∠BCE=∠ABH. ∴.∠BFE=∠CBF+∠BCE=∠CBF+∠ABH=∠ABC=9O°， .CE⊥BH,故①正确： 9/38 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 设AB=BC=3a, AB=3BE, .BE=a, ..AH =a: 在R1△ABC中，由勾服定理得4C=VAB+BC=32a, ..ADlI BC .△AHG∽△CBG, AG AH a 1 CGBC3a3 :46={4c=3 41 2acG=3Ac-92。 4, a 4 4, :41G=32a=V2a ,故②正确： 当点F是BG的中点时， 又CE⊥BG. ∴.CF垂直平分BG, CG=BC,这与CG≠BC矛盾， ∴点F不是BG的中点，故③错误： AD‖BC, S△MHe=S△MHB SAAIC-SAAIG=SAAIB-SAAIG S△MBG=S△HG , 故④正确： 综上所述，正确的有①②④. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) m 11.由5m=9n,可得比例式：n 9 【答案】5 10138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】把等式5m=9n两边同时除以5n即可得到答案. 【详解】解：，5m=9n,且由题意得mn≠0， 5m_9n ·5n5n,即n5 AD AE 12.如图，己知点D、E在AABC的边AB和AC上，DB=EC,AD=10BD=5?AE=6,则AC= E 【答案】9 AD AE 【详解】解：：DBEC,AD=10'BD=5?AE=6' 610 .EC5, .EC=3, ∴AC=AE+EC=9 13.地球表面的纬度范围是0~90°，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带， 世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是： °（黄金比为0.618） 金字信巴此伦王国 三星推 玛雅文化 【答案】 34.38 55.62 【分析】根据黄金分割率，用90°×0.618，可得结论. 【详解】解：由题意得，90°×0.618=55.62,90°-55.62°=34.38°， 黄金地带纬度的范围是：34.38°~55.62° 11/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图所示，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD:AB=AE:AC=1:2,BC=5cm,则 DE= cm E 【答案】2.5 【分析】证明△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质作答即可. 【详解】解：：∠A=∠A,AD:AB=AE:AC=1:2, .△ADE∽△ABC, :.AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2, ..BC=5cm .DE=BC=2.5cm 15.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 与△AB'C成位似关系，则位似中心的坐标为 87 6 B 5 3 A O12345678910x 【答案】 (4,5) 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解. 【详解】解：如图，AM与CC的交点D即为位似中心，坐标为 4,5) 12138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 7 6 B 5 3 A 012345678910x 16.如图，点F在平行四边形ABCD的边AD上，延长BF交CD的延长线于点E,交AC于点O,若 S40B=1 AF Scos9,则DF E 1 【答案】2 S.=1 AB 1 【分析】根据eABCD中，AB川CD可得，△AOB-△COE,再根据S,cE9,得出CE3,从而得出 AB 1 AF DE 2,再利用△ABF-ADEF,求出FD的值， 【详解】解：在ABCD中， :AB=CD,AB∥CD. .△AOB~△COE AB S40B=1 CE S.COE 9. AB 1 CE=CD+DE=AB+DE 13138 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 4B-1 DE 2 AB‖DE .△ABF~△DEF. AF AB 1 FDDE2· 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解决下列问题： a_2 a+2b ()已知63，求a的值： a+4_b+3_Cc+8 (2)已知a,b,c是A4BC的三边，且满足3=2 4，a+b+c=12,请你探索△4BC的形状. 【答案】(1)4 (2)直角三角形 b 【分析】(1)把所求分式拆开，利用已知条件求出。的值，代入直接计算. (2)利用设参数k的方法表示三边，再根据三边之和列方程求出k,得到三边长，最后用勾股定理逆定理 判定三角形形状， .a2 【详解】（山）解：“63 b3 ∴ a2· :a+2b=1+2×2=1+2×2=4」 a a 2 a+4_b+3-c+8=k (2)解：令3=24 .a+4=3k,b+3=2k,c+8=4k, ÷a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8 又，a+b+c=12 ∴.(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12. 14138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=3」 .a=5,b=3,c=4, .b2+c2=32+42=52a2=52 ∴a2=b2+c2 △ABC是直角三角形， I8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边CD,AD上的点，AE=BF,AE,BF交于点H. F D (I)求证：AE⊥BF: (2)若AB=4,CE=1,直接写出FH的长. 【答案】(I)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DA,∠BAF=∠D=90°， ∠DEA+∠DAE=90°， 在RtAABF和Rt△DAE中， (BF=AE AB=DA, Rt△ABF≌Rt△DAE(HL) ∴.∠AFB=∠DEA, ∴∠AFB+∠DAE=90° ∠AHF=180°-（∠AFB+∠DAE)=90° ∴AE⊥BF (②5 【分析】(I)先证出RtAABFS≌RtADAE,则∠AFB=∠DEA,再得出∠AHF=90°即可得证： (2)先求出DE,AE,AF的长，再证出△AHF∽aADE,根据相似三角形的性质求解即可. 15138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：，四边形ABCD是正方形，AB=4, ∴AD=CD=AB=4,∠D=90°， CE=1, .DE=CD-CE=3. :在RtAADE中，AE=VAD+DE=5. 由(I)己证：RtAABFS≌RtADAE,∠AHF=90°， ∴AF=DE=3, 在△AHF和△ADE中， ∠AHF=∠D=90° ∠HAF=∠DAE ∴，△AHF∽△ADE. FH AF FH 3 ·DE=AE,即3=5， 9 解得FH= 5· 19.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC上的点，ED的延长线与CB的延 长线交于点F,且∠I=∠A. D B (I)求证：FD=FBFC: (2)若FB=4,BC=5,求FD的长. 【答案】(1)证明：：∠I=∠A,I=∠2， .∠2=∠A, ,CD⊥AB, .∴∠CDB=90° 16138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DCB+∠CBD=90°， ∠ACB=90°， ∠A+∠CBD=90」 ∴.∠DCB=∠A=∠2 又：∠DFB=∠CFD. ∴FBDAFDC, FB FD FD FC .FD2=FB·FC (2)6 FB FD 【分析】(1)要证明乘积式FD'=FBFC,可以将其转化为比例式FD=FC,通过证明。FBD∽aFDC 完成推导： (2)将已知线段长度直接代入(1)中等积式即可求出线段FD的长度. 【详解】(1)略. (2)解：FB=4,BC=5, ∴.FC=9 由(1)可知FD=FB.FC, .FD2=36 .FD=6 20.如图，在△ABC中，D为AB边一点，E为AC边中点，过C作CF∥AB交DE的延长线于点F,延长 CB与ED延长线交于点G. G (I)求证：△ADE≌△CFE 17/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②)若GD=4,DE=8,BD=2,求AD的长. 【答案】(I)证明：：CF∥AB, .∠A=∠ECF,∠ADE=∠F, E为AC边中点， .'AE=CE, :在△ADE和△CFE中， ∠A=∠ECF ∠ADE=∠F AE=CE △ADE≌ACFE(AAS) (2)10 【分析】(1)根据平行线的性质可得∠A=∠ECF,∠ADE=∠F,再由中点的定义可得AE=CE,即可求 证； (2)根据全等三角形的性质可得CF=AD,DE=EF=8,再由△3DGACFG,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：：△ADE≌△CFE,DE=8, .CF=AD,DE=EF=8. .GD=4,DE=8 ..EG=GD+DE=12,FG=GD+DE+EF=20 ,CF∥AB, ∴.△BDG∽aCFG. BD DG ·CFFG' BD=2, 18138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24 .CF20 ∴CF=10, ,AD=10 21.如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的 灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处. 点E到地面的高度ED=4m,点F到地面的高度FC=1.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木 板的水平距离为CD=5m,已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A,B,C,D在同一水平面 上 E 墙 木板、B 地面D C平面镜A (I)求BC的长： (2)求灯泡到地面的高度AG 【答案】(1)BC=3m (2)1.2m 【详解】(I)解：由题意，得FC∥DE, 则△BFC∽△BED」 BC FC 则BDDE: DC=5,DE=4,FC=1.5, BC1.5 BC+54, 解得BC=3m; (2)AC=5.4,BC=3, .AB=5.4-3=2.4 ,反射角等于入射角， ∠FBC=∠GBA」 :∠FCB=∠GAB=90°. △BGA∽△BFC, 19138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG AB CFCB· AG_2.4 1.53 解得：AG=1.2, 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m 22.如图，在菱形ABCD中，连接对角线AC、BD,过点A作AE⊥BC于点E,点F在边CD上，且 ∠EAF=∠ABC D (I)求证：AE=AF； (2)连接EF,请你判断EF与BD的位置关系，并说明理由； (3)若EF:BD=2:5,求△AEF与△BAC的面积之比. 【答案】(L)证明：四边形ABCD是菱形， .AB=AD,∠ABC=∠ADC,ADI‖BC, :AE⊥BC, AE⊥AD, .∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=9O°， :∠EAF=∠ABC, .∠BAE=∠DAF, .△ABE≌△ADF(ASA) :AE =AF: EFBD (2) ,理由如下： ~四边形ABCD是菱形， ∴.∠BAC=∠DAC,AC⊥BD 由(I)知，∠BAE=∠DAF, 20138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAC=∠FAC, 又AE=AF, :.AC⊥EF, .EF∥BD: S△M匹=16 (3)SABC 25 【分析】(1)根据菱形的性质证 △ABE≌△MDF(ASA)即可： (2)由菱形可得∠BAC=∠DAC,AC⊥BD,由(1)知，∠BAE=∠DAF,则∠EAC=∠FAC,再由 三线合一得到AC⊥EF,最后由垂直于同一直线的两直线平行证明即可； (3)先证明△CEF∽△CBD,再证明△AEF∽aBAC,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解 即可 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：由(2)知，EF BD, .ACEF∽ACBD. EC EF 2 BCBD5· 设EC=2a,则AB=BC=5a,BE=3a, :AE⊥BC :.AE=AB2-BE2 =(5a)-(3a)'=4a AE=AF 、AEAF AB BC .∠EAF=∠ABC, ∴.△AEF∽△BAC S BAC 23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是△ABC所在平面内一点，连接BD 21138 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 C D D E B B 图1 图2 图3 ()如图1，若点D在AC边上，且∠ABD=15°，AD=2,求BD的长： (2)如图2，若点D在AC边上，BD平分∠CBA,过点C作CE⊥BD于点K交AB于点E,点F是AC边上 一点，AF=CD,连接EF,延长BE至点G,使得EG=BE,连接DG,探索线段DG,CE,EF之间的 数量关系，并证明你的结论： (3)如图3，点D在△ABC的内部，连接AD,CD,延长BD交AC于点E,∠AED-∠ACD=45°，点F是 AB的中点，连接DF,延长DF至点G,使得FG=DF,以DG为斜边在DG的右侧作等腰直角△DGH, 连接CH,BC=2V2,当CH取最小值时，请直接写出△ADG的面积. 【答案】(023+2 (2)解：DG=CE+EF.证明如下： 如图，过点A作AH上AC,交CE延长线于点H,连接DE, C D G E B H ,BD平分∠ABC, ·.∠CBD=∠ABD CE⊥BD .∠BKC=∠BKE=90°. BKBK △CBK≌△EBK(ASA) .BC=BE 又BD平分∠ABC, .DC=DE 22138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BCD≌ABED(SSS) .∠BED=∠BCD=90°，即DE⊥AB, .EG=BE .DG=BD: ∠CBD+∠BCK=∠ACH+∠BCK=90°， .∠CBD=∠ACH, ∠BCD=∠CAH=90°，AC=BC, △BCD≌ACAH(ASA) .BD=CH,CD=AH, ∴.DG=CH, .CD=AF, ∴.AF=AH, ,∠HAE=∠HAC-∠BAC=45°， ∴.∠EAH=∠EAF=45°， AE=AE, ,△AEF≌AAEH(SAS) ∴EF=EH, CH=CE+EH .'DG=CE+EF 33o=4-4V5 5 【分析】(I1)因为△ABC是等腰直角三角形，所以先求出∠ABC和∠BAC的度数.结合∠ABD=15°，可 算出∠DBC的度数，进而得到∠BDC的度数.如果∠BDC=LDBC,那么BC=CD,结合AD=2可得到BC 的长度，再利用等腰三角形性质或三角函数求BD的长， (2)先通过角平分线和垂直的条件，证明aBCK和△BEK全等，得到CK=EK,即CE=2CK.因为 AC=BC,AF=CD,所以CF=AD,再结合等腰直角三角形的角的条件，证明△AEF和△CBD全等，得 到EF=BD.由EG=BE,EK⊥BG,可得BK=GK,即BD=DG,从而建立DG,CE,EF之间的关系. 23138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)以C点为原点，BC边和AC边所在直线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则 CO,0,A(O,22),B25,0),可得△MGF≌aBDF(SAS),得AG=BD,∠GMF=∠DBF,证明 G承DG.DKG=DB,证明AG2ABK,得GJ=K,G=BKy ADKGADBH,得BH=DK 可得四边形BHWK是平行四边形，得∠BW=∠KB=13S°，点H是在OM的一段弧上运动，求出直线CM 1 解析式为y=x,设x, x=325-1PH=2W5-2 求得，x= 0，点H到By的距离为 BC-CP-310- 25-2 5 30-2,由 ,可得点D到AC的距离为V10,点D到BC的距离为5 a=Sar,有c=Sm,f代入m=Sc-Sm-5m计第可得结果 【详解】(1)解：：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, ∴∠ABC=∠A=45° 又，∠ABD=15°， .∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°-15°=30° 在RtABCD中，∠C=90°， ∴BD=2CD 设CD=x, BD=2x,BC=AC=AD+CD=2+x, 由勾股定理：BC2+CD2=BD2, 代入得： (x+2)2+x2=(2x)2 整理得x2-2x-2=0, 解得正根=1+V3 BD=2x=2+2N3 因此 24138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)解：如图，以C点为原点，BC边和AC边所在直线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则 C(0,0),A0,22),B22,0). 连接AG, B 点F是AB的中点， ∴AF=BF, .FG=DF,∠AFG=∠BFD, △AGF≌△BDF(SAS) .AG=BD,∠GAF=∠DBF, .AG∥BD 把△BCE绕点B顺时针旋转9O°，得到△BL,点D的对应点为点K,连接BH,H,DK,GK,GJ,AJ, 则BJ=BC, .AC=BJ,ACI‖BJ, ∴四边形ACBJ是正方形， ∴∠AJB=90°， ∠AJB+∠BL=180°， ∴.点A、JL在同一条直线上， :△BDK和△HDG是等腰直角三角形， DG-DK=2,∠GDH=∠KDB=45: ·DHDB .∠GDK=∠HDB. .△OKGADBH, GK_DG- ·BHDK ·∠DKG=∠DBH, 25138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AED-∠ACD=∠CDE,且∠AED-∠ACD=45°， .∠CDE=45°. ∴.∠CDE=∠BDK=45° C、D、K三点共线， ,∠CAG=∠CEB,∠CAG+∠JAG=∠CEB+∠CBE=90°， ∴∠JAG=∠CBD AJ=BC,AG=BD. .△AGJ≌ABDC(SAS) .△AJG≌aB.JK, .GJ=JK,∠AJG=∠BJK, ∴.∠GK=∠BK+LBJG=∠AJG+∠BJG=90°， :.4GK=459GK=V2K ..BH =JK, :∠AGH=∠BDC=135° ∴.∠AGJ+∠JGK=180° A、G、K三点共线， ∴.∠CDE=∠CKA=45°， .∠DBH=∠DKG=45°， ∴.∠HBK=∠DBK-∠DBH=45°. ∴.∠HBK=∠JKL=45°， .BH K “四边形BHWK是平行四边形， .∠BHW=∠JKB=135°. ·点H是在⊙M的一段弧上运动，∠BMW=90°，如图， 26138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E PB B.J=BC=22 BM=JM=28J=2 2 过点M作MN⊥x轴于点N, 则∠BWM=90° :∠MBN=∠JBN-∠JBM=45°， MN-BN-BM=V ..CN-BC+BN=3/ ..CM=VCN2+MN=25 当点H在CM上时，CH取得最小值，为CH=CM-M=25-2, 设直线CM解析式为y=c, 把M32,2)代入得，2=3w2k, 解得 3 y=3, 则CP=xHP 3, .CP2+HP2=CH2, 27138 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 r+Gj=5-2 解得35-2 10 (舍去负根) :PH=252 V0,点H到BJ的距离为 C-CP=30-2 由中心对称知△JBH≌△BJK, .△BJK≌ACBD 25-2 30-2 ∴点D到AC的距离为V0,点D到BC的距离为5 AGF≌ABDF(SAS) 由前面解析知 SAGF=SRDF S.4DG=S.4DF+S4GF=S4DF+S.BDE=S.ABD SABD =SABC -SACD-SBCD -x22x25-22x252-2v3o-5 102 5 =44V5 5, :S6=4-4V5 5 24.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°，点D是线段BC上一点，以AD为腰在AD上方作等腰 三角形ADE (①)如图1，若点D是BC的中点，∠ADE=90°，BC=2,求AE的长： 28138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 图1 (②)如图2，连接EB,当∠DEB+∠DBE+∠DAB=30°，在线段EB上取点F,连接CF,使得 ∠FCB+2∠FBC=120°，求证：CD=2CF: B D B 图2 3)如图3，若∠ADE=90°，M为线段AB上一点，连接DM,CM,N为线段CM上一点， ∠BDM=∠ACM,BN平分∠DNM,在射线CM上取一点H,使得BN=CH,K为AC上一点， 2AK=CK=2,连接AH、HK,当HK取得最大值时，求BN的长. E M H 图3 【答案】(1)AE=V14: (2) 证明：：∠EDC是△EDB的外角， .∠DEB+∠DBE=∠EDC. ∠DEB+∠DBE+∠DAB=30° 29138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EDC+∠DAB=30 ∠CAB=30° 由(1)可知 .∠CAD+∠DAB=30° ∴.∠CAD=∠EDC, ∠ACB=120° .∠CAD+∠CDA=180°-120°=60° ∴.∠EDC+∠CDA=∠EDA=60° △ADE ∠EDA=60° 为等腰三角形， ∴△EDA为等边三角形， ∴.AE=AD=ED∠EAD=60° 如图，过点A作AM⊥AB,并使得AM=AC,连接ME、CM,延长AC交BE于点N, D 图2 :AM⊥AB∠CAB=30° .∠MAC=60 AM=AC, :∴△MAC为等边三角形 ∴.AM=AC=MC∠AMC=∠ACM=60° .∠ACM+∠ACB=180° ∴M、C、B三点共线， 30138 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 :△ACB为等腰三角形， .AC=CB, :.MC=CB=1BM 2 .·∠MAC=∠EAD=60° ∴.∠MAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC=60° ∴.∠MAE=∠CAD ~在△MAE和△CAD中， AM=AC ∠MAE=∠CAD AE=AD ∴.△MAE≌ACAD(SAS) ∴.ME=CD∠AME=∠ACD=120° .∠AMC=60° .∠CME=60° ∴.∠CME=∠ACM, ..ME CN .BCN△BME, BC CN 1 BM ME 2 ∴.ME=CD=2CN, :∠CNF为△CNB的外角， ∴.∠CNF=∠BCN+∠FBC=60°+∠FBC :∠CFB=180°-∠FCB-∠FBC∠FCB+2∠FBC=120° 31138 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 ∴.∠CFB=60°+∠FCB+2∠FBC-∠FCB-∠FBC=60°+∠FBC ∴.∠CFB=∠CNF, ∴.CF=CN, :.CD=2CF; (3)BN=6 【分析】(1)过点C作CP⊥AB交AB于点P,过点D作DO⊥AB交AB于点Q,先根据题意求出 CAB=∠CBA=30°，结合30°直角三角形的性质和勾股定理求出AP=PB=V5,4B=234Q=33 2 2,最后运用勾股定理求出AD=√万，以及结合。ADE为等腰Rta即可求解； (2)先通过∠DEB+∠DBE+∠DAB=30°等量代换推出∠CAD=∠EDC,证明△EDA为等边三角形，再过 点A作AM⊥AB,并使得AM=AC,连接MECM,延长AC交BE于点N,证明△MAC为等边三角形， 推出 M1E≌，CMD(SMS）,运用全等性质可得ME=CD,∠CME=∠BCN,推出ME‖CV,证明 △BCW∽aBME,即可推出ME=CD=2CN,最后结合题意并运用三角形内角和的性质换角推出 ∠CFB=∠CNF,CF=CN,即可证明CD=2CF: (3)如图1，过点C作CZ⊥CB交AB于点O,连接KOOH,根据KH≤KO+OH,可得当K、O、H三 点共线时， KH为最大值，如图2，再结合题意和勾股定理及30直角三角形的性质求出 C=A0=3 OB=2√3AB=3V 3,证明AKO1CB,推出 ,KH BC∠COH=∠BCO=90°∠CHO=∠BCH 然后设∠OCH=a,求出LCHO、∠BCH、∠ACM、∠BDM、∠CMA、∠DMB、∠BMH,接着过点B作 BT⊥DNBT,⊥DMBT,⊥CH 分别交D的延长线，线段DM,射线CH于点 ，乃，运用角平 分线的性质求出 ∠T,BT=60°∠DNM=120°∠CND=∠DNM=∠MNB=60°∠CNB=120 ,最后过点 32138 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 BBQ⊥AB AC Q△CBO ⊙R CR,RB,RN 作 ，并与的延长线交于点，作的外接圆，连接 ，根据圆和等腰 CRB≌ACAO(ASA)△RBN≌AOCH(SAS) 三角形的性质分别证明 ,即可推出△COT为等腰直角三角形， 根据勾股定理即可求解。 【详解】(I)解：如图，过点C作CP⊥AB交AB于点P,过点D作DO⊥AB交AB于点O, C D A B 图1 AABC AC=BC∠ACB=120°BC=2 在 中 &ZCAB=∠CBA=180-20=30,4C=2 2 :CP⊥AB,AC=BC, ∴∠CPB=90,AP=PB=)AB :RtACPB,∠CPB=90°∠CBA=30°BC=2 在 中， 1 ∴.CP=5BC=1 2 “根据勾股定理， PB=BC2-CP2=3 .AP=PB=3 AB=23 D为BC中点， DB-号Bc=1, RtADOB D0⊥ABDB=1∠CBA=30 在 中， 33138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Do=1 2 ∴根据勾股定理， on-DB-Do 2, 40=AB-QB=3 2, 在Ra1D0中，D01B,4AQ=3 2， 六根据勾股定理，AD=√A0+D0=V万 ·△ADE ∠ADE=90° 为等腰三角形， AD=DE=√7 心根据勾股定理， AE=AD2+DE2=14 (2)略： (3)如图1，过点C作CZ⊥CB交AB于点O,连接KOOH, D D 图1 图2 .KH≤KO+OH .当K、OH三点共线时，KH为最大值，如图2， ,△ABC,AC=BC∠ACB=120° 在 中， .∠CAB=∠CBA=30° ,CZ⊥CB, 34138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BC0=90° ∴.∠AC0=30°∠COB=60° ∴.∠CAB=∠ACO, A0=0C, ..2AK=CK=2. .AC=CB=3,AK=1, RtACBO,CZ⊥CBCB=3∠CBA=30 在 中， ∴.20C=OB ∴根据约服定理，0B=0C2+CB,即（20C=0C+3,解得0C=5, ..40=CO=3 OB=23 AB=33 AK AO 在△AKO和△ACB中，AC=AB,∠CAB=∠KA0 .∴△AKOAACB」 ∴.∠AKO=∠ACB=120°∠KOA=30°KO=AK=1 ∴KH I BC ∴.∠COH=∠BCO=90°∠CHO=∠BCH 设∠OCH=a, ∴.∠CHO=∠BCH=90°-a∠ACM=∠BDM=30°+a ∴.∠CMA=∠DMB=∠BMH=120°-a 如图3，过点8作 T⊥DNBT⊥DMBT⊥CH 分别交ND的延长线，线段DM,射线CH于点 TT Ts 35138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E T D 平分 K 李B H 图3 .BN ∠ONM BT⊥DNBT,⊥CH ∴.BT=BT3 '∠DMB=∠BMH BT2⊥DMBI,⊥CH ∴BT2=BT,∠TBM=∠T,BM=90-(120°-a=a-30 ∴BT3=BT BT,⊥DMBT⊥DN .∠MDB=∠BDT=90°-a .∠TBD=∠TBD=90°-(90°-a)=a ∴.∠TBT=2∠TBM+2∠T,BD=2∠CBA=60° .∠DNM=180°-60°=120° ∴.∠CND=∠DNB=∠MNB=60°∠CNB=120° 如图4，过点B作BO⊥AB,并与AC的延长线交于点卫，作△CBO的外接圆⊙R,连接CR,RB,RN, 36138 多学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E O H 图4 BQ⊥AB∠CAB=30 ∴.∠AQB=60° ∠AQB+∠CNB=180 ∴.C、N、B、Q 四点共圆， .N在⊙R上， ·CB=CB ∴.∠CRB=2∠AQB=120° .CR=RB. ∴.∠RCB=∠RBC=30° :在△CRB和△CA0中， ∠RCB=∠ACO CB=AC ∠RBC=∠AOC' ∴.ACRB≌ACAO(ASA) ..CR=CO=RB, .∠BCM=90°-a∠CNB=120° 37/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBW=a-30° .∠RBC=30° ∴.∠RBN=&, :在△RBN和△OCH中， RB=OC ∠RBN=∠OCH BN=CH ∴△RBN≌AOCH(SAS) .∠BRN=∠COH=90° NR=RB, ∴△NRB为等腰直角三角形， ∴△COH为等腰直角三角形， ∴.C0=OH=3 六根据勾股定理，CH=VC02+OH=√6 .BN=6 38138函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章相似三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A D B C B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 9 11.5 12.9 13. 34.38 55.62 14.2.5 15,.(4,5) 16.2 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，) 17.(1)4 (2)直角三角形 【译1少解号号 b-3 a2· a+20=1+2x2-1+2×24: 3 a a 4分 )解：令=b+3= 4 ∴a+4=3k,b+3=2k,c+8=4k, .a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8. 又a+b+c=12」 ∴.(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12. 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=3 .a=5,b=3,c=4, .b2+c2=32+42=52a2=52 .a2=b2+c2 △ABC是直角三角形 ---8分 18.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=DA,∠BAF=∠D=90°. .∠DEA+∠DAE=90°， 在Rt△ABF和Rt△DAE中， (BF=AE AB=DA, Rt△ABF≌Rt△DAE(HL) .∠AFB=∠DEA, ∴.∠AFB+∠DAE=90° ∠AHF=180°-（∠AFB+∠DAE)=90° AE⊥BF 4分 9 (②5 【详解】(1)略. (2)解：四边形ABCD是正方形，AB=4, ∴.AD=CD=AB=4,∠D=90°， CE=1, .'DE=CD-CE=3. :在Rt△MDE中，AE=AD2+DE2-5 由(I)已证：RtAABF≌RtADAE,∠AHF=90°， .'AF=DE=3, 在△AHF和△ADE中， 2/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AHF=∠D=90° ∠HAF=∠DAE, .△AHF△ADE, FH AFFH_3 小DE=AE,即3=5， 解得FH=9 5 8分 19.(1)证明：'∠1=∠A,1=∠2， .∠2=∠A, CD⊥AB .∠CDB=90°， ∠DCB+∠CBD=90°， ∠ACB=90°， ∠A+∠CBD=90°， ∴.∠DCB=∠A=∠2 又：∠DFB=∠CFD ..AFBDAFDC. FB FD FD FC ..FD2=FB.FC 4分 (2)6 解：FB=4,BC=5, ∴.FC=9 由(1)可知FD2=FB·FC, .FD2=36 .FD=6 8分 20.(1)证明：：CF∥AB, 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠ECF,∠ADE=∠F, .E为AC边中点， .AE=CE, :在△ADE和△CFE中， [∠A=∠ECF ∠ADE=∠F AE=CE △ADE≌△CFE(AAS) 4分 (2)10 解：，△ADE≌△CFE,DE=8, ..CF=AD,DE=EF=8 GD=4,DE=8. ..EG=GD+DE=12,FG=GD+DE+EF=20 CF∥AB .△BDGACFG, BD DG CF FG' .BD=2, 24 .CF20 .CF=10. .AD=10 8分 21.【答案】(1)BC=3m (2)1.2m 【详解】(1)解：由题意，得FC∥DE, 则△BFC∽△BED」 BC FC 则BDDE: 4/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DC=5,DE=4,FC=1.5, BC1.5 BC+54, 解得BC=3m； (2)AC=5.4,BC=3, ∴AB=5.4-3=2.4, ,反射角等于入射角， ∠FBC=∠GBA, .·∠FCB=∠GAB=90° .△BGAn△BFC, AG AB CF CB' AG2.4 1.5=3, 解得：AG=1.2, 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m.--8分 22.(1)证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,∠ABC=∠ADC,ADII BC AE⊥BC AE⊥AD, .∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°， :∠EAF=∠ABC, ∴.∠BAE=∠DAF, ∴.△ABE≌△ADF(ASA) .AE=AF:3分 EFI‖IBD (2) ,理由如下： 四边形ABCD是菱形， ∠BAC=∠DAC,AC⊥BD. 由(I)知，∠BAE=∠DAF, 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAC=∠FAC, 又AE=AF, AC⊥EF, :EF∥BD;7分 SAM匹=16 (3)SARC25 解：由(2)知，EFI‖BD ∴△CEF∽△CBD EC EF2 BC BD 5' 设EC=2a,则AB=BC=5a,BE=3a AE⊥BC :.AE=AB2-BE2 =(5a)2-(3a)2=4a .AE=AF .AEAF ABBC· :∠EAF=∠ABC, .△AEF∽ABAC S BAC 10分 23.①)25+2 解：：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠ABC=∠A=45° 又，∠ABD=15°， ∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°-15°=30° 在RtABCD中，∠C=90°， ∴.BD=2CD 设CD=x, 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=2x,BC=AC=AD+CD=2+x, 由勾股定理：BC2+CD=BD2, (x+2)2+x2=(2x)2 代入得： 整理得x2-2x-2=0, 解得正根x=1+V5 D=2x=2+25 因此 -3分 (②)解：DG=CE+EF.证明如下： 如图，过点A作AH⊥AC,交CE延长线于点H,连接DE, C D A E B .BD平分∠ABC, .∠CBD=∠ABD, .CE⊥BD .∠BKC=∠BKE=90°， BK BK :△CBK≌AEBK(ASA) .BC=BE, 又BD平分∠ABC, .DC=DE. △BCD≌ABED(SSS) .∠BED=∠BCD=90°，即DE⊥AB, .EG=BE ..DG=BD: 7/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBD+∠BCK=∠ACH+∠BCK=90°， .∠CBD=∠ACH. .∠BCD=∠CAH=90°，AC=BC, △BCD≌ACAH(ASA) .BD=CH,CD=AH, .DG=CH ..CD=AF, .AF=AH, .∠HAE=∠HAC-∠BAC=45°， .∠EAH=∠EAF=45°， AE=AE, :△MEF≌AEH (SAS)) .EF=EH, .CH=CE+EH, .DG=CE+EF」 -6分 3)36=4-4V5 5 解：如图，以C点为原点，BC边和AC边所在直线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则 C(0,0A0,22)B(22,0),连接4G, E ,点F是AB的中点， .AF=BF, .FG=DF,∠AFG=∠BFD. 8/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AGF≌ABDF(SAS) .AG=BD,∠GAF=∠DBF, .AG∥BD 把△BCE绕点B顺时针旋转9O°，得到△BL,点D的对应点为点K,连接BH,H,DK,GK,GJ,, 则BJ=BC, .AC=BJ,ACll BJ 四边形ACBJ是正方形， .∠AJB=90°， ∴.∠AJB+∠BL=180° 点A、J、L在同一条直线上， ,△BDK和△HDG是等腰直角三角形， DG_DK=2 ·DHDB ∠GDH=∠KDB=45, .∠GDK=∠HDB .△DKGADBH, GK DG ·BHDK ,∠DKG=∠DBH: .∠AED-∠ACD=∠CDE,且∠AED-∠ACD=45°， .∠CDE=45°. ∴.∠CDE=∠BDK=45 ∴C、D、K三点共线， ,∠CAG=∠CEB,∠CAG+∠JAG=∠CEB+∠CBE=90°， ∴.∠JAG=∠CBD AJ=BC,AG=BD :△4G/≌aBDC(SAS) .△AJG≌aBJK, G=JK,∠AJG=∠BJK, ∴.∠GJK=∠BJK+∠BJG=∠AJG+∠BJG=90° 9/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠GK=459GK=V2K .BH=JK, .∠AGJ=∠BDC=135, :.∠AG+∠JGK=180° A、G、K三点共线， .∠CDE=∠CKA=45° .∠DBH=∠DKG=45° .∠HBK=∠DBK-∠DBH=45°， ∴.∠HBK=∠JKL=45°， .BHIJK .四边形BHJK是平行四边形， ∴.∠BHW=∠JKB=135°， ∴点H是在⊙M的一段弧上运动，∠BMW=90°，如图， G PB N .BJ=BC=22 BM-JM-2B=2 2 过点M作MW⊥x轴于点N, 则∠BWM=90° .∠MBN=∠JBN-∠JBM=45°， AMw=BN=号BM=5, 2 ..CN-BC+BN=3/2 10120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CM=CN2+MN=2/5 当点H在CM上时，CH取得最小值，为 CH=CM-HM=25-2 设直线CM解析式为y=c, 把M(35,2代入得，V2=-32k, 解智. y=3x, 则c6那- CP2+HP2 CH2, A+G-5-25 32w5-2 解得x √10 (舍去负根) :H=25 0,点H到的距离为C-CP=305 由中心对称知△BH≌△BJK, ∴.△BJK≌ACBD, 2V5-2 ∴.点D到AC的距离为VI0,点D到BC的距离为5 AGF≌ABDF(SAS) 由前面解析知 SAAGF =SABDF 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SADG=S4DF+S4GF=SADF+S.BDF=SABD 84m=从c-S4-Sn -4cac-4cc -222-2262-2-） V102 =4-4V5 5, :Sx=4-4v5 5---10分 24.(1)AE=V14: 解：如图，过点C作CP L AB交AB于点P,过点D作DQ⊥AB交AB于点Q, E D P O B 图1 在△MBC中，4C=BC乙ACB=120BC=2 中， ∠CAB=∠CBA=l80D=30,AC=2 2 CP⊥AB,AC=BC, ∠CPB=9oP=PB=23 :RtACPB∠CPB=90°∠CBA=30°BC=2 在 中， ∴CP _1BC=1 12120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·根据勾股定理， PB=BC2-CP2=3 .AP=PB=3 AB=23 D为BC中点， DB-BC1, :RtADOB D0⊥ABDB=1∠CBA=30 在 中， :.D0=2 1 根据勾股定理， 28-DB-Do= 2, 10-AB-0B-33 , 在RAD0中，D0LB.AQ=35D0=号 2, 2 六根据勾股定理，1D=VAQ2+D02=√万 .△ADE 为等腰三角形， ∠ADE=90° .AD=DE=7 六根据勾股定理， AE=AD2+DE2=14 ，-3分 (2) 证明：∠EDC是△EDB的外角， ∴.∠DEB+∠DBE=∠EDC, .∠DEB+∠DBE+∠DAB=30° .∠EDC+∠DAB=30° 13120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAB=30° 由(1)可知 ∴.∠CAD+∠DAB=30° ∴.∠CAD=∠EDC, .·∠ACB=120° .∠CAD+∠CDA=180°-120°=60° ∴.∠EDC+∠CDA=∠EDA=60° .△ADE ∠EDA=60° 为等腰三角形， ∴△EDA为等边三角形， ∴.AE=AD=ED∠EAD=60 如图，过点A作AM⊥AB,并使得AM=AC,连接ME、CM,延长AC交BE于点N, D 图2 :AM⊥AB∠CAB=30 ∴.∠MAC=60° .AM=AC, ∴△MAC为等边三角形， ∴.AM=AC=MC∠AMC=∠ACM=60° .∠ACM+∠ACB=180° M、C、B三点共线， :△ACB为等腰三角形， :AC=CB, 14120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..MC=CB=-BM ∠MAC=∠EAD=60° ∴.∠MAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC=60 .∴∠MAE=∠CAD 在△MAE和△CAD中， AM=AC ∠MAE=∠CAD AE=AD ∴.△MAE≌ACAD(SAS) ∴.ME=CD∠AME=∠ACD=120 .∠AMC=60 .∠CME=60° ∴.∠CME=∠ACM, ∴.ME‖CW .∴ABCN∽ABME BCCN1 BM ME 2 .ME CD=2CN, :∠CNF为aCNB的外角， ∴.∠CNF=∠BCN+∠FBC=60°+∠FBC .∠CFB=180°-∠FCB-∠FBC∠FCB+2∠FBC=120° ∴.∠CFB=60°+∠FCB+2∠FBC-∠FCB-∠FBC=60°+∠FBC .∴∠CFB=∠CNF. 15120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CF=CN, CD=2CF,--7分 3)BN=6 如图1，过点C作CZ⊥CB交AB于点O,连接KOOH, D D 图1 图2 .·KH≤KO+OH ∴当K、O、H三点共线时，KH为最大值，如图2， :,△ABC,AC=BC∠ACB=120° 在 中， ∴.∠CAB=∠CBA=30° CZ⊥CB, .∠BC0=90° ∴.∠AC0=30°∠COB=60° ∴.∠CAB=∠ACO ..AO=OC, ..2AK=CK=2. .AC=CB=3,AK=1, :RtACBO,CZ⊥CBCB=3∠CBA=30° 在 中， .20C=OB. ∴根据勾股定理，0B=0C+CB,即20C=0C+子，解得0C=5 16120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A0=C0=5OB=23AB=3V3 AK AO ~在△AKO和△ACB中，ACAB,∠CAB=∠KA0: .∴△AKOAACB, ∴.∠AKO=∠ACB=120°∠KOA=30°KO=AK=1 ∴.KH BC .∴∠COH=∠BCO=90°∠CHO=∠BCH 设∠OCH=a, ∴.∠CHO=∠BCH=90°-a∠ACM=∠BDM=30°+a ∴.∠CMA=∠DMB=∠BMH=120°-a 如图3，过点B作8 作B豇LDN.B既1DM.B既1CH分别交D的延K线，线段DM,射线CH于点 ND TT I D 平分 K B M 图3 .BN ∠ONM BT⊥DNBT,⊥CH ∴.BT=BT '∠DMB=∠3MH BT,⊥DMBT,⊥CH 17120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BI,=BI∠T,BM=∠TBM=90°-(120-a)=a-30 ..BT2 =BT :BT,⊥DMBT⊥DW ∴.∠MDB=∠BDT=90°-a ∴.∠TBD=∠T,BD=90°-(90°-a)=& ∴.∠T,BT=2∠TBM+2∠T,BD=2∠CBA=60° .∠DNM=180°-60°=120° .∠CND=∠DNB=∠MNB=60°∠CNB=120° 如图4，过点B作BO⊥AB,并与AC的延长线交于点，作△CBO的外接圆⊙R,连接CR,RB,RN, E C M H 图4 BQ⊥AB∠CAB=30 ∴.∠AQB=60 :∠AQB+∠CNB=180° ∴.CN、B、2 四点共圆， .N在⊙R上， 18120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CB CB ∴.∠CRB=2∠AQB=120 .CR=RB ∴.∠RCB=∠RBC=30° :在aCRB和△CAO中， ∠RCB=∠ACO CB=AC ∠RBC=∠AOC' ∴ACRB≌ACAO(ASA) .∴CR=CO=RB, .∠BCM=90°-a∠CNB=120° ∴.∠CBN=a-30 ∠RBC=30° ∴.∠RBN=a, 在△RBN和△OCH中， RB=OC ∠RBN=∠OCH BN=CH ∴.△RBN≌AOCH(SAS) ∴.∠BRN=∠COH=90° .NR=RB ∴△NRB为等腰直角三角形， ∴△COH为等腰直角三角形， 19120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C0=0H=V5 一根据勾股定理， CH=VCo2+OH=√6 .BN=6 --12分 20120