第二十九章《圆》单元练习试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章《圆》单元练习试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BCD＝120°，则∠BOD为（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长（　　） （第1题） A．1 B．2 C．2.5 D．3 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，则⊙O的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 4．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交 （第2题） AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　） A． B．2 C．1 D．2 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC为（　　） A．130° B．100° C．65° D．50° （第3题） 6．已知⊙O与直线AB相交，且圆心O到直线AB的距离是方程2x﹣1＝4的根，则⊙O的半径可为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 7．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连AC，AE， 若∠D＝72°，则∠BAE为（　　） A．28° B．36° C．40° D．48° （第4题） （第5题） （第7题） （第8题） 8．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心 ，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，点P在双曲线y上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y （第9题） 轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF﹣OE的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BCCD，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ （第10题） （第11题） （第12题） （第13题） （第14题） 二．填空题（共6小题） 11．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，若AC＝2，则cosD＝　 12．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 13．为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日 帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为 　 　 cm2． 14．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点P，连接AD，BC，若PC＝4， PD＝15，AB＝16，则PB的长为 　 　 ． 15．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18 （第15题） ，⊙O的半径OC＝13，则AB＝　 　 ． 16．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点， 连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的 边相切时，CP= （第16题） 三．解答题（共9小题） 17．如图，在⊙O中，∠ACD＝15°，，求∠BPC的大小． 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上， AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E． （1）求证：∠ABC＝∠CAD；（2）求证：BE⊥CE； （3）若AC＝4，BC＝3，CE的长为 　 　 ． 19．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE． （1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； （2）若AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，求直角边BC的长． 20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．（1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径． 22．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD． （1）求证：∠ACO＝∠CDB；（2）若CD＝6，BE，求弧AD的长． 23．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G （1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）求证：AFAD+CD． 24．如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：EF2＝4BP•QP． 25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC，求DE的长； （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线． 第二十九章《圆》单元练习试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C D B D C D 一．选择题（共10小题） 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BCD＝120°，则∠BOD的度数为（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【分析】由垂径定理，勾股定理，即可计算． 【解答】解：连接OA， ∵OC⊥AB， ∴ADAB8＝4， ∵OD2＝AO2﹣AD2， ∴OD2＝52﹣42， ∴OD＝3， ∵CD＝OC﹣OD， ∴CD＝5﹣3＝2， 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接OA构造直角三角形． 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，则⊙O的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，由圆周角定理可得∠D与∠ABD的度数，再由勾股定理即可解答． 【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD， ∵∠C＝45°，∴∠D＝45°， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°， ∴∠DAB＝∠D＝45°， ∵AB＝2，∴BD＝2， ∴AD2， ∴⊙O的半径AO． 故选：D． 【点评】此题比较简单，考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． 4．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　） A． B．2 C．1 D．2 【分析】如图，过点D作DT⊥AB于T．证明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴DC⊥BC， ∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA， ∴DC＝DT＝1， ∵AC＝3， ∴AD＝AC﹣CD＝2， ∴AD＝2DT， ∴∠A＝30°， ∴AB2， 解法二：AD＝2DT 由此处开始，可以证明∠DAB＝∠DBA＝30°， ∴DA＝DB． ∵DT⊥AB， ∴AT＝TB， ∴点O与点T重合， 在Rt△ADT中用勾股定理得AT，再由垂径定理可得AB＝2AT得解． 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（　　） A．130° B．100° C．65° D．50° 【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数． 【解答】解：∵∠CBE＝50°， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°， ∵DA＝DC， ∴∠DAC65°， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题． 6．已知⊙O与直线AB相交，且圆心O到直线AB的距离是方程2x﹣1＝4的根，则⊙O的半径可为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得0≤d＜4． 【解答】解：∵圆心O到直线AB的距离是方程2x﹣1＝4的根， ∴d＝2.5， ∵⊙O与直线AB相交， ∴d＝3， 故选：D． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系及解一元一次方程的知识，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系．同时注意圆心到直线的距离应是非负数． 7．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连AC，AE，若∠D＝72°，则∠BAE为（　　） A．28° B．36° C．40° D．48° 【分析】根据菱形的性质得到∠ACB∠DCB（180°﹣∠D）＝54°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝72°，由三角形的内角和即可得到结论 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝72°， ∴∠ACB∠DCB（180°﹣∠D）＝54°， ∵四边形AECD是圆内接四边形， ∴∠AEB＝∠D＝72°， ∴∠BAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB，计算即可． 【解答】解：∵正方形的边长为3， ∴弧BD的弧长＝6， ∴S扇形DAB6×3＝9． 故选：D． 【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB． 9．如图，点P在双曲线y上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF﹣OE的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【分析】利用P点在双曲线y上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切求出P点，再利用△BPE≌△APF列出OE与OF之间的关系即可． 【解答】解：设E（0，y），F（x，0）其中y＜0，x＞0 ∵点P在双曲线y上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切， ∴P（ 2，2）， 又∵PF⊥PE， ∴∠EPF＝90°， ∵∠BPE+∠EPA＝90°， ∴∠EPA+∠FPA＝90°， ∴∠FPA＝∠BPE， ∵， ∴△BPE≌△APF（ASA）， ∴AF＝BE， ∴OF﹣OA＝BE， 即x﹣2＝2﹣y， ∴x+y＝4， 又∵OE＝|y|＝﹣y，OF＝x， ∴OF﹣OE＝x+y＝4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了反比例函数与全等三角形的判定与性质的综合运用，要熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BCCD，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，根据直径所对圆周角是直角可以判断①；根据角平分线定义和圆周角定理可以判断②；由△ADC∽△EDA，可得，可以判断③；利用SAS证明△FAD≌△DBC，可得FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，证明△CDF是等腰直角三角形，所以CFCD，进而可以判断④． 【解答】解：如图，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，故①正确； ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴∠ACD＝∠EAD， ∵∠ADC＝∠EDA， ∴△ADC∽△EDA， ∴， ∴AD2＝DE•CD，故③正确； ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△FAD和△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC， ∵∠ADC+∠BDC＝90°， ∴∠ADC+∠ADF＝90°， ∴∠FDC＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴CFCD， ∴AC+AF＝AC+BCCD，故④正确． ∴正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理及推论，圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质，圆周角定理的灵活运用是本题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则cosD＝　　 ． 【分析】连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D＝∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果． 【解答】解：连接BC， ∴∠D＝∠A， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵AB＝3×2＝6，AC＝2， ∴cosD＝cosA． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键． 12．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为 　3　 ． 【分析】作直径DB，连接CD，则∠BCD＝90°，由圆周角定理得∠BDC＝∠BAC，则sin∠BDC＝sin∠BAC，BD＝3BD＝6，则ODBD63，于是得到问题的答案． 【解答】解：作直径DB，连接CD，则∠BCD＝90°， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴sin∠BDC＝sin∠BAC， ∵BC＝2， ∴BD＝3BD＝3×26， ∴ODBD63， ∴⊙O的半径为3， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 13．为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为 　175π　 cm2． 【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，列式计算即可． 【解答】解：∵生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm， ∴圆锥的母线长为25（cm）． ∵底面圆半径r为7cm， ∴底面周长＝14πcm， ∴该扇形纸片的面积为14π×25＝175π（cm2）． 故答案为：175π． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 14．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点P，连接AD，BC，若PC＝4，PD＝15，AB＝16，则PB的长为 　6或10　 ． 【分析】根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B， ∴△ADP∽△CBP， ∴， ∴， 解得PB＝6或PB＝10， 故答案为：6或10． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 15．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝　　 ． 【分析】首先作直径AE，连接CE，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O半径． 【解答】解：作直径AE，连接CE， ∴∠ACE＝90°， ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝90°， ∴∠ACE＝∠AHB， ∵∠B＝∠E， ∴△ABH∽△AEC， ∴， ∴AB， ∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26， ∴AB， 故答案为：． 【点评】此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 16．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为　2.5或4﹣2　 ． 【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形． 【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x． 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2， ∴x2＝22+（4﹣x）2， ∴x＝2.5， ∴CP＝2.5； 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形． ∴PM＝PK＝CD＝2BM， ∴BM＝2，PM＝4， 在Rt△PBM中，PB2， ∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2． 综上所述，CP的长为2.5或4﹣2． 故答案为：2.5或4﹣2． 【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三．解答题（共9小题） 17．如图，在⊙O中，∠ACD＝15°，，求∠BPC的大小． 【分析】连接BD，根据已知条件得到，求得∠CBD＝∠ACB＝∠BDC＝∠BAC＝∠P+∠ACD，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：连接BD， ∵AB＝BC＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠ACB＝∠BDC＝∠BAC＝∠P+∠ACD， 又∠CBD+∠ACB+∠ACD+∠BDC＝180°，∠ACD＝15°， ∴3∠BAC+15°＝180°， ∴∠BAC＝55°， ∴55°＝∠P+15°， ∴∠P＝40°， 即∠BPC的度数为40°． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E． （1）求证：∠ABC＝∠CAD； （2）求证：BE⊥CE； （3）若AC＝4，BC＝3，CE的长为 　　 ． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠ADC，即可解答； （2）利用切线的性质可得∠OCE＝90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的结论可得∠OCB＝∠CBE，然后可证OC∥BE，最后利用平行线的性质可得∠E＝90°，即可解答； （3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABC＝∠CAD； （2）证明：∵CE与⊙O相切于点C， ∴∠OCE＝90°， ∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠CAD+∠DBC＝180°， ∵∠DBC+∠CBE＝180°， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠ABC＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠ABC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC∥BE， ∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°， ∴BE⊥CE； （3）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB， ∴△ACB∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE， ∴CE． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键． 19．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE． （1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； （2）若AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，求直角边BC的长． 【分析】（1）DE与半圆O相切，理由为：连接OD，BD，由AB为半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到一个角为直角，可得出三角形BDC为直角三角形，又E为斜边BC的中点，利用中点的定义及斜边上的中线等于斜边的一半，得到ED＝EB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，根据∠EBO为直角，得到∠EBD与∠OBD和为90°，等量代换可得出∠ODE为直角，即DE与OD垂直，可得出DE为圆O的切线，得证； （2）利用因式分解法求出x2﹣10x+24＝0的解，再根据AB大于AD，且AD和AB为方程的解，确定出AB及AD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的长，然后根据三角形相似即可求得BC的长． 【解答】（1）证明：DE与半圆O相切，理由为： 连接OD，BD，如图所示： ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△BDC中，E为BC的中点， ∴DE＝BEBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， 又∵∠ABC＝90°，即∠OBD+∠EBD＝90°， ∴∠EDB+∠ODB＝90°，即∠ODE＝90°， ∴DE为圆O的切线； （2）解：方程x2﹣10x+24＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， ∵AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，且AB＞AD， ∴AD＝4，AB＝6， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD2， ∵△ABD∽△ACB， ∴，即， ∴BC＝3． 【点评】此题考查了切线的判定，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，以及利用分解因式的方法解一元二次方程，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线； （3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据AC为⊙O直径，得到∠ADC＝∠CBA＝90°，通过全等三角形得到CD＝AB，推出四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到NBMF＝NF，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB是⊙O的切线； （3）根据垂径定理得到DE＝GE＝6，根据四边形ABCD是矩形，得到∠BAD＝90°，根据余角的性质得到∠FAE＝∠ADE，推出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质列比例式得到AE＝3，连接OD，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AC为⊙O直径， ∴∠ADC＝∠CBA＝90°， 在Rt△ADC与Rt△CBA中，， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA， ∴CD＝AB， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠CBA＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）连接OB， ∵∠MBF＝∠ABC＝90°， ∴NBMF＝NF， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵OB＝OA， ∴∠5＝∠4， ∵DG⊥AC， ∴∠AEF＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠5＝90°， ∴OB⊥NB， ∴NB是⊙O的切线； （3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG， ∴DE＝GE＝6， ∵F为GE中点， ∴EF＝GF＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠FAE+∠DAE＝90°， ∵∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠FAE＝∠ADE， ∵∠AEF＝∠DEA＝90°， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴AE＝3， 连接OD，设⊙O的半径为r， ∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣3， ∵OE2+DE2＝OD2， ∴（r﹣3）2+62＝r2， ∴r， ∴⊙O的半径是． 【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OE，利用等腰三角形两底角相等，可证明∠OED＝∠BFD，则OE∥BF，从而证明结论； （2）连接BE，根据tan∠EDB＝2，∠EDB＝∠F，可得CE＝2，再利用△ECF∽△BEF，得，代入即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵BF＝BD， ∴∠F＝∠BDF， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠BDF， ∴∠OED＝∠BFD， ∴OE∥BF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AEO＝90°， ∴OE⊥AC， ∵OE为半径， ∴AC为⊙O的切线； （2）解：如图，连接BE， ∵tan∠EDB＝2，∠EDB＝∠F ∴tanF， ∵CF＝1， ∴CE＝2， ∴EF， ∵BD是直径， ∴∠BED＝90°， ∴∠BEF＝90°， 又∵∠ECF＝90°，∠F＝∠F， ∴△ECF∽△BEF， ∴， ∴， ∴BF＝5， ∴⊙O的半径． 【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，平行线的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据等角的三角函数值相等进行转化是解题的关键． 22．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD． （1）求证：∠ACO＝∠CDB； （2）若CD＝6，BE，求弧AD的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，根据圆周角定理证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理、勾股定理求出⊙O的半径，根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO， ∵∠A＝∠CDB， ∴∠ACO＝∠CDB； （2）解：连接OD， 设⊙O的半径为r， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD＝6， ∴DECD＝3，AB⊥CD， 在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r）2+32， 解得，r＝2， ∵sin∠DOE， ∴∠DOE＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∴弧AD的长π． 【点评】本题考查的是垂径定理、弧长的计算，掌握弧长公式、垂径定理是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G （1）求证：BC是⊙F的切线； （2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）求证：AFAD+CD． 【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA＝∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB＝∠C＝90°，证明结论； （2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF＝RC＝RD+CD，根据垂径定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接EF， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠CAE， ∵FA＝FE， ∴∠FAE＝∠FEA， ∴∠FEA＝∠EAC， ∴FE∥AC， ∴∠FEB＝∠C＝90°，即BC是⊙F的切线； （2）解：连接FD， 设⊙F的半径为r， 则r2＝（r﹣1）2+22， 解得，r，即⊙F的半径为； （3）证明：作FR⊥AD于R， 则∠FRC＝90°，又∠FEC＝∠C＝90°， ∴四边形RCEF是矩形， ∴EF＝RC＝RD+CD， ∵FR⊥AD， ∴AR＝RD， ∴EF＝RD+CDAD+CD， ∵AF＝EF， ∴AFAD+CD． 【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键． 24．如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求证：EF2＝4BP•QP． 【分析】（1）连接OE，AE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB＝∠AEC＝90°，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PA＝PC推出∠OEP＝∠OAC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB是⊙O的直径，得到∠AQB＝90°根据相似三角形的性质得到∴PA2＝PB•PQ，根据全等三角形的性质得到PF＝PE，求得PA＝PEEF，等量代换即可得到结论． 【解答】证明：（1）连接OE，AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴PA＝PC， ∴PA＝PC＝PE， ∴∠PAE＝∠PEA， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠OEP＝∠OAC＝90°， ∴EF是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠AQB＝90°， ∴△APQ∽△BPA， ∴， ∴PA2＝PB•PQ， 在△AFP与△CEP中，， ∴△AFP≌△CEP， ∴PF＝PE， ∴PA＝PEEF， ∵PE2＝PB•PQ＝（EF）2， ∴EF2＝4BP•QP． 【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F． （1）求证：△ACF∽△DAE； （2）若S△AOC，求DE的长； （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据三角形的内角和得到∠ACB＝60°根据切线的性质得到∠OAF＝90°，∠DBC＝90°，于是得到∠D＝∠AFC＝30°由相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据S△AOC，得到S△ACF，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AHDHDE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到OE＝OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG（180°﹣∠EOF）＝30°，于是得到∠AFO＝∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG＝OA，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝60° ∵OA＝OC， ∴∠AOC＝60°， ∵AF是⊙O的切线， ∴∠OAF＝90°， ∴∠AFC＝30°， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠DBC＝90°， ∴∠D＝∠AFC＝30° ∴∠DAE＝∠ACF＝120°， ∴△ACF∽△DAE； （2）∵∠ACO＝∠AFC+∠CAF＝30°+∠CAF＝60°， ∴∠CAF＝30°， ∴∠CAF＝∠AFC， ∴AC＝CF ∴OC＝CF， ∵S△AOC， ∴S△ACF， ∵∠ABC＝∠AFC＝30°， ∴AB＝AF， ∵ABBD， ∴AFBD， ∴∠BAE＝∠BEA＝30°， ∴AB＝BE＝AF， ∴， ∵△ACF∽△DAE， ∴（）2， ∴S△DAE， 过A作AH⊥DE于H， ∴AHDHDE， ∴S△ADEDE•AH•DE2， ∴DE； （3）∵∠EOF＝∠AOB＝120°， 在△AOF与△BOE中，， ∴△AOF≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OF， ∴∠OFG（180°﹣∠EOF）＝30°， ∴∠AFO＝∠GFO， 过O作OG⊥EF于G， ∴∠OAF＝∠OGF＝90°， 在△AOF与△OGF中，， ∴△AOF≌△GOF， ∴OG＝OA， ∴EF是⊙O的切线． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，证得△ACF∽△DAE是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/1 16:50:55；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $