第二十九章 圆 单元练习卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦圆与旋转核心知识，通过基础辨析、情境应用及新定义探究的梯度设计，考查几何直观、推理能力与应用意识，适配九年级单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆的对称性（第2题）、点与圆位置关系（第1题）|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|5/15|外接圆直径（第11题）、圆锥侧面积（第13题）|结合计算，培养空间观念| |解答题|7/55|旋转作图（第18题）、月全食情境应用（第21题）、新定义“等弦圆”（第22题）|分层设计，融合现实情境与创新探究，发展推理能力与应用意识|

2026-2027学年第一学期九年级第二十九章圆单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．有下列说法：①圆是轴对称图形；②圆有无数条对称轴；③圆的任意一条直径都是圆的对称轴；④圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质，掌握圆是轴对称图形，对称轴有无数条，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴是解题的关键． 根据圆的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：① 圆是轴对称图形， 故①说法正确，符合题意； ② 圆的对称轴是经过圆心的直线，且有无数条， 故②说法正确，符合题意； ③直径是线段，而对称轴是直线，所以 直径本身不是对称轴，故③说法错误，不符合题意； ④圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，故④说法正确，符合题意； 故 正确的个数是， 故选：C． 3．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 4．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 5．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 【答案】C 【分析】本题考查反证法的应用，结合等腰三角形性质推导假设对应的结论，再判断该结论和哪个定理矛盾即可． 【详解】解：∵ ∴ 假设 ，则 ∴ 又∵ ∴ 该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C． 7．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 9．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 10．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．的是，边长，此三角形外接圆的直径为______． 【答案】 【分析】构造外接圆，利用圆周角定理可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知圆的半径是，根据半径与直径的关系可求外接圆的直径. 【详解】解：如下图所示，作外接圆，连接、， 则有， ， ， 是等边三角形， ， 的直径为． 12．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 13．如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】先求出底面圆的半径，再由圆锥的侧面积公式计算． 【详解】解：圆锥的高为12，母线长为13， 圆锥的底面圆的半径， 该圆锥的侧面积为． 14．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，则，结合图形可得阴影部分的面积等于扇形的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ， ， ． ，， ． 15．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得出垂直平分，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度． （1）先由（半径相等）得；再根据为直径得，结合得；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导 的度数． （2）先由得半径，结合求出的长度；再在中用勾股定理算的长；最后根据垂径定理得出结果． 【详解】（1）解：∵、均为的半径， ∴， ∴（等边对等角）． ∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角），即． 又∵于E， ∴，即． ∴（同角的余角相等）． （2）解：∵为的直径， ∴（半径等于直径的一半）． ∵， ∴． ∵于E， ∴（垂径定理），且为直角三角形． 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ∴（线段长度为正）． ∴． 答：的长度为． 17．如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，求阴影部分面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得． 【详解】解：， ∴阴影部分面积是． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的； (2)画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)解：如图，为所求； (2)解：如图，为所求． 线段扫过的图形的面积为 【分析】（1）根据平移的方向和距离作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可．线段扫过的图形为以为半径，圆心角为的扇形，根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得， 线段扫过的图形的面积为． 19．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 20．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 21．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 22．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 第18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级《第二十八章 旋转》单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 1、 选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．有下列说法：①圆是轴对称图形；②圆有无数条对称轴；③圆的任意一条直径都是圆的对称轴；④圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 4．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 5．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 7．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 10．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．的是，边长，此三角形外接圆的直径为______． 12．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 13．如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 14．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 15．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．（8分）16．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 17.（6分）如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，求阴影部分面积． 18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的； (2)画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留） 19.（8分）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20.（6分）如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 21．（9分）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 22．（10分）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $