内容正文：
25.1 一元二次方程的概念第二课时
一、选择题
1．（2025九上·英德期中）已知关于x的一元二次方程x2-6=2x，则一次项系数为（ ）
A．-2 B．-6 C．2 D．1
2．（2026·海宁期中） 某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈 尺）如果设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．2025年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2027年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2026·北仑期末）为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1000m2的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是 ( )
A．1000(1+x)×2=1440 B．
C． D．
7．（2025九上·江油月考）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026·深圳期末）《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?题目大意：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少?设木柱长为x尺，根据题意，可列方程为( )
A． B． C． D．
9．（2026·宁波期中）学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮。已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度.若设道路宽为x米，则可列出方程为（ ）
A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）=7644
C． D．100x×80x=356
10．（2026·浙江期中）某厂家2025年1~5月份销售的电车数量如图所示.若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2026·宜宾模拟）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为 .
12．已知关于x的一元二次方程kx2-（2k-1)x+k-2=0；有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 。
13．（2026·岳池三模）若x1，x2是方程 的两个实数根，则代数式 的值为
14．（2026·拱墅期末）已知关于x的一元二次方程 (其中 ac≠0)的一个根是x=c， 则 ac= .
15．（2026·梓潼二模）若x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx-2026=0（a≠0）的一个解，则1-2a-b的值为 ．
16．（2026·杭州期中） 如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为 ．
17．（2026·定海期中）为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为 ．
18．（2026杭州期中）已知关于 x的方程 的一个根是 x=m，则 .
19．（2025·临平月考）已知k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，若记m（k+）-2k+2为y，则y与m的关系是 .
三、解答题
20．在解一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠b， abc≠0)时，小马同学粗心地将二次项系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程.他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一个根等于原方程的一个根.
（1）求这两个方程相同的根；
（2）求原方程的两根之和.
21．已知一元二次方程
（1）若方程的一个根为，则的值为 ．
（2） 若方程有相等的实数根，求a的值．
22．根据题意，设未知数，列出方程，并化为一般形式：
有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少?
23．（2026·乐清期中）为参加学校“温州非遗传承”实践活动，小芳制作了如图1所示的一面瓯绣团扇，象征着团圆和吉祥．这把团扇的圆形扇面面积为，手柄长为．为了展示，小芳设计了一个长、宽比为，面积为的团扇展示框，如图2所示．
（1）求该圆形扇面的半径；
（2）求团扇展示框的长和宽；
（3）该团扇展示框能装得下这面团扇吗？请说明理由．
24．（2026·丽水期末）已知关于x的方程
（1）当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解；
（2）当该方程是一元二次方程时，
①求证：该方程有两个不相等的实数根；
②已知x1和x2是该方程的两个根，求出的值.（用含m的代数式表示）
答案解析
1．A
解：根据题意可知，原方程可变形为：
∴一次项系数为-2.
故选： A.
2．C
解：2021年经费3600万元，年增长率为x，
2022年经费：3600(1+x)，
2023年经费：3600(1+x)(1+x)=3600(1+x)2，
已知2023年投入6000万元，列方程：3600(1+x)2=6000．
故答案为：C．
3．A
解：如图所示，由题意，得
设折断处离地面的高度OA 是x尺.
由勾股定理，得
故选：A.
4．A
解：设每年的增长率为x，根据题意得
故选： A.
5．A
解：由题意可得：将 代入方程，得 .
解得 ，
故答案为：A.
6．C
解：结合条件列式，
故答案为：C。
7．D
解：设彩纸的宽度为，
由题意可得：，即，
故选：D．
8．C
解：设木柱长为x尺
由题意可得：
故答案为：C
9．B
解：由题意可得，．
故答案为：B.
10．D
解：由图可知，月份的销量为辆，月份的销量为辆，
可列方程 ．
故答案为：D.
11．解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴且，
解得．
12．解：∵ 关于x的一元二次方程kx2-（2k-1)x+k-2=0；有两个不相等的实数根，
∴>0且k≠0，
∴k>-且k≠0.
故答案为：k>-且k≠0.
13．解：整理得：，
∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故答案为：4046．
14．解：∵关于x的一元二次方程 (其中ac≠0)的一个根是x=c，
所以c=0或ac+6=0.
则ac=-6.
故答案为：-6.
15．解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-1012.
16．解：把代入方程，得，
解得：；
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
17．解：由题意可知，劳动实践基地是边长为(24-2x)m的正方形，其面积为484m2，
则可列方程：(24-2x)2=484
故答案为：(24-2x)2=484.
18．解：由条件可知： 整理得
故答案为： 4052.【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 26，将所求代数式变形后整体代入计算，即可求解.
19．解：∵k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，
∴（m-2）k2-（m-1）k+m=0，
两边都除以k，得（m-2）k-（m-1）+=0，
∴mk-2k+=m-1，
∴mk+-2k+2=m+1，
∵记m（k+）-2k+2为y，
∴y=m+1.
故答案为：y=m+1.
20．（1）解：∵原方程为 则小马同学解的方程为 令
化简，得
∵a≠b， abc≠0， ∴a-b≠0， x≠0.
∴x=1.故这两个方程相同的根为x=1.
（2）解：由(1)知，新方程的两个根为1和3，
设原方程 的两个根分别为x1，x2，
则 即原方程的两根之和为
21．解：(1)由条件可知a-3+4+2=0，
解得：a=-3，
故答案为：0；
22．解：设这个正方形的边长是x米，则(x+2)(x+5)=54，
化为一般形式得：
23．（1）解：设该圆形团扇的半径为，
团扇面积为，
，
解得，（舍去）.
（2）解：设团扇展示框长为，宽为，
，
解得（舍去）
该团扇展示框的长为，宽为.
（3）解：能 ，理由如下：
圆形团扇的直径为，总高度为，
，，
这个长方体盒子能装得下这面团扇．
24．（1）解：由题知，
因为方程 是一元一次方程，
所以m+1=0且-2m≠0，
解得m=-1，
所以方程为2x-2=0，
解得x=1，
所以方程的解为x=1；
（2）①证明：由题知，
因为方程 是一元二次方程，
所以 4>0，
所以该方程有两个不相等的实数根；
②解：因为 和： v2是该方程的两个解，
所以 ，
所以(x1- ，
所以
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