25.1 一元二次方程的概念-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

参考答案 参考答案 第二十五章一元二次方程 解为x1=4,2=-2. 25.1一元二次方程的概念 1.=3,72A3C 1 【知识点1】一个整式21.A2.k≠-2 4.解：(1)一；求9的平方根出错， 【知识点2】a2+bx+c=0(a≠0)aa2a (2)(2x-1)2=9,2x-1=3,2x-1=-3,2=4,2=-2, bx bc1.C2.x2+3x+2=0 x1=2,x2=-1. 【知识点3】1.D2.3 5.(1)x1=4,x2=-4(2)x=4,2=-2 【知识点4)1(-1)-212.+2-24=0 (3)x=7,2=-3(4)x=9,x=-11 6.6 【例1】解：5x2-1=4x化成一元二次方程一般 7.解：(1)5,3,2，-12. 形式为5x2-4x-1=0,它的二次项系数是5，一次 (2)原方程可变形，得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4, 项系数是-4，常数项是-1.5x2-1=4x也可化成一 (+2)2-42-4,(x+2)2=4+42,x=-2±2V5,x=-2+2V5, 元二次方程一般形式：-5x+4x+1=0,它的二次项 x2=-2-2V5. 系数是-5，一次项系数是4，常数项是1. 【例2】解：m为方程x2+3x-2024=0的根， 8-9B .m2+3m-2024=0,.∴m2+3m=2024,.原式=m23+ 25.2.1配方法（第二课时） 3m2-m2-3m-2024m=m(m2+3m)-(m2+3m)-2024m= 【知识点】1.11932.C 2024m-2024-2024m=-2024. 【例】解：移项，得32+6=-2.二次项系数 1.D2.30-53.A4.(12+x)(9+x)=12x9+72 5.解：(1)将=1代入原方程，得ax1+bx1+c=0, 化为1，得2=子配方，得2+1=子1， 3 即a+b+c=0. (2)将=-1代入原方程，得ax(-1)2+b×(-1)+c=0, 1号开平方，每浮，=厚 3 即a-b+c-0. (3)将x=0代人原方程，得ax0+bx0+c=0,c=0. 1,=-y3-1 3 6.解：(1)设这个三角形其中一条直角边长 为xcm,则另一条直角边为(14-x)cm,由题意，得 1.(1)42(2)366(3)是 214)-24,化简，可得-14红+48=0 (4)2V2 (2)x2+6x-100=0. 2.B3.3-24.C5.A6.D (3)设竿长为x尺，由题意，得(-2)2+(x-4)2=2 7.(1)x=2+V2,x=2-V2 化简可得X2-12x+200.解得x=2(不符合题意，舍去)， (2)x=95,x2=-105 =10,则竹竿为10尺 7.解：(1)②③ 8,=1- 2 (2)①：号+(m+1x+n-0是关于x的完美方 (4)y1=y2=1(5)x=-1,x2=5 (6)x=V2-V6,x2=V2+V6 程”，m+1=-1 n,m=号n②n是此完类方 8.4 9.解：(1)3；(2-3)2；x=4. 程”的-个根，-之++n1nn=0,rn=0, (2)由2x2-4x-6=0,得2x2-4x=6,即x2-2=3,即 把0，-1代人此方程成立，n的值为0或-1. x(x-2)=3.构造长方形：长为x,宽为x-2,长比宽大 2,面积为3；构造大正方形：四个长方形围成大正方 8.B9.D10.-4 25.2降次—解一元二次方程 形，中间小正方形边长为2，大正方形边长为+(x-2) =2-2,面积为(2x-2)2,列方程为(2x-2)2=3×4+2=16, 25.2.1配方法（第一课时） 整理，得2x-2=4,x=3. 【知识点1刂(1)>(2)相等x==0 (3)由2x2-4x-6=0,得x2-2x=3,令x=-y(y>0), 1V工，-V万2号，=-高 得y2+2y=3,即y(+2)=3,构造长方形：长为y+2,宽 为y,长比宽大2，面积为3；构造大正方形：四个长 【知识点2】1.D2.=V3-1,x=-V3-1 方形围成大正方形，中间小正方形边长为2，大正方 【例】解：原方程变形为(x-1)2=9,两边开平 形边长为y+(y+2)=2y+2,面积为(2y+2)2,列方程为 方，得x-1=±3，即x-1=3,-1=-3,∴，原方程的 (23+2)2-3×4+22=16,整理，可得2+2=4，y=1,x=y=-1. 10.D11.212.D 45一元二次方程 第二十五章 第二十五章 一 元二次方程 学习路径 设未知数，列方程 实际问题 元二次方程 ax+bx+c=0 解 配方法 降 方 程 公式法 次 因式分解法 检验 元二次方程ax2+bx+c=0的根 实际问题的答案 x=-b±VB4d 2a 25.1 一元二次方程的概念 知识梳理@形成联系 s多多与 【知识点1】一元二次方程的概念 ©一般地，如果方程中只含有 未知数，且含有未知数的式子都是 未 知数的最高次数是 ， 这样的方程叫作一元二次方程， 1.下列方程中是一元二次方程的是(） A.x2-1=0 B.y2+x=1 C.2x+1=0 D.+1=1 2.关于x的方程(k+2)x2-6x+9=0是一元二次方程，则k的取值范围是 【知识点2】一元二次方程的一般形式 ©一元二次方程的一般形式是 其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项. 1.关于x的一元二次方程x2=5x-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A.1,-5,-1 B.-1,-5,-1 C.1,-5,1 D.1,5,1 数学 九年级上册（人教版） 2.将方程x(3+x)=-2化成一元二次方程的一般形式为 【知识点3】一元二次方程的解 ©使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次 方程的解也叫作一元二次方程的根 1.关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1，则m的值是() A.-3 B.3 C.-2 D.2 2.若m是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2m2-4m+1= 【知识点4】从实际问题中抽象一元二次方程 1.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛21 场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为 x+1 2.如图25.1所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程 图25.1 的一般形式为 例题点拨Q素养导向 【例1】将一元二次方程5x2-1=4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常 数项 【点拨】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)，特别要注意 a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫作二次项，bx叫作 一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项. 【例2】已知m为方程x2+3x-2024=0的根，那么m3+2m2-2027m的值为多少？ 【点拨】本题考查了一元二次方程的解及整体代入思想.将m代入，可得m+3m=2024, 观察所求代数式m3+2m2-2027m,通过添项及提公因式，可得m(m+3m)-(m2+3m)-2024m, 将m+3m=2024整体代入代数式即可求值 ② 一元二次方程 第二十五章 夯实四基达标闯关 1.下列方程是一元二次方程的是(） A.x+1=] B.x2+3=(x-1)2 C.x2=y D.x2-1=0 2.方程3x2=5的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 3.已知关于x的方程x2-px+9=0有一个根为0，则g的值为() A.0 B.1 C.2 D.无法求解 4.如图，矩形空地的长为12m,宽为9m,将此空地的长、宽各增 加相同的长度后，空地面积增加了72m,设空地的长、宽增加的长度为 xm,可列方程为 5.已知关于x的一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0). 12m 第4题图 (1)如果方程有一个根是1，那么a,b,c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是-1，那么a,b,c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 6.根据下列问题列出方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm,面积为24cm2,求它的两条直 角边的长 (2)已知一张面积是100cm的矩形彩纸，长比宽多6cm,若设它的宽为xcm,则根 据题意，可列方程为 (3)古算趣题：笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声 哭.有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.借问竿长多少数， 谁人算出我佩服.其大意是：笨伯拿竹竿进屋（屋门为矩形门框），横拿竖拿都进不去，横着 比门宽4尺，竖着比门高2尺.他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进 去.问：竹竿有多少尺？ ③ 数学 九年级上册（人教版） 能力提升螂综合拓展 7.定义：如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c,那么我们称这个 方程为“完美方程” (1)下面方程是“完美方程”的是 .(填序号) ①x2+3x-4=0: ②2x2-x-3=0: ③3x2+x-2=0. (2)已知-+(m+1x+n=0是关于x的完美方程” ①求m与n的关系； ②若n是此“完美方程”的一个根，则下列哪些数是n的值：-3，-2，-1,0,1,2,3. 中考链接©真题演练 8.(2026·长春模拟)若关于x的方程(3-a)x2-x=0是一元二次方程，则a的取值范围是 () A.a≠0 B.a≠3 C.a<3 D.>3 9.(2026·河南)已知x=2是关于x的方程x2-mx=6的一个根，则m的值为() A.5 B.-5 C.1 D.-1 10.(2024·南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为 4