第三章　图形的相似（单元测试） -2026—2027学年北师大版数学九年级上册

第三章　图形的相似 一、单选题 1．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（　　） A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m 2．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 3．下列说法中不正确的是（　　） A．相似多边形对应边的比等于相似比 B．相似多边形对应角平分线的比等于相似比 C．相似多边形周长的比等于相似比 D．相似多边形面积的比等于相似比 4．一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最长边为15，则的最短边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，已知直线l∥m∥n，直线a分别与l，m，n交于点A，B，C，过点B作直线b交直线l，n于点D，E，若AB=2，BC=1，BD=3，则BE的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 6．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为点B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　) A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m 7．如图，若，则下列式子中不成立的是（　　） A． B． C． D． 8．如图， ， ， ，则 的长为（　　） A． B． C．4 D．6 9．在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的．任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．如图，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形 ABCD中AB= 3，点B在边CD上，且 CD＝3DE. 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG，CF下列结论：①点G是BC的中点；②FG=FC；③ GAE=45°；④GE=BG+DE.其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 11．如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（　　） A．12 B．12 C．12 D．10 12．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 13．如图，AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB＝2 ，BC＝2，当CE+DE的值最小时，则 的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 14．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为6，则的周长是　 　． 15．已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC·AB，则AC的长　 　cm． 16．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为　 　． 17．当人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是黄金分割比时，人们认为是“最类人体”，著名的“斯臂维纳斯”雕像便是如此，该雕像的高约为2米，则此雕像的肚脐到足底的长度是　 　米. 18．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，，则建筑物的高是　 　． 19．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为　 　m． 20．如图所示，在矩形中，，垂足为E，，则的长为　 　． 21．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是　 　． 22．数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形．若，则的值为　 　． 23．如图 ， 在小正方形边长均为 1 的 的网格中， 是一个格点三角形． 如果 是该网格中与 相似的格点三角形， 且 的面积 最大， 的面积 最小， 那么 的值等于 　 　. 24．在平面直角坐标系中，关于 的一次函数 ，其中常数k满足 ，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数 的解析式为　 　． 25．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为　 　. 三、解答题 26．将两块等腰直角三角板如图摆放在同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用“”连接． 27．如图，已知△ADE∽△ABC，DE=3，BC=9. （1）求的值； （2）若AE=4，求AC的长. 28．雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子．已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝∠AEB，积水水面大小忽略不计） 29．如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1． 30．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？ 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴ ， ∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m， ∴ ， 解得，DC＝17.5（m）， 即建筑物CD的高是17.5m， 故答案为：A． 【分析】由△ABE∽△ACD可得关系式即可求解。 2．【答案】A 【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论． 【解答】∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：2． 故选A． 本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此D错误， 故答案为：D. 【分析】本题考查的是相似多边形的性质和相似三角形的性质类似，即相似多边形的周长比，对应三线比都等于相似比，对应边之比是相似比，面积比是相似比的平方. 4．【答案】C 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵直线l∥m∥n，AB=2，BC=1，BD=3， ∴ ，即 ， 所以BE=1.5． 故选D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO=∠CDO=90°， ∵∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∵ AO=4m，AB=1.6m，CO=1m， ∴， ∴CD=0.4， ∴ 栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m； 故答案为：C. 【分析】先由对应角相等得出△AOB∽△COD，再由相似三角形性质：相似三角形对应边成比例列式计算即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：， ，故A、B不符合题意； ， ，故C不符合题意； ， ，故D符合题意. 故答案为：D. 【分析】相似三角形的对应边成比例. 8．【答案】B 【解析】【解答】∵AB∥CD∥EF， ∴ ， 又∵AD=4，BC=DF=3， ∴ ， ∴CE= ， ∴BE=BC+CE=3+ = ． 故答案为：B． 【分析】根据平行线分线段成比例，列出等量关系求解即可。 9．【答案】A 【解析】【分析】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象。 【解答】设AC与BD交于O点， 当P在BO上时， ∵EF∥AC ∴即 ∴y=； 当P在OD上时，，即 ∴y= 故选A． 【点评】此题为一次函数与相似形的综合题，有一定难度.1、要看图象先求关系式.2、分段求关系式。 10．【答案】B 【解析】【解答】①如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=AB=3， ∵CD=3DE， ∴DE=1， ∴CE=2， 由折叠得：DE=EF=1，AD=AF=3， ∴AB=AF， ∴BG=FG， 设BG=x，则CG=3−x，FG=x， 由勾股定理得： 解得： ∴点G是BC的中点； 所以①正确； ②如图2，过F作FH⊥BC于H， 由①得 ∴FG≠FC， 所以②不正确； ③如图1，∵∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG， ∴∠BAG+∠DAE=∠FAG+∠FAE， 所以③正确； ④ 所以④正确. 故答案为：B. 【分析】 ①如图1，根据正方形的性质得出CD=AB=3，又 CD＝3DE ，从而得出DE，CE的长，根据折叠的性质得出DE=EF=1，AD=AF=3，∠D=∠AFE=90°，进而得出AB=AF，然后利用HL判断出根据全等三角形对应边相等得出BG=FG，设BG=x，则CG=3−x，FG=x，在Rt△ECG中，利用勾股定理建立方程求解得出x的值，从而得出BG的长，再根据线段的的和差算出CG的长，即可得出 点G是BC的中点 ，所以①正确；②如图2，过F作FH⊥BC于H，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FH∥CD，根据平行线分线段成比例定理得出根据比例式即可算出FH，GH的长进而算出CH的长，从而即可判断出FG≠FC，所以②不正确；根据折叠的性质得出∠DAE=∠FAE，根据全等三角形的性质得出∠BAG=∠FAG，故∠BAG+∠DAE=∠FAG+∠FAE，即所以③正确；根据BG=FG，ED=FE，GE=GF+EF即可得出答案 GE=BG+DE. 所以④正确.综上所述即可得出答案。 11．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，在AD上取点k，使AK=2，连接EK， 在△AEK和△ADE中，∠EAK=∠DAE， ∴△AEK∽△ADE，∴ ，即EK= ED，∴EF+ ED=EF+EK， 当F、E、K三点共线时，EF+ ED=FK=6 ， ∴(2EF+ED)最小=2(EF+ ED)=12 ， 故答案为：B。 【分析】本题是一道较难的综合题，关键在于通过做辅助线构造相似三角形。在AD上取点k，使AK=2，连接EK，KF，根据正方形的性质得到AB=AD=DC=8，所以得到、，因为∠EAK=∠DAE，得到△AEK∽△ADE，所以得到EK= ED，根据三角形三边的关系以及两点之间线段最短，得到当F、E、K三点共线时，EF+ ED最小，即为KF，再根据勾股定理求出KF即可. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故答案为：D． 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 13．【答案】A 【解析】【解答】解：延长CB到F使得BF＝CB，则点C与点F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE＝DF值最小， 连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H， 则OC⊥BD，OC＝ ， ∵OB•BC＝OC•BG， ∴ ， ∴BD＝2BG＝ ， ∵OD2﹣OH2＝DH2＝BD2﹣BH2， ∴ ， ∴BH＝ ， ∴ ， ∵DH∥BF， ∴ ， ∴ 。 故答案为：A。 【分析】延长CB到F使得BF＝CB，则点C与点F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE＝DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，根据切线长定理及等腰三角形的三线合一得出OC⊥BD，从而利用勾股定理算出OC的长，根据三角形的面积法得出OB•BC＝OC•BG，根据等积式即可算出BG的长，进而即可得出BD的长，然后由OD2﹣OH2＝DH2＝BD2﹣BH2建立方程，求解算出BH的长，进而算出DH的长，然后根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出DH∥BF，根据平行线分线段成比例得出，根据比例式即可得出答案。 14．【答案】9 15．【答案】 【解析】【解答】解：设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB可得x2=2(2-x)， 解得：x= 或 （舍去）. 故答案为 . 【分析】设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB列方程求解即可. 16．【答案】 17．【答案】 【解析】【解答】解：如图，根据黄金分割比的含义可得： 整理得： 经检验符合题意. 故答案为：. 【分析】对图形进行点标注，根据黄金分割比的含义可得，代入数据求解可得BC的值. 18．【答案】12 19．【答案】15 【解析】【解答】解：设旗杆高度为x米， 由题意得， = ， 解得x=15． 故答案为：15． 【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 20．【答案】 【解析】【解答】解：设，则， ∵四边形为矩形，且， ， ， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 【分析】设，则，根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 21．【答案】4.5 【解析】【解答】图中与△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形如图所示， 故答案为：4.5. 【分析】利用相似三角形的性质画出面积最大的三角形，再利用三角形面积公式代入数据即可求解. 22．【答案】 【解析】【解答】解：设AH=x， ∵， ∴可设DG=5k，GH=4k， ∵四边形EFGH是正方形， ∴HE=EF=FG=CH=4k， ∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形， ∴AE=BE，BF=CF，∠ABE=∠CBF=45°， ∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k， ∵△AHD∽△DGC， ∴ ∴ 解得：x=3k(负值舍去)， ∴ 故答案为： . 【分析】通过证明△AHD∽△DGC，可得，即可求解. 23．【答案】5 【解析】【解答】解：由图可知. 是该网格中与 相似的格点三角形，且 的面积 最大； 的面积 最小，可如图所示作出 同理可得 且 综上所述： 故答案为：5. 【分析】此题先求出已知三角形的三边关系，在格点中分别找到对应成比例的面积最大和面积最小的三角形，通过相似三角形面积比为相似比的平方直接求解即可. 24．【答案】 或 【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项， ∴2：b=b：8， 解得b= ， ∵b＞0， ∴b=4， ∵ ， ∴ ∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)， 当a+b+c 时，解得k= ， 当a+b+c=0时，k=-1， ∴该一次函数 的解析式为 或 ， 故答案为： 或 . 【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用 得到 ，解出k的值，即可得到一次函数的解析式. 25．【答案】2. 26．【答案】 27．【答案】（1）解：∵ DE=3，BC=9 ∴ ∵ △ADE∽△ABC ∴ （2）解：由（1）知： ∵ AE=4 ∴AC=12. 【解析】【分析】（1）先根据已知条件，求出，再根据相似三角形对应边成比例得出：. （2）根据（1）可得：，再结合AE=4可得AC=12. 28．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠CDE=∠ABE， 又∵∠CED=∠AEB， ∴△CDE∽△ABE， ∴ ， 即， 解得AB=8米， 故树AB的高为8米． 【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠CDE=∠ABE=90°，由已知条件可知∠CED=∠AEB，证明△CDE∽△ABE，然后根据相似三角形的性质进行计算. 29．【答案】解：如图，四边形EFGH即为所求， 【解析】【分析】根据位似图形的性质作出图象即可。 30．【答案】解：设经过x秒后，△PBQ与△ABC相似，则BP＝AB－AP＝8－2x，BQ＝4x，(1)当BP与AB是对应边时， ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2；(2)当BP与BC是对应边时， ＝ ，即 ＝ ，解得x＝ ，故经过2秒或 秒后，△PBQ与△ABC相似 【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当△PBQ∽△CBA时，②当△PBQ∽△ABC时，根据相似三角形的性质得出等式，将数值代入即可求得答案. 学科网（北京）股份有限公司 $