第3章图形的相似章末测试卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第3章图形的相似章末测试卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026•淄博模拟）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•金水区校级四模）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，若AD：DB＝1：2，AE＝4，则AC的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 3．（2026•南岗区校级四模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 5．（2025秋•沛县期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20，则AC为（　　） A．1010 B．10﹣10 C．30﹣10 D．20﹣10 6．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　） A．12 B．6 C．18 D．16 7．（2026秋•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、BC、AB上．如果AB∥DE，BC∥DF，AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE的长等于（　　） A． B． C． D． 8．（2026秋•重庆校级月考）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O，且OA：OA′＝3：2，则△ABC与△A′B′C′面积的比值为（　　） A． B． C．2 D． 9．（2026秋•海港区校级月考）如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：3，若S△AEF＝4，则△FDC的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．25 10．（2026秋•平阴县月考）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①CF＝2FD；②△PFD∽△PDB；③△DFP∽△BPH；④DP2＝PH•PC．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•市中区校级月考）已知，则的值是__________________ ． 12．（2026•东源县一模）如图直线AB∥CD∥EF，若，BD＝6cm，则BF＝_______ cm． 13．（2026秋•北京校级月考）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．现有长为4m的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为xm，依题意，可列方程为 ______________ ． 14．（2026秋•虹口区校级月考）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则∠1，∠2、∠3这三个角的度数之和等于________ ． 15．（2026秋•虹口区校级月考）在△ABC中，D是AC上一点，AB2＝AD•AC，S△ABC：S△ADB＝25：4，AD＝4，那么DC的长是_______ ． 16．（2026秋•碑林区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，B，C在x轴上，BC＝6，O为BC中点，A在y轴上，OA＝4，连接OD，若E为x轴正半轴上的点，且△AOE与△DAO相似，则点E的坐标为____________________ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•细河区校级月考）如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．若点D在边BC上，∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．求证： （1）△ABC∽△ADE； （2）OA•OC＝OD•OE． 18．（2025秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，DF∥AE，，BF＝9cm，求EF和EC的长． 19．（2026春•环翠区期末）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在线段AB上找一点D，使得AD：BD＝3：2； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出A点的对应点坐标__________________ ． 20．（2025秋•方城县期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，点E在AD上，连接BE，BE＝BD，∠BAE＝∠C． （1）求证：△AEB∽△CDA； （2）若AE＝4，BE＝6，CD＝8，求DE的长． 21．（2026秋•平阴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5cm，AC＝12cm．点M在边AB上，以2cm/s的速度由点B出发沿BA向点A匀速运动；同时点N在边AC上，以1cm/s的速度由A出发沿AC向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接MN，设点M运动的时间为t（单位：s）． （1）是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； （2）当t为何值时，△AMN的面积为△ABC面积的． 22．（2025秋•三明期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD． （1）A点的坐标为 ___________ ，∠OAB的度数为 ________ ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为（3，﹣2），连接CD，DE平分∠ODC，BD与OC交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DF与CE的数量关系，并说明理由． 第3章图形的相似章末测试卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•淄博模拟）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由得ab＝6，故本选项错误； B、由得2a＝3b，故本选项正确； C、由得3a＝2b，故本选项错误； D、由得3a＝2b，故本选项错误． 故选：B． 2．（2026•金水区校级四模）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，若AD：DB＝1：2，AE＝4，则AC的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【解答】解：∵DE∥BC， ∴，即， ∴EC＝8， ∴AC＝AE+EC＝4+8＝12． 故选：B． 3．（2026•南岗区校级四模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴． 故选：A． 4．（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【解答】解：∵， ∴， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：9， 故选：D． 5．（2025秋•沛县期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20，则AC为（　　） A．1010 B．10﹣10 C．30﹣10 D．20﹣10 【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴ACAB， ∵AB＝20， ∴AC20＝1010． 故选：A． 6．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　） A．12 B．6 C．18 D．16 【解答】解：∵DF：DC＝1：3， ∴DF：FC＝1：2， ∵在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC． ∴，则， ∴BE＝12． 故选：A． 7．（2026秋•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、BC、AB上．如果AB∥DE，BC∥DF，AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE的长等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵DF∥BC， ∴， ∴， ∵DE∥AB， ∴， ∴， ∴CE． 故选：D． 8．（2026秋•重庆校级月考）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O，且OA：OA′＝3：2，则△ABC与△A′B′C′面积的比值为（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：∵OA：OA′＝3：2，△ABC与△A′B′C′位似， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为9：4． 故选：B． 9．（2026秋•海港区校级月考）如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：3，若S△AEF＝4，则△FDC的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．25 【解答】解：∵AE+EB＝AB，AE：EB＝2：3， ∴AE：AB＝2：5． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴△AEF∽△CDF， ∴AE：CD＝2：5， ∴S△AEF：S△CDF＝4：25， ∵S△AEF＝4， ∴S△FDC＝25． 故选：D． 10．（2026秋•平阴县月考）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①CF＝2FD；②△PFD∽△PDB；③△DFP∽△BPH；④DP2＝PH•PC．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【解答】解：∵在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠CBD＝∠ABD＝∠CDB＝∠ADB＝45°， ∵△BPC是等边三角形， ∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝BC＝PC， ∴∠EBD＝∠PBC﹣∠CBD＝15°，， ∴∠EDP＝∠ADC﹣∠CDP＝15°，∠ABE＝∠DCF＝∠BDP＝30°， ∴CF＝2FD， 故①正确，符合题意； ∴∠FDP＝∠PBD，∠PFD＝60°， ∵∠BDP≠∠PFD， ∴△PFD∽△PDB不成立， 故②错误，不符合题意； ∵∠PBH＝∠FDP＝15°，∠PFD＝∠HPB＝60°， ∴△DFP∽△BPH， 故③正确，符合题意； ∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠CPD， ∴△PDH∽△PCD， ∴， ∴DP2＝PH•PC； 故④正确，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•市中区校级月考）已知，则的值是　　 ． 【解答】解：∵， ∴3a＝5b， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2026•东源县一模）如图直线AB∥CD∥EF，若，BD＝6cm，则BF＝　14　 cm． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，，BD＝6cm， ∴， ∴， ∴DF＝8， ∴BF＝BD+DF＝6+8＝14（cm）， 故答案为：14． 13．（2026秋•北京校级月考）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．现有长为4m的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为xm，依题意，可列方程为 x2＝4（4﹣x）　 ． 【解答】解：∵长为4m的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为xm， 则较短的一段为：4﹣x，∴x2＝4（4﹣x）， 故答案为：x2＝4（4﹣x）． 14．（2026秋•虹口区校级月考）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则∠1，∠2、∠3这三个角的度数之和等于　90°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD，ABEF，EFHG都是边长为1的正方形， ∴∠1＝45°，AF＝AB＝BC＝1，AH＝2， 由勾股定理得AC， ∴，， ∴， 又∵∠CAF＝∠HAC， ∴△CAF∽△HAC， ∴∠2＝∠ACH， ∵∠1是△ACH的外角， ∴∠1＝∠ACH+∠3＝45°， ∴∠2+∠3＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝45°+45°＝90°， 故答案为：90°． 15．（2026秋•虹口区校级月考）在△ABC中，D是AC上一点，AB2＝AD•AC，S△ABC：S△ADB＝25：4，AD＝4，那么DC的长是　21　 ． 【解答】解：∵AB2＝AD•AC， ∴， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ADB∽△ABC， ∴， ∵S△ABC：S△ADB＝25：4，AD＝4， ∴， ∴AB＝10， ∵AB2＝AD•AC， ∴100＝4AC， ∴AC＝25， ∴DC＝AC﹣AD＝25﹣4＝21， 故答案为：21． 16．（2026秋•碑林区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，B，C在x轴上，BC＝6，O为BC中点，A在y轴上，OA＝4，连接OD，若E为x轴正半轴上的点，且△AOE与△DAO相似，则点E的坐标为　或（6，0）　 ． 【解答】解：由△AOE与△DAO相似， 可得或， 分两种对应情况： 当时，点E即如图点E1， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC＝6， 此时有AO2＝AD•OE1，即， ∴． 当时，E即如图点E2， 由有， 解得OE2＝6， ∴E2（6，0）， 故答案为：或（6，0）． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•细河区校级月考）如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．若点D在边BC上，∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．求证： （1）△ABC∽△ADE； （2）OA•OC＝OD•OE． 【解答】证明：（1）∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠ADE+∠EDC+∠ADB＝180°，∠EDC＝∠BAD， ∴∠B＝∠ADE， ∵BA＝BC，DA＝DE， ∴， ∴△ABC∽△ADE； （2）∵△ABC∽△ADE， ∴∠ACB＝∠AED， ∴∠OCD＝∠OEA， ∵∠COD＝∠EOA， ∴△COD∽△EOA， ∴， ∴OA•OC＝OD•OE． 18．（2025秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，DF∥AE，，BF＝9cm，求EF和EC的长． 【解答】解：∵DF∥AE， ∴， ∵BF＝9cm， ∴FE＝6cm，BE＝BF+EF＝15cm， ∵DE∥AC， ∴， ∴CE＝10cm． 19．（2026春•环翠区期末）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在线段AB上找一点D，使得AD：BD＝3：2； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出A点的对应点坐标　（﹣2，1）或（2，﹣1）　 ． 【解答】解：（1）如图，取格点M，N，使AM∥BN且AM：BN＝3：2，连接MN交AB于点D， 此时△ADM∽△BDN， ∴AD：BD＝AM：BN＝3：2， 则点D即为所求． （2）如图，△A1B1C1和△A2B2C2均满足题意． 由图可得，A点的对应点坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）． 20．（2025秋•方城县期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，点E在AD上，连接BE，BE＝BD，∠BAE＝∠C． （1）求证：△AEB∽△CDA； （2）若AE＝4，BE＝6，CD＝8，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠AEB＝∠180°﹣∠BED、∠ADC＝180°﹣∠BDE， ∴∠AEB＝∠ADC， ∵∠BAE＝∠C， ∴△AEB∽△CDA； （2）解：∵△AEB∽△CDA， ∴， ∴， ∴DE＝AD﹣AE＝8． 21．（2026秋•平阴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5cm，AC＝12cm．点M在边AB上，以2cm/s的速度由点B出发沿BA向点A匀速运动；同时点N在边AC上，以1cm/s的速度由A出发沿AC向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接MN，设点M运动的时间为t（单位：s）． （1）是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； （2）当t为何值时，△AMN的面积为△ABC面积的． 【解答】解：（1）由勾股定理： 点M速度2，点N速度1，故： BM＝2t，AM＝13﹣2t，AN＝t， 考虑M到达A需 13﹣2t＝0 即 t＝6.5， N到达C需 t＝12，共同停止条件取较小者，故：0≤t≤6.5， 在△AMN 和△ABC 中，∠MAN＝∠BAC（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一：， ， ， 因为 ，所以符合． 情形二：， ， ， 又因为 ，也符合． 所以存在两个符合条件的 t 值： 和 ； （2）过点N作ND⊥AB于D，过点C作 CE⊥AB 于E． 因为∠AND＝∠ACE（都是直角），且∠NAD＝∠CAE（都与角A相同）， 所以△AND∽△ACE， 则有， 从而， 三角形AMN的面积：； 三角形ABC的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于 ： ， 两边同乘156：t（13﹣2t）＝18， 展开：13t﹣2t2＝18， 整理：2t2﹣13t+18＝0， 用十字相乘法：（2t﹣9）（t﹣2）＝0， 所以或t＝2， 两个值都在 0≤t≤6.5 范围内，都成立． 22．（2025秋•三明期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD． （1）A点的坐标为 　（﹣8，0）　 ，∠OAB的度数为 　45°　 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为（3，﹣2），连接CD，DE平分∠ODC，BD与OC交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DF与CE的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0， ∴b＝﹣8，a＝b＝﹣8， ∴A、B的坐标分别为：A（﹣8，0），B（0，﹣8）， ∴OA＝OB＝8， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝45°， 故答案为：（﹣8，0），45°； （2）OC与OD的数量关系：OC＝OD，位置关系：OC⊥OD；理由如下： 设AC与y轴交于点P，BD与OA交于点F，如图1， ∵BE⊥AC， ∴∠BEA＝90°， 在△AEF和△BOF中，∠AEF＝∠BOF＝90°，∠AFE＝∠BFO， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAC和△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD（SAS）， ∴OC＝OD，∠C＝∠D，∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC﹣90°＝∠BOD﹣90°，即∠POC＝∠FOD， ∴∠DOC＝∠POD+∠POC＝∠POD+∠FOD＝∠POA＝90， ∴OC⊥OD， 即OC＝OD，OC⊥OD； （3）①作DM⊥y轴交y轴于点M，CN⊥y轴交y轴于点N，如图2， ∵点C的坐标为（3，﹣2）， ∴ON＝2，CN＝3， 由（2）知OC＝OD，∠COD＝90°， ∵∠DOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°， ∴∠DOM＝∠OCN， ∵∠OMD＝∠CNO＝90°， ∴△OMD≌△CNO（AAS）， ∴OM＝CN＝3，MD＝NO＝2， ∴D（2，3）； ②DF＝2CE．理由如下： 延长DO交AC于点G，如图3， ∵∠ODB＝∠OCA，∠COD＝∠COG＝90°，OC＝OD， ∴△COG≌△DOF（ASA）， ∴CG＝DF， ∵DF平分∠ODC， ∴∠CDE＝∠GDE， ∵DE＝DE，∠DEC＝∠DEG＝90°， ∴△DCE≌△DGE（ASA）， ∴，即DF＝2CE． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $