2026-2027学年北师大版数学九年级上册第三章图形的相似单元测试题

2026-2027北师大版九年上第三章图形的相似单元测试题 一．选择题（共10小题，每题3分共30分） 1．下列各组线段的长度（单位：cm），能构成比例线段的是（　　） A．1，2，3，4　　B．2，3，4，6　　C．1，2，3，5　　D．3，4，5，6 2．已知线段a，b，c，d成比例，即a∶b＝c∶d，其中a＝2，b＝3，c＝4，则d的长为（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 3．如图，利用黄金分割法将矩形窗框分为上下两部分，点C是边AB的黄金分割点（AC＞BC），即 AC∶AB＝，已知AB＝2米，则BC的长为（　　） A．米　　B．米　　C．米　　D．米 4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　） A．1∶2　　B．1∶3　　C．1∶4　　D．1∶8 5．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　） A．两个等腰三角形　　B．两个矩形　　C．两个菱形　　D．两个等边三角形 6．第1个正方形的边长为1，以它的对角线为一边作第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为一边作第3个正方形，……，依此规律，则第n个正方形的边长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．已知△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（　　） A．8　　B．18　　C．24　　D．27 8．下列各组条件中，不能判定两个三角形相似的是（　　） A．两角分别对应相等　　B．两边成比例且夹角相等 C．三边分别对应成比例　　D．两边对应成比例且一角对应相等（该角不是夹角） 9．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE交BD于点F。已知AB＝4，则BF的长为（　　） A．　　B．2　　C．　　D．3 10．平面直角坐标系中，△ABC的顶点A坐标为(1，2)，以原点O为位似中心，把△ABC按相似比2放大得到△A′B′C′，则点A′的坐标为（　　） A．(2，4)　　B．(−2，−4)　　C．(2，4)或(−2，−4)　　D．(1，2)或(−1，−2) 二．填空题（共5小题，每题4分共20分） 11．如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线a、b分别交l₁、l₂、l₃于点A、B、C和D、E、F。已知AB＝2，BC＝3。 （1）若DE＝4，则EF的长为　　　　； （2）若DF＝10，则DE的长为　　　　 12．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，AE＝4。 （1）则＝　　　　； （2）则EC的长为　　　　。 13．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则S△ADE∶S四边形BCED＝　　　　。 14．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝1，b＝2，c＝3，则d的长为　　　　。 15．2026年国际数学日的主题为“数学与希望”，某校学生运用所学知识设计了一张黄金矩形海报（如图）。若黄金矩形的宽为cm，则黄金矩形的长为　　　　cm。（黄金比＝） 三．解答题（共7小题共50分） 16．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10。 （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠A的平分线，交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，垂足为E，求DE的长。 17．（5分）利用相似三角形测高。如图，2026年金秋小明在成都浣花溪公园散步，某一时刻身高1.6m的小明在阳光下的影长为2.0m，同一时刻公园里一棵银杏树的影长为15m，求这棵银杏树的高度。 18．（8分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，DE∥BC，F是BC上一点，且EF∥AB。 （1）若AD∶DB＝3∶5，BC＝16，求DE的长； （2）若AB＝8，BC＝16，EF＝5，求CF的长； （3）求证：△ADE∽△EFC。 19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。 （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AC＝9，AB＝15，求AD的长； （3）在（2）的条件下，求CD的长。 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm。点P从点A出发以每秒1cm的速度沿AC向C运动，点Q从点B出发以每秒1cm的速度沿BA向A运动，同时出发，设运动时间为t秒（0＜t＜3）。 （1）当t为何值时，PQ∥BC？ （2）当t＝2时，求△APQ与△ABC的面积比。 21．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，E是AD上一点，以BE为边在BE右侧作等边三角形BEF，连接CF。 （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝6，E为AD的中点，求CF的长。 22．（8分）等腰三角形“三线合一”性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 （1）【探究性质】如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：AD⊥BC，DE＝DF； （2）【初步运用】如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，E为AB的中点，连接DE，求DE的长； （3）【灵活运用】如图3，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D（三线合一，D为BC中点）。点E在AD上，过点E作EF∥BC交AB于点F，连接CF交AD于点G。若AE∶ED＝2∶3，求AG∶GD。 2026-2027北师大版九年上第三章图形的相似单元测试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各组线段的长度（单位：cm），能构成比例线段的是（　　） 【解答】 A：1∶2≠3∶4，不成比例； B：2∶3＝4∶6，成比例，符合题意； C：1∶2≠3∶5，不成比例； D：3∶4≠5∶6，不成比例。 故选：B。 2．已知线段a，b，c，d成比例，即a∶b＝c∶d，其中a＝2，b＝3，c＝4，则d的长为（　　） 【解答】 由a∶b＝c∶d得 ad＝bc，即 2d＝3×4＝12，解得 d＝6。 故选：B。 3．如图，点C是边AB的黄金分割点（AC＞BC），即 AC∶AB＝，已知AB＝2米，则BC的长为（　　） 【解答】 AC＝AB×＝2×＝（米）， BC＝AB−AC＝2−()＝（米）。 故选：B。 4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　） 【解答】 由D、E为中点得 DE∥BC，且 DE∶BC＝1∶2，故 △ADE∽△ABC，相似比为1∶2。 面积比＝相似比的平方＝(1∶2)²＝1∶4。 故选：C。 5．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　） 【解答】 A：等腰但顶角不一定相等，不一定相似； B：矩形边长比不一定相同，不一定相似； C：菱形角不一定相等，不一定相似； D：等边三角形形状完全相同，一定相似。 故选：D。 6．第1个正方形边长为1，以对角线为边递推作正方形，则第n个正方形的边长为（　　） 【解答】 正方形边长与对角线之比为 1∶，故每作一次新正方形，边长乘以。 s₁＝1，s₂＝，s₃＝，……，sₙ＝。 故选：B。 7．已知△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（　　） 【解答】 相似三角形周长比等于相似比，故 C△ABC∶C△DEF＝2∶3。 即 12∶C△DEF＝2∶3，解得 C△DEF＝18。 故选：B。 8．下列各组条件中，不能判定两个三角形相似的是（　　） 【解答】 A、B、C 分别是 AA、SAS、SSS 判定定理，均能判定相似； D：两边对应成比例且一角对应相等（非夹角）为 SSA，不能判定相似。 故选：D。 9．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE交BD于点F。已知AB＝4，则BF的长为（　　） 【解答】 设A(0,4)、B(4,4)、C(4,0)、D(0,0)，则E(4,2)，对角线BD所在直线为 y＝x。 AE：由A(0,4)、E(4,2)得 y＝−x＋4，与 y＝x 联立得 x＝，故F(，)。 BF＝。 故选：C。 10．平面直角坐标系中，△ABC的顶点A坐标为(1，2)，以原点O为位似中心，把△ABC按相似比2放大得到△A′B′C′，则点A′的坐标为（　　） 【解答】 以原点为位似中心、相似比2放大，对应点坐标为原坐标的 ±2 倍。 故 A′(2,4) 或 A′(−2,−4)。 故选：C。 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线a、b分别交l₁、l₂、l₃于点A、B、C和D、E、F，AB＝2，BC＝3。 【解答】 （1）由平行线分线段成比例：AB∶BC＝DE∶EF，即 2∶3＝4∶EF，得 EF＝6； （2）DF＝DE＋EF＝10，且 EF＝DE，故 DE＋DE＝10，DE＝4。 故答案为：6；4。 12．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，AE＝4。 【解答】 （1）＝＝＝； （2）由 DE∥BC 得 △ADE∽△ABC，＝＝，故 AC＝4÷＝10，EC＝AC−AE＝10−4＝6。 故答案为：；6。 13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，求S△ADE∶S四边形BCED。 【解答】 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。 又 AD∶DB＝1∶2，故 AD∶AB＝1∶3，即相似比为 1∶3。 ∴S△ADE∶S△ABC＝1²∶3²＝1∶9， 故 S△ADE∶S四边形BCED＝1∶（9−1）＝1∶8。 故答案为：1∶8。 14．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝1，b＝2，c＝3，则d＝　　　　。 【解答】 由a∶b＝c∶d得 1∶2＝3∶d，即 d＝6。 故答案为：6。 15．黄金矩形宽为cm，黄金比＝，求长。 【解答】 宽∶长＝，故 长＝宽÷＝()×。 化简得 长＝（cm）。 故答案为：。 三．解答题（共7小题） 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10。 【解答】 （1）以A为圆心适当长为半径画弧，交∠A两边于两点，再分别以这两点为圆心等长为半径画弧交于一点，过A与该点作射线交BC于D，射线AD即为∠A平分线（保留痕迹）； （2）∵AD平分∠A，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 设DE＝x，则DC＝x。由 S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得 ＝＋， 即 24＝5x＋3x，解得 x＝3。 答：DE的长为3。 17．利用相似三角形测高。小明身高1.6m影长2.0m，银杏树影长15m，求银杏树高度。 【解答】 同一时刻物高与影长成比例，设银杏树高为h m，则 h∶15＝1.6∶2.0，解得 h＝15×＝15×0.8＝12。 答：这棵银杏树的高度为12m。 18．在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB。 【解答】 （1）由DE∥BC得 △ADE∽△ABC，＝＝＝，DE＝16×＝6； （2）由EF∥AB得 △CEF∽△CAB，＝，即＝，CF＝10； （3）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC；∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠CAB，且∠EFC＝∠ABC。 　在△ADE与△EFC中，∠DAE＝∠CEF，∠ADE＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC（AA）。 19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。 【解答】 （1）证明：∠ADC＝∠ACB＝90°，且∠A为公共角，∴△ACD∽△ABC（AA）； （2）由相似得＝，即＝，AD＝＝＝5.4； （3）由射影定理 CD²＝AD·BD，BD＝AB−AD＝15−5.4＝9.6，故 CD²＝5.4×9.6＝51.84， 　CD＝＝7.2。 答：AD长为5.4，CD长为7.2。 20．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P从A沿AC、Q从B沿BA同时以每秒1cm运动。 【解答】 （1）P在AC上：AP＝t，PC＝3−t；Q在BA上：BQ＝t，AQ＝5−t。 若PQ∥BC，则△APQ∽△ACB，＝，即＝，5t＝15−3t，t＝； （2）t＝2时，AP＝2，AQ＝5−2＝3，△APQ与△ABC共角A，面积比＝＝＝＝。 答：（1）t＝秒时PQ∥BC；（2）面积比为2∶5。 21．△ABC等边，D是BC中点，E是AD上一点，以BE为边作等边△BEF，连接CF。 【解答】 （1）证明：∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠ABC−∠EBC＝60°−∠EBC，∠CBF＝∠EBF−∠EBC＝60°−∠EBC，故∠ABE＝∠CBF。 又 AB＝CB，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF； （2）等边△ABC边长6，高AD＝6×＝。E为AD中点，AE＝AD÷2＝。 由（1）AE＝CF，故 CF＝。 答：（2）CF的长为。 22．等腰三角形三线合一性质的探究与运用。 【解答】 （1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C；∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD。又AD＝AD， 　∴△ABD≌△ACD（ASA），∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD。 　∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC。 　又点D在∠BAC的平分线上，且DE⊥AB、DF⊥AC，∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 （2）等腰△ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC，则BD＝6，AD＝＝8。 　E为AB中点，在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，DE＝＝＝5； （3）等腰△ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC，则BD＝CD＝6，AD＝＝8。 　由EF∥BC，在△ABD中，∠A公共，得△AEF∽△ABD，故 AF∶AB＝AE∶AD。 　AE∶ED＝2∶3 ⇒ AE∶AD＝2∶5，于是 AF∶AB＝2∶5，即 AF＝10×＝4。 　以D为原点、BC所在直线为x轴、DA所在直线为y轴建系，则B(−6,0)、C(6,0)、A(0,8)； 　E在AD上且AE∶ED＝2∶3，得E(0,)；F在AB上且EF∥BC，故F纵坐标为，由A、B、F共线得F(, )。 　直线CF交y轴于G，得G(0,)，故AG＝8−＝，GD＝，AG∶GD＝32∶24＝4∶3。 答：（2）DE长为5；（3）AG∶GD＝4∶3。 学科网（北京）股份有限公司 $