第四章　投影与视图（单元测试）--2026—2027学年北师大版数学九年级上册

第四章　投影与视图 一、单选题 1．如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）. A． B． C． D． 2．如图，是由五个相同的小正方体搭成的几何体，移走一个小正方体它的左视图不变，则移走的小正方体是（　　） A．① B．② C．③ D．③或④都可以 3．如图所示的几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 4．如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，从上面观察这个图形，得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 5．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 6．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 7．如图，是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 8．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（　　） A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3 10．一些完全相同的小正方形搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（　　） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 11．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值是（　　） A． B． C． D． 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为　 　． 14．夜晚路灯下同样高的树，离路灯越远，影子越　 　． （填“长”或“短”） 15．春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是　 　 （写出符合题意的两个图形即可） 16．已知：如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体从正面、左面和上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是　 　． 17．如图所示，是由一些相同的小立方体搭成的几何体分别从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图，那么构成这个立体图形的小正方形有　 　个． 18．将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状可能是　 　．（只需写一个条件） 19．一个长方体的三种视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为　 　 ． 20．由个相同的正方体组成一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设能取到的最大值是，则多项式的值是　 　． 21．一个几何体是由一些相同的小正方体构成，该几何体从正面看 主视图 和从上面看 俯视图 如图所示 那么构成这个几何体的小正方体至少有　 　块，至多有　 　块 22．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要　 　个小立方块． 23．用正方体小木块搭建成的，下面三个图分别是它的从正面看、从左面看和从上面看，请你观察它是由　 　块小木块组成的． 三、解答题 24．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度.如图，数学小组发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，已知此时高的竹竿在水平地面上的影子长，那么这棵大树高度是多少？ 25．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． （1）共有　 　 个小正方体； （2）如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加　 　 个小正方体； （3）求这个几何体的表面积． 26．如图是由9个相同的小立方块搭成的几何体，请画出它的三视图． 27．一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个菱形，求这个直四棱柱的表面积． 28．由若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，数字表示该位置的小正方体个数. （1）请画出它的主视图和左视图； （2）如果要给这个几何体喷上颜色(底面不喷色)，需要喷色的面积为　 　； （3）在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加　 　个小正方体. 29．（1）一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多可以用 个小正方体，最少可以用 个小正方体． （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有 条棱， 个面， 个顶点．（说明：截去部分的边长都不超过正方体的边长．） （3）如图1，一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体． ①所得几何体的表面积为 ． ②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3，那么，所得几何体的体积是 ． 30．由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图所示，求组成几何体的小立方体个数的最大值与最小值，并画出相应的俯视图. 31．如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内． （1）计算图1长方形的面积； （2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)； （3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：根据简单组合体的三视图可知，ABD不符合题意，C符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据简答组合体的三视图进行判断即可. 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵从上面可以看到一排三个正方形， ∴可得正确的图形是， 故答案为： 【分析】根据由小正方形组合成的几何体的三视图结合题意即可求解。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下： 故答案为：D． 【分析】左视图就是从几何体的左边看到的平面图形，从左往右小正方形的个数依次为：2，1，可得出答案。 6．【答案】B 【解析】【分析】先分别分析四种几何体的三种视图，再找出有两个相同而另一个不同的几何体． 【解答】①因为正方体的三个视图都相同，都是正方形，不符合条件； ②圆柱的主视图与左视图都是长方形，俯视图是圆，符合条件； ③圆锥的主视图与左视图都是三角形，俯视图是圆中间还有一点，符合条件； ④球的三个视图都相同，都是圆，不符合条件． 故符合条件的是：②③． 故选：B． 【点评】此题主要考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力 7．【答案】D 8．【答案】B 【解析】【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有4个正方体． 故选：B． 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6cm，6cm，3cm的长方体截去一个三条侧棱长分别为4cm，4cm，3cm的一个三棱锥（长方体的一个角）后的图形，如图所示． ∴该几何体的体积V=6×6×3-=100（cm3）． 故答案为B。 【分析】从三视图，若不看每个图中斜的实线，我们会发现该几何体是一个长方体；根据斜线的位置可以确定该几何体是由一个长方体截掉一个棱锥所得到的。由三视图得到长方体的长、宽、高，以及三棱锥的底面三角形的底与高，和三棱锥的高。 10．【答案】C 【解析】【分析】从正面看得到的图形表现了几何体的长与高，从左面看得到的图形表现了几何体的宽和高，得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数，进而得到相应的可能情况总数即可． 【解答】由2个视图可得该组合几何体有3行，3列，所以最底层最多有9个正方体，最少有3个正方体；第二层最多有4个正方体，最少有2个正方体；第3层最多有1个正方体，最少有1个正方体，所以组合几何体最多有9+4+1=14个正方体，最少有3+2+1=6个正方体． 故正方体可能的个数在6和14之间，共有9种可能的情况， 故选C． 【点评】考查由视图判断几何体；得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数是解决本题的关键． 11．【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 设正方体的每条边长为1； 截去部分体积是， 剩余部分体积是； ∴ 截去部分体积与剩余部分体积的比值是。 故答案为：D. 【分析】根据三视图，如图所示，即为截去部分的体积。截去部分的体积是一个棱锥，根据棱锥计算公式计算出来体积之后，再和剩余部分的体积进行对比做除法计算，即可得出答案。 12．【答案】C 【解析】【解答】 由三视图知，该几何体是以1为半径，以2为母线长的圆锥， 设它的外接球的半径是R，则它的轴截面如图： 由题意知△SAB是正三角形，且外接圆的半径是R， ∴R=，故外接球的表面积为4π×=． 故答案为：． 【分析】本题考查了由三视图求几何体的表面积或体积，关键是由三视图确定几何体的结构特征及数值；对于球的外接问题一般是画出轴截面，根据图形求出未知量再代入公式求解，主要考查了空间想象能力． 13．【答案】5 【解析】【解答】解：主视图如图所示， ∵由6个棱长均为1的正方体组成的几何体， ∴主视图的面积为5×12=5， 故答案为5． 【分析】根据立体图形画出它的主视图，再求出面积． 14．【答案】长 15．【答案】正方形、菱形（答案不唯一） 【解析】【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形． 故答案为：正方形、菱形（答案不唯一）． 【分析】平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行． 16．【答案】 【解析】【解答】解：从主视图和俯视图可知，几何体的底层有4个正方体， 从主视图和左视图可知，几何体的第二和第三层各一个正方体， 则搭成这个几何体的小正方体的个数为：4+1+1=6， 故答案为：6． 【分析】从主视图和俯视图可知，几何体的底层有4个正方体，从主视图和左视图可知，几何体的第二和第三层各一个正方体，然后将它们相加即可. 17．【答案】5 【解析】【解答】解：由从上面看到的图形易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，那么共有4+1=5（个）正方体组成． 故答案为5． 【分析】先利用三视图判断几何体，再求解即可。 18．【答案】平行四边形（答案不唯一） 【解析】【解答】矩形在阳光下的投影对边应该是相等的，影子的形状可能是矩形、正方形、平行四边形； 故答案为：平行四边形． 【分析】利用中心投影的性质求解即可。 19．【答案】66 【解析】【解答】解：由三视图可知，长方体的长是3宽是3高是4， 则这个长方体的表面积为： （3×3+3×4+3×4）×2 =（9+12+12）×2 =33×2 =66． 故这个长方体的表面积为66． 故答案为：66． 【分析】根据三视图得出长方体的长是3宽是3高是4，由长方体的表面积公式即可求出这个长方体的表面积． 20．【答案】-7 21．【答案】5；7 【解析】【解答】解：如图所示， 由图知构成这个几何体的小正方体至少有5块，至多有7块． 【分析】根据俯视图能够判断出这个几何体的最底层是有5个小正方体，根据主视图可以判断出这个几何体有两层，并且第二层的左边至少有一个小正方体，至多有三个小正方体。 22．【答案】54 【解析】【解答】由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行； 第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体， 共有10个正方体， ∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体， ∴搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体， ∴至少还需要64-10=54个小正方体． 【分析】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，即可得出答案． 23．【答案】10 【解析】【解答】解：从上面看有6个正方形，则最底层有6块小木块. 从正面看和从左面看可知，第二层有3块小木块，第三层有1块小木块.3 所以它是由6+3+1=10 块小木块组成的． 故答案为10：. 【分析】先从上面看判断最底层的小木块的个数，再从正面看和从左面看判断第二层和第三层的小木块的个数，相加即可判断. 24．【答案】解：如图所示，过作于， 则，. 同一时刻物高和影长成正比， ， ， ， 答：这棵大树高为. 【解析】【分析】 过D作DE⊥AB于E， 在BE=CD=2m，DE=BC=5m，进而根据同一时刻物高和影长成正比建立方程，求解即可. 25．【答案】（1）10 （2）5 （3）解：主视图的面积为，左视图的面积为，俯视图的面积为， 该组合体的表面积为 【解析】【解答】解：（1）观察图形，第一层有7个正方体，第2层有2个正方体，第3层有1个正方体， ∴共有 10个小正方体； 故答案为：10． （2）根据 保持俯视图和左视图都不变 ，在第2列和第4列可以添加2个正方体，第3列可以添加1个正方体， ∴最多可以再添加 5个小正方体， 故答案为：5． 【分析】（1）观察图形，分别数出三层的小正方形的个数，即可求解； （2）观察图形，根据保持俯视图和左视图都不变在第2列和第4列可以添加2个正方体，第3列可以添加1个正方体，即可求解； （3）根据三视图的定义，分别求得三个视图的面积，注意添加第2层第1列和第3列之间以及第1层第2列和第4列的相对的两个正方形的面积，即可求解． 26．【答案】 【解析】【解答】解：如图所示： 【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为2，3，1；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，3，2；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可． 27．【答案】解：∵俯视图是菱形， ∴可求得底面菱形边长为2.5cm， 上、下底面积和为6×2=12cm2， 侧面积为2.5×4×8=80cm2， ∴直棱柱的表面积为92cm2 【解析】【分析】计算两个底面的菱形的面积加上侧面四个矩形的面积即可求得直四棱柱的表面积． 28．【答案】（1）解：主视图和左视图如图所示. （2）32 （3）1 【解析】【解答】解：(2)给这个几何体喷上颜色( 底面不喷色)，需要喷色的面有上面4，左面5，右面5，前面7，后面7，中间夹缝里4，一共32个，所以喷色的面积为32. 故答案为：32. (3)在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加1个小正方体. 故答案为：1. 【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形. 29．【答案】（1）13，5；（2）15，7，10；（3）①24；② 30．【答案】解：最大值为12个，最小值为7个，俯视图分别如图所示（每个方格内的数字表示该位置上叠的小立方体的个数）. 【解析】【分析】结合主视图和左视图可知：底面最多有小立方体3+3+3=9个，最少有小立方体1+2+1=4个，第二层最多有小立方体2个，最少有小立方体2个，第三层最多有小立方体1个，最少有小立方体1个，故组成这个几何体的小立方体的个数的最大值为9+2+1=12个，最小值为4+2+1=7个，根据俯视图的定义，分别作出组成几何体的小立方体最多的时候，与最少的时候从上向下看得到的正投影即可。 31．【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。 （2）展开图： （3） 【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。 （2）利用正方体和展开图特点进行画图。 （3）利用正方体和展开图的特点进行计算。 学科网（北京）股份有限公司 $