第四章 投影与视图 【基础过关卷】 2026～2027 学年北师大版九年级数学上册

第四章 投影与视图【基础过关卷】九年级上册北师大版 2026~2027 学年 满分 100 分，考试时间 90 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．关于投影，下列说法正确的是（　　） A．物体在灯光下形成的影子是平行投影 B．太阳光可以看成平行光线，物体在阳光下的投影是平行投影 C．中心投影的光线互相平行 D．正投影的投影线一定不垂直于投影面 2．傍晚，太阳渐渐西下，此时一棵大树在阳光下的影子（　　） A．越来越长 B．越来越短 C．长度不变 D．无法确定 3．下列几何体中，三视图完全相同的是（　　） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 4．下列几何体中，俯视图是三角形的是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．球 5．把一个正方形木板放在阳光下，它在地面上形成的投影不可能是（　　） A．正方形 B．矩形 C．一条线段 D．正六边形 6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 P(2,2) 处，木杆 AB 两端的坐标分别为 (0,1)、(3,1)．则木杆 AB 在 x 轴上的影长 CD 为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 7． 如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm）可求得这个几何体的体积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，有一路灯 AB，灯泡 P 距地面 4.8 m，身高 1.6 m 的小明站在距点 A 4.8 m 的点 D 处，此时他的影子为 DE．若他沿射线 DA 走 2.4 m 到达点 B 处，此时小明的影子 BC（　　） A．增长了 1 m B．缩短了 1 m C．增长了 1.2 m D．缩短了 1.2 m 9．一个几何体由正方体和圆柱上下叠放组成，圆柱在正方体的正上方，且圆柱的底面直径与正方体的棱长相等．关于这个几何体的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 10．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．皮影戏是我国的一种传统艺术，它的光源通常是一盏固定的灯．皮影在幕布上形成的投影属于 ______ 投影（填「平行」或「中心」）． 12．谜语「正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间是一点」的谜底是 ______（打一几何体）． 13．同一时刻的阳光下，身高 1.5 米的标杆的影长为 2 米，一棵大树的影长为 8 米，则这棵大树的高度为 ______ 米． 14．一盏灯位于距地面 3 米高处，在它的正下方距地面 1 米处水平放置一块直径为 1.2 米的圆形桌面．桌面在灯光照射下于地面上形成圆形的阴影，则这个阴影的面积为 ______ 平方米（结果保留 π）． 15．一盏路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在路灯下的水平地面上，此时他的影长为 2 米，则小明与路灯底部的距离为 ______ 米． 16．如图，某一时刻测得 1 m 长的竹竿竖直放置时影长 1.25 m．在同一时刻，旗杆 AB 的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上的影长 BD 为 9 m，留在墙上的影长 CD 为 2 m，则旗杆的高度 AB 为 ______ m． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分）如图，用若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．请画出它的三视图． 18．（4 分）如图是某几何体的三视图． (1) 这个几何体的名称是 ______； (2) 若主视图是宽为 4 cm、长为 9 cm 的矩形，左视图是宽为 3 cm 的矩形，俯视图是斜边为 5 cm 的直角三角形，则该几何体的表面积是多少平方厘米？ 19．（6 分）如图，一棵树 AB 和一根木杆 CD 在同一时刻的投影，木杆 CD 高 3 米，影子 DE 长 2 米．若树的影子 BE 长 6 米，则树 AB 高多少米？ 20．（6 分）三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）． (1) 根据竹竿和灯光下的影子，在图中标出光源 G 的位置； (2) 在图中画出影子为 AB 的竹竿 AC（用线段表示）． 21．（6 分）小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的脑袋了。”如图表示此时小明和小丽的位置． (1) 请画出此时小丽在阳光下的影子； (2) 若已知小明的身高为 1.6 m，小明和小丽之间的距离为 2 m，而小丽的影子长为 1.75 m，求小丽的身高． 22．（6 分）学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．如图，线段 AB 表示站立的小光，线段 CD 表示此时操场上的灯杆，点 C 为路灯所在位置． (1) 画出小光在路灯 C 下的影子 BE； (2) 如果小光身高为 1.8 m，他站在距离灯杆 5 m 的 B 处（即 BD = 5 m）时，测得自己的影长 BE 为 3 m，求灯杆 CD 的高度． 23．（8 分）如图是一个直三棱柱的三视图的有关尺寸，请计算这个几何体的表面积和体积． 24．（12 分）如图，小明家窗外有一堵围墙 AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C 射进房间的地板 F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点 D 射进房间的地板 E 处．小明测得窗户距地面的高度 OD = 0.8 m，窗高 CD = 1.2 m，并测得 OE = 0.8 m，OF = 3 m，求围墙 AB 的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章投影与视图【基础过关卷】九年级上册北师大版 2026~2027 学年 满分 100 分，考试时间 90 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．关于投影，下列说法正确的是（　　） A．物体在灯光下形成的影子是平行投影 B．太阳光可以看成平行光线，物体在阳光下的投影是平行投影 C．中心投影的光线互相平行 D．正投影的投影线一定不垂直于投影面 【答案】 B 【解析】 由同一点发出的光线所形成的投影是中心投影，由平行光线所形成的投影是平行投影；灯光属于点光源，所以物体在灯光下的影子是中心投影，A 错误； 太阳光可以看成平行光线，所以物体在阳光下的投影是平行投影，B 正确； 中心投影的光线都经过光源这一点，并不平行，C 错误； 正投影的投影线垂直于投影面，D 错误．故选 B． 【解题提示】判断投影的种类，关键看光线是「从一点发出」还是「互相平行」． 2．傍晚，太阳渐渐西下，此时一棵大树在阳光下的影子（　　） A．越来越长 B．越来越短 C．长度不变 D．无法确定 【答案】 A 【解析】 太阳光可以看成平行光线，树在阳光下的影子属于平行投影； 太阳渐渐西下时，光线与地面的夹角越来越小，由平行投影的性质可知，同一物体的影子会越来越长．故选 A． 【解题提示】太阳越高，影子越短；太阳越低，影子越长（如清晨、傍晚影子最长）． 3．下列几何体中，三视图完全相同的是（　　） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】 A 【解析】 正方体的主视图、左视图、俯视图都是全等的正方形，三种视图完全相同，A 符合题意； 圆柱的主视图、左视图是相同的长方形，而俯视图是圆，B 不符合； 圆锥的主视图、左视图是相同的等腰三角形，而俯视图是带圆心的圆，C 不符合； 三棱柱的主视图是长方形，俯视图是三角形，三者不相同，D 不符合．故选 A． 【解题提示】三视图都相同的常见几何体只有正方体和球（本题选项中只有正方体）． 4．下列几何体中，俯视图是三角形的是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．球 【答案】 C 【解析】 圆柱的俯视图是圆，A 不符合； 圆锥的俯视图是圆（带圆心），B 不符合； 三棱柱的俯视图是三角形，C 符合题意； 球的俯视图是圆，D 不符合．故选 C． 【解题提示】俯视图是「从上往下看」得到的图形，注意圆锥的俯视图是圆而不是三角形． 5．把一个正方形木板放在阳光下，它在地面上形成的投影不可能是（　　） A．正方形 B．矩形 C．一条线段 D．正六边形 【答案】 D 【解析】 正方形是特殊的平行四边形，在平行投影下，它的投影仍是平行四边形（当木板与地面平行时为正方形，倾斜时可为矩形或一般的平行四边形）； 当木板与地面垂直（且光线与木板所在平面平行）时，投影退化成一条线段； 正六边形有六条边，正方形的投影不可能出现六条边，故选 D． 【解题提示】平行投影下的影子只会是「平行四边形（含矩形、正方形、菱形）或线段」，边数不会增加． 6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 P(2,2) 处，木杆 AB 两端的坐标分别为 (0,1)、(3,1)．则木杆 AB 在 x 轴上的影长 CD 为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】 B 【解析】 由点 P(2,2)、A(0,1) 得直线 PA 的表达式为 ，令 得 ，所以点 C 的坐标为 ； 由点 P(2,2)、B(3,1) 得直线 PB 的表达式为 ，令 得 ，所以点 D 的坐标为 ； 所以影长 ．故选 B． 【解题提示】点光源投影：把「光源-木杆端点」的直线延长到投影面，两个落点之间的距离就是影长． 7．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm）可求得这个几何体的体积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】 A 【解析】 俯视图是一个边长为 1 的正方形，所以这个几何体的长和宽都是 1 cm； 主视图与左视图的高都是 2，所以这个几何体的高为 2 cm； 所以它是一个长、宽、高分别为 1 cm、1 cm、2 cm 的长方体； 它的体积为 （）．故选 A． 【解题提示】由三视图还原长方体：俯视图给长与宽，主视图（或左视图）的高就是它的高． 8．如图，有一路灯 AB，灯泡 P 距地面 4.8 m，身高 1.6 m 的小明站在距点 A 4.8 m 的点 D 处，此时他的影子为 DE．若他沿射线 DA 走 2.4 m 到达点 B 处，此时小明的影子 BC（　　） A．增长了 1 m B．缩短了 1 m C．增长了 1.2 m D．缩短了 1.2 m 【答案】 D 【解析】 设小明到灯底的距离为 m、影子长为 m，由相似三角形得 ，所以 ，即 ； 小明在点 D 处时，，影子长 （m）； 沿射线 DA 走 2.4 m 到达点 B 处时，，影子长 （m）； 因为 （m），所以他的影子缩短了 1.2 m．故选 D． 【解题提示】路灯下影长与「人到灯底的距离」成正比，本题中比例恰好是 1 : 2． 9．一个几何体由正方体和圆柱上下叠放组成，圆柱在正方体的正上方，且圆柱的底面直径与正方体的棱长相等．关于这个几何体的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】 A 【解析】 圆柱位于正方体的正上方，且圆柱的底面直径等于正方体的棱长； 从正面看和从左面看，看到的都是「下方一个正方形、上方一个等宽的长方形」，所以主视图与左视图相同，A 正确； 从上面看，看到的是圆柱的上底面，即一个圆，与主视图、左视图都不相同，B、C、D 错误．故选 A． 【解题提示】先想清楚「每个方向看到的都是哪些面」，再比较三种视图． 10．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 B 【解析】 主视图有 3 列，从左到右每列的最大高度为 2、1、1；左视图有 2 列，表示物体在前后方向上的两列最大高度为 1、2； 要使小正方体的个数最多，俯视图取 的方格，每个位置上的个数取该位置对应两个高度的较小值； 对应左视图高度 1 的一行：三个位置分别填 1、1、1 个，共 （个）； 对应左视图高度 2 的一行：三个位置分别填 2、1、1 个，共 （个）； 所以最多需要 个小正方体．故选 B． 【解题提示】由主视图、左视图求「最多」：每格填「主视图该列高度」与「左视图该列高度」中的较小值，再全部相加． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．皮影戏是我国的一种传统艺术，它的光源通常是一盏固定的灯．皮影在幕布上形成的投影属于 ______ 投影（填「平行」或「中心」）． 【答案】 中心 【解析】 皮影戏的光源是一盏固定的灯，可以看成点光源； 由同一点发出的光线形成的投影是中心投影，所以皮影在幕布上形成的投影属于中心投影． 【解题提示】「点光源（灯）」对应中心投影，「平行光源（太阳光）」对应平行投影． 12．谜语「正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间是一点」的谜底是 ______（打一几何体）． 【答案】 圆锥 【解析】 「正看三条边，侧看三条边」说明主视图与左视图都是三角形； 「上看圆圈圈，中间是一点」说明俯视图是圆，并且圆心是看点（即圆锥的顶点）； 同时满足这两个条件的几何体是圆锥． 【解题提示】把谜面的每一句都翻译成一个视图，再找同时满足的几何体． 13．同一时刻的阳光下，身高 1.5 米的标杆的影长为 2 米，一棵大树的影长为 8 米，则这棵大树的高度为 ______ 米． 【答案】 6 【解析】 同一时刻的阳光下，物高与影长成正比； 设这棵大树的高度为 x 米，则 x : 8 = 1.5 : 2， 解得 x = 8 × 1.5 ÷ 2 = 6，即这棵大树的高度为 6 米． 【解题提示】平行投影测高的通用关系：甲物高 : 甲影长 = 乙物高 : 乙影长． 14．一盏灯位于距地面 3 米高处，在它的正下方距地面 1 米处水平放置一块直径为 1.2 米的圆形桌面．桌面在灯光照射下于地面上形成圆形的阴影，则这个阴影的面积为 ______ 平方米（结果保留 π）． 【答案】 【解析】 灯的照射属于中心投影，桌面的直径与阴影的直径所在的三角形相似； 由相似三角形可得：阴影的半径 : 桌面的半径 = (灯到地面的距离) : (灯到桌面的距离) = 3 : 2； 桌面的半径为 1.2 ÷ 2 = 0.6（米），所以阴影的半径为 0.6 × 3 ÷ 2 = 0.9（米）； 所以阴影的面积为 （平方米）． 【解题提示】中心投影的「放大倍数」等于灯到地面与灯到物体两段距离之比，不要漏掉这一步直接对半径作比． 15．一盏路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在路灯下的水平地面上，此时他的影长为 2 米，则小明与路灯底部的距离为 ______ 米． 【答案】 8 【解析】 路灯属于点光源，这是中心投影问题．设路灯高为 H 米、小明身高为 h 米、小明到灯底的距离为 d 米、影长为 s 米，由相似三角形得 h : H = s : (s + d)； 即 1.6 : 8 = 2 : (2 + d)，化简得 2 + d = 10，解得 d = 8， 所以小明与路灯底部的距离为 8 米． 【解题提示】中心投影测距的通用关系：物高 : 灯高 = 影长 : (影长 + 人到灯底的距离)． 16．如图，某一时刻测得 1 m 长的竹竿竖直放置时影长 1.25 m．在同一时刻，旗杆 AB 的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上的影长 BD 为 9 m，留在墙上的影长 CD 为 2 m，则旗杆的高度 AB 为 ______ m． 【答案】 9.2 【解析】 同一时刻物高与影长成正比：； 留在墙上的影长 m，把它折算成地面上的影长：（m）； 所以旗杆的全部影长折算到地面共 （m）； 由 得 （m）． 【解题提示】影子分段落在「地面 + 墙壁」上时，先把墙面上的竖直影长按同一比例折回地面，再按一次比例求物高． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分）如图，用若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．请画出它的三视图． 【答案】 三视图见图（解析） 【解析】 从正面看，数清有几列、每列最高几层，即得主视图； 从左面看，数清前后方向有几列、每列最高几层，即得左视图； 从上面看，画出所有小正方体在水平面上的分布，即得俯视图； 画图时注意三种视图之间的「长对正、高平齐、宽相等」． 【解题提示】画三视图：先数清每个方向上「有几列、最高几层」，再照格子画． 18．（4 分）如图是某几何体的三视图． (1) 这个几何体的名称是 ______； (2) 若主视图是宽为 4 cm、长为 9 cm 的矩形，左视图是宽为 3 cm 的矩形，俯视图是斜边为 5 cm 的直角三角形，则该几何体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 (1) 直三棱柱；(2) 120 平方厘米 【解析】 (1) 由俯视图是三角形、主视图与左视图都是矩形可知，这个几何体是直三棱柱； (2) 俯视图是斜边为 5 cm 的直角三角形，由主视图宽 4 cm、左视图宽 3 cm 得两条直角边分别为 4 cm 和 3 cm； 底面面积为 （），底面周长为 （cm）； 由主视图的长为 9 cm 得棱柱的高为 9 cm，侧面积为 （）； 所以表面积为 （）． 【解题提示】棱柱的表面积 = 上下底面积之和 + 底面周长 × 高． 19．（6 分）如图，一棵树 AB 和一根木杆 CD 在同一时刻的投影，木杆 CD 高 3 米，影子 DE 长 2 米．若树的影子 BE 长 6 米，则树 AB 高多少米？ 【答案】 9 米 【解析】 同一时刻物高与影长成正比； 设树 AB 高 米，则 ， 解得 ，所以树 AB 高 9 米． 【解题提示】平行投影测高：甲物高 : 甲影长 = 乙物高 : 乙影长． 20．（6 分）三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）． (1) 根据竹竿和灯光下的影子，在图中标出光源 G 的位置； (2) 在图中画出影子为 AB 的竹竿 AC（用线段表示）． 【答案】 (1) 两条光线延长后的交点就是光源 G；(2) 图见解析 【解析】 (1) 灯光是点光源，每根竹竿的顶端、光源、这根竹竿影子的端点在同一条直线上．分别连结两根已知竹竿的顶端与各自影子的端点，两条直线延长后的交点就是光源 G 的位置； (2) 影长为 AB 的竹竿，底端在点 A 处．过点 A 作地面的垂线，与直线 GB 的交点记为 C，则线段 AC 就是所求的竹竿． 【解题提示】确定点光源的位置：取两根已知影子，把「竹竿顶端」与「影子端点」相连，两条连线的交点就是光源． 21．（6 分）小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的脑袋了。”如图表示此时小明和小丽的位置． (1) 请画出此时小丽在阳光下的影子； (2) 若已知小明的身高为 1.6 m，小明和小丽之间的距离为 2 m，而小丽的影子长为 1.75 m，求小丽的身高． 【答案】 (1) 图见解析；(2) 1.4 m 【解析】 (1) 阳光是平行光线，小丽的影子方向与小明的影子方向相同．连结小明的头顶与他影子的端点，过小丽的位置作这条光线的平行线，它与地面的交点就是小丽影子的端点，由此画出小丽的影子； (2) 小丽踩到小明的“脑袋”，说明小丽正好站在小明头顶影子的端点处，所以小明的影子长为 2 m； 同一时刻物高与影长成正比：， 解得 （m），所以小丽的身高为 1.4 m． 【解题提示】平行投影下「物高 : 影长」是定值，人和物体都适用；先由已知的一组数据定出这个比值，再求未知量． 22．（6 分）学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．如图，线段 AB 表示站立的小光，线段 CD 表示此时操场上的灯杆，点 C 为路灯所在位置． (1) 画出小光在路灯 C 下的影子 BE； (2) 如果小光身高为 1.8 m，他站在距离灯杆 5 m 的 B 处（即 BD = 5 m）时，测得自己的影长 BE 为 3 m，求灯杆 CD 的高度． 【答案】 (1) 图见解析；(2) 4.8 m 【解析】 (1) 路灯是点光源，连结 CA 并延长，与地面交于点 E，则线段 BE 就是小光在路灯 C 下的影子； (2) 设灯杆 CD 的高为 m．因为 ，所以三角形 ABE 与三角形 CDE 相似，； 其中 （m），所以 ，解得 ； 所以灯杆 CD 的高度为 4.8 m． 【解题提示】点光源测高：把「人-影子」与「灯杆-影子」放进含公共顶点（影子端点）的两个相似三角形． 23．（8 分）如图是一个直三棱柱的三视图的有关尺寸，请计算这个几何体的表面积和体积． 【答案】 表面积 36 ，体积 12 【解析】 由三视图可知，这个几何体是直三棱柱，它的底面是两条直角边分别为 4 cm 和 3 cm 的直角三角形，棱柱的高为 2 cm； 由勾股定理得底面三角形的斜边长为 （cm），所以底面周长为 （cm），底面面积为 （）； 侧面积为 （）； 所以表面积为 （），体积为 （）． 【解题提示】求直棱柱的表面积，先由勾股定理算出底面三角形的斜边、得到底面周长，再用「底面周长 × 高」求侧面积． 24．（12 分）如图，小明家窗外有一堵围墙 AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C 射进房间的地板 F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点 D 射进房间的地板 E 处．小明测得窗户距地面的高度 OD = 0.8 m，窗高 CD = 1.2 m，并测得 OE = 0.8 m，OF = 3 m，求围墙 AB 的高度． 【答案】 4.4 m 【解析】 设围墙的高 m，围墙底端 B 到点 O 的距离 m．两条光线都经过围墙顶端 A：中午的光线经过 A、D、E，清晨的光线经过 A、C、F； 因为 m，所以三角形 DOE 是等腰直角三角形，从 D 到 E 的这条光线在水平方向每向左移动 1 米就升高 1 米； 点 A 在这条光线的延长线上，它比点 D 向左移动了 米，所以 ． ① 再看清晨的光线：（m）， m，所以这条光线在水平方向每向左移动 1 米就升高 米； 点 A 比点 C 向左移动了 米，所以 ． ② 由 ①、② 得 ，解得 ， 所以围墙的高 （m）． 【解题提示】两条光线都经过围墙顶端 A，把各自「每向左 1 米升高多少米」写成式子，再令两式相等即可解出 A 的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $