第四章《 投影与视图》单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版数学九上第四章《投影与视图》巩固卷，立足单元复习，以生活情境（如天文台观测基地、路灯投影）和文化素材（《孙子算经》）为载体，覆盖投影类型、三视图、几何体计算等核心知识，培养空间观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|三视图判断、投影类型辨识、相似计算|结合实物情境（如半球形穹顶俯视图），基础巩固与概念辨析并重| |填空题|6题/18分|影子时间顺序、小正方体搭建、投影应用|融入动态变化（如太阳照射影子顺序），考查空间想象与抽象能力| |解答题|7题/72分|中心投影计算、三视图画法、几何体表面积与拼接|第23题探究长方体拼接表面积最小，体现推理意识与创新应用；第10题引用《孙子算经》，渗透文化传承|

第四章《 投影与视图》巩固卷-北师大版数学九上单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 2．中国国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．为了测量旗杆的高度，同学们测得阳光下旗杆的影长为，同一时刻长度为1m的标杆影长为0.4m，则旗杆的高度为（　　） A．0.2m B．0.8m C．5m D．4m 5．下列投影中，属于中心投影的是（　　） A． B． C． D． 6．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　）. A．18π B．20π C．16π D．14π 7．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（　　） A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米 8．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（　　） A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定 9．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（　　） A． B． C． D． 10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸（提示：1丈尺，1尺寸），则竹竿的长为（　　） A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图所示为某公园中的两个物体，一天中四个不同时刻，在阳光的照射下，落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列是　 　(填序号). 12．用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要　 　个小正方体. 13．某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是　 　米． 14．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为　 　． 15．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则　 　米． 16．如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是　 　． 三、解答题（共7题，共72分） 17．如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于　 　；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 18．图中的几何体是由9个棱长为1cm的小正方体搭成的，如图所示． （1）这个几何体得体积为　 　． （2）请在方格纸中用实线画出该几何体从正面、左面、上面观察到的图形； （3）求这个几何体的表面积． 19．如图，某一广告墙 PQ 旁有两根直立的木杆AB 和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子恰好落在广告墙PQ 的墙脚Q 处. （1）请在图中画出此时的太阳光线CE 及木杆AB 的影子BF. （2） 若AB=6m，CD=3m，CD 到PQ 的水平距离DQ 为4m，求此时木杆AB 的影长. 20．已知图为一几何体从不同方向看的图形． （1）写出这个几何体的名称； （2）任意画出这个几何体的一种表面展开图； （3）若长方形的高为10厘米，三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积． 21．已知有一个由几个小立方块所搭成的几何体，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； （2）若要保持该几何体从正面、左面、上面看到的形状图都不变，则还能增加小立方块的个数为_______个． 22．一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． （1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　； （2）这个几何体最少由　 　个小立方块搭成，最多由　 　个小立方块搭成； （3）当d=3，e=1时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图． 23．【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是_______所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3”） （2）现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为_______． （3）元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计） 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱． 故答案为：B． 【分析】根据主视图和左视图为矩形可知该几何体为直棱柱，然后依据俯视图可得到两个底面为三角形，故此可得到问题的答案. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示即为其俯视图， 故答案为：A. 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：从正面看的图形为：， 故答案为：A． 【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x m， 由题意得：， 解得：x＝5， ∴旗杆的高度为5m， 故答案为：C． 【分析】设旗杆的高度为x m，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A，C，D属于平行投影；B属于中心投影， 故答案为：B. 【分析】依据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；即可解得. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由题图可知，这个几何体是等底的圆柱和圆锥的组合体. 圆柱的底面半径为 高为h=2， 圆锥的底面半径为 母线长为3， ∴这个组合体的表面积为 2π×2×2=6π+4π+8π=18π. 故选 A. 【分析】 首先根据视图判断该几何体是等底的圆柱和圆锥的组合体，再分别计算出圆锥的侧面积、圆柱的底面积和圆柱的侧面积，将三部分相加即可得到该组合体的表面积. 7．【答案】B 【解析】【分析】如图： ∵当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高， ∴DF=DE=1.5m， ∴∠E=∠EAB=45°， ∴AB=BE， ∵MC∥AB， ∴△DCE∽△DBA， ∴， 设AB=x，则BD=x-1.5， ∴， 解得：x=4.5． ∴路灯A的高度AB为4.5m． 故选：B． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，此距离越大，影子才越小． 故选：A． 【分析】解答本题关键是要区分开平行投影和中心投影．根据题意，灯光下影子越长的物体就越高，可联系到中心投影的特点，从而得出答案． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：， ， 由题意可得与是关于点O位似的， 与的位似比为， ， ， 故答案为：D． 【分析】根据中心投影可得与关于点O位似，由已知线段比求出位似比，进而根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求解． 10．【答案】B 【解析】【解答】设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长=五寸=0.5尺， ∴， 解得：x=45， ∴竹竿的长为45尺=四丈五尺， 故答案为：B. 【分析】设竹竿的长度为x尺，根据题意列出方程，再求解即可. 11．【答案】④③②① 【解析】【解答】解：∵ 太阳从东边升起，在西边落下，∴早上物体的影子向西，傍晚物体的影子向东.利用此规律可根据影子判断时间的顺序.按照时间的先后顺序排列是④③②①. 故答案为：④③②①. 【分析】根据太阳高度角的变化规律，判断物体影子长度及方向，进而确定时间先后顺序，用到太阳高度角与影子的关系等知识点. 12．【答案】5 【解析】【解答】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最少有3个小正方体，第二层最最少有2个小正方体，那么搭成这样的几何体至少需要3+2=5个小正方体， 故答案为：5. 【分析】根据图形，主视图的底层最少有3个小正方形，第二层最少有2个小正方形. 13．【答案】 【解析】【解答】解： 过点G作于点Q，于点P，如图所示 ∵广告牌CDFH是长方形， ∴四边形是矩形，米， 在同一时间内，两个物体的实际高度和影长成正比例， ∴，即， 解得， ∴米． 故答案为：． 【分析】在平行光线下，同一时刻内不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例。本题据此做辅助线后，结合矩形的性质和判定即可得出四边形是矩形，并得到米，然后根据实际高度和影长成正比例列式，代入求出AP的长度，最后线段求和即可。 14．【答案】cm2 【解析】【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为6cm，即底面圆的半径为3cm，圆锥的高为4cm， 所以圆锥的母线长= =5，所以这个圆锥的侧面积=π×3×5=15π（cm2）． 故答案为15πcm2． 【分析】根据三视图得到底面圆的半径和高，然后根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面积公式计算即可. 15．【答案】12 【解析】【解答】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 【分析】 根据平行投影得，可得，由两角相等的两个三角形相似得，最后由相似三角形的对应边成比例即可求解． 16．【答案】 【解析】【解答】解：过点作轴于点， 根据题意得：，，， 点的坐标为， ， ， ， ，即， 解得：， ， 点的坐标是， 故答案为：． 【分析】过点作轴于点，根据题意得：，，，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，根据相似三角形对应边上的高之比等于对应边的比建立方程，求出，即可求解． 17．【答案】（1）中心投影 （2）解：，， ， ， ， 即：， 解得：， 路灯的高度为5米． 【解析】【解答】（1）此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； 【分析】（1）根据中心投影的定义即可求出答案. （2）根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案. 18．【答案】（1） （2）解：如图： （3）解：这个几何体的表面积为：． 【解析】【解答】解：（1）解：这个几何体是由个正方体组成的， ∴体积为， 故答案为：； 【分析】本题以9个棱长为1cm的小正方体搭成的几何体为背景，考查了几何体体积的计算、三视图的画法以及表面积的计算方法。 （1）直接数出小正方体的个数，乘以每个体积（1cm3）即可得到总体积； （2）分别从正面、左面和上面观察几何体，根据各列各行的层数画出对应的平面图形； （3）计算表面积时，先分别求出从正面、左面、上面三个方向看到的面积，再将这三个面积之和乘以2（因为相对的两个方向面积相等），即得该几何体的表面积。 19．【答案】（1）解：太阳光线CE 及木杆AB的影子BF 如图所示. （2）解：设此时木杆 AB 的影长BF 是x m. 由题意，易得△ABF∽△CDE. 即 即 解得x=8. ∴ 此时木杆AB 的影长是8m 【解析】【分析】(1)根据木杆CD 的影子刚好不落在广告墙上可以画出此时的太阳光线CE，根据太阳光线是平行的，可以画出木杆AB 的影子BF. (2)根据同一时刻，物体的高度与影长成正比即可求得木杆AB 的影长. 20．【答案】（1）解：由主视图和左视图都是长方形，且俯视图是三角形，故该立体图形是直三棱柱 （2）解：展开图如图所示： ； （3）解：这个几何体的侧面积 【解析】【分析】本题以几何体的三视图为背景，考查了由三视图判断几何体类型、画出表面展开图以及计算侧面积的能力。 （1）根据主视图和左视图均为矩形、俯视图为三角形，判断该几何体为直三棱柱； （2）将直三棱柱的各面展开成平面图形，包括三个矩形和两个三角形（答案不唯一）； （3）侧面积为三个矩形面积之和，即底面三角形周长乘以高，代入数据计算即可。 21．【答案】（1）解：从正面看，左边有3个小正方形，中间有2个，右边有1个；从左面看，左边有2个小正方形，中间有3个，右边有2个，如图所示： （2）1 【解析】【解答】（2）解：∵在空白处添加会改变从上面看到的形状，在前面的正方体上添加会改变从正面看到的形状，从左边的正方体上添加会改变从左面看到的形状， ∴只能在最中间的一个小正方体上添加，并不能超过前面和左面的高度， ∴还能增加1个小立方块，如图所示： 故答案为：1． 【分析】 (1) 根据俯视图上的数字，确定主视图和左视图每列的高度，从而画出图形。 主视图的列数与俯视图的列数相同，每列的高度是俯视图对应列的最大数字。 左视图的列数与俯视图的行数相同，每列的高度是俯视图对应行的最大数字。 (2) 在不改变三个视图的前提下，寻找可以增加小立方块的位置。 检查俯视图的每个位置，看其当前高度是否小于主视图和左视图对应位置的高度。 只有正中间的位置满足条件，只能增加 1 个小立方块。 （1）解：从正面看，左边有3个小正方形，中间有2个，右边有1个；从左面看，左边有2个小正方形，中间有3个，右边有2个，如图所示： （2）解：∵在空白处添加会改变从上面看到的形状，在前面的正方体上添加会改变从正面看到的形状，从左边的正方体上添加会改变从左面看到的形状， ∴只能在最中间的一个小正方体上添加，并不能超过前面和左面的高度， ∴还能增加1个小立方块，如图所示： 故答案为：1． 22．【答案】（1）2；1；1 （2）8；10 （3）解：从左面看到的图形如图所示： 【解析】【解答】解：(1)观察从正面看到的图可知a=2，b=c=1． 故答案为：2，1，1. (2)这个几何体最少由个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成． 故答案为：8，10. 【分析】(1)根据从正面和上面看到的形状判断即可； (2)根据从正面和上面看到的形状判断即可； (3)根据从左面看到的形状图画出图形. 23．【答案】（1）解：图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． 补充表格如下： 长 宽 高 表面积 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 536 图3 16 12 2 496 ∴图1的表面积最小． （2）236 （3）解：根据三视图可得共有四个礼盒，每个礼盒的长宽高分别为，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为（厘米）， 依题意，（平方厘米）， 答：最少需要平方厘米包装纸． 【解析】【解答】（2）解：共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为：， ， ． 第二类有三种情况，表面积分别为：， ， ， ∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为． 【分析】（1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即． （2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论． （3）要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为（厘米），根据长方体的表面积公式，求出包装后的长方体的表面积即可解答． （1）解：图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． 补充表格如下： 长 宽 高 表面积 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 536 图3 16 12 2 496 ∴图1的表面积最小． （2）解：共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为：， ， ． 第二类有三种情况，表面积分别为：， ， ， ∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为． （3）解：根据三视图可得共有四个礼盒，每个礼盒的长宽高分别为，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为（厘米）， 依题意，（平方厘米）， 答：最少需要平方厘米包装纸． 学科网（北京）股份有限公司 $