精品解析：重庆市第十八中学2025-2026学年高二上学期12月学习能力摸底数学试题

重庆市第十八中学2025-2026学年（上）12月学习能力摸底 高二数学试题 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 5 B. -5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可. 【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，， 根据得，，所以. 故选：B. 3. 若成等差数列；成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出，，求出. 【详解】由题意得：， 设的公比为，则，， 解得：， . 故选：B 4. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线的一般形式化为标准形式，即可确定焦点坐标. 【详解】抛物线整理为标准形式，故焦点在轴上， 又的焦点坐标为， 由得，，所以此抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 5. 等差数列前项和为，且，则（ ） A. B. C. 52 D. 104 【答案】C 【解析】 【分析】通过通项公式将条件转化为关于首项和公差的等式，化简得到中间项的值，再利用等差数列前项和的性质计算. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， ，，，即. 等差数列前项和，而， 故. 故选：C 6. 已知等比数列的首项，前项和为，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过化简前项和的不等式，得到公比的范围；再分析等比数列递增的公比条件，对比后判断充分必要关系. 【详解】设等比数列的公比为，， ，由于，所以 . 数列为递增数列，由于， 所以. 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C 7. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到直线过定点 , 过定点，点P的轨迹是以AB为直径的圆，然后判断两个圆的位置关系为外离，进而分析得到的取值范围. 【详解】直线过定点 ，过定点； 由于 与 的斜率乘积为（ 时也垂直），故 ； 因此，交点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为半径为 ； 圆圆心为 半径为 ； 圆心距为 ，故两圆外离； ，， 则的取值范围是. 故选：A. 8. 若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“对称”求出直线斜率，进而求出中点坐标，利用点差法建立、的关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】因为点关于直线对称，所以直线与直线垂直， 所以. 所以直线的方程为. 设的中点为，则在直线与直线上，则 ，解得，，即. 设，，则，，， 两式相减得，，又， 所以，即，所以. 因为，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ） A. 双曲线的渐近线为 B. 的离心率为 C. 的方程为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出的值，即可得出A、B、C；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案. 【详解】设双曲线的方程为，椭圆的方程为， 则，， 所以，，，， 所以公共焦点为，，， 所以，. 由图象易知，， 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 根据椭圆的定义可得，， 所以，，， 所以椭圆的方程为， 椭圆的离心率为，故B项正确，C项错误； 对于A项，根据双曲线的方程易知，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于D项，由余弦定理可知，. 又，所以， 所以，，故D项正确. 故选：BD. 10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 1225既是三角形数，又是正方形数 C. 若，则数列的前100项和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数列的性质可判断A；再由累加法分别求出数列，，分别令和，看有无正整数解即可判断B；设，结合等差数列的求和公式可得C；将放缩后用裂项相消求和即可判断D； 【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立； 正方形数构成数列：1，4，9，16，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立. 对于A，，故A错误； 对于B，令，解得； 令，解得；故B正确； 对于C，当n为偶数时：设， 则 ， 代入可得数列的前100项和为，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 点到的最小距离为 B. 若，则 C. 点到的距离与到直线的距离之和的最小值为3 D. 若存在点，使得过可作两条互相垂直的直线与圆相切，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义及性质，结合点到直线的距离、圆的切线性质逐项分析即可. 【详解】选项A：设点，则， 点到的距离为， 又，当时取等号，所以， 所以，故A正确； 选项B：抛物线焦点，准线，过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，，则，当点、、共线时，等号成立，故B错误； 选项C：点到直线的距离等于点到焦点的距离加1， 则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为焦点到的距离加1， 焦点到的距离为，所以最小值为，故C正确； 选项D：设圆的圆心坐标为，设点，则， 过可作两条互相垂直的直线与圆相切，则，即. 又， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线被圆截得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离以及弦长公式求解即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为； 由圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为： 13. 已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式，即可利用比例求解. 【详解】由可知公比， 若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此， 进而，解得或（舍去）， 又，故， 故答案为：4 14. 数列满足是其前项和，已知，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定的递推公式探讨数列的周期性，再利用该性质及给定和求得答案. 【详解】数列中，，，则， 于是，数列是周期为6的周期数列，可得， 且，则， 则， 得到， 因此， . 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、等比中项性质列方程组求解即可. （2）通过分组求和法，结合等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为（）. 由题意知，即，解得， 所以， 故数列的通项公式为：. 【小问2详解】 由题意得. 所以 . 故数列的前项和为：. 16. 如图，在直三棱柱中，已知分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，连接，由为中点，得为中点， 又为的中点，则，而平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，则，由平面，得平面， 由，则，因此直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值． （3）记直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3） 设过点的直线的方程为，联立椭圆方程得， 整理得， 设点，由韦达定理得， ， ，，， ， 为定值，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质求出，利用离心率求出，进而求出，从而求出椭圆的标准方程； （2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合三角形面积公式得出面积表达式，进而求出面积最大值； （3）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率关系求出的值，从而证明结论． 【小问1详解】 的周长为，由椭圆的性质可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， ，解得，， ，， 椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 设过点的直线的方程为，联立椭圆方程得， 整理得， 设点，由韦达定理得， ， 令，则， ，令，求导得，， ，，函数单调递减， 当时取得最大值，最大值为， 的最大值为． 【小问3详解】 略 18. 已知数列前项和，数列前项和． （1）求数列，的通项公式： （2）若，求数列前项和； （3）若，为数列的前项和，且恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）利用作差法求解，构造等比数列求解； （2）通过错位相减法求解； （3）通过裂项可得，再分别求解以及即可. 【小问1详解】 因为，当时，，当时，，，所以， 所以当时，，所以；同理，当时，，即，当时，，， 两式相减，所以，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以,. 【小问2详解】 由（1）可得，，所以①， ②， ①②可得， ，所以， . 【小问3详解】 ，所以，所以当时， 可得 ，当增大时，减小，所以的最大值为 当时，，当增大时，增大，此时趋近于 又因为，所以，所以的取值范围为. 19. 定义：已知双曲线，过C的上支上一点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，……，以此类推，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为.记，则称数列为C的“k数列”. 引理：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，若O，A，B三点可以构成三角形，则的面积. 利用上述定义和引理求解下列问题：若为双曲线的上支上一点，且C的离心率为，数列为C的“数列”. （1）求，，； （2）求数列的通项公式； （3）记线段，的中点分别为，证明：的面积为定值（O为坐标原点）. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线方程，由双曲线对称性、联立直线与双曲线方程求出点坐标，进而求出. （2）由双曲线方程及斜率坐标公式列式求得，进而求出关系，求出数列通项公式. （3）由表示出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用给定的三角形面积公式计算得证. 【小问1详解】 由在双曲线上，得， 由C的离心率为，得，即，解得， 则双曲线，由数列为C的“数列”，得直线：， 由双曲线与直线的对称性得，则，直线：， 由，解得或，则，， 所以. 【小问2详解】 点，点关于轴对称点在双曲线上， 由，得， 由直线的斜率为，得，即， 则，整理得，解得， 因此，而， 则数列是首项为3，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 由（2）知， ， 线段的中点， 线段的中点，又， 所以的面积 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2025-2026学年（上）12月学习能力摸底 高二数学试题 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 5 B. -5 C. D. 3. 若成等差数列；成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列前项和为，且，则（ ） A. B. C. 52 D. 104 6. 已知等比数列的首项，前项和为，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ） A. 双曲线的渐近线为 B. 的离心率为 C. 的方程为 D. 的面积为 10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 1225既是三角形数，又是正方形数 C. 若，则数列的前100项和为 D. 11. 已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 点到的最小距离为 B. 若，则 C. 点到的距离与到直线的距离之和的最小值为3 D. 若存在点，使得过可作两条互相垂直的直线与圆相切，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线被圆截得的弦长为__________. 13. 已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为_______． 14. 数列满足是其前项和，已知，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在直三棱柱中，已知分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值． （3）记直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 18. 已知数列前项和，数列前项和． （1）求数列，的通项公式： （2）若，求数列前项和； （3）若，为数列的前项和，且恒成立，求的取值范围． 19. 定义：已知双曲线，过C的上支上一点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，……，以此类推，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为.记，则称数列为C的“k数列”. 引理：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，若O，A，B三点可以构成三角形，则的面积. 利用上述定义和引理求解下列问题：若为双曲线的上支上一点，且C的离心率为，数列为C的“数列”. （1）求，，； （2）求数列的通项公式； （3）记线段，的中点分别为，证明：的面积为定值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $