精品解析：河北石家庄二中实验学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026级高一10月月考数学试卷 时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，即， 又，所以，所以. 2. 已知A，B为给定的集合，命题p：“对于，都有”，则p的否定为（ ） A. 对于，都有 B. ，使得 C. 对于，都有 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题p：“对于，都有”的否定为“，使得”. 故选：B. 3. 集合，，下列不能表示从到的函数的是（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】C 【解析】 【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【详解】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C 4. 设，下列说法中错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可. 【详解】解：对于A，因为的解集为，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于B，“”时， “”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确； 对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，不一定成立，例如，所以 “”是“”的充分不必要条件，故错误； 对于D，当时，满足“”，但不满足“”；当时，满足“”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 的大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，采用作差法，可得答案. 【详解】， 故，所以. 故选：C. 6. 已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】将原不等式变形为恒成立，利用基本不等式求出右侧表达式的最小值，即可得到的最大值. 【详解】已知，故，原不等式恒成立等价于恒成立. 设，展开得： ， 由基本不等式，对正实数，有，当且仅当即时等号成立. 因此的最小值为，故，解得，即的最大值为5. 7. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用分段函数单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求出范围. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 即成立，所以在上是单调递减的， 则，即. 8. 已知实数，函数，若对于一切实数x恒成立，又存在实数使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值的范围，得出函数的开口方向，并且函数的零点只有一个，得出参数之间的关系，代入目标式子，通过换元，用基本不等式求最值. 【详解】若，则，则的解为，与题设矛盾； 故，而对一切实数恒成立，故的图象开口向上，且与轴相切， 所以 则 令 令的最大值， 令，则 当且仅当，即时，等号成立，有最小值. 当时取等号，有最大值. 即满足题目中的条件， 的最大值为 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知a，b为正数，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，作差法比较大小；C选项，变形后利用基本不等式进行求解；D选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值 【详解】A选项，， 因为，所以，所以， 即，A正确； B选项，， ，不妨设，则， 故，B错误； C选项，a，b为正数，，则， 当且仅当时，等号成立，C正确； D选项，a，b为正数，，则， 其中， 当且仅当，即时，等号成立，所以，D正确. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 函数和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为 D. 若函数满足，则的解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析两个函数的定义域和对应法则可判断A；利用单调性法求函数的值域可判断B，利用一元二次不等式在上恒成立的条件可判断C；利用方程组法求函数解析式可判断D. 【详解】选项A：两个函数的定义域均为，且对任意，恒有， 二者对应法则完全一致，因此表示同一个函数，A正确； 选项B：先求定义域：需满足，得，即函数的定义域为， 和​都是上的单调递减函数，因此在上单调递减， ，， 因此函数值域为，B正确； 选项C：定义域为，等价于二次式对所有实数恒成立， 该二次函数开口向上，只需判别式，解得，即，C错误； 选项D：将原式中的替换为，得， 联立两个方程消去得，化简得，D正确. 11. 已知函数，，定义表示a，b中的最大者，即.则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若使得有解，则 C. 若对，恒成立，则 D. 若对，恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，通过先算内层，再代入，再求参数值；B选项，有解，函数的最大值大于等于零就可以，先求函数的最大值；C选项，理解新定义的含义，再求恒成立问题；D选项，讨论定义域，根据定义域求参数范围. 【详解】对于A选项，将代入可得，解得或 故A选项错误. 对于B选项，若使得有解， 则时，不等式有解，即， 由对勾函数性质可知，在上单调递减， 所以，所以，故B选项正确. 对于C选项，，恒成立， 等价于： ， 对于第一个不等式恒成立条件： 对恒成立，判别式 对于第二个不等式恒成立条件： ，判别式对恒成立，故C选项正确. 对于D选项，，恒成立， 当时，， 即对所有的恒成立， 令， ， 当且仅当时，即时，等号成立，有最大值-4. 当时，恒成立，所以恒成立， 综上所述，，故D选项正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的定义域为_________（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，解得， 令，解得， 故的定义域为. 13. 已知实数、满足，，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，，所以，， 由不等式的性质可得. 故答案为：. 14. 已知函数，，若它们同时满足条件： （1），或； （2），． 则a的取值范围是______ 【答案】（－4，－2） 【解析】 【分析】根据取正负时的范围分类讨论．先由时，得出的范围，然后由时，缩小范围，最后利用条件（2），存在，使得，结合一元二次不等式的解集可得． 【详解】由题意时，，时，时，， ①由条件（1）时，，，或， ②时，， 在①的基础上， 若， 时，时，或，因此，满足题意， 时，也满足题意， 时，，或，满足题意， ，，此时，不满足题意 因此有， ③下面在范围内讨论条件（2），即存在，使得． 即， 由于时，， 所以，，所以． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知不等式的解集为集合A，集合． （1）若，求实数m的值； （2）若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式化简集合，再解方程化简集合，从而由得到，由此得到或，分别检验一下即可得到结果. （2）由条件得到，从而得到关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 由得，解得，故， 解方程得或，故或， 因为，所以，所以或，解得或， 当时，，满足； 当时，，不满足题意，舍去； 综上，. 【小问2详解】 因为是的必要条件，所以， 从而有，解得，故， 所以实数m的取值范围为. 16. 已知a，b为正实数，且满足. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将条件移项成，对等式左侧直接用均值不等式，求解即可； （2）将条件化为，再将变为，运用均值不等式即可求解； （3）将所求式化为，对运用均值不等式即可. 【小问1详解】 ，即，，当且仅当时取等， ，设，则，故，即， 解得：，因，所以，则，所以的最大值为8. 【小问2详解】 可化为，则， 当且仅当取等，所以的最小值为. 【小问3详解】 ，因， 所以，当且仅当时取等， 故的最小值为. 17. 为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； （2）当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【解析】 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【小问1详解】 由， 可得， 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 18. 已知函数，. （1）设，解关于x的不等式； （2）设，若当时的最小值为，求的值； （3）设，若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围. 【答案】（1）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2） （3） 【解析】 【分析】第一小问对参数进行分类讨论； 第二小问对对称轴和给定区间进行分类讨论； 第三小问结合，及函数的性质进行求解. 【小问1详解】 等价于， 当时，上式等价于，即，不等式解集为； 当时，对应方程的两根为和： 当时，对应二次函数开口向下，的解集为； 当时，对应二次函数开口向上，的解集为. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问2详解】 因为，所以函数开口向上，在单调递减，在单调递增. 当，即时，函数在的最小值为，解得均大于，舍去. 当，即时，函数在的最小值为，解得. 所以，当时的最小值为的值为. 【小问3详解】 因为，所以当不等式有且仅有两个整数解时，不等式的两个整数解应该是0和1， 又时，函数开口向下，所以，解得， 所以的取值范围为 19. 设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，借助二次函数求出值域. （2）根据给定条件，转化为求出函数在指定区间上的最小值即可. （3）求出函数的单调区间，再分类讨论并结合一元二次方程实根分布求解. 【小问1详解】 令，则，于是， 而函数在上单调递减，在上单调递增，，的值域为. 【小问2详解】 当时，，当时，设， 在上递增，则， 因对，，使得成立，可得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 函数在上递减，在上递增， 设是一个优美区间，则或， 当时，有，则方程，即有两个不等的非负根， 设方程两根分别为，由，得， 又由，得，因此； 当时，有，则，两式相减得，因，则 于是，则方程，即有两个不等的非正根， 由，解得，又，可得，因此， 综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的值域，函数不等式恒成立和函数新定义问题，属于难题. (1)对于函数值域问题，换元法是常用技巧，将复杂函数转化为熟悉的二次函数，再利用二次函数性质求解. (2)解决函数不等式恒成立或存在性问题，关键是转化为函数最值比较问题. (3)对于函数 “优美区间” 这类新定义问题，先分析函数单调性，再根据定义建立方程或方程组，结合一元二次方程知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一10月月考数学试卷 时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知A，B为给定的集合，命题p：“对于，都有”，则p的否定为（ ） A. 对于，都有 B. ，使得 C. 对于，都有 D. ，使得 3. 集合，，下列不能表示从到的函数的是（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 4. 设，下列说法中错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 的大小无法确定 6. 已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 20 D. 25 7. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，函数，若对于一切实数x恒成立，又存在实数使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知a，b为正数，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 函数和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为 D. 若函数满足，则的解析式为 11. 已知函数，，定义表示a，b中的最大者，即.则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若使得有解，则 C. 若对，恒成立，则 D. 若对，恒成立，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的定义域为_________（用区间表示）. 13. 已知实数、满足，，则的取值范围为_____________． 14. 已知函数，，若它们同时满足条件： （1），或； （2），． 则a的取值范围是______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知不等式的解集为集合A，集合． （1）若，求实数m的值； （2）若是的必要条件，求实数m的取值范围． 16. 已知a，b为正实数，且满足. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 17. 为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； （2）当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 18. 已知函数，. （1）设，解关于x的不等式； （2）设，若当时的最小值为，求的值； （3）设，若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围. 19. 设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $