4.3 多边形和圆的初步认识 课时练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

4.3多边形和圆的初步认识（课时练习） 一、单选题 1．如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（　　） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 2．从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线的条数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，则n=（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 4．一个多边形从一个顶点出发共引7条对角线，那么这个多边形是为（　　） A．7边形 B．8边形 C．9边形 D．10边形 5．一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为（　　） A．720° B．900° C．1800° D．1440° 6．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（　　）边形 A．8 B．7 C．6 D．5 7．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 8．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（       ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 二、填空题 9．一个正多边形从一个顶点出发有3条对角线，它的周长为，则它的边长为　 　． 10．五边形从某一个顶点出发可以引　 　条对角线． 11．画出多边形任何一条边所在直线，如果整个多边形都在直线__________，那么这个多边形称作凸多边形． 12．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和______ 个正方形． 13．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 ________度．     14．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 15．到点P的距离等于4cm的点的轨迹是　 　． 16．我们知道平面内到两个定点距离之比为常数（常数大于零且不为1）的点轨迹是一个圆，那么在平面直角坐标系内到原点（0，0）和点（3，0）距离之比为2的圆的圆心坐标是　 　. 17．过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画　 　条对角线，且把n边形分成 　 　个三角形. 18．一个扇形的圆心角缩小为原来的 ，半径扩大为原来的3倍，这个扇形面积是原来扇形面积的　 　（填几分之几）。 19．凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5=　 　；②a6-a5=　 　；③an+1-an=　 　(n≥4，用含n的代数式表示). 三、解答题 20．如图，已知AB，CB为⊙O的两条弦，请写出图中所有的弧． 21．过边形的每一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，试求的值． 22．已知：从边形的一个顶点出发共有条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成个三角形；正边形的边长为，周长为．求的值． 23．如图所示，图形由四个半圆组成，从A到B若分别沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走，你认为走哪条路线近些？为什么？ 24．如图，求边长为10的正方形中阴影部分的周长和面积。 25．一个边数为2n的多边形内所有对角线的条数是边数为n的多边形内所有对角线条数的6倍，求这两个多边形的边数． 26．如图，直角三角形△ABC的直角顶点为C，且AC＝5，BC＝12，AB＝13，将此三角形绕点A顺时针旋转90°到直角三角形AB′C′的位置．（结果保留π） （1）求运动过程中点B和点C经过的路径之和； （2）求△ABC扫过的面积． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】A 【解析】【解答】解：从n边形的一个顶点出发可以引条对角线， 从十边形的一个顶点出发可以画出7条对角线． 故答案为：A． 【分析】利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求解即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】这个多边形的边数是8+2=10．故选B． 【分析】n边形中过一个顶点的所有对角线有n﹣3条，把这个多边形分成n﹣2个三角形，根据这一点即可解答． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：设这个多边形边数为n，由题意得： n﹣3=7， 解得：n=10． 故选：D． 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线进行解答即可． 5．【答案】B 【解析】【解答】多边形的边数是4+3=7，则内角和是（7﹣2）×180=900°．故选：B． 【分析】首先根据从一个多边形的一个顶点出发，一共可以作4条对角线，可以得到是7边形，然后利用多边形的内角和定理即可求解 6．【答案】B 【解析】【解答】∵一个多边形最少可分割成五个三角形， ∴这个多边形的边数为5+2=7， 那么它是七边形． 故答案为：B． 点睛： 本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）． 【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 探究规律： 在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形， 在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形， 在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形， 总结规律： 在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，可以将n边形分割成个三角形， 应用规律： 由题意得： 故答案为：B. 【分析】逐一探究在三角形、四边形、五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成三角形的数量，从而总结出规律，运用规律列出方程并解之即可. 8．【答案】A 9．【答案】7 10．【答案】2 【解析】【解答】解：从五边形的一个顶点出发有5﹣3＝2条对角线. 故答案为：2. 【分析】从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，代入计算即可. 11．【答案】同一侧 12．【答案】2 13．【答案】150 14．【答案】3​ 15．【答案】以P为圆心4cm长为半径的圆 【解析】【解答】到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆． 故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆． 【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆． 16．【答案】（6，0） 【解析】【解答】解：由题意得： ， ∴x2+y2=2(x-3)2+2y2， 整理得：x2-12x+y2+18=0， (x-6)2+y2=18. ∴圆心为（6，0）. 故答案为：（6，0）. 【分析】根据定义列方程，化简再转化为到定点距离等于定长的轨迹形式，即符合圆的定义，这个定点就是圆心，从而求解。 17．【答案】； 【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形 故答案为： ， . 【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形. 18．【答案】 【解析】【解答】解：设原来扇形的圆心角为n，半径为r。 ×n×π×9π2÷360 =× = 故答案为：。 【分析】这个扇形面积是原来扇形面积的分率=这个扇形的面积÷原来扇形的面积；其中，圆的面积=π×半径2。 19．【答案】5；4；n-1 【解析】【解答】①a5= ； ②a6-a5= ； ③an+1-an= . 故答案为：① 5；② 4；③ n-1 【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的对角线的条数为n（n-3）÷2． 20．【答案】解：图中的弧为 【解析】【分析】根据圆上任意两点之间的部分叫弧即可解答。 21．【答案】解：根据题意，可得：， ∴ ∴． 【解析】【分析】先利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求出m、n、k的值，再将其代入求解即可. 22．【答案】解：依题意有， 则 ​​​​​​ 【解析】【分析】根据多边形性质可求出m，n，t值，再代入代数式即可求出答案. 23．【答案】解：沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走的路径相等．理由如下： 设大半圆的半径为R，三个小半圆的半径分别为x、y、z，则x+y+z=R， 大半圆周ACB的长=•2πR=πR，三个小半圆周ADEFB的长=•2π•x+•2π•y+•2π•z=π（x+y+z） 所以大半圆周ACB的长等于三个小半圆周ADEFB的长． 【解析】【分析】设大半圆的半径为R，三个小半圆的半径分别为x、y、z，则x+y+z=R，根据圆的周长公式得到大半圆周ACB的长=πR，三个小半圆周ADEFB的长=π（x+y+z），于是可判断两条路径一样近． 24．【答案】解： （cm） （cm2） 答：阴影部分的周长为41.4厘米，面积为39.25平方厘米。 【解析】【分析】阴影部分的周长=半圆弧＋圆的弧长＋正方形的边长；阴影部分的面积=圆的面积-圆的面积。 25．【答案】解：依题意有 ×2n（2n﹣3）=6×n（n﹣3）， 解得n=6， 2n=12． 故这两个多边形的边数是6，12． 【解析】【分析】根据多边形的对角线公式n（n﹣3）进行计算即可得解． 26．【答案】（1）解：由题意得：n＝90°，R＝13，r＝5， ∴路径之和为： + ＝ ＝9π． 答：运动过程中点B和点C经过的路径之和为9π。 （2）解：△ABC扫过的面积S＝S大扇形+S△ABC ＝ + AC•BC ＝ + ×5×12 ＝ +30 答：△ABC扫过的面积为（ +30）。 【解析】【分析】（1）点B经过的路径是圆心角为90°、半径为13的扇形的弧长；点C经过的路径是圆心角为90°、半径是5的扇形的弧长；根据扇形弧长公式分别求出这两条弧长，相加后就是路径之和； （2）△ABC扫过的面积是一个半径为13的扇形面积，再加上△ABC的面积。根据扇形面积公式和三角形面积公式计算扫过的面积之和即可。 学科网（北京）股份有限公司 $