4.2 角 课时练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

4.2角（课时练习） 一、单选题 1．下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形 3．七年级一班同学小明在用一副三角板画角时（即30°，60°，90°的一个，45°，45°，90°的一个）画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来（　　） A．135° B．75° C．120° D．25° 4．如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（　　） A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140° 5．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 6．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把 分成大小为1：2的两部分，射线OC 叫作. 的三等分线.若在 中，射线OP 是∠MON 的三等分线，射线 OQ 是 的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON的大小用含x的代数式表示为 (　　) A．或3x或 B． 或3x或9x C．或 或9x D．3x或 或9x 7．下列语句，正确的是（　　）． A．直线可表示一个平角; B．平角的两边向左右无限延伸; C．延长线段AB至点C，则∠ACB=180°; D．在一条直线上顺次取三点A、B、C，则∠ABC=180° 二、填空题 8．同一端点的三条射线如图所示．若∠AOB=65°，∠AOC=48°，则∠BOC=∠　 　-∠AOC=　 　度． 9．如图，射线表示东南方向，射线表示北偏西方向，则的大小为　 　度． 10．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的度数为　 　． 11．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，，　 　． 12．如图，已知，射线从出发，以每秒的速度在内部绕点逆时针旋转，若和中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为　 　秒. 13．如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为　 　． 14．以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP=3：2，若∠AOB=17°，∠AOP的度数为　 　. 15．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC，OD，OE．若∠AOC= 51°，∠BOE =∠BOC，∠BOD=∠AOB，则∠DOE=　 　° 16．如图，∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2∶3，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为　 　 17．如图1， 为直线 上一点，作射线 ，使 ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点 处，一条直角边 在射线 上.将图1中的三角尺绕点 以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第 秒时， 所在直线恰好平分 ，则 的值为　 　. 18．若∠MON=80°，P 是平面上一点，且OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP.当射线OP 在∠MON 外部绕点O 旋转时，∠AOB=　 　. 三、解答题 19．把下列角度化成度、分秒的形式： （1）65.5°． （2）121.34°． 20．已知∠α如图，用量角器求作一个角β，使∠β=2∠α． 21．如图，是的平分线，． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 22．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系； （3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 23．如图，写出： （1）以C为顶点的所有角。 （2）以AB为一边的所有角。 （3）以F为顶点，FB为一边的所有角。 24．已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，求∠MOD的度数． 25．如图，已知点O在直线AB上，，OC是的平分线. （1）当时，求和的度数； （2）当时，求和的度数. 26．如图，已知OC是∠AOB 内部的一条射线，M，N分别为OA，OC 上的点，线段 OM，ON 同时分别以每秒30°，10°的速度绕点 O逆时针旋转，设旋转时间为t秒. （1）如图1，若∠AOB=120°，当OM，ON 逆时针旋转2 秒到OM'，ON'处时，则 =　 　°. （2）如图2，若∠AOB=4∠BOC，当OM，ON 分别在∠AOC，∠BOC 内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由. 27．如图①，已知线段AB，CD 相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“对顶三角形”. （1）求证：∠A+∠C=∠B+∠D. （2）如图②，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点 P，且与CD，AB 分别相交于点M，N. ①以线段AC 为边的“对顶三角形”有 ▲ 个，以点O为交点的“对顶三角形”有 ▲ 个. ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P 的度数. ③若角平分线中角的关系改为 试探究∠P 与∠B，∠C 之间存在的数量关系，并证明理由. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 【解析】【解答】A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；B、根据A可得B错误；C、角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；D、据C可得D错误．故选C． 【分析】根据角的动态定义解答：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形 3．【答案】D 【解析】【解答】解：135°、75°、120°都是15°角的倍数． 故选D． 【分析】根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO． ∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD， ∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时， ∠BCD=40°或70°， ∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°， 故选D． 【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵OB平分∠COD， ∴∠COB=∠BOD=45°， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC=45°， ∴∠AOD=135°． 故答案为：C． 【分析】先求出∠COB=∠BOD=45°，再求出∠AOC=45°，最后计算求解即可。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故答案为：C 【分析】根据题意分类讨论：射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线，进而根据角的运算即可求解。 7．【答案】D 【解析】【解答】A. 一个角由有公共端点的两射线组成，一个平角的两边在一条直线上，则一条直线不是一个平角，所以错误；B．角的两边是射线，射线是无限长的，不能说无限延伸射线，故说法错误； C．角的两边应该是射线，延长线段AB至点C，AB和BC都是线段，故错误; D . 在一条直线上顺次取三点A、B、C,则∠ABC是平角，等于180°，正确；故答案选D. 【分析】根据角的定义意义进行分析，然后排出错误的答案. 8．【答案】AOB；17 【解析】【解答】解： ∵∠AOB=65°，∠AOC=48°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=17°， 故答案为：AOB；17. 【分析】结合图形利用∠BOC=∠AOB-∠AOC，即可得出答案. 9．【答案】165 10．【答案】 11．【答案】58 12．【答案】3或6 【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，此时. 当时，如图， 即， 解得； 当时，如图， 即， 解得； 故答案为3或6. 【分析】设运动时间为t秒，此时∠BOM=45°-5t°，然后分∠BOM=2∠AOM、∠AOM=2∠BOM进行计算即可. 13．【答案】50° 【解析】【解答】解：∵平分， ∴ ∴ ∴ 故答案为 【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。 14．【答案】10.2°或51°． 【解析】【解答】如图1，当射线OP在∠AOB的内部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x， ∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=5x=17°， 解得：x=3.4°， 则∠AOP=10.2°， 如图2，当射线OP在∠AOB的外部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x， ∵∠AOP=∠AOB+∠BOP， 又∵∠AOB=17°， ∴3x=17°+2x， 解得：x=17°， 则∠AOP=51°． 故∠AOP的度数为10.2°或51°． 故答案为10.2°或51°． 【分析】分射线OP在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 15．【答案】17 【解析】【解答】解：设∠BOE=x， ∵∠BOE= ∠BOC， ∴∠BOC=3∠BOE=3x， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=51°+3x． ∵∠BOD= ∠AOB， ∴∠BOD= ×(51°+3x)=17°+x， ∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=17°+x-x=17°． 故答案为：17. 【分析】设∠BOE=x，由题意易得∠BOC=3∠BOE=3x，由角的和差可得∠AOB=∠AOC+∠BOC=51°+3x，结合已知可得∠BOD=17°+x，最后根据∠DOE=∠BOD-∠BOE可算出答案. 16．【答案】4°或100° 【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线， ∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°， ∵ ∠AOC：∠COB=2∶3， ∴设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°， ∵ ∠AOC+∠COB=∠AOB=40°， ∴5x=40， ∴x=8 ∴∠AOC=2x=16°， ∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°； 当OC在∠AOB外部时，如图，OD为∠AOB的角平分线， ∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°， ∵ ∠AOC：∠COB=2∶3， ∴设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°， ∵ ∠BOC-∠AOC=∠AOB=40°， ∴y=40， ∴∠AOC=2y=80°， ∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°. 故答案为：4°或100°. 【分析】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=×40°=20°，由题意设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出x的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD-∠AOC算出答案；当OC在∠AOB外部时，由题意设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出y的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD+∠AOC算出答案，综上即可得出答案. 17．【答案】12或30 【解析】【解答】解：∵∠AOC=120°， ∵OP所在直线恰好平分∠AOC， ∴∠AOP=180°- ∠AOC=120°（此时OP在 角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在 角平分线上）， ∴10t=120或10t=300， ∴t=12或30， 故答案为：12或30. 【分析】根据角的平分线定义，结合平角的定义分两种情况讨论，即OP在 角平分线的反向延长线上和OP在 角平分线上，分别求出∠AOP的大小，再列出方程求解即可. 18．【答案】40°或140° 【解析】【解答】解：作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论： ①当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，如解图①. ∵OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP， ∴ ②当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时， 如解 图 ②. 此 时 ③当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，同理于①，可知. 综上所述，∠AOB 的度数为 40°或 140°. 故答案为：40°或140°. 【分析】作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论，当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时，当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，按照角平分线的定义以及角的和差关系求解即可. 19．【答案】（1）解：∵1°=60′， ∴0.5°=0.5×60=30′， ∴ 65.5°= 65°30′． （2）解：∵1°=60′， ∴0.34° =0.34×60=20.4′， ∵1′=60″， ∴0.4′=24″， ∴ 121.34°= 121°20′24″ ． 【解析】【分析】（1）由1°=60′，1′=60″，据此计算即可； （2）由1°=60′，1′=60″，据此计算即可. 20．【答案】解：如图： ​ 测量可得∠α =80°， 故∠β=2∠α=2×80°=160°. 【解析】【分析】先测量得出∠α 的度数，即可求解得出∠β 的值，根据量角器作图即可. 21．【答案】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【解析】【分析】(1)先求出 的度数，然后根据角平分线的定义求出 于是得到结论； (2)设 则 根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论. 22．【答案】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MON=α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α．（3）如图3，∠MON=α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠NOC=∠BOC=β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α即∠MON=α． 【解析】【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可； （2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可； （3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可． 23．【答案】（1）解：由图可知： 以C为公共端点的射线分别为：射线CB，射线CE，射线CF，射线CD，两两组合可形成：∠BCE，∠BCF，∠BCD，∠ECF，∠ECD，∠FCD； ∴以C为顶点的角：∠BCE，∠BCF，∠BCD，∠ECF，∠ECD，∠FCD. （2）解：如图可知：以射线BA的端点B为公共端点的射线为：射线BF，射线BC，可组成：∠ABC，∠ABF 以射线AB的端点A为公共端点的射线为：射线AD，可组成∠BAD， ∴以 AB 为一边的所有角有∠ABC，∠BAD，∠ABF （3）解：以射线FB的端点F为公共端点的射线为：FA，FC，FD，可组成：∠BFA，∠BFC，∠BFD， ∴以F 为顶点，FB 为一边的所有角有∠BFA，∠BFC，∠BFD 【解析】【分析】(1)根据角的定义，找到以C为公共端点的两条射线即可； (2)根据角的定义，找到以射线BA的端点B为公共端点的射线，和以射线AB的端点A为公共端点的射线即可； (2)根据角的定义，找到以射线FB的端点F为公共端点的射线即可. 24．【答案】解：分为两种情况： 如图(1)所示，当∠AOB在∠AOC内部时 ∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB ∴∠AOC=80° ∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC ∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40° ∴∠DOM=∠AOM - ∠AOD=40° - 10°=30°； 如图(2)所示，当∠AOB在∠AOC外部时 ∠DOM=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50° 所以，∠MOD的度数为 或． 【解析】【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。 25．【答案】（1）解：因为， 所以设，则. 又因为， 所以. 因为OC是的平分线， 所以. 又因为点O在直线AB上， 所以. 所以， 解得. 所以，. （2）解：设，则. 因为，OC是的平分线， 所以. 因为点O在直线AB上， 所以， 即， 解得. 所以，. 【解析】【分析】（1）设，则，再求出，利用角平分线的定义可得，再结合可得求出x的值，再求出 和的度数即可； （2）设，则，再结合可得求出y的值，再求出 和的度数即可. 26．【答案】（1）40 （2）解：设则 ∵旋转t秒后， ∴ ∴ 【解析】【解答】解：（1）∵线段OM、ON分别以每秒30°，10°的速度绕点 O逆时针旋转2s， ∴∴ ∴∵ ∴ 故答案为：40. 【分析】（1）先根据题意求出再表示出∠BON'和∠COM'，然后相加并根据即可求解； （2）设则进而根据旋转t秒后，据此表示出∠COM和∠NOB，进而即可求解. 27．【答案】（1）证明：∵∠A+∠C=180°-∠AOC， ∠B+∠D=180°-∠BOD， ∠AOC=∠BOD， ∴∠A+∠C=∠B+∠D. （2）解：①3，4； ②∵∠P+∠CDP=∠C+∠CAP ∠P+∠BAP=∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BAP ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC ∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP ∴2∠P=∠B+∠C ∵∠B=100°， ∠C=120° ∴∠P= (∠B+∠C) =110° ③3∠P=∠B+2∠C.理由如下： 设∠CAP=x，∠CDP=y， ∵ ∴∠OAP=2x，∠BDP=2y，得 消去x，y，得3∠P=∠B+2∠C. 【解析】【分析】（1）根据的三角形的内角和定理和对顶角的性质计算即可解答； （2） ① 根据定义数出三角形的个数即可解答； ②根据（1）的结论得到∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP利用等式的性质将两个等式相加再利用角平分线的定义计算即可得到2∠P=∠B+∠C，代入已知数据计算即可解答； ③ 设∠CAP=x，∠CDP=y，根据已知条件表示出∠OAP=2x，∠BDP=2y，再利用（1）的结论建立方程组，消去x，y即可解答. 学科网（北京）股份有限公司 $