4.2角常见的十三种题型 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

4.2角常见的十三种题型 目　录 题型一　角的定义与概念辨析 题型二　角的表示方法（三种方法表示同一个角） 题型三　角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角） 题型四　度分秒的换算与计算 题型五　角的大小比较（填“＞、＜、＝”） 题型六　钟表时针与分针夹角问题 题型七　方位角与方向问题 题型八　三角板与角的和差计算 题型九　角的平分线及相关计算 题型十　尺规作图作角 题型十一　折叠问题求角 题型十二　角的综合计算与几何证明 题型十三　新定义与分类讨论（三等分线、幸运线等） 题型一　角的定义与概念辨析 【解题技巧】角是由公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两边；角也可以看作一条射线绕端点旋转形成的图形。判断关于角的概念说法的对错时，重点核对：角的边是射线（可无限延伸，不可度量）、顶点必须是公共端点、平角是两边成一条直线的角、周角是一边旋转一周回到原位置的角；“连接两点的线段叫做两点间的距离”“两点之间线段最短”等说法要逐一甄别正误。 1．关于角的描述错误的是（　　） A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC可以用∠O表示 C．∠AOC＝∠AOB+∠BOC D．∠β表示∠BOC 2．下列语句①两条射线组成的图形叫做角，②反向延长线段得到射线，③延长射线到点C ，④若，则点B是中点，⑤连接两点的线段叫做两点间的距离， ⑥两点之间直线最短，正确的个数是 （     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 题型二　角的表示方法（三种方法表示同一个角） 【解题技巧】角的表示方法：①用一个大写字母表示（顶点处只有一个角时）；②用三个大写字母表示，顶点字母写在中间；③用希腊字母或数字表示（在角内标注）。能同时用“一个大写字母”“三个大写字母”“数字/希腊字母”三种方法表示同一个角，需满足：该角顶点处没有其他角干扰，且图形正确对应。选择“能用三种方法表示同一个角”的图形时，逐项检查是否符合上述条件。 1．下列四个图形中，能同时用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 3．下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 题型三　角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角） 【解题技巧】按大小把角分类：锐角（0°＜α＜90°）、直角（α=90°）、钝角（90°＜α＜180°）、平角（α=180°）、周角（α=360°）。判断一个角是哪种角，先看它的大小范围；0°＜锐角＜90°＜钝角＜180°，直角等于90°。两个角比较时，先化成同一种单位（或统一度分秒）再比较大小。 1．如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 2．在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 题型四　度分秒的换算与计算 【解题技巧】度分秒是60进制：1°=60′，1′=60″。换算规则：由高级单位向低级单位化要“×60”，由低级单位向高级单位化要“÷60”；如 a.b° 化成度分秒，整数部分为度，小数部分×60得分，余下小数部分再×60得秒。度分秒的加减运算时，同单位对齐，逢60进位（或借1当60）。 1．____________′______″． 2．计算：______． 3．_____度_____分_____秒． 题型五　角的大小比较（填“＞、＜、＝”） 【解题技巧】比较两个角的大小，可把两角化成同一种单位后再比较：如把“度”化成“度分秒”或把“度分秒”化成“度”（除以60）。比较 a.b° 与 a°b′ 时，先统一单位（把 a.b° 化成 a°(0.b×60)′，或把 a°b′ 化成 a°+b′/60 度）。网格图中比较角的大小，观察两角对应射线的开口/倾斜程度或坐标位置判断。 1．杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是，我应该最大!”∠B说：“我是30.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（　　） A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C 2．已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 4．下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 6．比较大小：_____（用＞，＜或＝连结）． 7．比较大小：18.25°______18°25′（填“>”“<”或“＝”） 8．如图所示的网格是正方形网格，所标出的几个点都在网格的交点处，则___________，（填“”“”或“”） 9．如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么___________    题型六　钟表时针与分针夹角问题 【解题技巧】钟表问题中，时针每小时转30°（每分钟转0.5°），分针每分钟转6°。求某时刻时针与分针的夹角：先分别算从整点起两针转过的角度（含分针带动时针的微小转动），再求两者之差的绝对值，取不超过180°的角；或先算出两针指向的“刻度角”，再作差。常见时刻如9:30、8:30、10:10等，可直接按分针、时针位置列式。 1．钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为（    ）度 A． B． C． D． 2．钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．钟表9时30分时，时针与分针所成的角的度数为（    ） A．110° B．75° C．105° D．90° 4．2025年6月29日上午固原市中考数学开考，此时时钟的时针与分针的夹角是______． 5．小明早上7：00去上学，上学时时针和分针的夹角（小于平角的角）是____． 6．钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，此时时针与分针所成的角是_____． 题型七　方位角与方向问题 【解题技巧】方位角（方向角）是以正北或正南方向为基准，加上偏东/偏西的角度：如“北偏东30°”“南偏西25°”。两个互为反向的方向（如北偏东30°与南偏西30°）方向相反；A在B的北偏东30°，则B在A的南偏西30°。求两个方向之间的夹角，画出方向标，用“同向取差、反向取和、垂直直角”等原则计算两方向线的夹角。 1．以电视塔为观测点，游乐园在电视塔的方向是（  ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东 2．小明家在小英家的北偏东方向上，则小英家在小明家的（   ）方向上 A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 3．如图，学校A在蕾蕾家B南偏西25°的方向上，点C表示超市所在的位置， ，则超市C在蕾蕾家的（　　） A．北偏东55°的方向上 B．南偏东55°的方向上 C．北偏东65°的方向上 D．南偏东65°的方向上 4．如图，甲、乙两人同时从A 地出发，甲沿北偏东50 方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B 地，乙到达C 地时，甲与乙前进方向的夹角∠BAC 为100 ，则此时乙位于A地的( ) A．南偏东30 B．南偏东50 C．北偏西30 D．北偏西50 5．如图，一艘轮船行驶到处时，测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．，两个海上观测站的位置如图所示， 在灯塔北偏东方向上， ，则 在灯塔的___________． 7．如图，小刚在小明的北偏东方向的处，则小明在小刚的______方向的______m处． 8．如图，点在点的北偏东方向上，点在点的北偏西方向上，则______ ． 9．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数大小是_____．    题型八　三角板与角的和差计算 【解题技巧】三角板中常用的角有30°、45°、60°、90°。叠放/拼接求角时，先识别图中已知角（直角、三角板的固定角），再根据“重合的边”“直角顶点重合”“相邻互补、相对相等”等关系列式：几个角拼成的和等于整体角，用和差关系求未知角；两个三角板直角顶点重合时，两锐角之差等于重叠角。 1．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一副三角板重叠放在一起，，直角顶点重合于点O．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 3．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是直角顶点重合的一副三角板，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．将一副三角板如图所示放置，若，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 7．将一副三角板如图所示摆放，若∠BAE＝125°，则∠CAD的度数是____． 题型九　角的平分线及相关计算 【解题技巧】角的平分线把角分成两个相等的角：若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB/2。已知平分线求角，常用“设未知数（如设∠AOB=x）→ 由平分表示各角 → 由已知角列方程”的方法；涉及“互补”“共顶点”“在直线上（平角180°）”时，利用角的和差关系列式。多角平分线（两条平分线）相交时，可分别用代数式表示再相减或相加。 1．如图，平分，若，则______． 2．如图，已知，为锐角，平分，射线在内部． (1)图中共有多少个小于平角的角？ (2)若，，求的度数． (3)若，，请通过计算判断与的关系． 3．如图，O为直线上一点，，OM平分， (1)图中共有几个小于直角的角？将它们分别表示出来； (2)计算和的度数． 4．如图，О为直线AB上一点，∠AOC＝70°，OD是∠AOC的平分线．∠DOE＝90°． (1)图中小于平角的角的个数是 个； (2)求∠BOD的度数； (3)猜想OE是否平分∠BOC，并说明理由． 5．如图，在中，，平分交于点D， (1)请利用尺规作图，在线段的左侧作，延长交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，求的度数． 解：∵ ∴____________① ___________② ∵平分 ∴___________③ ∴___________④ 6．数学课上，老师给出了如下问题：如图①，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为平分，， 所以____________． 因为， 所以______． 小静说：“我觉得有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部．” (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)根据小静的想法，请你在图③中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时的度数为______． (3)小静所说的：“我觉得这道题有两种情况…”该思考方法所体现出来的数学思想是______（填字母序号）． A．分类思想            B．整体思想 7．如图，已知，平分，且，求的度数． 解：因为，， 所以________ 所以________________． 因为平分， 所以________________． 所以________． 8．如图，是内的一条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数． (2)若的度数为，求的度数． 9．已知、共顶点O，平分，平分．    (1)如图1，当与重合时，若，，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）； (3)在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 　 　．（直接写出答案） 10．点O直线上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； (3)将三角板绕点O在直线上方逆时针旋转，若，求的度数． 题型十　尺规作图作角 【解题技巧】尺规作图作角：①作一个角等于已知角（用圆规截取两段弧，再用直尺连线）；②作已知角的平分线（以顶点为圆心任意半径画弧交两边，再以两交点为圆心适当半径画弧，两弧交于一点，连接顶点与该点）；③延长线段、作射线、在边上截取等。作图保留痕迹、不写作法，按要求顺序进行；结合作图后的线段/角关系求值时，利用尺规作图所保留下来的相等关系列式。 1．如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 2．如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则______ 3．作图与画图： (1)如图，已知线段，请用无刻度的直尺和圆规，按照下列步骤作图：(要求：保留作图痕迹，不写作法) ①反向延长线段至点，使得； ②作射线，使得； ③在射线上截取； ④连接，． 根据所作的图形，请测量____ (2)利用圆规、量角器、直尺，可以画出一个标准的五角星，步骤如下： ①任意画一个圆： ②以圆心为顶点，连续画即的角，与圆相交于五点： ③连接每隔一点的两个点，就得到五角星． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出如下的图形．(要求：保留画图痕迹，不写画图过程) 4．已知：如图，，在的外部引射线，使，再画出的角平分线． (1)请借助直尺和量角器补全图形； (2)求的度数． 以下是求的度数的解题过程， 请你补充完整． 解：∵，， ∴①_________． ∵平分， ∴②_________（③_________）（填写推理依据）． ∴④_________． ∴⑤_________． 5．在一次定向寻宝的游戏中，小明经过分析宝藏地图后，确定了宝藏P的位置在圆形区域内，两个建筑物A，B的位置如图所示，已知，线段，请你用尺规作图确定宝藏P 的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 题型十一　折叠问题求角 【解题技巧】折叠问题中，折痕所在的直线是角的平分线（或线段的垂直平分线），折叠前后重合的角相等。求折叠后角的度数，先找出“折叠前与折叠后重合的角相等”，再利用平角180°、直角90°等关系列式求解。若沿折痕折叠，则折痕把被折角分成相等的两部分。 1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕．则_______度． 2．如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 题型十二　角的综合计算与几何证明 【解题技巧】综合计算与几何证明题，通常结合多个知识点：角的平分线、平角（180°）、直角（90°）、互补互余、动点/旋转、分类讨论等。解题步骤：①画出示意图并标出已知角；②设未知数表示相关角；③由“平角/直角/互补/平分”列方程；④分类讨论（点在内部/外部、射线在角内/外等）不重不漏；⑤作答并检验多解。旋转与动点问题先明确速度与方向，用含时间t的式子表示角度变化。 1．如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论： ①以为顶点的角有个；②若点为的中点，为的中点，则；③若平分，平分，，，则； 正确的是________． 2．如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 3．（1）通过学习我们知道，比较两个角的大小，有两种方法：方法：度量法，用量角器测量两个角的大小，角度大的角大；方法：重叠法，把两个角的顶点和其中一条边重合，看另一条边的情况来确定．如图，已知 ， ，请用重叠法，比较它们的大小．要求圆规和无刻度的直尺作出图形，并得出它们的大小关系．（保留做题痕迹，铅笔画图后，须再用黑色水笔把线条描清楚） （2）已知在同一平面内的两个角 ， ，若平分，平分，求的度数． 4．如图，，是直线上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过多少秒后，线段恰好平分； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由． 5．如图1是由一副三角尺拼成的图案，其中三角尺AOB的边OB与三角尺OCD的边OD紧靠在一起． （1）在图1中，的度数是______； （2）固定三角尺AOB，把三角尺COD绕着点O旋转，当OB刚好是的平分线（如图2）时，请求出的度数和的度数； （3）固定三角尺AOB，把三角尺COD绕点O旋转（如图3），在旋转过程中，如果保持OB在 的内部，那么的度数是否发生变化？请说明理由． 6．如图，已知和． (1)尺规作图：以为一边，作；（不写作法保留作图痕迹，画出一种情况即可） (2)若，，求的度数． 7．计算： 8．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 9．如图，已知，点在射线上． (1)在射线上求作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以（1）中作出的点为顶点，为一边，在外作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 10．如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)请用尺规作图的方法在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，解答下列问题： i）请直接写出与之间满足的数量关系； ii）若射线和射线分别平分，，求的度数． 11．如图，点为直线上一点，射线与点E在直线的同一侧，且点E在内部． (1)请按要求进行尺规作图：作射线，并在内部作，使得（不写作法和结论，只保留作图痕迹）． (2)小南发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程． 解：∵， ∴， ∴①_______． ∵②_______， ∴． 又∵， ∴③_____④________°． 题型十三　新定义与分类讨论（三等分线、幸运线等） 【解题技巧】新定义题（三等分线、幸运线等）先读懂材料中给出的定义与示例，把新概念转化为熟悉的角平分线/比例关系，再设未知数列方程。如“射线OC是∠AOB的三等分线”即∠AOC=∠COB=∠AOB/3（或∠AOC=∠AOB/3）；“幸运线”满足两角之比为定值。分类讨论时，注意射线在角内不同位置会产生多种情形，逐一求解。 1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 2．如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是______． 参考答案 题型一　角的定义与概念辨析 1．B 【详解】解：A．与表示同一个角，故选项正确，不符合题意． B．由于顶点O处，共有3个角，所以不可以用来表示，故选项错误，符合题意． C．由图可知，故选项正确，不符合题意． D．由图可知与表示同一个角，故选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．A 【详解】解：①两条端点重合的射线组成的图形叫做角，故①错误；②反向延长线段，得到射线，故②正确；③延长线段到点C，故③错误；④若点A、B、C在同一条直线上，且，则点B是的中点，故④错误；⑤连接两点间的线段的长叫做两点间的距离，故⑤说法错误；⑥两点之间线段最短，故⑥错误． 故正确的有②， 故选：A． 3．D 【详解】解：A．与表示同一个角，故此选项不符合题意； B．如图，，故此选项不符合题意； C．表示，故此选项不符合题意； D．如图，，则大于，故此选项符合题意． 故选：D． 题型二　角的表示方法（三种方法表示同一个角） 1．C 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项错误，不合题意； B、图中的不能用表示，故本选项错误，不合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项正确，符合题意； D、图中的不能用表示，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 2．C 【详解】解：选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．B 【详解】解：A、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． 4．B 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 题型三　角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角） 1．D 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 2．A 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型四　度分秒的换算与计算 1． 53 14 24 【详解】解：， ， ， 故， 故答案为：53,14,24． 2． 【详解】解： ． 故答案为：． 3． 【详解】解：， ， ， ∴， 故答案为：①②③． 题型五　角的大小比较（填“＞、＜、＝”） 1．B 【详解】解：∵∠A=， ∠B=30.3°，∠C=30.15°， ∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大， 故选：B 2．B 【详解】解：，，， ， 故选：B． 3．C 【详解】解：∵0.5°=0.5×60′=30′， ∴=30°30′， ∵30°30′<30°50′， ∴． 故选C． 4．D 【详解】解：A、由图可知，不符合题意； B、根据图可知，不符合题意； C、根据图可知，不符合题意； D、根据图可知，符合题意； 故选：D． 5．A 【详解】解：将平移，让与两个角的顶点重合， 如图： 可得： 在的内部， 所以． 故选：A． 6．＜ 【详解】解：∵， 而， 故答案为：＜． 7．＜ 【详解】解： 而 故答案为：＜ 8． 【详解】解：根据网格的特征以及角的表示可知， ， 而， 因此， 故答案为：． 9．> 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则，    由图可得，， ∴， 故答案为：>． 题型六　钟表时针与分针夹角问题 1．D 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是，分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴9时20分时，时针和分针所夹的角是： ． 故选：D． 2．B 【详解】解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点30分，分针与时针的夹角是． 故选：B． 3．C 【详解】解：时30分时，时针指向9与10之间，分针指向6．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 时30分时分针与时针的夹角是度． 故选：C． 4． 【详解】解：在时，分针指向12，时针指向9，两针相差3个大格，因此夹角为． 故答案为． 5．/度 【详解】解：钟表7：00分时，分针正好指着数字“12”，时针指在数字“7”，此时时针和分针所形成的较小的角占5个大格； ∵钟面上有12个大格， ∴每个大格的度数为：， ∴， 故答案为：． 6．/135度 【详解】解：∵钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟是10点30分， ∴分针指在6处，时针在10和11中间， ∴时针和分针之间有4.5大格 ∵每个大格是， ∴时针与分针所成的角是． 故答案是：． 题型七　方位角与方向问题 1．A 【详解】解：由题意得：， 所以游乐园在电视塔的方向是北偏西． 故选：A． 2．D 【详解】解：小明家在小英家的北偏东方向上，则小英家在小明家的南偏西方向上； 故选：D 3．D 【详解】如图所示：由题意可得： ， ， 则 ， 故超市（记作C）在蕾蕾家的南偏东 的方向上． 故选：D． 4．A 【详解】解：如图所示： 由题意得： ∠1=50，BAC =100 ∴∠2=180°-∠1-BAC =180°-50-100 =30 故乙位于A地的南偏东30． 故选：A． 5．D 【详解】解：根据题意可得：， ∴； 故选：D.    6．南偏东 【详解】解：∵ 在灯塔北偏东方向上， ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ 在灯塔的南偏东． 故答案为：南偏东． 7． 南偏西 500 【详解】解：小刚在小明的北偏东方向的处， 小明在小刚的南偏西方向的处． 故答案为：南偏西，500． 8． 【详解】解：∵点在点的北偏东方向上，点在点的北偏西方向上， ∴， 故答案为：． 9．/度 【详解】解：根据题意，， 故答案为：． 题型八　三角板与角的和差计算 1．C 【详解】解：根据题意，可知， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 2．B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．B 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 4．C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．C 【详解】解：由图和题意可知：， ∴，故A选项正确； ，故B选项正确； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项正确； 故选C． 6．C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．55° 【详解】解：∵∠BAE=125°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=125°-90°=35°， ∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=90°-35°=55°， 故答案为：55°． 题型九　角的平分线及相关计算 1． 【详解】解：∵平分， ∴， 故答案为：． 2．(1)10个 (2) (3) 【详解】（1）解：以为始边的角有：， 以为始边的角有：， 以为始边的角有：， 以为始边的角有：， ∴图中共有个小于平角的角， （2）∵平分，， ∴， ∵， ∴ （3）∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．(1)共有3个小余直角的角，分别是，， (2) 【详解】（1）解：共有3个小余直角的角，分别是，， （2）∵，OM平分 ∴，． 4．(1)9； (2)145°； (3) OE平分，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴OE平分． 【详解】（1）解：小于平角的角有∠AOD，∠DOC，∠COE，∠EOB，∠AOC，∠AOE，∠DOE，∠DOB，∠COB共9个， 故答案为：9； （2）∵，OD是的平分线， ∴， ∴； 答：的度数为145°； （3）略 5．(1) 如图，点E即为所求， (2)①；②；③；④ 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴ ， 故答案为：①；②；③；④． 6．(1)，； (2) (3)A 【详解】（1）解：如图②，因为平分，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：，；； （2）解：如图③， ∵平分，， ∴． ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：∵小静所说的：“我觉得这道题有两种情况…”， ∴该思考方法所体现出来的数学思想是分类思想， 故答案为：A． 7．，，，，， 【详解】解：因为，， 所以 所以． 因为平分， 所以． 所以． 故答案为：，，，，，． 8．(1) (2) 【详解】（1）解：因为平分，， 所以， 因为平分，， 所以， 所以； （2）解：因为，且的度数为， 所以， 因为平分， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 因为， 所以． 9．(1)10度 (2) (3)5或75 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分，与重合， ∴，， ∴； （2）如图2，    ∵平分，平分， ∴，， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∵绕点O逆时针旋转一个角， ∴， ∵， ∴； （3）①当时，如图3，    由题可知，， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图4，    由题可知，， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当时，如图5，    由题可知，， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ④当时，如图6，    由题可知，， 则，， ∵平分，平分， ∴∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：； 综上，t的值为或， 故答案为：或． 10．(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：． （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∴， ， 即； （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， 当在左边时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 题型十　尺规作图作角 1．D 【详解】解：作图过程正确的顺序是：④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，； ①以为圆心，长为半径画，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点； ②作射线，则， 故正确的顺序是④①③②， 故选：D． 2．/140度 【详解】解：由尺规作图可知，(以为圆心画弧，再以为圆心、长为半径画弧得到点，这种作图方法是作角平分线的方法)， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示， 测量得：, 故答案为：． （2）利用圆规、量角器、直尺，步骤如下： ①任意画一个圆： ②以圆心为顶点，连续画即的角，与圆相交于六点： ③连接每隔一点的两个点，就得到所求的图形． 4．(1) 解：如图： 射线，即为所求； (2) ，， ． 平分， （角平分线的定义）． ． ． 【详解】（1）略 （2）略 5． 作图如下： 【详解】略 题型十一　折叠问题求角 1． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴． 故答案为：． 2．(1) 如图，即为所求的图形； (2)两点之间，线段最短 【详解】（1）略 （2）因为两点之间线段最短，所以连结，与的交点P即为所求． 故答案为：两点之间线段最短． 题型十二　角的综合计算与几何证明 1．②③ 【详解】解：在①中，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为顶点的角有一共有个，故①错误； 在②中，点为的中点，为的中点， ，， ，故②正确； ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有②③， 故答案为：②③． 2．(1)图中可以用一个大写字母表示的角是． (2)以A为顶点的角有3个，分别是． (3)与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同． 【详解】（1）解：图中可以用一个大写字母表示的角是． （2）以A为顶点的角有3个，分别是． （3）与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同 3． （1）如图： 把放在上，使和重合，边和重合，和在的同侧， 从图形可以看出包含， 即． （2）或 【详解】解：（1）略 （2）如图所示，当在的内部时， ∵ ， ，平分，平分， ∴ 当在的外部时， ∵ ， ，平分，平分， ∴ 4．(1)经过2秒后，平分 (2)平分， 理由如下： ∵， ∴平分． 【详解】（1）解：∵， ， ∵线段恰好平分 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴经过2秒后，平分； （2）略 5．（1）135°；（2）； （3）∠AOC+∠BOD的度数不发生变化．理由如下： ∵∠AOC=∠AOB+∠COB， ∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COB+∠BOD=∠AOB+∠COD=90°+45°=135°， ∴∠AOC+∠BOD的度数不发生变化． 【详解】解：（1）∵△AOB和△COD为一副三角尺， ∴∠AOB=90°，∠COD=45°， ∴∠AOC=∠AOB+∠COD=135°； 故答案是：135°； （2）∵OB是∠COD的平分线， ∴∠COB=∠BOD=∠COD=22.5°， ∴∠AOC=∠AOB+∠COB=112.5°， ∴∠AOC+∠BOD=112.5°+22.5°=135°． （3）略 6．(1) 如图，或即为所求． (2)或 【详解】（1）略 （2）解：如图，或． 7． 【详解】解             ． 8．(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 9．(1) 解：如图，点D为所求． (2) 解：如图，为所求． 【详解】（1）略 （2）略 10．(1) 如图，即为所求． ． (2)i）；ii） 【详解】（1）略 （2）解：i），求解如下： 设， ∵， ∴，， ∴． ii）由题意，画出图形如下： 设， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 11．(1)解 ：如图，即为所求作； (2)，平分，， 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：，平分，，． 题型十三　新定义与分类讨论（三等分线、幸运线等） 1．C 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 2． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $