专题二 特殊三角形（3）单元复习 — 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

专题二 特殊三角形（3）—浙教版数学八年级上册复习 一、题型十二 逆命题逆定理 1．下列说法中，正确的是 A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 2．命题“等边三角形有一个角等于60°”的逆命题是　 　.逆命题是一个　 　命题（填“真”或“假”）. 3．请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：　 　 二、题型十三 直角三角形的性质 4．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（　　） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 5．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则　 　． 三、题型十四 直角三角形的判定 6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (　　) A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5 B．a： b： c=5： 12： 13 C．∠C=∠A-∠B D． 7．如图，四边形为长方形，长，宽，点的中点，点在线段上运动，连接． ⑴当　 　时，是以为斜边的直角三角形； ⑵当时，是等腰三角形，则所有满足条件的的值的和为　 　. 8． 在△ABC中， ∠ACB=90°， D为△ABC内一点， 连接BD， DC， 延长DC到点E，使得CE=DC. （1）如图1， 延长BC到点 F， 使得CF=BC， 连接AF， EF. ①求证： △BDC≌△FEC ②若AF⊥EF， 求证： BD⊥AF. （2）连接AE，交BD 的延长线于点 H，连接CH，依题意补全图2.若. 用等式表示线段 CD与CH的数量关系，并证明. 四、题型十五 勾股定理解三角形 9．如图，在中，、的中垂线分别交于点和点，已知，，若，则的长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 10．在Rt中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是的面积的一半，则　 　 11．如图，∠ADE=∠CFD=90°，AD=CF，DE=DF. （1）求证：△ADE≌△CFD. （2）若F为AD的中点，CD=6，BD=4，求DE和BE的长. 五、题型十六 勾股数问题 12．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（　　） A． B． C． D． 六、题型十七 弦图背景的计算题 13．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m>n)。若小正方形面积为3，且满足 则大正方形面积为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 14．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　. 15．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 七、题型十八 勾股定理的应用 16．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜拦在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米.为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了 (　　) A．0.9米 B．1.1 米 C．1.3 米 D．1.5米 17．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为　 　． 18．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． （1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 八、题型十九 勾股定理逆定理及应用 19． 如图，每个小正方形的边长都相等，点，，均在小正方形的顶点上，则的度数为　 　． 20．如图，，，，，， （1）判断的形状并说明理由； （2）计算四边形的面积． 21．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，且． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？ 九、题型二十 直角三角形全等的判定 22．如图，已知，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交延长线于点，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，点E在边AC上，连接DE，且DE=DB.若△ADE面积为4，AE=2EC，则△ABC面积=　 　 . 24． 如图，在和中，，，与相交于点O． （1）求证：； （2）是何种三角形？证明你的结论． 参考答案 1．A 2．有一个角等于60°的三角形是等边三角形；；假. 3．到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 4．D 5． 6．A 7．；15.5 8．（1）解：①： 在△BCD 和△FCE 中， ∴△BCD≌△FCE； ②： 猜想BD⊥AF， 理由如下： 由①得∴△BCD≌△FCE， ∴∠DBC=∠EFC， ∴BD∥EF， ∵AF⊥EF， ∴BD⊥AF； （2）解：由题意补全图形如下，猜想：CD=CH. 延长BC到 F， 使CF=BC， 连接AF， EF， ∵AC⊥BF， BC=CF， ∴AB=AF， 由 (1) 可知BD∥EF， BD=EF， ∴∠AEF=90°， ∴AE⊥EF， ∴BD⊥AE， ∴∠DHE=90°， 又∵CD=CE， ∴CH=CD=CE. 9．C 10． 11．（1）证明：在△ADE和△CFD中， ， ∴△ADE≌△CFD（SAS） （2）解：∵CD=6，BD=4， ∴BC=CD+BD=6+4=10， 由（1）得△ADE≌△CFD， ∴AE=CD=6，∠DAE=∠FCD， ∵∠CFD=90°，F为AD的中点， ∴CF垂直平分AD， ∴CA=CD=6， ∴∠FCA=∠FCD， ∴∠DAE=∠FCA， ∴∠BAC=∠DAE+∠DAC=∠FCA+∠DAC=∠CFD=90°， ==， ∴BE=AB-AE=8-6=2； ∵DE=DF=AF， ∴AD=2DF=2DE， ===， =， 的长为，BE的长为. 12．A 13．B 14． 15．解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为，大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ②设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 16．C 17． 18．（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 19． 20．（1）解：是直角三角形．理由如下： 连接， ∵，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：在中，， 在中，， ∴． 21．（1）解：△ACB是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∵， ∴，， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ． 在中，， 一辆货车从处经过点到处的路程． 故一辆货车从处经过点到处的路程是． 22．B 23．14 24．（1）证明：∵∠A=∠D=90° ∴△ABC与△DCB均为直角三角形 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL) （2）解：△OBC是等腰三角形，证明如下： ∵Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴∠ACB=∠DBC， ∴OB=OC， ∴△OBC是等腰三角形 学科网（北京）股份有限公司 $