第2章 特殊三角形-特殊三角形证明与计算 专项训练： 2026～2027学年浙教版数学八年级上册

2026~2027 学年浙教版八年级上册数学专项训练：特殊三角形证明与计算卷 【卷首·专项考点概况】 一、本专题核心知识点清单 （一）图形的轴对称（2.1 图形的轴对称） 1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点． 3．轴对称的性质：对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线；两个图形成轴对称时，这两个图形全等，对应线段相等、对应角相等． 4．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 5．常见的轴对称图形：线段（ 条对称轴）、角（ 条）、等腰三角形（ 条）、等边三角形（ 条）、长方形（ 条）、正方形（ 条）、圆（无数条）． （二）等腰三角形及其性质定理（2.2 等腰三角形、2.3 等腰三角形的性质定理） 6．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，第三条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 7．性质定理 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等． 8．性质定理 2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 9．推论：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但它的两个底角一定都是锐角；等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． 10．等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，它是特殊的等腰三角形．三个内角都相等，且都等于 ；它有三条对称轴，三条“三线合一”的线互相重合． （三）等腰三角形与等边三角形的判定定理（2.4 等腰三角形的判定定理） 11．判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（这个三角形是等腰三角形）． 12．判定方法小结：①有两条边相等；②有两个角相等．两者都可以判定一个三角形是等腰三角形． 13．等边三角形的判定：①三条边都相等；②三个角都相等；③有一个角是 的等腰三角形． 14．含 角的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反之，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于 ． （四）逆命题和逆定理（2.5 逆命题和逆定理） 15．逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做它的逆命题． 16．逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，叫做原定理的逆定理． 17．注意：任何一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理——原命题为真时，它的逆命题可能为真，也可能为假． 18．写逆命题的方法：先把原命题改写成“如果……那么……”的形式，再交换题设与结论．不要把逆命题与“否命题”混淆． （五）直角三角形的性质（2.6 直角三角形） 19．直角三角形的两个锐角互余（和为 ）；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形． 20．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；反之，如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角． 21．含 角的直角三角形： 角所对的直角边等于斜边的一半． 22．直角三角形的面积： 直角边 直角边 斜边 斜边上的高． （六）勾股定理及其逆定理（2.7 探索勾股定理） 23．勾股定理：直角三角形两条直角边 、 的平方和，等于斜边 的平方，即 ． 24．勾股定理的逆定理：如果三角形中两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，第三边所对的角是直角． 25．常用勾股数：，，；　，，；　，，；　，，；　，，；　，，． 26．勾股定理的应用：已知直角三角形任意两边求第三边；解决梯子滑动、河宽测量等实际问题；求斜边上的高（用面积法）． （七）直角三角形全等的判定（2.8 直角三角形全等的判定） 27．一般三角形全等的判定方法 、、、 对直角三角形同样适用． 28．直角三角形特有的判定方法 ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或 ）． 29．注意：（边边角）不能判定一般三角形全等，但在直角三角形这一特殊情形下， 恰好就是 ，可以用来判定全等． 30．判定两个直角三角形全等的思路：先看有没有一组直角（这是免费的一组角相等），再找两组边——若是一斜边一直角边用 ，若是两条直角边用 ． 二、核心公式与定理汇总 类别 性质 / 判定 / 公式 / 结论 轴对称的性质 对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形全等 线段垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上 等腰三角形性质 等边对等角：两底角相等；三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合 等腰三角形判定 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有两边相等的三角形是等腰三角形 等边三角形性质 三边相等，三个内角都是 ，有三条对称轴 等边三角形判定 ①三边相等；②三角相等；③有一个角是 的等腰三角形 直角三角形性质 两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半； 角所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形判定 有一个角是直角；两锐角互余；一边上的中线等于该边的一半 勾股定理 直角三角形中 （、 为直角边， 为斜边） 勾股定理逆定理 若 ，则该三角形是直角三角形， 所对的角为直角 常用勾股数 ，，；，，；，，；，，；，， 等腰直角三角形 两直角边相等；若直角边为 ，则斜边为 ，面积为 直角三角形面积 直角边 直角边 斜边 斜边上的高 直角三角形全等的判定 、、、 均适用；特有的 ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 逆命题与逆定理 交换原命题的题设与结论即得逆命题；逆命题为真时称为原定理的逆定理（如勾股定理与其逆定理） 三、高频易错点警示 1．等腰三角形分类漏解：已知等腰三角形的两边长为 和 ，只算 就交卷．必须分“谁为腰”两种情况讨论，并且每一情况都要用“两边之和大于第三边”检验——、、 根本构不成三角形．已知一个内角时同理，要分“顶角还是底角”两种情况． 2．顶角与底角：误以为“等腰三角形的顶角一定是锐角”．顶角可以是钝角甚至直角；但两个底角一定都是锐角（因为 底角 ）． 3．斜边与直角边混淆：用勾股定理时一定要先确认哪条边是斜边（直角所对的边，也是最长边）．求直角边用减号 ，求斜边用加号 ，写反了就全错． 4．勾股定理的适用条件：勾股定理 只对直角三角形成立．在锐角三角形、钝角三角形或没有直角的四边形中，不能直接用，必须先构造直角三角形（作高、连对角线）． 5．勾股定理逆定理忘了排序：判断 、、 能否组成直角三角形时，随手算 与 比较是可以的，但习惯上必须拿“两短边的平方和”去比“最长边的平方”，否则遇到乱序给出的三边就会判错． 6． 误区：“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，这是最常见的伪判定方法．只有在直角三角形中，它才摇身一变成为合法的 （斜边、直角边）． 7． 使用不规范：用 前必须先交待两个三角形都是直角三角形，再写“斜边相等、一条直角边相等”，两步缺一不可；只写 、 而不说明直角，判卷时会扣分． 8．三线合一用错：求等腰三角形底边上的高时，必须先由“三线合一”把底边平分，再用勾股定理．若腰长 、底边 ，高应是 ，误写成 是典型错误． 9．含 角的性质用错：“ 角所对的直角边等于斜边的一半”——必须是 角正对着的那条直角边，不是任意一条直角边；反过来用（直角边是斜边一半）时也要看清是哪个角． 10．逆命题与否命题混淆：逆命题是交换题设与结论，否命题是同时否定题设与结论，两者完全不同．另外，原命题为真不代表逆命题为真，如“若 ，则 ”的逆命题就是假的（ 时也成立）． 11．证明过程跳步：证“等角对等边”时必须添辅助线（作顶角的平分线），再证两个小三角形全等；不能由“”直接写“所以 ”．写全等时要把三个条件逐一列出并注明判定依据（、、 等）． 12．延长线上的等腰三角形看漏：等腰三角形的腰可以出现在延长线上．“点 在 的延长线上且 ”同样能构成等腰 △，而且它的顶角是外角（钝角），不能误当成三角形的内角． 13．折叠问题漏条件：折叠的本质是全等变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线．列方程时记得把未知线段（如 ）用折叠关系替换成 ，并把剩余线段写成 这样的差式． 14．将军饮马的距离和差：作对称点后，竖直方向的总长度是两点到直线距离之和（如 ），不是它们的差；水平方向是两垂足之间的距离．说理时要同时写清“轴对称得相等”与“两点之间线段最短”两步． 15．面积法求斜边上的高：已知直角边 、，斜边 ，求斜边上的高直接用 最快．不要绕去求斜边被高分成的两条线段，那是高中的射影定理，超出本章范围． 16．轴对称图形判断过宽：直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形才是；平行四边形不一定是轴对称图形，只有长方形、菱形、正方形才是．看到“一定是”三个字就要去找反例． 第一部分　基础巩固（第 1—10 题） 1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”： （1）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形； （2）等腰三角形的顶角一定是锐角； （3）等腰三角形的底角只能是锐角； （4）直角三角形的两个锐角互余； （5）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； （6）在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （7）如果三角形的三边长 ，， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形； （8）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等． 2．填空（等腰三角形的边角计算）： （1）等腰三角形的顶角为 ，则它的底角为 ______； （2）等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角为 ______； （3）等腰三角形的周长为 ，腰长为 ，则底边长为 ______，底边上的高为 ______（结果保留根号）． 3．等边三角形： （1）等边三角形的边长为 ，则它的周长为 ______，每个内角为 ______； （2）等边三角形的边长为 ，则它的高为 ______（结果保留根号）； （3）在 △ 中，，若再添加一个条件 ______，就可以判定 △ 是等边三角形（只填一个即可）． 4．如图，在 △ 中，． （1）若 ，则 ______； （2）若 ，，则 ______； （3）若 ，，则 ______； （4）若 ，，则 ______，△ 的面积是 ______． 5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）如果 ，那么 ； （3）直角三角形的两个锐角互余； （4）全等三角形的对应边相等． 6．下列各组数中，以它们为边长能否组成直角三角形？请运用勾股定理的逆定理说明理由． （1），，；　（2），，； （3），，；　（4），，． 7．如图，直线 是线段 的垂直平分线，垂足为 ，点 在直线 上，连接 ． （1）若 ，求 的长； （2）若 ，，求 的长． 8．等腰三角形的边长： （1）等腰三角形的两边长分别为 和 ，求它的周长； （2）等腰三角形的一边长为 ，周长为 ，求它的另外两边的长． 9．如图，在 △ 中，．求证：． 10．下列图形中：①线段　②角　③等腰三角形　④等边三角形　⑤长方形　⑥正方形　⑦圆　⑧直角三角形． （1）其中一定是轴对称图形的有 ______（填序号）； （2）其中对称轴只有 条的是 ______（填序号）． 第二部分　中档提升（第 11—20 题） 11．如图，在 △ 中，， 平分 交 于点 ． （1）求证：△≌△； （2）求证：，． 12．如图，在 △ 中，，点 在 上，且 ，． （1）求 的度数； （2）求 的度数． 13．如图，△ 是等边三角形，点 、 分别在 、 上，且 ，连接 ． （1）求证：△ 是等边三角形； （2）若 ，求 △ 的周长． 14．如图，在 △ 和 △ 中，，，． （1）求证：△≌△； （2）若 ，，求 的长． 15．如图，在直角 △ 中，，，斜边 ．把 延长到点 ，使 ，连接 ． （1）求 与 的长； （2）求 的长； （3）判断 △ 的形状，并说明理由． 16．如图，一架长 m 的梯子 斜靠在一面竖直的墙上，梯子底端 到墙脚 的距离为 m． （1）求梯子顶端 到地面的高度 ； （2）如果梯子顶端 沿墙下滑 m 到点 ，那么梯子底端 将向外滑动多少米？ 17．如图，在 △ 中，，，， 是斜边 上的高． （1）求 的长； （2）求 △ 的面积； （3）求 的长． 18．如图，已知 △ 中 ，顶角 ．把底边 延长至点 ，使得 等于腰 ，连接 ． （1）求 的度数； （2）求 的度数． 19．如图，在 △ 中，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若 △ 的周长为 ，，求 的长． 20．如图，在四边形 中，，，，，，连接 ． （1）求 的长； （2）判断 △ 的形状，并说明理由； （3）求四边形 的面积． 第三部分　培优拓展（第 21—24 题） 21．等腰三角形的多解问题： （1）等腰三角形的两边长分别为 和 ，求它的周长； （2）等腰三角形的一个内角为 ，求其余两个内角的度数； （3）等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，求它的腰长． 22．如图，△ 是等腰直角三角形，，，点 在斜边 上，且 ，，连接 ． （1）求 的长； （2）求 的长； （3）求 △ 的面积． 23．如图，直线 表示一条小河，村庄 、 在直线 的同侧．现要在直线 上建一个水泵站 ，向 、 两村供水． （1）请写出确定点 位置的作法（不必画出图形），使 最小，并说明理由； （2）若点 到直线 的距离为 km，点 到直线 的距离为 km，且 、 两点到直线 的垂足之间的距离为 km，求 的最小值． 24．如图，在 △ 中，，，，点 在 上，点 在 上，把 △ 沿 折叠，使点 恰好落在 上的点 处． （1）求 的长； （2）求 的长； （3）求 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027 学年浙教版八年级上册数学专项训练：特殊三角形证明与计算卷 【卷首·专项考点概况】 一、本专题核心知识点清单 （一）图形的轴对称（2.1 图形的轴对称） 1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点． 3．轴对称的性质：对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线；两个图形成轴对称时，这两个图形全等，对应线段相等、对应角相等． 4．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 5．常见的轴对称图形：线段（ 条对称轴）、角（ 条）、等腰三角形（ 条）、等边三角形（ 条）、长方形（ 条）、正方形（ 条）、圆（无数条）． （二）等腰三角形及其性质定理（2.2 等腰三角形、2.3 等腰三角形的性质定理） 6．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，第三条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 7．性质定理 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等． 8．性质定理 2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 9．推论：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但它的两个底角一定都是锐角；等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． 10．等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，它是特殊的等腰三角形．三个内角都相等，且都等于 ；它有三条对称轴，三条“三线合一”的线互相重合． （三）等腰三角形与等边三角形的判定定理（2.4 等腰三角形的判定定理） 11．判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（这个三角形是等腰三角形）． 12．判定方法小结：①有两条边相等；②有两个角相等．两者都可以判定一个三角形是等腰三角形． 13．等边三角形的判定：①三条边都相等；②三个角都相等；③有一个角是 的等腰三角形． 14．含 角的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反之，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于 ． （四）逆命题和逆定理（2.5 逆命题和逆定理） 15．逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做它的逆命题． 16．逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，叫做原定理的逆定理． 17．注意：任何一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理——原命题为真时，它的逆命题可能为真，也可能为假． 18．写逆命题的方法：先把原命题改写成“如果……那么……”的形式，再交换题设与结论．不要把逆命题与“否命题”混淆． （五）直角三角形的性质（2.6 直角三角形） 19．直角三角形的两个锐角互余（和为 ）；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形． 20．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；反之，如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角． 21．含 角的直角三角形： 角所对的直角边等于斜边的一半． 22．直角三角形的面积： 直角边 直角边 斜边 斜边上的高． （六）勾股定理及其逆定理（2.7 探索勾股定理） 23．勾股定理：直角三角形两条直角边 、 的平方和，等于斜边 的平方，即 ． 24．勾股定理的逆定理：如果三角形中两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，第三边所对的角是直角． 25．常用勾股数：，，；　，，；　，，；　，，；　，，；　，，． 26．勾股定理的应用：已知直角三角形任意两边求第三边；解决梯子滑动、河宽测量等实际问题；求斜边上的高（用面积法）． （七）直角三角形全等的判定（2.8 直角三角形全等的判定） 27．一般三角形全等的判定方法 、、、 对直角三角形同样适用． 28．直角三角形特有的判定方法 ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或 ）． 29．注意：（边边角）不能判定一般三角形全等，但在直角三角形这一特殊情形下， 恰好就是 ，可以用来判定全等． 30．判定两个直角三角形全等的思路：先看有没有一组直角（这是免费的一组角相等），再找两组边——若是一斜边一直角边用 ，若是两条直角边用 ． 二、核心公式与定理汇总 类别 性质 / 判定 / 公式 / 结论 轴对称的性质 对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形全等 线段垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上 等腰三角形性质 等边对等角：两底角相等；三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合 等腰三角形判定 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有两边相等的三角形是等腰三角形 等边三角形性质 三边相等，三个内角都是 ，有三条对称轴 等边三角形判定 ①三边相等；②三角相等；③有一个角是 的等腰三角形 直角三角形性质 两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半； 角所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形判定 有一个角是直角；两锐角互余；一边上的中线等于该边的一半 勾股定理 直角三角形中 （、 为直角边， 为斜边） 勾股定理逆定理 若 ，则该三角形是直角三角形， 所对的角为直角 常用勾股数 ，，；，，；，，；，，；，， 等腰直角三角形 两直角边相等；若直角边为 ，则斜边为 ，面积为 直角三角形面积 直角边 直角边 斜边 斜边上的高 直角三角形全等的判定 、、、 均适用；特有的 ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 逆命题与逆定理 交换原命题的题设与结论即得逆命题；逆命题为真时称为原定理的逆定理（如勾股定理与其逆定理） 三、高频易错点警示 1．等腰三角形分类漏解：已知等腰三角形的两边长为 和 ，只算 就交卷．必须分“谁为腰”两种情况讨论，并且每一情况都要用“两边之和大于第三边”检验——、、 根本构不成三角形．已知一个内角时同理，要分“顶角还是底角”两种情况． 2．顶角与底角：误以为“等腰三角形的顶角一定是锐角”．顶角可以是钝角甚至直角；但两个底角一定都是锐角（因为 底角 ）． 3．斜边与直角边混淆：用勾股定理时一定要先确认哪条边是斜边（直角所对的边，也是最长边）．求直角边用减号 ，求斜边用加号 ，写反了就全错． 4．勾股定理的适用条件：勾股定理 只对直角三角形成立．在锐角三角形、钝角三角形或没有直角的四边形中，不能直接用，必须先构造直角三角形（作高、连对角线）． 5．勾股定理逆定理忘了排序：判断 、、 能否组成直角三角形时，随手算 与 比较是可以的，但习惯上必须拿“两短边的平方和”去比“最长边的平方”，否则遇到乱序给出的三边就会判错． 6． 误区：“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，这是最常见的伪判定方法．只有在直角三角形中，它才摇身一变成为合法的 （斜边、直角边）． 7． 使用不规范：用 前必须先交待两个三角形都是直角三角形，再写“斜边相等、一条直角边相等”，两步缺一不可；只写 、 而不说明直角，判卷时会扣分． 8．三线合一用错：求等腰三角形底边上的高时，必须先由“三线合一”把底边平分，再用勾股定理．若腰长 、底边 ，高应是 ，误写成 是典型错误． 9．含 角的性质用错：“ 角所对的直角边等于斜边的一半”——必须是 角正对着的那条直角边，不是任意一条直角边；反过来用（直角边是斜边一半）时也要看清是哪个角． 10．逆命题与否命题混淆：逆命题是交换题设与结论，否命题是同时否定题设与结论，两者完全不同．另外，原命题为真不代表逆命题为真，如“若 ，则 ”的逆命题就是假的（ 时也成立）． 11．证明过程跳步：证“等角对等边”时必须添辅助线（作顶角的平分线），再证两个小三角形全等；不能由“”直接写“所以 ”．写全等时要把三个条件逐一列出并注明判定依据（、、 等）． 12．延长线上的等腰三角形看漏：等腰三角形的腰可以出现在延长线上．“点 在 的延长线上且 ”同样能构成等腰 △，而且它的顶角是外角（钝角），不能误当成三角形的内角． 13．折叠问题漏条件：折叠的本质是全等变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线．列方程时记得把未知线段（如 ）用折叠关系替换成 ，并把剩余线段写成 这样的差式． 14．将军饮马的距离和差：作对称点后，竖直方向的总长度是两点到直线距离之和（如 ），不是它们的差；水平方向是两垂足之间的距离．说理时要同时写清“轴对称得相等”与“两点之间线段最短”两步． 15．面积法求斜边上的高：已知直角边 、，斜边 ，求斜边上的高直接用 最快．不要绕去求斜边被高分成的两条线段，那是高中的射影定理，超出本章范围． 16．轴对称图形判断过宽：直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形才是；平行四边形不一定是轴对称图形，只有长方形、菱形、正方形才是．看到“一定是”三个字就要去找反例． 第一部分　基础巩固（第 1—10 题） 1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”： （1）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形； （2）等腰三角形的顶角一定是锐角； （3）等腰三角形的底角只能是锐角； （4）直角三角形的两个锐角互余； （5）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； （6）在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （7）如果三角形的三边长 ，， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形； （8）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等． 2．填空（等腰三角形的边角计算）： （1）等腰三角形的顶角为 ，则它的底角为 ______； （2）等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角为 ______； （3）等腰三角形的周长为 ，腰长为 ，则底边长为 ______，底边上的高为 ______（结果保留根号）． 3．等边三角形： （1）等边三角形的边长为 ，则它的周长为 ______，每个内角为 ______； （2）等边三角形的边长为 ，则它的高为 ______（结果保留根号）； （3）在 △ 中，，若再添加一个条件 ______，就可以判定 △ 是等边三角形（只填一个即可）． 4．如图，在 △ 中，． （1）若 ，则 ______； （2）若 ，，则 ______； （3）若 ，，则 ______； （4）若 ，，则 ______，△ 的面积是 ______． 5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）如果 ，那么 ； （3）直角三角形的两个锐角互余； （4）全等三角形的对应边相等． 6．下列各组数中，以它们为边长能否组成直角三角形？请运用勾股定理的逆定理说明理由． （1），，；　（2），，； （3），，；　（4），，． 7．如图，直线 是线段 的垂直平分线，垂足为 ，点 在直线 上，连接 ． （1）若 ，求 的长； （2）若 ，，求 的长． 8．等腰三角形的边长： （1）等腰三角形的两边长分别为 和 ，求它的周长； （2）等腰三角形的一边长为 ，周长为 ，求它的另外两边的长． 9．如图，在 △ 中，．求证：． 10．下列图形中：①线段　②角　③等腰三角形　④等边三角形　⑤长方形　⑥正方形　⑦圆　⑧直角三角形． （1）其中一定是轴对称图形的有 ______（填序号）； （2）其中对称轴只有 条的是 ______（填序号）． 第二部分　中档提升（第 11—20 题） 11．如图，在 △ 中，， 平分 交 于点 ． （1）求证：△≌△； （2）求证：，． 12．如图，在 △ 中，，点 在 上，且 ，． （1）求 的度数； （2）求 的度数． 13．如图，△ 是等边三角形，点 、 分别在 、 上，且 ，连接 ． （1）求证：△ 是等边三角形； （2）若 ，求 △ 的周长． 14．如图，在 △ 和 △ 中，，，． （1）求证：△≌△； （2）若 ，，求 的长． 15．如图，在直角 △ 中，，，斜边 ．把 延长到点 ，使 ，连接 ． （1）求 与 的长； （2）求 的长； （3）判断 △ 的形状，并说明理由． 16．如图，一架长 m 的梯子 斜靠在一面竖直的墙上，梯子底端 到墙脚 的距离为 m． （1）求梯子顶端 到地面的高度 ； （2）如果梯子顶端 沿墙下滑 m 到点 ，那么梯子底端 将向外滑动多少米？ 17．如图，在 △ 中，，，， 是斜边 上的高． （1）求 的长； （2）求 △ 的面积； （3）求 的长． 18．如图，已知 △ 中 ，顶角 ．把底边 延长至点 ，使得 等于腰 ，连接 ． （1）求 的度数； （2）求 的度数． 19．如图，在 △ 中，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若 △ 的周长为 ，，求 的长． 20．如图，在四边形 中，，，，，，连接 ． （1）求 的长； （2）判断 △ 的形状，并说明理由； （3）求四边形 的面积． 第三部分　培优拓展（第 21—24 题） 21．等腰三角形的多解问题： （1）等腰三角形的两边长分别为 和 ，求它的周长； （2）等腰三角形的一个内角为 ，求其余两个内角的度数； （3）等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，求它的腰长． 22．如图，△ 是等腰直角三角形，，，点 在斜边 上，且 ，，连接 ． （1）求 的长； （2）求 的长； （3）求 △ 的面积． 23．如图，直线 表示一条小河，村庄 、 在直线 的同侧．现要在直线 上建一个水泵站 ，向 、 两村供水． （1）请写出确定点 位置的作法（不必画出图形），使 最小，并说明理由； （2）若点 到直线 的距离为 km，点 到直线 的距离为 km，且 、 两点到直线 的垂足之间的距离为 km，求 的最小值． 24．如图，在 △ 中，，，，点 在 上，点 在 上，把 △ 沿 折叠，使点 恰好落在 上的点 处． （1）求 的长； （2）求 的长； （3）求 的长． 2026~2027 学年浙教版八年级上册数学专项训练：特殊三角形证明与计算卷 参考答案与分步解析 第一部分　基础巩固（第 1—10 题） 1． 【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√；（6）√；（7）√；（8）×． 【解析】（1）等腰三角形中有一个角是 ：若这个角是顶角，则两底角各为 ；若这个角是底角，则另一底角也是 ，顶角为 ．两种情形都是等边三角形，故正确． （2）等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，例如顶角为 的等腰三角形（底角各 ）完全存在，故错误． （3）设底角为 ，则 ，，所以底角只能是锐角，故正确． （4）三角形内角和为 ，直角占去 ，两个锐角之和为 ，即互余，故正确． （5）这是直角三角形的一条重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半，故正确． （6）这是含 角的直角三角形的性质，故正确． （7）这正是勾股定理的逆定理，此时 边所对的角是直角，故正确． （8）两个锐角对应相等只能说明这两个直角三角形相似，边长可以成倍放大，不一定全等．例如一个直角边为 、，另一个为 、，锐角对应相等但不全等，故错误． 【易错提醒】第（2）问与第（3）问是一对“孪生陷阱”：顶角可以是钝角，底角一定不能是钝角．第（8）问要区分“相似”与“全等”：角相等只能判定相似，判定直角三角形全等至少要有一组边的条件（、、、、）． 2． 【答案】（1）；（2）；（3），． 【解析】（1）等腰三角形两底角相等，底角 ． （2）另一底角也是 ，顶角 ． （3）底边长 ． 作底边上的高，由“三线合一”知它也是底边上的中线，故半条底边长为 ． 底边上的高 ． 【易错提醒】求等腰三角形的高时，一定要先用“三线合一”把底边平分，再用勾股定理．直接用 是最典型的错误——直角三角形的另一条直角边是底边的一半，不是整条底边． 3． 【答案】（1），；（2）；（3）（或 ，或 ，填一个即可）． 【解析】（1）周长 ；等边三角形三个内角都相等，每个内角 ． （2）作一条高，由“三线合一”知它平分底边，半条底边长为 ． 高 ． （3）已知 ，△ 已是等腰三角形；再添“有一个角是 ”（如 或 ）或“有一边与腰相等”（如 ），即可判定它是等边三角形． 【易错提醒】等边三角形的判定有两条路：从边入手（三边相等，或等腰＋一组邻边相等）、从角入手（三角相等，或等腰＋一个角为 ）．注意“等腰＋一个角为 ”对顶角、底角都成立，不必分类． 4． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），． 【解析】（1）直角三角形两锐角互余，． （2），它所对的直角边是 ，故 ． （3）由勾股定理，． （4）； 面积 ． 【易错提醒】直角三角形里“ 角所对的直角边等于斜边的一半”只针对 角所对的那条边，不能乱用；用勾股定理求第三边时一定要先确认哪条是斜边（直角所对的边），否则会把加减号写反． 5． 【答案】（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形，真命题；（2）如果 ，那么 ，假命题；（3）有两个角互余的三角形是直角三角形，真命题；（4）三组对应边相等的两个三角形全等，真命题． 【解析】（1）交换题设与结论即得逆命题．它正是等腰三角形的判定定理“等角对等边”，是真命题． （2）取 ，，则 ，但 ，所以逆命题是假命题． （3）若三角形有两个角互余，则第三个角 ，该三角形是直角三角形，是真命题． （4）这正是全等三角形判定方法中的 ，是真命题． 【易错提醒】写逆命题时只交换“题设”和“结论”，不能把条件也否定掉——那是“否命题”，不是“逆命题”．另外，一个定理的逆命题不一定是真命题（如本题第（2）问），只有经过证明才能称为逆定理． 6． 【答案】（1）能；（2）不能；（3）能；（4）能． 【解析】先找出最长的边，再看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． （1），能组成直角三角形． （2），，，不能． （3），能组成直角三角形． （4），能组成直角三角形． 【易错提醒】使用勾股定理的逆定理时，必须先把三边按大小排序，拿“两短边的平方和”去和“最长边的平方”比．若随手拿 去比 ，而 并不是最长边，就会判错． 7． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）直线 垂直平分 ，垂足为 ，故 是 的中点，． （2）由垂直平分线的性质，点 在 上，故 ，即 △ 是等腰三角形；又 ，由“三线合一”知 是 的中点，； 在直角 △ 中，． 【易错提醒】“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”是轴对称的核心结论，看到垂直平分线就要想到等腰三角形；再利用“三线合一”把顶角的垂线同时当中线用，问题就迎刃而解了． 8． 【答案】（1）；（2）另外两边长为 、，或 、． 【解析】（1）分两种情况：若腰长为 、底边长为 ，则 ，不满足三角形三边关系，舍去； 若腰长为 、底边长为 ，则 ，成立，周长 ． （2）若长为 的边是腰，则另一腰也是 ，底边 ，且 ，成立，另外两边为 、； 若长为 的边是底边，则腰长 ，且 ，成立，另外两边为 、． 【易错提醒】等腰三角形已知两边求周长，必须分类讨论谁为腰、谁为底，并且每一种情况都要用“两边之和大于第三边”检验．本题第（1）问的 、、 就是典型的“算出来但不存在”． 9． 【答案】证明见解析． 【解析】作 的平分线 ，交 于点 ． 因为 平分 ，所以 ． 在 △ 与 △ 中， ，，（公共边）， 所以 △≌△（）． 所以 （全等三角形的对应边相等）． 【易错提醒】“等角对等边”的证明必须添辅助线（作顶角的平分线），不能由“两个角相等”直接写“所以两边相等”．写全等时要把三个条件按“边、角、角”一一摆出来，并在括号里注明判定依据（）． 10． 【答案】（1）①②③④⑤⑥⑦；（2）②③． 【解析】（1）线段有 条对称轴（本身所在直线和它的垂直平分线）；角的对称轴是它的平分线所在的直线； 等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线；等边三角形有 条；长方形有 条；正方形有 条；圆有无数条． 直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形才是，所以⑧不能选．一定是轴对称图形的是①②③④⑤⑥⑦． （2）对称轴条数分别为：① 条、② 条、③ 条、④ 条、⑤ 条、⑥ 条、⑦无数条，只有 条的是②③． 【易错提醒】“一定是”这三个字是本题的题眼：直角三角形包含等腰直角三角形，但一般的直角三角形不是轴对称图形，所以不能选⑧．另外别把线段当成 条对称轴——它有 条． 第二部分　中档提升（第 11—20 题） 11． 【答案】（1）（2）证明见解析． 【解析】（1）因为 平分 ，所以 ． 在 △ 与 △ 中， ，，（公共边）， 所以 △≌△（）． （2）由全等得 ，． 又 （邻补角定义）， 所以 ，即 ． 【易错提醒】证明垂直不要试图“量”出来，标准思路是先证一对角相等、再利用这对角互补推出它们都是 ．本题（1）（2）两问其实给出了“三线合一”的完整证明，记住它就能直接引用“等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边”． 12． 【答案】（1）；（2）． 【解析】设 ．因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 因为点 、 都在直线 上且 在 、 之间，所以 ． 在 △ 中，， 即 ，解得 ，． 所以 ，． 【易错提醒】角度计算题的通用解法是设未知数、用“等边对等角”把各角表示出来、最后在一个三角形中列内角和方程．本题最容易错在 ：它与 是邻补角，别忘了用 减一下． 13． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）因为 △ 是等边三角形，所以 ． 因为 ，所以 △ 是等腰三角形． 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，所以 △ 是等边三角形． （2）由（1）知 △ 是等边三角形，且 ， 所以 ，周长 ． 【易错提醒】判定等边三角形的两条常用思路是“三边都相等”和“等腰＋一个 角”．本题只需先由 得到等腰，再从大等边三角形里“继承”，一步即可下结论，不必绕去证三个角相等． 14． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）因为 ，所以 △ 与 △ 都是直角三角形． 在直角 △ 与直角 △ 中， （斜边相等），（一条直角边相等）， 所以 △≌△（）． （2）在直角 △ 中，． 由（1）的全等得 ． 【易错提醒】 只适用于直角三角形，写的时候一定先交待“两个三角形都是直角三角形”，再写“斜边、直角边分别相等”．注意不要写成 —— 对一般三角形不能判定全等， 是靠“直角”这个特殊条件才成立的． 15． 【答案】（1），；（2）；（3）△ 是等腰三角形． 【解析】（1）在直角 △ 中，，， 所以 ； ． （2）因为 ，且 ， 所以 ． （3）由（2）知 ，又 ，所以 ，△ 是等腰三角形． （也可由 ，用“等角对等边”得 ．） 【易错提醒】 是 的邻补角，等于 ，所以直角 △ 可以放心用勾股定理；计算 时要把系数和根号分别平方：，不要写成 ． 16． 【答案】（1） m；（2） m． 【解析】（1）在直角 △ 中，，， 所以 （m）． （2）下滑后 ，梯子长度不变，仍为 ． 在直角 △ 中，（m）． 所以底端外移 （m）． 【易错提醒】梯子滑动类问题的关键有两点：梯子的长度始终不变（这是隐含的“斜边不变”条件）；墙脚到墙的距离与墙高构成直角．求的是“滑动了多少”，别忘了最后减去原来的 m，只写 m 是答非所问． 17． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）在直角 △ 中，． （2）△ 的面积 ． （3）同一个三角形用两条不同的“底×高”来算面积，结果相同： ， 即 ，解得 ． 【易错提醒】求斜边上的高不要先去求 、 再绕一圈，直接用面积法最快：．这是直角三角形最常用的等积变形，务必熟练掌握． 18． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为 ，， 所以 ． （2）因为点 在 的延长线上，所以 是 △ 在 处的外角， ． 因为 ，所以 △ 是等腰三角形， ． 所以 ． 【易错提醒】等腰三角形的腰可以“拐弯”出现在延长线上——本题的 就是如此，等腰 △ 的顶角是钝角 ，别误把它当成 ．求 时它是两角之和而不是差，要看清点 的位置． 19． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）因为点 在线段 的垂直平分线上， 所以 （垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． （2）△ 的周长 ． 由（1）知 ，所以 ，即 ． 又 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 【易错提醒】本题的技巧是“等量代换”：周长 里既含 又含 ，已知只有 ，就用 把 换成 ，于是 恰好凑成整条 ．遇到“某三角形周长”的条件，先想想能不能这样凑整条边． 20． 【答案】（1）；（2）直角三角形，；（3）． 【解析】（1）在直角 △ 中，，，， ． （2）在 △ 中，， 而 ，所以 ． 由勾股定理的逆定理，△ 是直角三角形，且 为斜边，即 ． （3）四边形 的面积 △ 的面积 △ 的面积 ． 【易错提醒】没有直角的四边形，先连对角线把它拆成两个三角形，这是求四边形面积的通法．注意 只保证 △ 是直角三角形，△ 是不是直角三角形必须用勾股定理的逆定理自己判，不能想当然． 第三部分　培优拓展（第 21—24 题） 21． 【答案】（1）；（2）、，或 、；（3）腰长为 或 ． 【解析】（1）若腰长为 、底边长为 ，则 ，不成立； 若腰长为 、底边长为 ，则 ，成立，周长 ． （2）若 是顶角，则两底角各为 ； 若 是底角，则另一底角也是 ，顶角 ，其余两角为 、． （3）若长为 的边是腰，则底边 ，，成立，腰长为 ； 若长为 的边是底边，则腰长 ，，成立，腰长为 ． 所以腰长为 或 ． 【易错提醒】等腰三角形的“边”与“角”都要分类：给两边要分“谁为腰”，给一角要分“顶角还是底角”．每分一类都要用三角形三边关系或内角和定理检验，不能一算就写．另外第（2）问问的是“其余两个内角”，不要把已知的那个 也写进答案． 22． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）因为点 在 上，所以 ． （2）因为 ，， 所以 ，即 ， ，． （3）△ 的面积 ． 【易错提醒】等腰直角三角形的两直角边相等，勾股定理就简化成 ，即斜边 直角边，记住这个比例能大幅提速．面积用两条直角边算即可，不要用 去当直角边—— 是斜边． 23． 【答案】（1）作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求；（2） km． 【解析】（1）作法：①作点 关于直线 的对称点 ；②连接 ，交直线 于点 ，则点 就是水泵站的位置． 理由：因为点 与 关于直线 对称，点 在 上，所以 ． 于是 ． 对于直线 上任意另一点 ，由轴对称同样有 ， 所以 （两点之间线段最短）． 故点 使 最小． （2）由轴对称知，点 到直线 的距离仍为 km，且 与 分居直线 两侧，两垂足之间的距离仍是 km． 因此 可看作一个直角三角形的斜边，它的两条直角边分别为 km 与 km． （km），即 的最小值为 km． 【易错提醒】“将军饮马”模型的三步是对称、连线、取交点，说理时要同时写清楚相等（）与最短（两点之间线段最短）两件事，缺一不可．第（2）问的竖直方向长度是两个距离之和 ，不是它们的差 ，这是最容易错的地方． 24． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）在直角 △ 中，． （2）由折叠的性质知，△ 与 △ 全等，所以 ，，； 于是 ． （3）设 ，则 ，． 因为 ，所以 ，△ 是直角三角形． 在直角 △ 中，， 即 ，展开得 ， 所以 ，，即 ． 【易错提醒】折叠问题的两条金科玉律：折叠前后两个图形全等（对应边、对应角分别相等）、折痕是对应点连线的垂直平分线．本题拿 当未知数 ，用 把两条线段统一起来，再在直角 △ 中列方程，是折叠题的标准套路．注意 要写成而不是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $