精品解析：河北省承德市第八中学2026-2027学年高二上学期9月份月考数学试卷

河北省承德市第八中学 2026-2027学年上学期高二数学9月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 数据，，，，，，的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一组递增数据，，，，的平均数为4，方差为3，极差为5，若，则（ ） A. ，，，，的极差为5 B. ，，，，的方差为9 C. ，，，，的第40百分位数为 D. ，，，，的平均数为10 5. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 6. 、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用，，，，，，，表示获胜；，表示获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每个随机数作为一组. 例如，产生组随机数： ，据此估计获胜的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为4 B. 点（2，-2）在直线上 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的倾斜角为 10. 对于直线．下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率为2 B. 直线l在y轴上的截距为 C. 向量是直线l的一个方向向量 D. 直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 11. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 直线与直线间的距离为___________． 13. 已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 14. 在复平面内，O为坐标原点，点在第二象限，点所对应的复数，是以为斜边的等腰直角三角形，则点所对应的复数______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数. （1）若z为实数，求的值； （2）若z为纯虚数，求的值； （3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. （1）求垂心H的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 17. 某学校为了了解学生对交通安全知识的掌握情况，组织了一场交通安全知识考试.从本场考试的全部试卷中随机抽取份试卷作为样本，将样本的成绩（满分为分，成绩均不低于分）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求出图中的值，并估计样本成绩的第百分位数（保留一位小数）； （2）若从成绩在和的两组中用按比例分配的分层随机抽样法抽取人，求这两组分别抽取的人数； （3）已知落在的平均成绩为，方差为，落在的平均成绩为，方差为，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差】 18. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多辆． （1）求的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前的车为等车，其余为等车，估计等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分不低于80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了辆车，再从辆车里抽取辆车的详细数据进行比对研究，求辆车评分均低于分的概率． 19. 已知动直线恒过定点. （1）求点的坐标. （2）设动直线与直线交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线过定点. （3）已知点和，设是边上一动点，且点到，的距离分别为，，若是定值，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德市第八中学 2026-2027学年上学期高二数学9月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 数据，，，，，，的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】这组数据共有7个数，不是整数，所以取第4位数为中位数，即； 数据中84出现的次数最多，故众数为84. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】复数， 所以. 3. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则直线分别为和, 直线的斜率，直线的斜率, 因为，所以, 因此，“”是两直线垂直的充分条件； 若直线与直线 相互垂直， 则，解得， 因此，“”也是两直线垂直的必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线相互垂直”的充分必要条件. 4. 一组递增数据，，，，的平均数为4，方差为3，极差为5，若，则（ ） A. ，，，，的极差为5 B. ，，，，的方差为9 C. ，，，，的第40百分位数为 D. ，，，，的平均数为10 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数，方差的性质求解，利用百分位数的定义求解. 【详解】因为递增，，，极差，， 所以的平均数为，方差为，极差为， A选项，的极差，A错误； B选项，的方差，B错误； C选项，百分位数计算：， 当是整数时，第百分位数为第项与第项数据的平均值， 也就是，不是，C错误； D选项，，D正确. 5. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 6. 、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用，，，，，，，表示获胜；，表示获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每个随机数作为一组. 例如，产生组随机数： ，据此估计获胜的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】共有组随机数，其中，表示B获胜， 则获胜的概率约为 7. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算直线PA、PB的斜率，再结合直线与线段相交的几何特征确定斜率的取值范围. 【详解】已知，，，得，， 由于直线过点且与线段相交，因此斜率的取值范围为或. 8. 若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设点斜式方程，分别求出两坐标轴的交点坐标，表示出面积，分两种情况考虑，去掉绝对值，方程解的个数即对应直线的个数；法二：设截距式方程，由三角形面积为6，可得，即，分情况去掉绝对值，由判别式即可判断方程解的个数即直线的个数. 【详解】法一：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 设此直线与轴、轴的交点分别为，， 则点，的坐标分别为，， 因此面积为， 若，化简得，无解； 若，化简得，解得， 综上，直线的个数为2. 法二：过的直线与坐标轴围成三角形， 故的方程可设为，则，，即， 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又，无解； 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又， 则方程有两个不相等的实数根，即对应的直线个数为2条. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为4 B. 点（2，-2）在直线上 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的倾斜角为 【答案】AD 【解析】 【分析】求轴截距时，令，代入直线方程得 ，故截距为4， 将点 代入方程，得，不满足方程，直线斜率为-1，方向向量应满足，不满足， 斜率，结合倾斜角范围，得， 【详解】令，得，则直线在轴上的截距为4， 也可化为截距式得到，故A正确； 因为，所以点不在直线上，故B错误； 若直线的一个方向向量为，则斜率，不符合题意，故错误； 由直线得直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故D正确， 故选：AD. 10. 对于直线．下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率为2 B. 直线l在y轴上的截距为 C. 向量是直线l的一个方向向量 D. 直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 【答案】ACD 【解析】 【详解】直线化为，斜率为2，A正确； 令，，直线在轴上的截距为4，B错误； 直线的斜率为2，且，所以向量是直线l的一个方向向量，C正确； 令，，则直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形的面积为，D正确. 11. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线平行、垂直的判定条件分析A、B项，通过分离参数求解直线恒过定点判断C项，结合x轴截距的定义求直线斜截式判断D项。 【详解】选项A：若，根据两直线平行的判定条件，得，解得或， 检验可知两值对应的直线均不重合，满足平行要求. 选项B：若，根据两直线垂直的判定条件，得，整理为， 解得或，并非只有 选项C：将直线的方程变形为，令，解得，即直线恒过点. 选项D：若直线在轴上的截距为6，即过点， 代入方程得，解得， 此时的方程为，斜截式为，与选项中表达式不符. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 直线与直线间的距离为___________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】根据两直线间的距离公式可得与间的距离 . 13. 已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】、在直线的同侧，可通过对称将距离和转化为(为点关于直线对称的点)，当为与直线的交点时，取得最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，即点. 的最小值为. 14. 在复平面内，O为坐标原点，点在第二象限，点所对应的复数，是以为斜边的等腰直角三角形，则点所对应的复数______． 【答案】 【解析】 【分析】设，因在第二象限，故，再根据，解方程即可求得答案. 【详解】 如图，由知， 由是以为斜边的等腰直角三角形得， 设，因在第二象限，故， 所以，， 将代入得： ，解得 (舍去负根)，则， 所以， 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数. （1）若z为实数，求的值； （2）若z为纯虚数，求的值； （3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数表示实数列出方程求解即得； （2）根据复数表示纯虚数列出不等式组求解即得； （3）根据复数的几何意义列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 由z为实数，可得，解得或； 【小问2详解】 由z为纯虚数，可得，解得； 【小问3详解】 因复数z在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为. 16. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. （1）求垂心H的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再根据两点求得直线方程. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； 【小问2详解】 由（1）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：， 联立直线与的方程，可得，解得，所以， 所以所在直线方程：，整理后可得：. 【小问3详解】 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得，所以， 则反射光线的方程经过和点， 所以反射光线的方程为，即． 17. 某学校为了了解学生对交通安全知识的掌握情况，组织了一场交通安全知识考试.从本场考试的全部试卷中随机抽取份试卷作为样本，将样本的成绩（满分为分，成绩均不低于分）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求出图中的值，并估计样本成绩的第百分位数（保留一位小数）； （2）若从成绩在和的两组中用按比例分配的分层随机抽样法抽取人，求这两组分别抽取的人数； （3）已知落在的平均成绩为，方差为，落在的平均成绩为，方差为，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差】 【答案】（1）； （2）从组中抽取3人，组中抽取6人． （3）平均数为；方差 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有组的频率之和为，列出方程，求得的值，再由百分位数的计算方法，求得第百分位数. （2）根据题意，求得抽取的总人数，再按分层抽样的方法，求得相应的人数； （3）根据题意，求得的值，结合分层抽样的平均数和方差的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为频率分布直方图中所有组的频率之和为，组距为， 可得，解得， 计算累计频率：的累计频率为， 的累计频率为， 所以第百分位数位于内，且满足， 所以第百分位数为. 【小问2详解】 解：因为成绩在和的频率分别为，， 所以用按比例分配的分层随机抽样法抽取的人中， 其中从组抽取（人），组抽取（人）， 所以从组中抽取人，组中抽取人． 【小问3详解】 解：因为组的频数， 组的频数， 所以合并后的平均数为， 则合并后的方差为： ． 18. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多辆． （1）求的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前的车为等车，其余为等车，估计等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分不低于80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了辆车，再从辆车里抽取辆车的详细数据进行比对研究，求辆车评分均低于分的概率． 【答案】（1）， （2）87.5分 （3） 【解析】 【分析】（1） 利用频率分布直方图频率之和为 ，结合两组车辆数量差列方程组，解出； （2） 前分数线即第百分位数，先定位百分位数所在区间，再用百分位数公式计算分数线； （3）先分层抽样得到样本，列举所有抽取辆车的基本事件，统计满足条件的事件数，用古典概型求概率. 【小问1详解】 由直方图的数据得，化简得①， 由评分在的快递车比内的多辆，得，化简得②， 联立①②，解得，． 【小问2详解】 达到前时的分数线，等价于求第百分位数． 从低分段累计频率：， 第百分位数落在区间， 设分数线为，则，解得， 估计A等车的分数线为87.5分． 【小问3详解】 分层抽样：评分在有辆，评分在有辆， 按比例抽取辆：组：辆，组：辆． 编号：在组的辆车记为；组的辆车记为． 样本空间 找出“两车评分均低于分”的事件（即两车都来自组，不含）：，共种， 两车评分均低于分的概率：． 19. 已知动直线恒过定点. （1）求点的坐标. （2）设动直线与直线交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线过定点. （3）已知点和，设是边上一动点，且点到，的距离分别为，，若是定值，求实数的值. 【答案】（1） （2）由，得， 解得，所以. 所以. 所以. 对， 令，得， 得. 所以. 所以直线的方程为， 化简得，， 即， 由，得. 所以直线恒过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）对直线分离参数，得，令，可得点的坐标； （2）分别表示出的坐标，从而得的方程，分离参数，可证得直线过定点； （3）分别求得边，直线的方程，设 ，用表示出，根据是定值，得的系数为，从而求得实数的值. 【小问1详解】 由， 得. 由，得. 所以动直线恒过定点，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，， 所以边的方程为， 即. 直线的方程为，即； 直线的方程为，即. 设，则， 所以， ， 若是定值，则为定值， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $