30.1.2 圆的切线 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

30.1.2 圆的切线 切线的判定与性质 学科：数学（人教版） 年级：九年级 主讲人：____________ 学校：____________ 开场：上节课知道了d=r时直线与圆相切。今天研究怎样'判定'一条直线是切线，以及切线有什么'性质'——一对互逆的问题。 学习目标 1. 掌握切线的判定定理，会判定一条直线是圆的切线，并规范书写证明； 2. 掌握切线的性质定理——圆的切线垂直于过切点的半径，并能用于计算与证明； 3. 体会判定与性质的互逆关系，积累“见切点连半径”的辅助线经验。 重点是判定定理与性质定理及其运用。难点是证明切线时'连半径、证垂直'的辅助线思路。 一 复习引入 温故知新：怎样判定一条直线是切线？ 上节课：直线与圆相切 ⇔ d＝r（d是圆心到直线的距离）。 问题：实际画图时d不容易量准，有没有更“可操作”的判定方法？ 观察生活：砂轮打磨工件时，火花沿什么方向飞出？转动的雨伞甩出雨滴，雨滴沿什么方向飞出？ ——都沿着圆的切线方向。切线与圆“只碰一下”，碰的方向与半径有什么关系？这就是今天要研究的问题。 砂轮和雨伞的例子说明切线方向与半径'垂直'的直观背景。由此引出探究：过半径外端作垂线试试。 二 探究新知 探究：过半径外端作垂直 画⊙O和半径OA，过半径外端点A作直线l⊥OA。 观察：直线l与⊙O有几个公共点？ 因为圆心O到l的距离d恰好等于半径r，由d＝r ⇔ 相切， 直线l是⊙O的切线。 把“外端＋垂直”翻译成数量关系，就是d＝r。 引导学生把'画图操作'翻译成'数量关系'：过外端+垂直 ⟹ 圆心到直线距离=r ⟹ 相切。这是判定定理的来龙去脉。 切线的判定定理 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两个条件缺一不可：① 经过半径外端（即经过圆上的一点）；② 垂直于这条半径。 辨析：垂直于半径但不过外端？——直线可能与圆相交。过外端但不垂直？——也可能是割线。 书写示范：∵ OA是半径，l经过点A（半径外端），l⊥OA，∴ l是⊙O的切线。 用两个反例图形（可现场板书）说明两个条件各自不能少。要求学生按示范格式书写，'半径、外端、垂直'三个关键词齐全。 反过来：切线有什么性质？ 猜想：圆的切线垂直于过切点的半径。 反证法：假设l与OA不垂直，作OH⊥l，垂足为H。 ∵ 垂线段最短，∴ OH＜OA＝r，垂足H在⊙O内部， 直线l与⊙O有两个公共点，与“相切”矛盾。 ∴ OA⊥l。 反证法在'过三点的圆'一课用过，学生有基础。关键一步是垂线段最短：只要垂足不是切点，垂足必在圆内。 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 符号语言：l是⊙O的切线，A为切点 ⇒ OA⊥l。 判定与性质互为逆用：判定是“知垂直，得切线”，性质是“知切线，得垂直”。 辅助线口诀：见切点，连半径，得垂直。这一步几乎每道切线题都要用。 强调性质定理使用前必须先声明'∵l是切线'，再写'∴OA⊥l'——学生作业里最容易漏掉前半句。 三 新知应用 例1：证切线——连半径，证垂直 例：直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连接OC。 ∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC是等腰△OAB底边上的中线， ∴ OC⊥AB（三线合一）。 又 OC是半径，C是半径外端， ∴ 直线AB是⊙O的切线。 方法：证切线＝连半径＋证垂直。 教材经典例题。辅助线OC是学生自己能想到的：C在圆上，自然连半径。书写时两个条件（外端、垂直）都要说到。 例2：证切线——算出90°角 例：AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB。 求证：AT是⊙O的切线。 证明：∵ AT=AB，∴ ∠T=∠ABT=45°（等边对等角）。 ∴ ∠TAB=180°−45°−45°=90°， 即 TA⊥AB。 又 AB是直径，A是半径OA的外端， ∴ AT是⊙O的切线。 小结：没有现成的垂直，就用等腰三角形“算”出90°。 例1是'看出垂直'，例2是'算出垂直'——证切线的两种典型。可追问：∠ABT=60°还成立吗？（∠TAB=60°，不垂直，不是切线） 证切线与用切线：方法归纳 判定切线两条路：① 数量关系 d＝r；② 判定定理——经过半径外端且垂直于这条半径。 怎么选：题目中直线与圆“有交点”，用判定定理（连半径、证垂直）；“无交点”，作垂线段算 d＝r。 用切线性质：见切点，连半径，得垂直——构造直角三角形。 常见配合：勾股定理、等腰三角形、垂径定理，都靠“半径⊥切线”这座桥衔接。 本页把方法系统化。'有交点连半径，无交点作垂线'是福建中考切线证明题的通用套路，要求学生记住。 四 目标检测 检测：切线性质的应用 如图，PA切⊙O于点A，直线PO交⊙O于点B，∠P=30°。 求∠AOP的度数。 解：∵ PA是⊙O的切线，A为切点， ∴ OA⊥PA（切线的性质），∠OAP=90°。 ∴ ∠AOP=90°−30°=60°。 提醒：“∵PA是切线”这一步不能省——性质定理用之前先声明条件。 本题是性质定理的直接应用。规范书写比答案更重要：先条件后结论。追问：∠P=45°时∠AOP=？（45°） 五 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线——两个条件缺一不可。 一个性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 一条主线：判定与性质互逆：“证垂直得切线”，“由切线得垂直”。 一句口诀：见切点，连半径，得垂直；证切线，连半径，找垂直。 让学生互述两个定理，并互相检查条件是否说全。口诀当堂齐读一遍加深印象。 课后作业 1. 基础题：用判定定理证明切线2题（必须写全“经过半径外端”与“垂直”两个依据）； 2. 提高题：切线性质与勾股定理结合的计算题1道； 3. 思考题：过圆上一点能作几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？（下节课研究“圆外一点”的情形） 4. 实践题：观察自行车车轮在白纸上沿直尺滚动，车轮与直尺的“交点”如何变化？ 提醒：证明切线时若只写“OC⊥AB”不写“C是半径外端”，要扣分。 思考题为下节课'过圆外一点作切线'埋伏笔。实践题体会相切的临界含义。 $