30.1.2 圆的切线（2） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

圆的切线（第2课时） 　　我们已经知道过圆上一点作圆的切线的方法，下面研究如何过圆外一点作圆的切线． 探究 如图，P 是⊙O 外一点，要过点 P 作⊙O 的切线. 由此可知，点O，P，A 可以确定一个圆，OP 是这个圆的直径. 因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O 的交点即所要确定的点． 需要在⊙O上确定一点 A，满足OA丄AP，即∠OAP=90°. O P 方法 O P (1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C; (2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与O相 交于A，B两点；AB为切点； (3)作直线PA，PB，即所求作的切线. M N C A B O P 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切. 我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长(如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. M N C A B 　　（1）切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 　　（2）切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 思考 　　切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别呢？ O B A P 思考 　　如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为 A，B．过点O，P作直线OP．线段 PA 与 PB，∠APO 与∠BPO 有什么关系？ PA＝PB ∠APO＝∠BPO O B A P 　　观察下面的动图，和你的操作步骤一样吗？ 　　　 ∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP． 又 OA＝OB，OP＝OP． ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）． ∴ PA＝PB，∠APO＝∠BPO． 　　你会证明吗？ 证明：如图，连接OA和OB． O B A P 　　试用文字语言叙述前面得出的结论． 　　PA，PB 分别切⊙O于点 A，B PA＝PB ∠OPA＝∠OPB 　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 　　几何语言： 　　切线长定理 追问 　　（1）若连接两切点 A，B，AB 交 OP 于点 M．你能得出什么新的结论？ M OP垂直平分AB 　　证明：∵PA，PB 是⊙O的切线，　　 　　点 A，B 是切点， 　　∴PA＝PB， ∠OPA＝∠OPB， 　　∴△PAB 是等腰三角形， 　　PM 为顶角的平分线， 　　∴OP 垂直平分 AB． O B A P 追问 　　（2）若延长 PO 交⊙O 于点 C，连接 CA，CB，你又能得出什么新的结论？ C CA＝CB 　　证明:∵PA，PB 是⊙O的切线， 　　点 A，B 是切点， 　 ∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB． 　 又∵PC＝PC， 　　∴ △PCA≌△PCB． 　　∴AC＝BC． O B A P （3）连接圆心和圆上一点． （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形． C O B A P M 　　（1）写出图中所有的垂直关系． OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP． 　　（2）写出图中与∠OAC 相等的角． ∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC． O P B C A D E 　　PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，直线 OP 交⊙O 于点D，E，交 AB 于点C． 　　（3）写出图中所有的全等三角形． △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP． 　　（4）写出图中所有的等腰三角形． △ABP，△AOB． 　　PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，直线 OP 交⊙O 于点D，E，交 AB 于点C． O P B C A D E 　　例题 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 　　解： 如图，连接OA. 　　∵PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点， 　　∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 　　又∠APO=30°， 　　∴∠APB=60°. 　　∴△PAB是等腰三角形. 　　例题 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 　　∴AB=PA=PB. 　　又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2， 　　∴OA=1，PA== 　　∴△PAB的周长为3 圆的切线长 切线长 切线长定理 $