3.3 圆的对称性 教学设计 2026-2027 学年苏科版九年级数学上册

课题名称 3.3 圆的对称性（第1课时）——圆心角、弧、弦之间的关系 课型 新授课（1课时） 教学资源 课件、学案、圆规、三角尺 教学内容解析 内容 圆的中心对称性；圆心角的概念；在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系及其应用。 内容解析 本节是苏科版（2024）九年级上册第三章《圆》的第3节，是在学生已经认识圆的有关概念、弦、弧（优弧、劣弧、半圆）等概念之后安排的一节核心性质课。教材从“旋转”这一对称变换出发，先让学生发现 圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，从而得到圆是中心对称图形、圆心是对称中心；再以圆心角为抓手，通过旋转重合的操作，探究得出本节的核心定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，并进一步推出“知一推二”的等价关系。这一定理是后续证明弧相等、弦相等的重要依据，也是下一节课学习垂径定理、以及后续学习点和圆、直线和圆位置关系的基础，在全章中起承上启下的作用。 目标与目标解析 单元整体目标 本章属于“图形与几何”领域，要求学生探索圆的相关概念与性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，能完成三角形外接圆、正多边形与圆等基本作图；在观察、操作、猜想、证明等数学活动中发展抽象能力、几何直观、推理能力与运算能力，体会对称变换与几何推理的力量。 课时目标 1.（几何直观、抽象能力）通过旋转操作，经历“观察—猜想—归纳”的过程，知道圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；理解圆心角的概念。 2.（推理能力、运算能力）经历旋转重合法探究圆心角、弧、弦之间关系的过程，掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，并能说出其等价推论（知一推二）；能运用这一关系进行简单的证明与计算。 3.（应用意识、创新意识）在动手操作与合作交流中，体会“由对称到性质、由性质到推理”的几何研究路径，感受圆的对称美，增强学习几何的兴趣与信心。 课时目标解析 达成目标1：学生能通过把圆形纸片绕圆心旋转，发现无论旋转多少度都与自身重合，并能口述“圆是中心对称图形，圆心是对称中心”；能正确识别一个角是不是圆心角（顶点在圆心，两边与圆相交）。 达成目标2：学生能借助旋转重合法说明“相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等”；能在具体图形中用符号语言写出“∵∠AOB＝∠A′OB′，∴＝，AB＝A′B′”；能完成课本例题类的简单计算。 达成目标3：学生能在小组活动中积极动手、敢于表达，能举出生活中利用圆旋转对称性的实例（如车轮、摩天轮、转盘）。 学情分析 已有的知识、认知水平 九年级学生已经学习了中心对称图形、轴对称图形的概念，掌握了旋转的基本性质；在本章前两节课中已经认识了圆、弦、弧（优弧、劣弧、半圆）等基本概念，会用圆规画圆、会比较弧的大小；具备初步的几何推理能力，能进行简单的三段论说理。 困惑点或探索点 ①学生容易把“圆的旋转对称性”与“一般中心对称图形（旋转180°重合）”混淆，需要强调圆绕圆心旋转任意角度都重合；②在运用“知一推二”时，容易忽略“在同圆或等圆中”这一大前提，出现“只要圆心角相等就弧相等、弦相等”的错误；③符号语言书写时，弧的记法（弧AB）与角、弦的记法混用，需要规范。 教学 重难点 教学重点 探究并掌握 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，并能运用这一关系进行简单的证明与计算。 教学难点 理解“在同圆或等圆中”这一大前提的必要性；能用旋转重合的方法说明定理的合理性，并规范书写符号语言。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：圆的旋转对称性是圆最本质的性质之一；圆心角—弧—弦关系是证明弧相等、弦相等的首要依据，是后续学习垂径定理、点和圆的位置关系、正多边形与圆的基础。 学什么：圆的中心对称性；圆心角概念；在同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的相等关系（知一推二）；简单应用。 怎么学：采用“操作—观察—猜想—归纳—应用”的探究式教学路径，让学生用圆形纸片、圆规动手旋转重合，教师在关键处追问“为什么必须在同圆或等圆中”，借助几何画板动态演示两个不等圆中相等圆心角所对弧不相等，突出大前提的必要性。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 环节一 情境导入 （4分钟） 【任务1】观察：自行车车轮、摩天轮、转盘绕中心转动时，为什么总是平稳地“重合”？ 操作：把课前准备好的圆形纸片绕圆心任意旋转一个角度，你发现了什么？ 【问题】圆绕圆心旋转多少度能与原来的图形重合？ 师：演示车轮转动视频；请学生上台旋转圆形纸片。 生：发现不管转多少度，圆都和原来的圆重合。 师：追问——一般的中心对称图形旋转多少度才重合？圆呢？ 生：一般中心对称图形旋转180°重合；圆旋转任意角度都重合。 能说出“圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合”；能区分圆与一般中心对称图形。 从生活情境与动手操作引入，直观感受圆的旋转对称性，激发兴趣。 环节二 探究一 圆的中心对称性 （6分钟） 【任务2】归纳结论。 图1 圆绕圆心旋转α角与自身重合 结论：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。 【任务3】认识圆心角。 图2 圆心角∠AOB及其所对的弧、弦 概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。如图2，∠AOB是圆心角， 它所对的弧是，所对的弦是AB。 练一练：指出图2中哪些角是圆心角，它们分别所对的弧和弦。 师：板书圆心角定义，强调两个条件——顶点在圆心、两边是半径（与圆相交）。 生：在学案上标注图2中圆心角所对的弧⌒AB和弦AB。 师：追问——∠OAB是不是圆心角？为什么？ 生：不是，因为顶点A不在圆心。 能准确说出圆的中心对称性； 能判断一个角是不是圆心角； 能正确指出圆心角所对的弧和弦。 从操作归纳出性质，从直观抽象出概念；在辨析中深化对圆心角两个条件的理解。 环节三 探究二 圆心角弧弦关系 （15分钟） 【任务4】在⊙O中，把圆心角∠AOB绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合。 图3 同圆中∠AOB＝∠A′OB′ 思考：当OA与OA′重合时，OB与谁重合？弧AB与谁重合？弦AB与谁重合？ ∵ 圆旋转任意角度都与自身重合，且∠AOB＝∠A′OB′， ∴ 射线OB与OB′重合，点A与A′重合、点B与B′重合。 师：用几何画板动态旋转，请学生观察点、弧、弦的重合情况。 生：发现B与B′重合，弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合。 能借助旋转重合说出弧、弦分别重合； 能归纳出“同圆中相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等”。 用旋转重合法直观证明定理，发展几何直观与推理能力。 环节四 探究三 等圆情形与定理归纳 （8分钟） 【任务5】如图4，在两个等圆⊙O与⊙O′中，∠AOB＝∠A′O′B′。把它们的圆心O与O′重合，使射线OA与O′A′重合，你发现了什么？ 图4 等圆中∠AOB＝∠A′O′B′ 【定理】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 符号语言：如图3，∵ ∠AOB＝∠A′OB′（已知）， 师：把两个等圆叠在一起演示。 生：发现两个圆完全重合，B与B′重合，弧AB与弧A′B′重合，AB与A′B′重合。 师：追问——如果两个圆半径不等，但圆心角相等，弧、弦还相等吗？ 师：用几何画板演示半径不等的两个圆、相等圆心角，学生直观看到弧、弦都不相等。 生：不相等！师：所以定理的大前提“在同圆或等圆中”能不能丢？ 生：不能丢！ 能说出等圆中结论同样成立； 能意识到“在同圆或等圆中”是必不可少的大前提； 能正确朗读定理并说出符号语言。 通过“同圆—等圆—不等圆”的对比，突出大前提的必要性，突破难点；培养严谨的推理习惯。 环节五 推论与例题 （8分钟） 【推论】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中，只要有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等（简称“知一推二”）。 【例】如图，在⊙O中，∠ACB＝60°。 求证：＝。 图5 例题 证明： ∵ ＝，∴ AB＝AC（在同圆中，相等的弧所对的弦相等）。 又∵ ∠ACB＝60°，∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 ∴ AB＝BC＝AC。 ∴ ＝＝（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。 ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）。 师：板书推论，解释“知一推二”。 生：先独立思考例题，再同桌交流。 师：请一名学生板演，其余学生在学案上完成；强调每一步都要写理由。 师：追问——在本题中，由弧AB＝弧BC你能直接得到什么？为什么？ 生：∠AOB＝∠BOC，因为在同圆中相等的弧所对的圆心角相等。 能说出“知一推二”的含义； 能独立完成例题，每步写出理由； 能由一组相等关系推出其余两组相等关系。 及时巩固定理与推论，规范符号语言；把定理用活，发展应用意识。 环节六 小结作业 （4分钟） 【课堂小结】 1. 圆的对称性：圆是中心对称图形，圆心是对称中心；绕圆心旋转任意角度都与自身重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角。 3. 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；知一推二。 【课后作业】 ① 课本练习第1、2题； ② 如图，在⊙O中，∠B＝70°，且AB＝AC。求∠C的度数（提示：由弦相等推出弧相等）。 作业②图 师：引导学生从“一个图形（圆）、一个概念（圆心角）、一个定理”三个层面回顾。 生：自主发言，补充完善。 能独立说出本节核心定理与大前提； 能完成作业②的简单推理。 提纲挈领，巩固重点；作业②为下节课“垂径定理”做铺垫。 板书设计 3.3 圆的对称性（1）——圆心角、弧、弦之间的关系 一、圆的中心对称性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合。 二、圆心角：顶点在圆心的角。 三、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 符号语言：∵∠AOB＝∠A′OB′， ∴ ＝，AB＝A′B′。 推论：知一推二。 （附：图3、图5略） 提纲挈领，重点突出。 学科网（北京）股份有限公司 $