专题七 圆周角的概念与应用【（挑战压轴题）导图知识卡片+七大考点讲练+思维拓展训练 共37题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册典型题培优系列

null 2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七 圆周角的概念与应用 【思维导图+七大考点讲练+思维拓展训练 共37题〔解析版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 【压轴考点01】圆周角的概念辨析及简单运算 2 【压轴考点02】圆周角定理 6 【压轴考点03】同弧或等弧所对的圆周角相等 14 【压轴考点04】半圆（直径）所对的圆周角是直角 19 【压轴考点05】90度的圆周角所对的弦是直径 25 【压轴考点06】已知圆内接四边形求角度 30 【压轴考点07】求四边形外接圆的直径 35 【压轴强化-精选真题 实战演练】 43 【压轴考点01】圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 【对应练习1】（1）【学习心得】 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°． （2）【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数． （3）【问题拓展】 如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 　 　． 【答案】（1）45；（2）27°；（3）2﹣2 【思路引导】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解． （2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC， （3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小． 【规范解答】解：（1）如图1， ∵AB＝AC，AD＝AC， ∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上， ∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°， 故答案是：45； （2）如图2， 取BD的中点O，连接AO、CO． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴点A、B、C、D共圆， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝27°， ∴∠BAC＝27°， （3）如图3， 在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠2， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS），   ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°， ∴∠1+∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°， 取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH＝AO＝AB＝2， 在Rt△AOD中，OD＝＝＝2， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值＝OD﹣OH＝2﹣2． 故答案为：2﹣2． 【考点剖析】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键． 【对应练习2】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断． 【规范解答】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D． 【考点剖析】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念． 【压轴考点02】圆周角定理 【典例精讲】（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【思路引导】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【规范解答】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 【对应练习1】探究以下问题： (1)问题提出 如图①，在四边形中，若，，，，，连接，求出的长度； (2)问题解决 如图②，，，，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰好符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约成本，你能求出这种四边形面积的最小值吗？若能，请求出此四边形面积的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)能， 【思路引导】（1）连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，证明出是等边三角形，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，由（1）同理可得为等边三角形，，求出，表示出，证明的外接圆为定圆，构造的外接圆，G为优弧上一点（不与C、重合），求出，过点O作于点H，求出，过点O作，过点D作于点M，交于点P，证明四边形为矩形，得出，则．连接，那么，越大，越大，越大，则越小，当且仅当M，O重合时，点D位于弧中点时取等号，此时取最小值，由此计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：如图①，连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴． 在中，，， 由勾股定理得； （2）解：能． 如图②，连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接， 由（1）同理可得为等边三角形， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴． 作于，则， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴的外接圆为定圆． 如图③，构造的外接圆，G为优弧上一点（不与C、重合）， ∴，连接，， ∴， ∴． 如图④，过点O作于点H， ∴， ∴． 过点O作，过点D作于点M，交于点P， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 连接，那么，越大，越大，越大，则越小， 当且仅当M，O重合时，点D位于弧中点时取等号，如图⑤， 此时取最小值． ∴最大值为，则的最大值为， ∴， ∴， ∴此时四边形的面积的最小值为． 【对应练习2】如图，在中，，，，点为直线右侧一点，连结、，． (1)求线段的长度． (2)当点D落在线段上时，求的长． (3)连结，求面积的最大值． (4)当点D在边上时，点E是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，当点B的对应点落在的角平分线上时，直接写出点到边的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【思路引导】（1）在中，利用勾股定理即可得到的长度； （2）由得到为直角三角形，利用含的直角三角形的性质求出斜边，再通过勾股定理算出； （3）利用同弦所对的圆周角相等可确定点的轨迹是以为弦的，推导出为等边三角形得到圆半径，算出圆心到直线的距离，得到圆上点到最大距离，结合三角形面积公式求出面积最大值； （4）过点作于点，利用角平分线定义得到，设，由折叠得，在中由勾股定理列出一元二次方程，求解可得到点到边的距离． 【规范解答】（1）解：， 在中，； （2）解：点在线段上，， ， 如图， 在中，，， ， ； （3）解：，，定弦定角，满足条件的动点的轨迹是圆，设圆心为， 点在以为弦的上， 如图，为的直径，过圆心作于点，延长交于点，点，，，均在上， 同弧所对的圆周角相等， ， ， ， 是等边三角形， ， 的半径为， ， ， 在中，， ， 圆上的点到的最大距离为， 面积为动点到边的距离，， 当点在点处时，面积最大， 面积的最大值为； （4）解：如图，过点作于点， 点在的角平分线上， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）得， 又， ， 由折叠得， 设， 当点在点和点中间时，， 当点在点和点中间时，， ， ， ， 在中，， ，化简得， ， 或， 点到边的距离为或． 【压轴考点03】同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 【答案】证明：连接，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵A为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】连接，，证明，即可得到结论． 【对应练习1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【规范解答】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【对应练习2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【思路引导】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ， 又∵已知 ， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 【压轴考点04】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）如图，连接，可得，再进一步求解即可； （2）如图，连接，证明，，，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：如图，连接， ∵是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分， ∴， ∴， ∴，， ∴. （2）解：如图，连接， ∵是半圆O的直径， ． ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴. 【对应练习1】（24-25九年级下·山东日照·开学考试）如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长至点M， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴． 【思路引导】本题主要运用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及平行线的判定方法来求解． （1）利用直径所对的圆周角是直角得出，利用直角三角形两锐角互余得出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得出答案． （2）延长至点M，通过圆内接四边形的性质得到，再结合，等量代换可得出，进而利用平行线的判定方法证明两直线平行． 【规范解答】（1）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【对应练习2】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在等腰中，，点D在边上． (1)如图1，D是靠近C点的三等分点，N是的中点，连接，，求腰长； (2)如图2，点E在的延长线上，连接交于H，点F在边上，其中，若点G是的中点且，探究与的数量关系并证明； (3)如图3，若，平面内有一动点，满足，平面内有一动点P，满足且，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下： 过D作，交于W，连接，，如图1所示： 则，，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【思路引导】（1）可证得，设，，则，根据列出关于a的方程，求得a，进而得出结果； （2）作，交于W，连接，，可证得，从而，进而得出，从而得出，证明，得出； （3）以为斜边作等腰直角三角形，以O为圆心，为半径作，则过点C和点，作直径，连接，作点P关于的对称点，连接，，，可得出，，，，进而得出，从而求得，根据得出的最大值，进一步得出结果． 【规范解答】（1）解：∵， ， 是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， 设， ∵点D是三等分点， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， ，（舍去）， ∴； （2）略 （3）解：以为斜边作等腰直角三角形，如图2所示： ， ， ， ∵，， 以O为圆心，为半径作，则过点C和点， ∴， 作直径，连接，作点P关于的对称点，连接，，， ，，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 当、O、共线时，， 如图3，作于V， ， ， ， ． 【压轴考点05】90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（2026·江西宜春·模拟预测）仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O． (2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O． 【答案】(1)如图所示，点O即为所求： (2)如图所示，点O即为所求： 方法一 方法二 【思路引导】（1）根据圆周角所对的弦是直径得到矩形的对角线都是直径，连接对角线交点即为圆心； （2）直线与分别交圆于点、，连接与交点即为圆心；由为直径可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，最后根据圆周角所对的弦是直径得到是直径，直径与交点即为圆心． 【对应练习1】如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【规范解答】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【考点剖析】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 【对应练习2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）在等腰中，． (1)如图1，，，连接、，求证：； (2)如图2，为上一动点，连接，于点，将绕点顺时针旋转到，连接交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，点关于对称点为，连接，则的最大值为 ． 【答案】(1) 证明：在等腰中，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 证明：如图，作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； (3) 【思路引导】（1）先由已知条件，证明，进而证明，即可得出结论； （2）作，交的延长线于点，证明，于是可得，，进而可得，再证明，于是可得，，即可得出结论； （3）取的中点，连接，可得为的中位线，则，可得，可知点、在以为直径的圆上，取中点，连接、，可得在中，，当经过的中点时，最大，利用勾股定理即可求出，进而求出． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：如图，取的中点，连接， ， 由（2）可知，点为的中点， 为的中位线， ， ， 点、在以为直径的圆上， 如图，取中点，连接、， ， 在中，， 当经过的中点时，最大， 在中，， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，本题综合性强，属于中考常考题型． 【压轴考点06】已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，是的外接圆，是的外角的平分线，与相交于点D．求证：为等腰三角形． 【答案】证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【思路引导】根据圆内接四边形的性质结合平角的定义得到，角平分线的定义结合圆周角定理得到，进而得到，即可得证． 【规范解答】略 【对应练习1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)． (2) 证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 【思路引导】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的对角互补求出，再由得出是等腰三角形，求出底角，最后根据圆内接四边形的性质求出． （2）根据圆内接四边形的性质得出与的关系，结合以及圆内接四边形的性质，得出与的关系，进而证明为等边三角形． 【规范解答】（1）解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∴ ． （2）略 【对应练习2】如图，是等边三角形的外接圆，点是劣弧上的一动点，连接 交于点． (1)如图1，_________度，写出图中一对相似三角形：_________； (2)如图2，若点为劣弧的中点时，试判断线段与的位置关系； (3)在图1中，若，求周长的最大值． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2) (3) 【思路引导】解题的关键在于作辅助线构造等边三角形，再利用等边三角形性质与判定，全等三角形性质，推出为直径时，的周长最大． （1）根据等边三角形性质，以及圆内接四边形性质即可求出，利用圆周角定理，以及相似三角形的判定进行分析，即可解题； （2）根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，以及垂直平分线的判定，即可推出线段与的位置关系； （3）延长到点，取，连接，推出为等边三角形，结合等边三角形性质证明，利用全等三角形性质推出，即当为直径时，的周长最大，再结合解直角三角形的计算，以及勾股定理求解，即可解题． 【规范解答】（1）解： 是等边三角形的外接圆，点是劣弧上的一动点， ， ， ； ， ， ， ； （2）解：， 点为劣弧的中点， ， ， ， 为的垂直平分线， 即； （3）解：延长到点，取，连接， ， ， 为等边三角形， ，， 等边三角形中， ，， ， ， ， 当为直径时，长度最大， 此时，连接， 有，，， 设半径为，则， 解得， ， 周长的最大值为． 【压轴考点07】求四边形外接圆的直径 【典例精讲】已知，在中，，点，点在上，交于，交于，连接． (1)如图，求证：；    (2)如图，过点作于，连接，若，求证：平分；    (3)如图，在（2）的条件下，过点作，交于，连接，，延长交于，若，，求线段的长．    【答案】(1) 证明：在中，四边形内接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 证明：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， (3) 【思路引导】（1）根据圆的内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可证得； （2）连接，，根据题意可证得，即可得到平分， （3）连接，为直径，过作于，，，中位线，连接，，易证， 设，，，中，勾股，（舍），中，勾股，连接，中，勾股，． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，过作于，如图所示：    ∵，平分， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，（舍）， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【考点剖析】本题为圆的综合题，考查了圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理解三角形，知识点综合性比较强，解题的关键在于能够通过找到相应的方法并熟练的运用． 【对应练习1】在矩形中，点E是边上一动点，连接，过点B作于点G，交边于点F． (1)当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．请直接写出与之间的数量关系． (2)如图2，，，以和为邻边作平行四边形，请探究线段与之间数量关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下即，，若M是的中点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）证明,得到，再证明四边形为平行四边形，从而可得结果； （2）证明，得到，根据，，四边形是平行四边形得，从而可得； （3）说明、、、四点共圆，得出的最小值为圆半径的最小值，设，证明，得到，再利用勾股定理表示出，求出最值即可得到的最小值． 【规范解答】（1）解：四边形为正方形, ,即 , ,又, （ASA）, , 为等腰直角三角形， ,而, , 四边形为平行四边形， 且 , 与之间的数量关系为： （2）解：，， ，又 ，，四边形是平行四边形 ，即 即与之间数量关系为： （3）解： 以和为邻边作平行四边形，连接 M是的中点， M也是的中点，、、、四点共圆 M是四边形外接圆圆心， 则的最小值为圆半径的最小值， , 设,则, 同(1)可得:, 又, , 即 设 当 时，取最小值 的最小值为 故的最小值为 【考点剖析】此题考查了四边形综合，涉及全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、外接圆、勾股定理等知识点，掌握相关知识点是解题关键． 【对应练习2】如图1，在△ABC中，∠ACB=90° ，以AB为斜边作等腰直角△ABD，点E在 BC上，且BE=AC (1)求证：△ACD≌△BED (2)如图2，延长DC、BA交于点G，求证：DB2 =DE∙DG； (3)过点E作CG的平行线交BG于点H，若BE=1． CG=2，求EH的长 【答案】(1) 证明：∵ ∴作四边形的外接圆，如图所示， ∴ 在和中 ∵ ∴． (2) 证明：如图所示， 由（1）知， ∴， 由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． (3)的长为 【思路引导】（1）由，作四边形的外接圆，根据图象得出，，进而证明即可； （2）根据题意可得，，，，证明，有，进而结论得证； （3）由可知，设，则，，由勾股定理得，，即，求出的值，的值，证明，则，进而可求的值． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， ∴，即 解得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴即， 解得， ∴的值为． 【考点剖析】本题考查了外接圆，同弧所对的圆周角相等，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 1．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【规范解答】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 2．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据圆周角定理可得，可推出，最后根据所画射线为的角平分线可求得答案． 【规范解答】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 根据作图步骤可得：平分， ∴． 3．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【规范解答】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 5．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【思路引导】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 6．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【思路引导】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 7．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【思路引导】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【规范解答】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【规范解答】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 9．（2026·湖南·模拟预测）如图，是的内接三角形，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，若，则___________． 【答案】/度 【思路引导】本题主要考查了直径所对圆周角等于，三角形内角和定理，得出是解题关键． 设，根据的平分线与其外角的平分线相交于点，可得，，结合三角形外角的性质可得，再根据是直径，可得，进而可得，由此列方程即可求出，继而得出结论． 【规范解答】解：如图，连接， ∵的平分线与其外角的平分线相交于点， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为________． 【答案】 【思路引导】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、最短路径问题． 由可证，进而可证，令为中点，可得，说明点的运动轨迹为在矩形内的半圆上，再根据“最短距离=点到圆心的距离-圆的半径”求解即可． 【规范解答】解：如图，设中点为，连接． 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 则点的运动轨迹为以点为圆心，为半径，且在矩形中的半圆， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ． 故答案为：． 11．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)的长为． 【思路引导】（1）利用直径和垂线证明，利用“等弧所对圆周角相等”证明，进而推出，利用“等角对等边”即可得结论； （2）利用“相等的弧所对的弦也相等”得到，再利用勾股定理计算的长，利用直角三角形的等面积法可计算的长． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； (2)8 【思路引导】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【规范解答】（1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． 13．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： (2)若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： (3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)推导过程如下： ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴在中，可得，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) (3)，理由如下： 如下图，将绕点逆时针旋转得到，连接，同理可得：点在上， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】（1）首先根据旋转的性质可得，进而可得为等腰直角三角形，由勾股定理可得，进而可知，然后结合，，即可证明结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，易得，进而可得；证明为等腰直角三角形，可得，结合，即可获得答案； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，结合旋转的性质以及翻折的性质，易得，进而由勾股定理可得，进一步可得；证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵是的直径，为的中点， ∴，， 如下图，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴在上， ∵， ∴， ∴； （3）略 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)当点P在的边上时，作出直线l； (2)当点P在的外部时，作出直线l． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由过平面内一点P存在直线l，当点P在的边上，则点C与点P重合，先在线段上截取，再在上截取，然后作直线即可； （2）在上取；作的垂直平分线和的平分线相交于点E；连接，以为底边作等腰，且；以F为圆心，以为半径作，交于点C；过点P作直线，交于点D．则直线就是所求的直线l． 【规范解答】（1）略． （2）解：理由：连接，，， ∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【思路引导】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七 圆周角的概念与应用 【思维导图+七大考点讲练+思维拓展训练 共37题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 【压轴考点01】圆周角的概念辨析及简单运算 2 【压轴考点02】圆周角定理 4 【压轴考点03】同弧或等弧所对的圆周角相等 5 【压轴考点04】半圆（直径）所对的圆周角是直角 7 【压轴考点05】90度的圆周角所对的弦是直径 9 【压轴考点06】已知圆内接四边形求角度 10 【压轴考点07】求四边形外接圆的直径 11 【压轴强化-精选真题 实战演练】 14 【压轴考点01】圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【对应练习1】（1）【学习心得】 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°． （2）【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数． （3）【问题拓展】 如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 　 　． 【对应练习2】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【压轴考点02】圆周角定理 【典例精讲】（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【对应练习1】探究以下问题： (1)问题提出 如图①，在四边形中，若，，，，，连接，求出的长度； (2)问题解决 如图②，，，，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰好符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约成本，你能求出这种四边形面积的最小值吗？若能，请求出此四边形面积的最小值；若不能，请说明理由． 【对应练习2】如图，在中，，，，点为直线右侧一点，连结、，． (1)求线段的长度． (2)当点D落在线段上时，求的长． (3)连结，求面积的最大值． (4)当点D在边上时，点E是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，当点B的对应点落在的角平分线上时，直接写出点到边的距离． 【压轴考点03】同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 【对应练习1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【对应练习2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【压轴考点04】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 【对应练习1】（24-25九年级下·山东日照·开学考试）如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 【对应练习2】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在等腰中，，点D在边上． (1)如图1，D是靠近C点的三等分点，N是的中点，连接，，求腰长； (2)如图2，点E在的延长线上，连接交于H，点F在边上，其中，若点G是的中点且，探究与的数量关系并证明； (3)如图3，若，平面内有一动点，满足，平面内有一动点P，满足且，当最大时，直接写出的面积． 【压轴考点05】90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（2026·江西宜春·模拟预测）仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O． (2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O． 【对应练习1】如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【对应练习2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）在等腰中，． (1)如图1，，，连接、，求证：； (2)如图2，为上一动点，连接，于点，将绕点顺时针旋转到，连接交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，点关于对称点为，连接，则的最大值为 ． 【压轴考点06】已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，是的外接圆，是的外角的平分线，与相交于点D．求证：为等腰三角形． 【对应练习1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【对应练习2】如图，是等边三角形的外接圆，点是劣弧上的一动点，连接 交于点． (1)如图1，_________度，写出图中一对相似三角形：_________； (2)如图2，若点为劣弧的中点时，试判断线段与的位置关系； (3)在图1中，若，求周长的最大值． 【压轴考点07】求四边形外接圆的直径 【典例精讲】已知，在中，，点，点在上，交于，交于，连接． (1)如图，求证：；    (2)如图，过点作于，连接，若，求证：平分；    (3)如图，在（2）的条件下，过点作，交于，连接，，延长交于，若，，求线段的长．    【对应练习1】在矩形中，点E是边上一动点，连接，过点B作于点G，交边于点F． (1)当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．请直接写出与之间的数量关系． (2)如图2，，，以和为邻边作平行四边形，请探究线段与之间数量关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下即，，若M是的中点，连接，求的最小值． 【对应练习2】如图1，在△ABC中，∠ACB=90° ，以AB为斜边作等腰直角△ABD，点E在 BC上，且BE=AC (1)求证：△ACD≌△BED (2)如图2，延长DC、BA交于点G，求证：DB2 =DE∙DG； (3)过点E作CG的平行线交BG于点H，若BE=1． CG=2，求EH的长 1．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 5．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 6．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 7．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 9．（2026·湖南·模拟预测）如图，是的内接三角形，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，若，则___________． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为________． 11．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 13．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： (2)若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： (3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)当点P在的边上时，作出直线l； (2)当点P在的外部时，作出直线l． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七圆周角的概念与应用 【思维导图+七大考点讲练+思维拓展训练共37题〔原卷版〕】 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点举一反三】 2 二【压轴考点O1】圆周角的概念辨析及简单运算★女女 ……2 s 【压轴考点02】圆周角定理★★★ 【压轴考点03】同弧或等弧所对的圆周角相等★★食 …5 【压轴考点04】半圆（直径）所对的圆周角是直角★★★★ 【压轴考点05】90度的圆周角所对的弦是直径★★★★ 5 ,【压轴考点06】已知圆内接四边形求角度★★★★ ......10 二【压轴考点7】求四边形外接圆的直径★女★★ 。。。。。。。。。 11 【压轴强化一精选真题实战演练】·..... ……14 第1页共19页 思维导图 知识梳理技巧点拨 知识点梳理思维导图 1.圆周角的概念 6.圆周角定理的推论应用 顶点在圆上，并且两边都和相交的 角叫作因周角。 ()思心在圈周角外都：12)圆心在圆周角一边上：！)题心在圆周角内都： ∠OC=2∠BAC. ∠BOC2∠B4C. =2∠D+2∠DAC =2∠BAC. 2.同弧所对的圆周角相等 在同圈或等墨中，相等的图周角所对的蕴相等 同部或等弧所对的圈周角相等， 周角等于它所对蕴上的圆心角的一半。 A :同到（或等弧）所对题周角相等， 圆周角=号×圆心角 专题七 7,角的度数与弧的关系 即∠ABC=∠ADC=∠AOC 圆周角的概念 ·同弧或等蕴所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的墨心角的一半， ,因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 与应用 所以圆周角的度致等于它所对弧的度数的一半。 3.圆周角定理的推论（半圆与直径】 **记忆口使*·： 直径所对的圆周角是直角， 圈周角度致■)×所对弧的度数 同孤等角定，半圆是直角： 6 90°的圆周角所对的弦是直径。 圆心角度数=所对弧的度数 对角互补定内接 弧角关系助应用！ 4.四边形与图的内接关系 8.典型题型与解题技巧（压轴题必备】 圈内接四边形的对角互补 ☆常见辅助线作法 ∠A+∠C=180,∠B+∠D 技巧1：找颈定角，建立关系 技巧3：转化四边形问题 ①连接圆心与圈上点 先找出己知或相解的切 Q花到用同如所对的调角相等 ②连接弦，构透三角形 求 或半圈、直径性质求角。 ③延长线股构造直径： 5.四边形的判定 ④作垂线、平分线等。 ①若对角互补，则四边形是圆内接四边形 技巧2：构造直径，化解难题 技巧4：综合应用，灵活转化 ②着一个角所对的细与它所对弦的度数相等 多条件时。先明确目标角 利用半圆性质 画最话接用定理推是 则这个角等于它所对弧的度数的一半。 必要时作辅助线或延长线， 核心总结： 掌报圆周角的想念，牢记“同弧等角，半直角 角互补， 弧角一半”的核心思想 灵活应用定理与推论，解决复杂几何问题！ 考点讲练 重点难点举一反三 【压轴考点01】圆周角的概念辨析及筒单运算★★★ 【典例精讲】如图，在⊙0中，弧AB所对的圆周角∠ACB=55°.若D为弧AB上一点，∠A0D=75°， OD IICB,则∠OAC的度数为( B A.19° B.20° C.21 D.22° 第2页共19页 【对应练习1】(1)【学习心得】 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以 使问题变得非常容易， 例如：如图1，在△ABC中，AB=-AC,∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC,求∠BDC的度数.若 以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A,则点CD必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角， 从而可容易得到∠BDC=°· (2)【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=27°，求∠BAC的数， (3)【问题拓展】 如图3，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DR连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点 H.若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 H G 图1 图2 图3 【对应练习2】(25-26九年级上·全国·课堂例题)如图，∠4PB是圆周角的是() B B 第3页共19页 【压轴考点02】圆周角定理★★★ 【典例精讲】(2026·山东淄博·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙0上的 点，∠ABC=58,CD平分∠AC0,DE1AB交⊙0于点E,垂足为F,则∠C0E=_一_. B 【对应练习1】探究以下问题： B B D D 图① 图② (1)问题提出 如图①，在四边形ABCD中，若AB=AD,∠A=60°，∠C=30°，BC=6,CD=8,连接AC,求出AC的 长度； (2)问题解决 如图②，AB=AD,∠A=60°，∠C=75°，AC=12,现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形 状恰好符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约成本，你能求出这种四边形面积的最小值吗？若能，请 求出此四边形ABCD面积的最小值；若不能，请说明理由. 第4页共19页 【对应练习2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=7V3,点D为直线AC右侧一点，连结 AD、CD,∠ADC=30°. D B (1)求线段AB的长度. (2)当点D落在线段CB上时，求CD的长， (3)连结BD,求△BCD面积的最大值. (4)当点D在边BC上时，点E是边AB上一动点（不与点A、B重合），将△BDE沿DE翻折，当点B的对应 点B'落在∠ACB的角平分线上时，直接写出点B'到边BC的距离. 【压轴考点03】同弧或等弧所对的圆周角相等★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦，A为BF的 中点，AD⊥BC,垂足为D,AD和BF相交于点E.求证：AE=BE. A F D O 第5页共19页 【对应练习1】(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，点C、D在⊙0 上，∠CDA=56°.则∠BAC=( A.28° B.34° C.36° D.44° 【对应练习2】(2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测)己知四边形ABCD内接于⊙O,连接AC、BD, ∠ACD+∠ADB+∠CAD=90°： D D B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BC是⊙0的直径； (2)如图2，点E在BD上，连接AE、CE,且AE=CE,∠ABD=2∠CAE,求证：CE平分∠ACD: (3)如图3，在(2)的条件下，点F在BD上，连接CF,若∠CFD=2∠ACE,BF=4,AC=16,求⊙O的 半径长. 第6页共19页 【压轴考点04】半圆（直径）所对的圆周角是直角★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，AB是半圆O的直径，点C,D,E将半圆四等 分，AD,BC相交于点P,AB=6. D (1)求∠APB的度数. (2)求AC2+AD2+AE2的值. 【对应练习1】(24-25九年级下·山东日照·开学考试)如图，在圆内接四边形ABCD中，AC、BD是对 角线，AD<AC,∠ADC<∠BAD,在AD的延长线上取点E,使AE=AC,在BA的延长线上取点R,连接 EF,使∠AFE=∠ADC. E D A (1)若∠AFE=60°，CD是圆的直径，求∠ABD的度数： (2)求证：EF∥BC. 第7页共19页 【对应练习2】(26-27九年级上·四川达州·开学考试)在等腰△ABC中，AC=BC,点D在BC边上. C 图1 图2 图3 (1)如图1，D是靠近C点的三等分点，N是AB的中点，连接DN,DN=AN=V3,求腰长AC: (2)如图2，点E在CA的延长线上，连接ED交AB于H,点F在AC边上，其中FC=AE=BD,若点G是AF 的中点且AD=2GH,探究FD与AH的数量关系并证明： (3)如图3，若∠C=45°，平面内有一动点C',满足∠AC'B=∠C,平面内有一动点P,满足∠C'AP= ∠CBA且AP=号AB=1,当CP最大时，直接写出△AC'P的面积. 第8页共19页 【压轴考点05】90度的圆周角所对的弦是直径★★★★ 【典例精讲】(2026·江西宜春·模拟预测)仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹）， 图1 图2 (1)如图1，矩形ABCD的顶点都在圆O上，请找出圆心O. (2)如图2，以平行四边形ABCD边BC为直径的⊙O与边AD相交，请找出圆心O. 【对应练习1】如图，矩形ABCD中，AB=2V5,BC=8.点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动 点.∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为(). A.2 B.8V105 C.2.4 21 D.V21-4 【对应练习2】(24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测)在等腰△ABC中，∠BAC=90°. 。H 图1 图2 图3 (1)如图1，∠MAN=90°，AM=AN,连接CM、BN,求证：BN=CM; (2)如图2，D为AC上一动点，连接BD,AE L DE于点E,将AE绕点A顺时针旋转90°到AF,连接CF交AE于 点G,求证：BE=2AG; 第9页共19页 (3)如图3，在(2)的条件下，若AC=4,点G关于AC对称点为H,连接BH,则BH的最大值为_ 【压轴考点06】已知圆内接四边形求角度★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的 外角∠EAC的平分线，AD与⊙O相交于点D.求证：△DBC为等腰三角形. B 【对应练习1】(24-25九年级上·河北石家庄·期中)如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，AB=AD, E为AD上一点. C (1)若∠C=110°，求∠E的度数. (2)若∠E=∠C,求证：△ABD为等边三角形. 第10页共19页 【对应练习2】如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点，连接AD,BD,CD,CD 交AB于点E. E 子 D D 图1 图2 (1)如图1，∠ADB= 度，写出图中一对相似三角形： (2)如图2，若点D为劣弧AB的中点时，试判断线段CD与AB的位置关系： (3)在图1中，若AB=2,求△ABD周长的最大值. 【压轴考点07】求四边形外接圆的直径★★★★ 【典例精讲】已知，在△ABC中，AB=AC,点A,点B在⊙O上，AC交⊙O于D,BC交⊙O于E,连 接DE. (1)如图，求证：DE=EC: (2)如图，过点A作AH1BC于H,连接OH,若AH∥DE,求证：OH平分∠AHB: 第11页共19页 H /E (3)如图，在(2)的条件下，过点A作AF∥BC,AF交⊙O于F,连接BF,DK,延长DK交⊙O于W,若 OK=V2,FB=V10,求线段WD的长. A K 第12页共19页 【对应练习1】在矩形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE,过点B作BF1AE于点G,交CD边于点 D M E E (1) (2) (3) (1)当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH,连 接EH.请直接写出AE与EH之间的数量关系， (2)如图2，AB=3,BC=2,以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF,请探究线段AE与EH之间数量关系， 并说明理由 (3)在(2)的条件下即AB=3,BC=2,若M是EF的中点，连接GM,求GM的最小值. 【对应练习2】如图1，在△ABC中，∠ACB90°，以AB为斜边作等腰直角△ABD,点E在BC上，且 BE-AC D D D E E G H 图1 图2 图3 (1)求证：△ACD≌△BED (2)如图2，延长DCBA交于点G,求证：DB=DEDG: (3)过点E作CG的平行线交BG于点H,若BE1.CG2,求EH的长 第13页共19页 压轴强化 精选真题实战演练 1.(26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测)如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙0上，CD与AB交于点 E,连接OD,BC,AC,OD∥BC,∠A=30°，则∠D的度数为( ) B A.45 B.60° C.30° D.35 2.(26-27九年级上·湖北·期中)如图，已知AB为半圆0的直径，点C为半圆上一点， 且∠CAB=52°，①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交边BA,BC于点D,E;②分别以D,E为圆心， 大于DE长为半径作弧，两弧交于点P;③作射线BP,则∠ABP=( P A.19 B.22 C.24° D.26° 3.(26-27九年级上·浙江宁波·开学考试)如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直 径，连接BC,DC.若∠BDC=20°.则∠A的度数为( A.90° B.100° C.110° D.120° 4.(26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，点C,点D是半圆上两点，连 接AC,BD相交于点P,连接AD,OC.已知OC1BD于点E,AB=2.下列结论：①∠CAD+∠OBC= 90°；②若点P为AC的中点，则CE=2OE;③若AC=BD,则CE=OE;④若BC2+BD2=4,则DB平分 第14页共19页 ∠CBA.其中正确的是( D P B A.①② B.①②③④ C.②③④ D.①②③ 5.(2022·山东枣庄·模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,DE是⊙O的直径，与AC相交于点M,且 DE1AB,若⊙O的半径为23，BC=2V6,则AM2+CM2的值为( E B A.12 B.20 C.24 D.28 6.(26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测)如图，⊙A过原点0，分别与x轴、y轴交于点C和点D,点B 在⊙A上，已知∠B=30,⊙A的半径为4，则圆心A的坐标是_一 D ·A 0 7.(26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测)如图，△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°，AD 为⊙O的直径，∠DAC= B 第15页共19页 8.(25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测)如图，已知点A、B、C、D、E在⊙0上，若∠B+ ∠ADC=160°，则∠ADE的度数为 D 9.(2026·湖南·模拟预测)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，△ABC的内角∠ABC的平分线B0与其 外角∠ACD的平分线CE相交于点E,若∠ABC=∠E,则∠A= D 10.（25-26九年级上·江苏徐州·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,P是边BC上一个动 点，连接PD.在PD上取一点E,满足PC2=PEPD,则BE长度的最小值为 11.(26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O,点B在⊙0上，点D 为⊙O上一点，连接BD,且B为CD的中点，BE L AC于点E,连接CD交BE于点F. 小 D C (1)求证：BF=CF; (2)若AB=4,BD=2,求BE的长. 第16页共19页 12.(26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，点C,D是直径AB上方半圆上两 点，且OD II AC,OD与BC交于点E. D (1)求证：E为BC的中点； (2)若AC=6,DE=2,求BC. 13.(26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测)问题背景：如图1，AB是⊙0的直径，点C,点D在圆上 (在直径AB的异侧)，且D为弧AB的中点，连接AD,BD,CD,AC,BC.探究思路：如图2，将△ADC绕点D 顺时针旋转90°得到△BDE,证明C,B,E三点共线，从而得到△DCE为等腰直角三角形，BC+BE= V2CD,从而得出AC+BC=V2CD. B B D 图1 图2 图3 图4 (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程： 问题解决： (2)若点C,点D在直径AB的同侧，如图3所示，且点D为弧AB的中点，连接CD, BC=a,AC=b(a>b),求线段CD的长（用含有a,b的式子表示）： 拓展探究： (3)将△CBD沿BD翻折得到△MBD,如图4所示，试探究：MA,MB,MD之间的数量关系，并说明理由. 第17页共19页 14.(26-27九年级上·江苏南京·阶段检测)若过平面内一点P存在直线1，分别交∠A0B的两边 OA、OB于点CD,使OC+OD=m.试用尺规作图确定直线1的位置.（要求：尺规作图，保留作图痕 迹，写出必要的文字说明) B P· 0 A (1)当点P在∠AOB的边上时，作出直线1： (2)当点P在∠AOB的外部时，作出直线1. 第18页共19页 15.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图，△ACD内接于⊙O,AC=AD,AB为⊙0的直 径，AB交CD于点E. D D D E E B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB平分∠CAD; (2)如图2，点F在弧AC上，连接DF、BF,∠ADF=2∠BFD,求证：DF=DA; (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD,若BF+BE=CD,OE=3,求BD的长. 第19页共19页